Σύστημα Πλεονάσματος Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής
Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 1 Είναι μια άλλη μια μορφή αναπαράστασης για αποθήκευση θετικών και αρνητικών ακεραίων σε έναν υπολογιστή Οι θετικοί και οι αρνητικοί ακέραιοι αποθηκεύονται ως μη προσημασμένοι ακέραιοι Για την αναπαράσταση κάθε ακεραίου χρησιμοποιείται ένας θετικός ακέραιος, που ονομάζεται «πόλωση» (bias), ώστε όλοι οι αριθμοί να μετατοπιστούν ομοιόμορφα προς τη μη αρνητική πλευρά. Η τιμή της πόλωσης είναι (2 Ν-1 ) ή (2 Ν-1 1), όπου Ν η δέσμευση μπιτ. Για παράδειγμα, αν το Ν είναι 8, η τιμή της πόλωσης είναι είτε 128 είτε 127. Στην πρώτη περίπτωση ονομάζουμε την αναπαράσταση πλεόνασμα_128 (Excess_128) Στη δεύτερη περίπτωση ονομάζουμε την αναπαράσταση πλεόνασμα_127 (Excess_127). 2
Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 2 Για την αναπαράσταση ενός ακεραίου στο σύστημα πλεονάσματος χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία: Η πόλωση προστίθεται στον ακέραιο. Το αποτέλεσμα μετατρέπεται στο δυαδικό και προστίθενται μηδενικά στα αριστερά, ώστε να υπάρχουν συνολικά Ν μπιτ. 3
Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) Παράδειγμα Αναπαραστήστε το 25 σε Σύστημα Πλεονάσματος_127 με δέσμευση 8 μπιτ Λύση Προσθέτουμε στο 25 το 127, και παίρνουμε αποτέλεσμα 102. Στο δυαδικό σύστημα αυτός ο αριθμός είναι ο 1100110. Προσθέτουμε ένα μπιτ για να κάνουμε το μήκος 8 μπιτ. Η αναπαράσταση είναι 01100110. 4
Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 3 Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό που είναι στο σύστημα πλεονάσματος σε δεκαδικό αριθμό, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη διαδικασία: Μετατρέπουμε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα. Αφαιρούμε την πόλωση από τον ακέραιο. 5
Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) Παράδειγμα Ερμηνεύστε τον αριθμό 11111110, με δεδομένο ότι η αναπαράσταση είναι σε σύστημα πλεονάσματος_127 Λύση Μετατρέπουμε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα. Είναι ο 254. Αφαιρούμε το 127 από τον αριθμό. Το αποτέλεσμα στο δεκαδικό σύστημα είναι 127. 6
Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών Αναπαράσταση Σταθερής Υποδιαστολής Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής
Αναπαράσταση Σταθερής Υποδιαστολής
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 1 Ένας Αριθμός Κινητής Υποδιαστολής (ΑΚΣ) (floating point) είναι ένας αριθμός που περιέχει έναν ακέραιο και ένα κλασματικό μέρος. Για να αναπαρασταθεί ένας ΑΚΣ διαιρείται σε δύο μέρη: στο ακέραιο μέρος στο κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, ο ΑΚΣ 14,234 έχει ακέραιο μέρος 14 και κλασματικό μέρος 0,234. 10
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 2 Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό κινητής υποδιαστολής στο δυαδικό σύστημα, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη διαδικασία: Μετατρέπουμε το ακέραιο μέρος στο δυαδικό. Μετατρέπουμε το κλασματικό μέρος στο δυαδικό. Τοποθετούμε μια υποδιαστολή ανάμεσα στα δύο μέρη 11
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 3 Η μετατροπή του ακέραιου μέρους γίνεται κατά τα γνωστά Η μετατροπή του κλασματικού μέρους γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος επί 2 μέχρι το κλασματικό μέρος του αποτελέσματος να γίνει 0 ή μέχρι να συμπληρώσουμε τον αριθμό των μπιτ που δεσμεύονται 12
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 4 Μετατρέψτε το κλασματικό μέρος 0,875 στο δυαδικό σύστημα Λύση Γράφουμε το κλασματικό μέρος στην αριστερή γωνία. Πολλαπλασιάζουμε το κλασματικό μέρος συνεχώς με το 2, παίρνοντας κάθε φορά το ακέραιο μέρος ως το δυαδικό ψηφίο. Σταματάμε όταν ο αριθμός γίνει 0,0 Κλασµατικό µέρος 0,875 1,750 1,50 1,0 0,0 Δυαδικός 0, 1 1 1 13
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 5 Μετατρέψτε το κλασματικό μέρος 0,4 σε δυαδικό σχήμα μήκους 6 μπιτ 14
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 5 Μετατρέψτε το κλασματικό μέρος 0,4 σε δυαδικό σχήμα μήκους 6 μπιτ Λύση Γράφουμε το κλασματικό μέρος στην αριστερή γωνία. Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό συνεχώς με το 2, παίρνοντας κάθε φορά το ακέραιο μέρος ως το δυαδικό ψηφίο. Βλέπουμε ότι δεν μπορούμε να φτάσουμε ποτέ σε μια ακριβή δυαδική αναπαράσταση, επειδή το αρχικό κλασματικό μέρος επανεμφανίζεται. Επομένως, συνεχίζουμε μέχρι να συμπληρώσουμε 6 μπιτ. Κλασµατικό µέρος 0,4 0,8 1,6 1,2 0,4 0,8 1,6 Δυαδικός 0, 0 1 1 0 0 1 15
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 6 Για να αναπαραστήσουμε τον αριθμό 71,3125 (+1000111,0101) θα μπορούσαμε να αποθηκεύσουμε στη μνήμη το πρόσημο, όλα τα μπιτ, και τη θέση της υποδιαστολής. Παρόλο που μια τέτοια προσέγγιση είναι εφικτή, δυσχεραίνει πολύ τις πράξεις με τους αριθμούς Για τους αριθμούς κινητής υποδιαστολής είναι απαραίτητος ένας τυπικός τρόπος αναπαράστασης. Τη λύση μας τηνπαρέχει η κανονικοποίηση (normalization), δηλαδή η μεταφορά της υποδιαστολής (αριστερά ή δεξιά) έτσι ώστε αριστερά από αυτή να υπάρχει μόνο ένα ψηφίο. Το ψηφίο αυτό είναι 1 αν πρόκειται για δυαδικό αριθμό 16
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 7 Για να προσδιορίσουμε την αρχική τιμή του αριθμού τον πολλαπλασιάζουμε με 2 e, όπου e είναι το πλήθος των μπιτ κατά το οποίο έχει μεταφερθεί η υποδιαστολή: θετικό για μεταφορά προς τα αριστερά αρνητικό για μεταφορά προς τα δεξιά. Κατόπιν προσθέτουμε ένα θετικό ή αρνητικό πρόσημο, ανάλογα με το πρόσημο του αρχικού αριθμού. Αρχικός αριθμός Μεταφορά Κανονικοποιημένος αριθμός +1010001,11001 6 +2 6 x 1,01000111001-111,000011 2-2 2 x 1,11000011 +0,00000111001 6 +2-6 x 1,11001-0,001110011 3-2 -3 x 1,110011 17
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 8 Εφόσον κανονικοποιηθεί ένας αριθμός αποθηκεύονται μόνο τρεις πληροφορίες σχετικά με αυτόν: το πρόσημο ο εκθέτης το σημαινόμενο τμήμα (τα μπιτ που βρίσκονται δεξιά από την υποδιαστολή) Το ψηφίο «1» που βρίσκεται πριν από την υποδιαστολή δεν αποθηκεύεται για εξοικονόμηση ενός σημαντικού μπιτ 18
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 9 Το πρόσημο ενός αριθμού μπορεί να αποθηκευτεί σε ένα μπιτ (0 ή 1) Για την αποθήκευση του εκθέτη χρησιμοποιείται η αναπαράσταση πλεονάσματος Το σημαινόμενο τμήμα αποθηκεύεται ως μη προσημασμένος ακέραιος. 19
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 10 Πρότυπα IEEE Μορφή Απλής Ακρίβειας (32 μπιτ) Μορφή Διπλής Ακρίβειας (64 μπιτ) 20
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 11 Διαδικασία αποθήκευσης κανονικοποιημένου αριθμού κινητής υποδιαστολής στη μνήμη σε μορφή απλής ακριβείας (singleprecision format): Αποθηκεύουμε το πρόσημο ως 0 (θετικό) ή ως 1 (αρνητικό) Αποθηκεύουμε τον εκθέτη (δύναμη του 2) σε μορφή πλεονάσματος του 127. Αποθηκεύουμε το δεκαδικό μέρος ως μη προσημασμένο ακέραιο. 21
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 12 Βρείτε την αναπαράσταση σε μιά θέση μνήμης μήκους 32 του κανονικοποιημένου αριθμού + 2 6 1,01000111001 Λύση Το πρόσημο είναι θετικό και αναπαρίσταται ως 0. Ο εκθέτης είναι 6. Αφού χρησιμοποιούμε αναπαράσταση πλεονάσματος του 127, προσθέτουμε το 127 στο 6 => 133 => στο δυαδικό 10000101. Το σημαινόμενοτμήμα είναι 01000111001. Αυξάνουμε το πλήθοςτων μπιτ σε 23 => 01000111001000000000000. επειδή πρόκειται για κλασματικό μέρος, δεν μπορούμε να αγνοήσουμε το αριστερό 0. Αν αγνοήσουμε αυτό το 0 θα είναι σαν να πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με το 2. προσθέτουμε επιπλέον μηδενικά στο δεξιό άκρο (και όχι στο αριστερό), και πάλι επειδή πρόκειται για κλασματικό μέρος. Η προσθήκημηδενικών στο δεξιό άκρο ενόςκλασματικού μέρους δεν το επηρεάζει, αλλά η προσθήκη στο αριστερό άκρο προκαλεί τη διαίρεση του αριθμού με κάποια δύναμη του 2. Ο αριθμός στη μνήμη καταλαμβάνει 32 μπιτ και έχει ως εξής: πρόσημο εκθέτης σημαινόμενο τμήμα 0 10000101 01000111001000000000000 22
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 14 Ερμηνεύστε τον ακόλουθο αριθμό 32 μπιτ κινητής υποδιαστολής: 1 01111100 11001100000000000000000 Λύση Το τελευταίο αριστερά μπιτ είναι το πρόσημο ( ) Τα επόμενα 8 μπιτ 01111100, στο δεκαδικό είναι ο αριθμός 124. Αν αφαιρέσουμε 127 παίρνουμε τον εκθέτη 3 Τα επόμενα 23 μπιτ αποτελούν το σημαινόμενο τμήμα. Αγνοώντας τα επιπλέον μηδενικά έχουμε ως αποτέλεσμα 110011. Αφού προσθέσουμε το 1 στα αριστερά της υποδιαστολής, ο κανονικοποιημένος αριθμός στο δυαδικό έχει ως εξής: -2-3 x 1,110011 23
Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής - 13 Eρμηνεία ενός αριθμού 32 μπιτ, αποθηκευμένου στη μνήμη με τη μορφή κινητής υποδιαστολής. Το τελευταίο αριστερά μπιτ καθορίζει το πρόσημο. Τα επόμενα 8 μπιτ μετατρέπονται στο δεκαδικό. Από το αποτέλεσμα αφαιρείται το 127. Έτσι έχουμε τον εκθέτη. Στα επόμενα 23 μπιτ προστίθεται το 1, καθώς και μια υποδιαστολή. Τα επιπλέον 0 στα δεξιά μπορούν να αγνοηθούν. Η υποδιαστολή μεταφέρεται στη σωστή θέση με τη χρήση της τιμής του εκθέτη. Το ακέραιο μέρος μετατρέπεται στο δεκαδικό σύστημα. Το κλασματικό μέρος μετατρέπεται στο δεκαδικό σύστημα. Το ακέραιο και το κλασματικό μέρος συνδυάζονται 24
Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής
Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής Προσθέστε δύο αριθμούς κινητής υποδιαστολής 0 10000100 10110000000000000000000 0 10000010 01100000000000000000000 Λύση Ο εκθέτης του πρώτου αριθμού είναι 132 127, δηλαδή 5. Ο εκθέτης του δεύτερου αριθμού είναι 130 127, δηλαδή 3. Άρα οι αριθμοί έχουν ως εξής: +2 5 1,1011 +2 3 1,011 26
Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής Εξισώνουμε τους εκθέτες και προσθέτουμε: +2 5 1,10110 +2 5 0,01011 --------------------------------------- +2 5 10,00001 Τώρα κανονικοποιούμε το αποτέλεσμα: +2 6 1,000001 O αριθμός αποθηκεύεται στον υπολογιστή με την εξής μορφή: 0 10000101 0000010000000000000000000 + (6+127=133) (το κλασματικό μέρος του 1,000001) 27
28 Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής Ελέγχονται τα πρόσημα. Αν τα πρόσημα είναι τα ίδια, προστίθενται οι αριθμοί και αντιστοιχίζεται το πρόσημο στο αποτέλεσμα. Αν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, συγκρίνονται οι απόλυτες τιμές, αφαιρείται η μικρότερη από τη μεγαλύτερη, και χρησιμοποιείται το πρόσημο της μεγαλύτερης στο αποτέλεσμα. Μετακινούνται οι υποδιαστολές ώστε να εξισωθούν οι εκθέτες. Αυτό σημαίνει ότι αν οι εκθέτες δεν είναι ίδιοι, μετατίθεται προς τα αριστερά η υποδιαστολή του αριθμού με τον μικρότερο εκθέτη ώστε οι εκθέτες να εξισωθούν. Προστίθενται ή αφαιρούνται τα δεκαδικά μέρη σημαινόμενα τμήματα (τόσο συμπεριλαμβάνοντας το ακέραιο μέρος όσο και το κλασματικό μέρος). Κανονικοποιείται το αποτέλεσμα, πριν από την αποθήκευσή του στη μνήμη. Γίνεται έλεγχος για υπερχείλιση.