Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις
Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος αποτελεί την βάση του κυλίνδρου. Στην συνέχεια ο όγκος υπολογίζεται με την βοήθεια ενός διπλού ολοκληρώματος, όπου ο τόπος ολοκλήρωσης είναι ο και η ολοκλήρωση γίνεται στην σφαίρα της άσκησης x + y + z = a. Για την ολοκλήρωση θα εργαστούμε με πολικές συντεταγμένες καθώς είναι ευκολότεροι οι υπολογισμοί. Στις πολικές συντεταγμένες ισχύει x = ρ cos θ, y = ρ sin θ και x + y = ρ. Η επιφάνεια που θα ολοκληρώσουμε είναι η σφαίρα της άσκησης δηλαδή x + y + z = a z = a (x + y ), η οποία σε πολικές συντεταγμένες, σύμφωνα με τα παραπάνω, έχει την μορφή z = a ρ. Οπως είπαμε και ποιο πάνω ο τόπος ολοκλήρωσης για την άσκηση είναι ο κύκλος x +y = b, οπότε τα όρια ολοκλήρωσης στις σφαιρικές συντεταγμένες θα είναι για την γωνία θ π, καθώς ολοκληρώνουμε σε όλο τον κύκλο και για την ακτίνα ρ b. Σύμφωνα με όλα τα προηγούμενα, έχουμε το ολοκλήρωμα: V = b ρ a ρ dρ ] dθ = 1 3 (a ρ ) 3/ ] b dθ = (a b ) 3/ a 3 ] = 1 dθ V = π 3 3 (a b ) 3/ a 3 ] (1) Ο όγκος που υπολογίστηκε παραπάνω είναι για το επάνω θετικό μέρος την σφαίρας και ο συνολικός όγκος που περιέχει και το κάτω κομμάτι είναι ο διπλάσιος, οπότε ο τελικός όγκος που αποτελεί και την λύση της άσκησης είναι: V total = V V total = 4π 3 (a b ) 3/ a 3 ] () 1
Άσκηση Αρκεί να βρούμε ένα ακόμη σημείο στον άξονα y και αυτό θα το βρούμε από την λύση του συστήματος των εξισώσεων x = y και x = 4 y, όπου προκύπτει ότι y =. Οπότε έχουμε το παρακάτω διπλό ολοκλήρωμα: I = Άσκηση 3 4 y xydxdy = y x y ] 4 y y dy = (8y 4y 3 )dy I = 4y y 4] I = 4 (3) Οι ευθείες y = 3x + 1 και y = 3x + 5 είναι παράλληλες, καθώς και οι y = x + 1, y = x + 3 είναι παράλληλες και ο τόπος που δημιουργούν είναι ένα παραλληλόγραμμο. Για την άσκηση αρκεί να βρούμε τα εξής: Για y = 3x + 1 και y = x + 1: Για y = 3x + 1 και y = x + 3: Για x = και y = x + 1: 3x + 1 = x + 1 x = (4) 3x + 1 = x + 3 x = /5 (5) Για y = 3x + 5 και y = x + 1 x = 1 y : y = 1 (6) y = 3 1 y + 5 5y = 13 y = 13 5 (7) και τελικά το εμβαδόν του τόπου είναι: A = dxdy = /5 13/5 x= y=1 dydx = y ] 13/5 1 x ] /5 A = 16 1 (8)
Άσκηση 4 Ο όγκος του στερεού για την άσκηση δίνεται από το παρακάτω διπλό ολοκλήρωμα, με z 1 = και z = b y: V = (z z 1 )dxdy V = (b y)dxdy (9) Επειδή ο τόπος ολοκλήρωσης είναι κύκλος με ακτίνα a, όπως δίνεται από την εξίσωση της άσκησης, βολεύει καλύτερα να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα σε πολικές συντεταγμένες, όπου για την γωνία θ ισχύει θ π, καθώς ολοκληρώνουμε σε όλο τον κύκλο και για την ακτίνα, όπως προκύπτει από την εξίσωση, είναι ρ α. Επίσης έχουμε ότι y = sin θ. Ετσι από τα παραπάνω το ολοκλήρωμα παίρνει την παρακάτω μορφή, όπου και το υπολογίζουμε: V = α (b ρ sin θ)ρdρdθ = α (bρ ρ sin θ)dρ ] dθ = = b ρ ρ3 3 sin θ ] α dθ = ] b α α3 3 sin θ dθ = bθ α + α3 3 cos θ ] π V = πbα (1) Οπως τελικά προέκυψε, ο όγκος του στερεού είναι V = πbα. 3
Άσκηση 5 Η προβολή του τόπου ολοκλήρωσης στο επίπεδο xy, μπορεί να βρεθεί ως: z 1 = z = 4x + y 4 = 4x + y x + y 4 = 1 (11) και όπως προέκυψε είναι έλλειψη με a = 1 και b =, οπότε είναι προτιμότερο να γίνει η διπλή ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες και έτσι οι εξισώσεις είναι x = aρ cos θ, y = bρ cos θ και dxdy = abρdρdθ = ρdρdθ. Το ολοκλήρωμα για τον υπολογισμό του όγκου είναι: V = (z z 1 )dxdy = ( 4x + y )dxdy (1) και αφού θα ολοκληρώσουμε σε πολικές συντεταγμένες, όπου θα είναι για την γωνία θ π και την ακτίνα ρ 1, έχουμε: V = 1 ( 4ρ )ρdρdθ = 4 1 (ρ ρ)dρdθ = 4 ρ 3 3 ρ ] 1 dθ = 3 dθ V = 4π 3 (13) Άρα τελικά ο όγκος του στερεού για την άσκηση είναι V = 4π 3. 4
Άσκηση 6 Βλέποντας το ολοκλήρωμα της άσκησης, έχουμε: y 1 = x x x + y = x (x 1) + y = 1 (14) y = 4 x x + y = 4 (15) και x. Το συμπέρασμα που προκύπτει από τα προηγούμενα είναι ότι ο τόπος ολοκλήρωσης βρίσκεται ανάμεσα στον χώρο που σχηματίζεται από κύκλο με ακτίνα ρ = και κέντρο την αρχή των αξόνων και κύκλο με ακτίνα ρ = 1 και κέντρο το (1, ). Ποιο συγκεκριμένα ο τόπος φράσσεται από κάτω από τον κύκλο με κέντρο (1, ) και από πάνω από τον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται γραμμοσκιασμένος ο τόπος ολοκλήρωσης του ολοκληρώματος της άσκησης. Σχήμα 1: Τόπος ολοκλήρωσης της άσκησης (γραμμοσκιασμένος) Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος βολεύει περισσότερο να γίνει σε πολικές συντεταγμένες, όπου ως γνωστόν ισχύει x = ρ cos θ, y = ρ sin θ και x + y = ρ. Από την προηγούμενη ανάλυση έχουμε: y 1 y y x x y 4 x ρ cos θ ρ cos θ ρ sin θ ρ sin θ ρ cos θ ρ sin θ + ρ cos θ 4 ρ cos θ ρ 4 (16) 5
οπότε ισχύει ρ 4 ρ και ρ cos θ ρ cos θ ρ. Για την γωνία όπως προκύπτει και από το σχήμα για τον τόπο είναι θ π/. Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται: ] 4 x π/ ] I = (x + y )dy dx = ρ 3 dρ dθ = x x x= cos θ = π/ ρ 4 4 ] cos θ dθ = 4 π/ (1 cos 4 θ)dθ I = 5π 4 (17) άρα η τιμή του ολοκληρώματος της άσκησης είναι I = 5π 4. 6
Άσκηση 8 Ξεκινάμε λύνοντας την διαφορική εξίσωση για να βρούμε την συνάρτηση. df(x) dx = xf(x) 1 f(x) df(x) = xdx ln f(x) = x + C (18) και επειδή γνωρίζουμε ότι f() = 1, έχουμε: οπότε η συνάρτηση f(x) είναι: ln 1 = C C = (19) ln f(x) = x f(x) = e x () Εφόσον ο τόπος ολοκλήρωσης είναι κύκλος με ακτίνα α, βολεύει καλύτερα ο υπολογισμός του ολοκληρώματος σε πολικές συντεταγμένες οπότε έχουμε: I = α e (x +y ) dxdy = e ρ ρdρdθ = 1 e ρ ] α dθ = = 1 e α 1 ] dθ I = π(1 e α ) (1) Ετσι από τα παραπάνω αποδείχθηκε το ζητούμενο της άσκησης. 7