Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α & Β ΜΑΔΑΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι συνεχής σε έν σημείο o του πεδίου ορισμού της;. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι συνεχής ; 3. Ν διτυπωθεί το θεώρημ που φορά τη συνέχει κι τις πράξεις μετξύ συνρτήσεων. 4. Τι ισχύει γι τη συνέχει σύνθετης συνάρτησης; 5. Πότε μι συνάρτηση f λέγετι συνεχής στο νοικτό διάστημ ( ab, ) κι πότε στο κλειστό διάστημ [ ab, ]; 6. Ν διτυπωθεί το Θεώρημ Bolzano. 7. Ν διτυπωθεί κι ν ποδειχθεί το Θεώρημ ενδιάμεσων τιμών. 8. Ν διτυπωθεί το Θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής. 9. Πως ρίσκουμε το σύνολο τιμών μις συνάρτησης; ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ], η εξίσωση f () = δεν έχει ρίζ στο (, ) κι υπάρχει ξ Î (, ) ώστε f (ξ) <, τότε θ ισχύει f () < γι κάθε Î (, ). Σ Λ. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ], κι πίρνει δύο διφορετικές τιμές f ( ), f ( ) με, Î [, ], τότε πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f ( ) κι f ( ). Σ Λ 3. Αν γι μι συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( ) = κι f ( ) = 4, τότε υπάρχει Î (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = e. 4. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, ], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (), f ()]. Σ Λ 5. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, ], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (), f ()]. Σ Λ 6. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [, ] με f () ¹ f (), πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των f () κι f (). Σ Λ 7. Aν ( - ) ( + 5) f () (3 + ), τότε η f είνι συνεχής στο. Σ Λ 8. Aν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ), τότε το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( lim f (), + Σ Λ 9. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, ]. Αν η f είνι - στο [, ], τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο [, ]. Σ Λ. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο με f ( ) ¹, τότε κοντά στο οι τιμές της f είνι ομόσημες του f ( ). Σ Λ. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ, τότε η ντίστροφή της είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο f (Δ). Σ Λ. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ είνι συνεχής κι - στο Δ, τότε η συνάρτηση f - είνι συνεχής στο f (Δ). Σ Λ 3. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. 4. Έστω η συνάρτηση f () = ïî ï í ì +, <. Ισχύει ότι η f είνι συνεχής στο R - {}. -, ³ Σ Σ Σ Λ Λ Λ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
5. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής στο D f. Σ Λ 6. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής. - 3 7. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g δεν είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. Σ Λ 8. Αν οι συνρτήσεις f, g δεν είνι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. Σ Λ 9. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε κι η f είνι συνεχής στο. Σ Λ Σ Λ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΚΕΝΥ Ν συμπληρώσετε το σύνολο τιμών γι κθεμιά πό τις πρκάτω ισότητες: i. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο [, ] ii. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, ) iii. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο [, ) iv. Αν f συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, ] v. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο [, ] vi. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο (, ) vii. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο [, ) viii. Αν f συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο (, ] ( ) f ab, =... ab τότε [ ] ab τότε (( )) ab τότε f ([ ab )) = ab τότε f ( ab ] = ab τότε ([ ]) ab τότε (( )) ab τότε [ ) ab τότε f ( ab ] = f ab, =...,...,... f ab, =... f ab, =... ( ) f ab, =...,... ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ì - 5 + 6 ï, ¹ 3. Δίνετι η συνάρτηση f () = í - 3. Τότε ισχύει ï î, = 3 Α. η f δεν είνι συνεχής στο 3 B. η f είνι συνεχής στο 3 ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
Γ. η f γι > 3 είνι γνησίως φθίνουσ Δ. δεν υπάρχει το E. lim f () ¹ f () lim f (). Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R η οποί είνι συνεχής κι -. Τότε η f Α. είνι πάντοτε γνησίως ύξουσ B. δεν μπορεί ν είνι άρτι Γ. είνι πάντοτε περιττή Δ. f () = f (- ) E. είνι στθερή συνάρτηση ìεφ (π) ï, ¹ 3. Αν η συνάρτηση f () = í είνι συνεχής στο, τότε το κ είνι ίσο με ï î κ, = π Α. Β. Γ. π Δ. Ε. - π 4. Δίνοντι οι πρκάτω γρφικές πρστάσεις κάποιων συνρτήσεων f, g, h, φ, t. C f C g () () C h C φ C t (γ) (δ) (ε) Τότε οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Bolzano στο διάστημ [, ] ισχύουν γι την περίπτωση Α. της συνάρτησης f Β. της συνάρτησης g Γ. της συνάρτησης h Δ. της συνάρτησης φ Ε. της συνάρτησης t 5. Στ πρκάτω σχήμτ φίνοντι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f, g, h, φ, t. Γι ποι πό τις συνρτήσεις ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος του Bolzano στο διάστημ [, ]; Α. C f B. C g ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 3 πό 3
C φ C h Γ. Δ. Ε. C t 6. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] κι ισχύει f () f () >, τότε πό τις πρκάτω προτάσεις σωστή είνι πάντοτε η Α. f () ³ γι κάθε Î [, ] Β. δεν υπάρχει ξ Î (, ) ώστε f (ξ) = Γ. η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ] Δ. η C f δεν τέμνει ποτέ τον άξον Ε. κμί πό τις προηγούμενες προτάσεις 7. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. περισσότερες πό μί ρίζες Β. κμί ρίζ Γ. μόνο μί ρίζ Δ. δύο ρίζες f() O f() o Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 8. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. δύο ρίζες Β. κμί ρίζ f() O o Γ. περισσότερες πό μί ρίζες Δ. μόνο μί ρίζ f() Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 9. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. (f (), f ()) Β. [f (), f ()] Γ. (f (), f ()) Δ. [f (), f ()] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f() f() O ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 4 πό 3
ì - 4 ï, ¹. Έστω συνάρτηση f () = í - κι οι προτάσεις: ï î 6, = Ι. υπάρχει το lim f () ΙΙ. η f ορίζετι στο ΙΙΙ. η f είνι συνεχής στο. Τότε ληθεύουν Α. μόνο η Ι Β. μόνο η ΙΙ Γ. μόνο η Ι ή η ΙΙ Δ. κμί πό τις τρεις Ε. η ΙΙΙ. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. (f (), f ()) Β. [f (), f ()] Γ. (f (), f ()) Δ. [f (), f ()] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f() f() O. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. κμί ρίζ Β. κριώς τρεις ρίζες Γ. μόνο μί ρίζ Δ. το πολύ μί ρίζ Ε. τουλάχιστον τέσσερις ρίζες 3. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f φίνετι στο σχήμ, τότε δεν ισχύει ότι Α. στο διάστημ (, ) η f () > Β. στο διάστημ (, 3 ) η f () < Γ. στο διάστημ ( 3, 4 ) η f () > Δ. στ διστήμτ (-, ) κι ( 4, + ) η f () < f() f() 3 4 Ε. στο διάστημ (, 4 ) η f () = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 4. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f ()] Β. (f ( ε ), f ( μ )) Γ. [f (), f ()] Δ. [f ( ε ), f ( μ )] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f( μ) f() f() f( ε ) μ ε 5. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [, ] κι γνησίως φθίνουσ. Τότε το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f ()] Β. [f (), f ()] Γ. [, ] Δ. (f (), f ()) Ε. το R 6. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι οι προτάσεις: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 5 πό 3
Ι. f συνεχής ΙΙ. f άρτι ΙΙΙ. f γνησίως μονότονη Η ντίστροφη της f υπάρχει, ότν ισχύει Α. η Ι Β. η ΙΙ Γ. οι Ι κι ΙΙ Δ. η ΙΙΙ Ε. η Ι ή η ΙΙ 7. Δίνετι η συνάρτηση f με f () = 3 + - 3 -. Τότε λάθος είνι Α. f (- ) > Β. f () < Γ. η f είνι συνεχής στο [-, ] Δ. υπάρχει Î (-, ) ώστε f ( ) = Ε. f (- ) f () > 8. Στο διπλνό σχήμ φίνετι η γρφική πράστση μι συνάρτησης f. Τότε ισχύει Α. Β. Γ. lim f () = 8 + lim f () = 4 8 4 lim f () = 4 Δ. + + 5 Ε. η f δεν είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της lim f () ¹ 5 5 lim f () - 5 ïì ln (- ), Î(-, ) 9. Δίνετι η συνάρτηση f () = í. Τότε: ïî +, Î[, + ) Α. η f δεν είνι συνεχής στο (-, ) B. η f δεν είνι συνεχής στο (, + ) Γ. η f δεν είνι συνεχής στο Δ. E. lim f () = - lim f () = - + ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Δεν έχει νόημ ν εξετάσουμε ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής ή όχι σε έν σημείο που δεν νήκει στο πεδίο ορισμού της.. Είνι λάθος ν λέμε ότι μι συνάρτηση που είνι συνεχής στο σύνολο Α έχει γρφική πράστση που δεν δικόπτετι. Η συνέχει είνι πό τις σικές ιδιότητες μις συνάρτησης που νφέρετι στ στοιχεί του πεδίου ορισμού της. Πράδειγμ η f ( ) =, είνι συνεχής, ενώ η γρφική της πράστση ποτελείτι πό δυο κλάδους. 3. Μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της ότν: Δεν υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της, f ( ), στο σημείο. 4. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, ν κι μόνο ν, lim f ( ) = f ( ) lim f( + h) = f( ) h lim f( h) = f( ) h ή [ f f ] lim ( )- ( ) = ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 6 πό 3
5. Αν έστω κι μί πό τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano δεν ισχύουν τότε δεν μπορούμε ν εφρμόσουμε το θεώρημ. Δηλδή ν: f είνι συνεχής στο [,] λλά ισχύει f()f() > τότε η εξίσωση f() = μπορεί ν έχει ή κι ν μην έχει ρίζ στο (,). η f δεν είνι συνεχής στο [,] κι ισχύει f()f() <, τότε δεν είνι έιο ότι θ υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της f() = στο (,). 6. Το ντίστροφο του Θ. Bolzano δεν ισχύει. Π.χ. f( ) =í î ì - ³, 3, <. Γι την f δεν ισχύει το Θ. Bolzano στο [-3,3] όμως η f ( ) = έχει ρίζ στο ( 3,3) 7. Στις σκήσεις που ζητείτι ν ποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( ab, ), εξετάζουμε ν ισχύει το Θ. Bolzano γι την f στο [ ab, ] ή σε κάποιο υποσύνολό του. 8. Ύπρξη μις τουλάχιστον ρίζς στο [ ab.(ασκ., ] 4). Αν η f είνι συνεχής στο [,] κι f()f(), τότε υπάρχει τουλάχιστον έν Î [,] τέτοιο ώστε f( ) =. Εξετάζουμε τις δύο περιπτώσεις: Αν f()f() = τότε f()= ή f() =, δηλδή ή είνι ρίζ της εξίσωσης.. Αν f()f() < τότε εφρμόζετι το θεώρημ του Bolzano, οπότε υπάρχει τουλάχιστον μί ρίζ στο (,). Άρ σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον μί ρίζ της εξίσωσης f() = στο [,]. 9. Γι ν ποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει ν τουλάχιστον ρίζες σε έν διάστημ (,), χωρίζουμε το (,) σε ν κτάλληλ υποδιστήμτ, τ οποί ν μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεί κι εφρμόζουμε το Θ. Bolzano γι την f σε κθέν πό τ διστήμτ υτά.. Αν η εξίσωση είνι της μορφής f ( ) = g( ), θεωρούμε την h( ) = f ( ) - g( ).. Αν θέλουμε ν δείξουμε ότι οι γρφικές πρστάσεις των f, g τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο του a b. ( ab, ), ρκεί ν δείξουμε ότι η εξίσωση f ( ) = g( ) έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (, ). Αν δεν δίνετι το διάστημ στο οποίο νήκει η ρίζ, προσπθούμε δίνοντς τιμές ν ρούμε δυο ετερόσημες. 3. Στις σκήσεις που ζητείτι ν ποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει μι μόνο ρίζ στο ( ab,, ) τότε πρώτ θ ποδείξουμε ότι η ( ) μονότονη ή χρησιμοποιούμε πγωγή σε άτοπο. 4. Θ.Bolzano σε συνάρτηση που δεν ορίζετι στ άκρ διστήμτος. (Ασκ. 4). 5. Ότν στο πρόλημ έχουμε τρείς ή περισσότερες τιμές της f(), η ντιμετώπιση γίνετι συνήθως με το Θ.Ε.Μ.Τ. κι στη συνέχει με το Θ.Ε.Τ. 6. Αν f ( ) = g ( ) γι κάθε Î A.Από υτή τη σχέση δεν μπορούμε ν συμπεράνουμε ότι f( ) = g ( ) γι κάθε -. f = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο ( a, b) κι μετά ή δείχνουμε ότι η f είνι γνησίως Î A ή f( ) =-g ( ) γι κάθε Î A. Το σωστό είνι ( ), ( ) ìï g ÎA f( ) =í ïî -, Î g A. Αν όμως γνωρίζουμε επιπλέον ότι η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο Α τότε προκύπτει ότι f( ) = ( ) κάθε Î A ή f( ) =-g ( ) γι κάθε Î A. Πράδειγμ: f( )= κι g( )= γι τις οποίες ισχύει ίσες ή ντίθετες λλά ισχύει: ( ), [, ) ( ), (,) ìï g Î + f( ) =í ïî - g Î - f ( ) = g ( ) γι κάθε Î. g γι. Όμως δεν είνι ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 7 πό 3
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ì -, an. Δίνετι η συνάρτηση ï f() = ía +b, an < <, όπου, Î. ï î + ln, an ³ Ν υπολογίσετε τ κι έτσι, ώστε η f ν είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. ---------------------------------------------------------------------------------------- ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4--------------- 8 6, 5. Δίνετι η συνάρτηση f() =í ì - + an < <. 5- î( a +b ) ln( - 5 + e) + ( a+ )e, an ³ 5 lim f() lim f (). i. Ν ρεθούν τ κι 5-5 + ii. Ν ρεθούν τ, Î, ώστε η f ν είνι συνεχής στο = 5. iii. Γι τις τιμές των κι του ερωτήμτος ii) ν ρείτε το lim f (). + ---------------------------------------------------------------------------------------- ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ --------------- f() - e + 3. Δίνετι η συνάρτηση f, συνεχής στο, γι την οποί ισχύει: lim = 5. Ν ρείτε το f(). hm ------------------------------------------------------------------------------------------ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ------------- 4 4 4. Δίνετι η συνάρτηση f:, γι την οποί ισχύει: - f() + γι κάθε Î. Ν ποδείξετε ότι: i. f()=, ii. η συνάρτηση f είνι συνεχής στο =. ---------------------------------------------------------------------------------------- ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ --------------- 5. Δίνετι η συνάρτηση f, συνεχής στο =, γι την οποί ισχύει: f() 4 -hm γι κάθε Î. Ν ρείτε το f(). 6. Δίνετι η συνάρτηση f:, γι την οποί ισχύει: 3f() = + hm (f()), Î. Ν ποδείξετε ότι: i. f(), Î ii. η f είνι συνεχής στο =. f :, +, γι την οποί ισχύει: f () = f () + f (), γι κάθε, >. 7. Δίνετι η συνάρτηση ( ) Ν ποδείξετε ότι: i. f()= ii. ν η f είνι συνεχής στο =, τότε η f είνι συνεχής. Î,, ν δείξετε ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον 8. Αν η f είνι συνεχής στο [,] κι είνι < f() < γι κάθε [ ] ξî(,), ώστε ν ισχύει: f (ξ) + f(ξ)=ξ +ξ. 4 9. Ν δείξετε ότι η εξίσωση - + ab + = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (,]. Δίνετι ότι +=.. Έστω f() = 4-3 κι g() = - +. Ν ποδειχθεί ότι οι γρφικές πρστάσεις των f κι g τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο (,).. Έστω f() = 4(+ ) 4 + (++ ) - κι g() = 8(++ ) 3 + (-6+ ) + 3, aî. Ν ποδειχθεί ότι οι γρφικές πρστάσεις των f κι g τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο [-,]. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 8 πό 3
+ f( a)+f( b) + f( a) -f( b) > ισχύει γι κάθε. Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο. Αν η νίσωση ( ) ( ) Î, ν δείξετε ότι η C f της συνάρτησης f τέμνει τον άξον σε έν τουλάχιστον σημείο. f = + 5 - +. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον, Î (, ), τέτοιο 3. Δίνετι η συνάρτηση ( ) 5 3 ώστε ν ισχύει: f ( ) = 5. 4. Έστω f συνεχής στο [, ] με f( a ) ¹ f( b) κι κ, λ θετικοί ριθμοί. Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει, έν τουλάχιστον kf( a ) +lf( b) Î ( a, b), ώστε ν ισχύει: f(ξ) =. k+l 5. Αν γι τον μιγδικό ριθμό z = +i ισχύει: z = z +, ν ποδείξετε ότι: z i. Re(z ) = - ii. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήμτος (i), ν επιπλέον f συνεχής στο [,3], f()=>, f(3)= κι >, ν ποδείξετε ότι: υπάρχει Î (,3) τέτοιο ώστε f( )=. 6. Έστω, Î, με <. Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε γî(,) υπάρχει μονδικό ξ Î(,), ώστε γ = ξ + (-ξ). 7. Ν ποδείξτε ότι : 4 c + c + i. η εξίσωση + = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (-,). c+ c- efc sfc p p ii. η εξίσωση + = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (, ). 6c-p 4c-p 6 4 8. Γι μι συνεχή συνάρτηση f στο [,] ισχύει f() = κι f() = 4. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ, ν δείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ που νήκει στο (,) ώστε: æö æö æ3ö æ4ö fç + fç + fç + fç 5 5 5 5 f(ξ) = è ø è ø è ø è ø. 4 Î,4 τέτοιο ώστε: 9. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,4]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει [ ] f () + 3f () + 4f (3) = 9f ( ).. Γι μι συνάρτηση f συνεχή στο, ισχύει ότι: f() lim = 4 κι 4ημ(-) (-)f() - 4 " Î. - Ν δειχθεί ότι η C f τέμνει τη γρφική πράστση της προλής ψ = - + σε σημείο με τετμημένη που νήκει στο διάστημ (,).. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι - στο [, ] τότε ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως μονότονη στο [, ]. ---. Ν ποδείξετε ότι κάθε πολυώνυμο περιττού θμού έχει τουλάχιστον μι πργμτική ρίζ. --- ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 9 πό 3
e é p ù 3. Ν ελέγξετε ν η συνάρτηση f ( ) = sun + 5hm - πίρνει την τιμή - στο διάστημ, 3 ê ë ú û. --- 4. Έστω συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει f () + = 5 γι κάθε ÎΔ = (,5). i. Ν ποδείξετε ότι η f: Δεν έχει ρίζες στο Δ. Έχει στθερό πρόσημο στο Δ. ii. Ν ρεθεί ο τύπος της f στο Δ, ν επιπλέον είνι γνωστό ότι f() = -. -- 5. Ν ρεθούν όλες οι συνεχείς συνρτήσεις f : με την ιδιότητ: f () f ()ημ =, " Î. 6. Ν ρεθούν όλες οι συνεχείς συνρτήσεις f : με την ιδιότητ f () = e f(), " Î. 7. Έστω συνεχής συνάρτηση f : [,] όπου,î με <. Ν δείξετε ότι η f είνι στθερή. - 8. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση e = + 8έχει κριώς μι ρίζ στο. 9. Ν ρείτε το πρόσημο των συνρτήσεων: i. f() = ημ + συν, -π π ii. f() = ημ + συν, π π iii. f() = -4 - - - 3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β 3. Έστω συνεχής συνάρτηση f: με f() ¹ γι κάθε Î, κι f() =- 3. Ν ρείτε το όριο ( ) 3 lim é f() - - 3+ ù + ë û. 3. Δίνοντι οι συνρτήσεις f() = + + γ κι g() = - + + γ με γ ¹. Αν ρ είνι ρίζ της f κι ρ είνι ρίζ της g με ρ <ρ, ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f(χ) +g()= έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (ρ, ρ ). 3. Έστω f,g συνρτήσεις με πεδίο ορισμού το Δ. Εάν γι κάθε χîδ η f είνι συνεχής κι f()-g() = c, cî τότε ν δείξετε ότι: Αν ρ, ρ δύο ετερόσημες ρίζες της f() = η εξίσωση g() = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο [ρ, ρ ]. 33. Έστω συνεχής συνάρτηση f στο διάστημ Δ = (,), γνησίως φθίνουσ στο (,γ] κι γνησίως ύξουσ στο [γ,) όπου γî(,).αν f(γ) = - κι limf () = κι limf () = 3, ν ρεθεί: a i. Το σύνολο τιμών της f. ii. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ()=, ÎΔ. 34. Έστω συνεχής συνάρτηση f: με f(4) = 5. Ν δείξετε ότι η f είνι στθερή κι ν ρείτε τον τύπο της. 35. Δίνετι η συνάρτηση f() = e + +. Ν δείξετε ότι: i. η f είνι γνησίως ύξουσ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
ii. Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f. iii. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει μι μόνο ρίζ. 36. Έστω συνεχής συνάρτηση f :[-,4] με f() ¹ γι κάθε [,4] πράστση διέρχετι πό το σημείο A( -, - 5). i. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f () 6 f () ii. Ν ρείτε το όριο lim ( f ( ) 3 5 3) - p + -. Î-, της οποίς η γρφική + = - έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ (,4) 37. Δίνετι η συνάρτηση f() = 5- -- ln. i. Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Ν μελετήσετε την f ως προς την μονοτονί. iii. Ν ρείτε το σύνολο τιμών της f. -. 38. ι συνρτήσεις f κι g είνι συνεχείς στο διάστημ [-, ] κι ισχύουν: Η f είνι περιττή, Η g είνι γνησίως φθίνουσ με g() = - κι g(-) =. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν Î (-, ) τέτοιο ώστε: f(g( )) + f ( ) + g( ) =. Σε ποιο σημείο χρησιμοποιήθηκε η υπόθεση ότι η g είνι γνησίως φθίνουσ; 39. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο [, ], με >. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ Î (, ) f ( ) a b τέτοιο ώστε: = + a - b -. 4. (Ύπρξη μις τουλάχιστον ρίζς στο [ ab.), ] Έστω f: με τύπο f() = + 3-7 κι g: με f() - g() = λ, l Î. () N ποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο [ρ, ρ ], όπου ρ, ρ με ρ < ρ οι ρίζες της f() =. ΛΥΣΗ Από την () έχουμε g() = f() - λ, λî R Η g είνι συνεχής στο [ρ, ρ ] ως άθροισμ συνεχών συνρτήσεων Είνι g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ = - 7λ, φού g(ρ ) = f(ρ ) - λρ = - λρ = - λρ g(ρ )= f(ρ ) - λρ = - λρ = - λρ g a Κι rr = =- 7 Δικρίνουμε τις περιπτώσεις Αν λ ¹, Τότε g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ = - 7λ <, οπότε σύμφων με το θεώρημ Bolzano υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της g() = στο διάστημ (ρ, ρ ). Αν λ =. Τότε g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ =, οπότε g(ρ ) = ή g(ρ ) = κι η g() έχει ρίζες τις ρ ή ρ. Επομένως σε κάθε περίπτωση η εξίσωση g() = έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο [ρ,ρ ]. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
4. (Θ.Bolzano σε συνάρτηση που δεν ορίζετι στ άκρ διστήμτος) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ln = - 4 + έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο (,). ΛΥΣΗ Θεωρούμε την f() = ln - + 4 -, (,] Î. Πρτηρούμε ότι lim f( ) lim ( ln 4 ) Αφού + + + = - + - =- διότι lim ln + lim - + 4 - =-. = - κι ( ) + lim f( ) = -, υπάρχει Î (,) τέτοιο ώστε f( ) < κοντά στο. Επομένως: Η f είνι συνεχής στο [, ] ως πράξεις μετξύ συνεχών συνρτήσεων. Είνι f( ) < κι f () = ln- + 4- = > δηλδή ισχύει ότι f( ) f() <. πότε σύμφων με το Θ.Bolzano υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ της f( ) ln 4 ln 4, Í,. 4. Έστω η συνεχής κι περιττή συνάρτηση f : με lim f ( ) =. Ν δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C f με τετγμένη. = Û - + - = Û = - + στο διάστημ ( ) ( ) 43. i. Ν ρεθούν τ lim + hm κι lim, - k * kî. ì ï hm, an > ï ii. Ν ρεθεί ο kî ώστε η συνάρτηση f() = í k-3, an =, ν είνι συνεχής στο =. ï k ï, an < î 44. i. Έστω f : συνεχής συνάρτηση με f() + f() + f(3) =. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει μι τουλάχιστον ρίζ. f = f. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ii. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο [, ], με ( ) ( ) æ ö f ( ) = f ç + έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο [, ]. è 3ø 45. Έστω συνεχής συνάρτηση f : με f( ) = κι f () =. Αν γι κάθε Î ισχύει ότι f ()f (f ()) =,ν ρείτε τους ριθμούς f(), f () κι f (5). 46. Έστω συνάρτηση f :[,3 ] συνεχής κι γνησίως ύξουσ. Αν <f()<3, ν δείξετε ότι: i. Η ευθεί =- + 3 τέμνει τη γρφική πράστση Cf της συνάρτησης f σε έν κριώς σημείο A(, ), με τετμημένη Î ( ),3. ii. Υπάρχει μονδικός ριθμός (,3) Î έτσι ώστε: f ( ) æö æ3ö æ5ö f ç + f ç + f ç = è ø è ø è ø. 3 f :,4 συνεχής κι γνησίως ύξουσ. Αν f()> κι f () f () f (4) = 8, ν 47. Έστω συνάρτηση [ ] δείξετε ότι υπάρχει [,4] Î έτσι ώστε: f ( ) =. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ πό 3
48. Μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο (,4). Ν ποδείξετε ότι υπάρχει Î(,4) τέτοιο ώστε: f () + f () + 3f (3) = 6f ( ). 49. Έστω f : z = + f i, Î. συνεχής συνάρτηση κι οι μιγδικοί ριθμοί ( ) i. Αν Im( z ) = γι κάθε Î, ν ρείτε τ ii. Αν lim z - = γι κάθε Î [,], τότε: Ν λύσετε την εξίσωση f( ) =. Ν ρείτε τον τύπο της συνάρτησης f ν ( ) z Im z >. - sun ( ) Rez 5. Έστω συνεχής συνάρτηση f :[,5 ] με f() > κι ο μιγδικός κι lim ( z ) -. + - 5+ f( 5i ) z= ÎI. Ν ποδειχθεί ότι -f( i ) η εξίσωση f() = έχει μι τουλάχιστον λύση στο διάστημ (,5. ) 5. Δίνετι η συνάρτηση f() = 3 + λ +3, όπου λ στθερός πργμτικός ριθμός με l <- 4. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει 3 ρίζες πργμτικές. 5. Έστω f συνεχής στο (, ], με ( ) 3f() + lim = f = γι την οποί ισχύει: - f() hm, γι κοντά στο. ν δείξετε ότι η C f έχει τουλάχιστον έν κοινό σημείο με τον. Αν - - 53. Έστω συνεχής συνάρτηση f :, με f ( ) ¹ γι κάθε Î, f ( ) = κι f ( 5) = 3 i. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ ÎR ώστε f(ξ) =. ii. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει [ ], Î ώστε f ( ) f ( ) f ( ) =. iii. Αν γι κάθε Î ισχύει ότι f ()f (f ()) =,ν ρείτε τους ριθμούς f æ ç ö è ø, f () κι f(). ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ Σελίδ 3 πό 3