Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Transcript

1 Φ4: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ -3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3ο ΓΕΛ Ν ΣΜΥΡΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ

2 Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ --

3 ΘΕΜΑ Α-ΘΕΩΡΙΑ Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο o του πεδίου ορισμού της; Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής ; 3 Να διατυπωθεί το θεώρημα που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις μεταξύ συναρτήσεων 4 Τι ισχύει για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης; 5 Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο ανοικτό διάστημα ( ab, ) και πότε στο κλειστό διάστημα [ ab;, ] 6 Να διατυπωθεί το Θεώρημα Bolzano 7 Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Bolzano 8 Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών 9 Να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών Να διατυπωθεί το Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Να συμπληρώσετε το σύνολο τιμών σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: iαν f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, ] iiαν f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ) iiiαν f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, ) ivαν f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ] vαν f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ] viαν f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ) viiαν f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ) viiiαν f συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (, ] ( ) [ ] a b τότε f [ ab, ] =, ab τότε f (( ab, )) = (,) ab τότε f [ ab ) = ab τότε f ( ab ] = a b τότε f ([ ab, ]) = [,] ab τότε f ( ab ) = ab τότε f [ ab ) = ab τότε f ( ab ] = (, ) [,) (, ) (,] (, ) (,) (, ) (,] (, ) [,) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Όταν λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής, εννοούμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής ή όχι σε ένα σημείο που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε είναι συνεχής και σε κάθε υποσύνολό του 3 Είναι λάθος να λέμε ότι μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο σύνολο Α έχει γραφική παράσταση που δεν διακόπτεται Η συνέχεια είναι από τις βασικές ιδιότητες μιας συνάρτησης που αναφέρεται στα στοιχεία του πεδίου ορισμού της Παράδειγμα η f ( ) =, είναι συνεχής, ενώ η γραφική της παράσταση αποτελείται από δυο κλάδους 4 Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -3-

4 Δεν υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, f ( ), στο σημείο 5 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν, f ( ) = f ( ) f f lim h lim ( )- ( ) = ή ή [ ] lim f( + h) = f( ) ή lim f( + kh) = f( ), k ¹ ή lim f( h) = f( ), ¹ h h 6 Αν η f είναι ορισμένη στο [ ab, ] τότε για να είναι συνεχής στα άκρα α, β θα πρέπει να ισχύει: lim f( ) = f( a) και lim f( ) f( b) a+ b- = f 7 Αν οι συναρτήσεις f ± g, f g,, f είναι συνεχείς στο g τότε δεν σημαίνει πάντα, ότι οιf, g είναι συνεχείς στο Πχ ì, ³ f( ) =í î -, < και ì-, ³ g ( ) =í î, < 8 Αν δίνεται ότι μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι συνεχής στο τότε συμπεραίνουμε τα εξής: Το Î A Υπάρχει το lim f ( ) Το lim f ( ) είναι πραγματικός αριθμός lim f( ) = f( ) 9 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο τότε και οι k f ± l g είναι συνεχείς στο με κ, λ πραγματικούς αριθμούς Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο ì θετικά ή αρνητικά πχ, Î,3 f ( ) = í( -3) î, = 3 Î A αν τουλάχιστον ένα από τα πλευρικά όρια απειρίζεται [ ) Αν έστω και μία από τις προϋποθέσεις του Θ Bolzano δεν ισχύουν τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Δηλαδή αν:, f f f = μπορεί να έχει ή και να μην f είναι συνεχής στο [ abαλλά ] ισχύει ( a) ( b ) > τότε η εξίσωση ( ) έχει ρίζα στο ( ab, ) η f δεν είναι συνεχής στο [ ab, ] και ισχύει ( ) ( ) τουλάχιστον ρίζα της f ( ) = στο ( ab, ) Το αντίστροφο του Θ Bolzano δεν ισχύει Πχ Για την f δεν ισχύει το Θ Bolzano στο [ 3,3] f a f b <, τότε δεν είναι βέβαιο ότι θα υπάρχει μια ì - ³, f( ) =í î 3, < f = έχει ρίζα στο ( 3,3) - όμως η ( ) - 3 Στις ασκήσεις που ζητείται να αποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ab, ), εξετάζουμε αν ισχύει το Θ Bolzano για την f στο [ ab, ] ή σε κάποιο υποσύνολό του Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -4-

5 Αν δεν δίνεται το διάστημα στο οποίο ανήκει η ρίζα, προσπαθούμε δίνοντας τιμές να βρούμε δυο ετερόσημες 4 Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας στο [ ab, ] Αν η f είναι συνεχής στο [, ] ( ) ab και f ( a) f ( b ), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα [ ab] Î τέτοιο ώστε, f = Εξετάζουμε τις δύο περιπτώσεις: Αν f(α)f(β) = τότε f(α)= ή f(β) =, δηλαδή α ή β είναι ρίζα της εξίσωσης Αν f(α)f(β) < τότε εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano, οπότε υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο( ab, ) Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης f() = στο [ ab, ] 5 Για να αποδείξουμε ότι η f= ( ) έχει ν τουλάχιστον ρίζες σε ένα διάστημα ( ab, ), χωρίζουμε το [ ab, ] σε ν κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το Θ Bolzano για την f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά 6 Αν η εξίσωση είναι της μορφής f() = g (), θεωρούμε την h () = f() - g () 7 Αν θέλουμε να δείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f, του (, ) g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο ab, αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f() = g () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ( ab, ) 8 Στις ασκήσεις που ζητείται να αποδείξουμε ότι η f( ) = έχει μια μόνο ρίζα στο (, ) θα αποδείξουμε ότι η f ( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) γνησίως μονότονη ή χρησιμοποιούμε απαγωγή σε άτοπο ab, τότε πρώτα ab και μετά ή δείχνουμε ότι η f είναι 9 Αν η συνεχής συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα D, τότε η εικόνα του D μέσω της f (δηλαδή η f ( ) D ) θα είναι διάστημα, δηλαδή δεν είναι ένωση διαστημάτων, με την προϋπόθεση ότι η f δεν είναι σταθερή Αν η f είναι σταθερή συνάρτηση τότε το f ( D ) είναι ένα σημείο (μονοσύνολο) Το αντίστροφο του Θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών δεν ισχύει κατ' ανάγκη, δηλαδή αν μία συνάρτηση f f b, δεν σημαίνει ότι αυτή είναι ορισμένη στο [, ] συνεχής στο [ ab, ] ab, παίρνει κάθε τιμή μεταξύ του f ( a ) και του ( ) Η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα D είναι μία συνεχής γραμμή Αν η f ΔΕΝ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ab, ] τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές 3 Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα D, τότε η - f : f f D και έχει το ίδιο είδος αντίστροφη της, δηλαδή η ( D ) D είναι συνεχής στο ( ) μονοτονίας 4 Αν το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης περιέχει το μηδέν τότε η εξίσωση f( ) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα 5 Αν η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο [ ab, ] και επί πλέον ισχύει ( ) ( ) ακριβώς μία ρίζα στο ( ab, ) f a f b <, τότε η f έχει Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -5-

6 6 Από μια σχέση της μορφής f ( a) f ( b) f ( g) είναι μηδέν, ή οι δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι 7 Αν η f είναι συνεχής στο D και ισχύει: + + = συμπεραίνουμε ότι ή όλοι οι όροι του αθροίσματος f( ) ¹ για κάθε ÎD f ( ) > με ÎD, τότε f( ) > για κάθε ÎD Αν η f είναι συνεχής στο D και ισχύει: f( ) ¹ για κάθε ÎD f ( ) < με ÎD, τότε f( ) < για κάθε ÎD 8 Αν στην εξίσωση f ( ) g ( ) = υπάρχουν παρονομαστές που να μηδενίζονται για = a ή b απαλοιφή αυτών των παρονομαστών μετασχηματίζουμε την εξίσωση στη μορφή h( ) = =, τότε με 9 Αν έχουμε υπολογίσει το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f και θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τότε προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση σε μια άλλη ισοδύναμη, της μορφής f( ) = kk, Î 3 Αν ο αριθμός k ανήκει στο σύνολο τιμών της f και η f είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση f( ) = kk, Î έχει μοναδική ρίζα Το ίδιο ισχύει και για την ισοδύναμή της, την αρχική εξίσωση Αν ο αριθμός k δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f τότε η εξίσωση είναι αδύνατη 3 Ένας από τους τρόπους που χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f = k kî έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( ab, ),είναι το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών ( ), Ειδικά σε ασκήσεις που παρατηρούμε ότι το δεύτερο μέλος είναι ένας αριθμός (άθροισμα διαφορετικών τιμών της f ) της μορφής: ( ) + ( ) + + ( ) n f n f n f k k, προσπαθούμε, n+ n+ + nk χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της f, να αποδείξουμε ότι αυτός βρίσκεται μεταξύ των f ( a ) και ( ) Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών f b Όταν στο πρόβλημα έχουμε τρείς ή περισσότερες τιμές της f(), η αντιμετώπιση γίνεται συνήθως με το ΘΕΜΤ και στη συνέχεια με το ΘΕΤ 3 Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, αρκεί να δείξουμε ότι είναι συνεχής στο και ότι f ( ) ¹, για κάθε Î k Ένας τρόπος για να δείξουμε ότι μια ευθεία της μορφής e: y= k, Î έχει με τη γραφική παράσταση Î ab της συνάρτησης f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη (, ), είναι να εφαρμόσουμε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύοντας ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î ( ab, ), τέτοιο ώστε f ( ) = k Ένας άλλος τρόπος είναι να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g( ) = f ( ) - k σε κατάλληλο διάστημα 33 Αν έχουμε μία συνάρτηση f συνεχή και γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα D, τότε μπορούμε να βρούμε το σύνολο τιμών της f ανάλογα με το είδος της μονοτονίας της και τη μορφή του D Δηλαδή: Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -6-

7 ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ Πρέπει να προσέξουμε ότι στις περιπτώσεις που έχουμε ανοιχτά διαστήματα αντί για άκρο πραγματικό αριθμό μπορούμε να έχουμε το Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν ανάλογα συμπεράσματα 34 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής και - σε ένα διάστημα DÍ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο D (Η πρόταση για να χρησιμοποιηθεί στις γενικές εξετάσεις θέλει απόδειξη) Απόδειξη: Έστω, a b ÎD με a ¹ b Αφού η f είναι - ισχύει ότι f ( a) ¹ f ( b) Ας υποθέσουμε ότι a < b και f ( a) <f( b ) Θα δείξουμε ότι για κάθε kî ( ab, ) ισχύει f ( a) <f ( k) <f( b ) Θα εργασθούμε με την εις άτοπο απαγωγή Έστω δηλαδή f ( a) > f ( k) Επειδή η f στο διάστημα [ kb, ] είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του ( ) του f ( b ) Άρα αφού f ( k) <f ( a) <f( b ), υπάρχει Î ( kb) έτσι ώστε f ( ) =f ( ) άτοπο διότι η f είναι -, Ας υποθέσουμε τώρα ότι f ( k) > f ( b) Επειδή η f στο διάστημα [, ] αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του f( a ) και του f( k ) Άρα αφού f ( a) < f ( b) < f ( k ), υπάρχει Î ( ak, ) έτσι ώστε f ( ) =f ( ) η f είναι - Επίσης ισχύει ότι f ( k) ¹ f ( a) ¹ f( b) διότι η f είναι - f k και a που είναι ak είναι συνεχής, έχουμε σαν b που είναι άτοπο διότι Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -7-

8 Άρα ισχύει ότι f ( a) <f ( k) <f( b ) για κάθε k ( ab, ) τυχαίο [ ab, ] ÍD Με αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ Î δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 35 Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα Απόδειξη: Έστω P( ) n- n n- βαθμού με πραγματικούς συντελεστές Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω n lim P * = a + a + + a + a με a ¹, nî, Î ένα πολυώνυμο περιττού ( ) lim ( a n n ) ( ) lim ( a n n ) - - lim P + + n a >, τότε έχουμε: = = - οπότε υπάρχει a < τέτοιο ώστε να ισχύει ( ) P a < και = = + οπότε υπάρχει b > τέτοιο ώστε να ισχύει ( ) P b > Συνεπώς για την πολυωνυμική συνάρτηση P( ), με πεδίο ορισμού το, ισχύουν: Είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο διάστημα [ ab, ] Í P( a) P( b ) < Άρα σύμφωνα με το Θ Bolzano η εξίσωση P( ) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, ) συνεπώς και στο Ομοίως εργαζόμαστε αν n a < ab Í, 36 Αν για δυο συναρτήσεις f :A και g:a ισχύει: f() g () = για κάθε Î A, τότε δεν έπεται κατ ανάγκη ότι: f ( ) = για κάθε Î A ή g= ( ) για κάθε Î A ì, ì, Πράγματι, αν θεωρήσουμε πχ τις συναρτήσεις: f() =í και g () =í τότε για κάθε î, > î, > Î είναι f() g () =, αλλά δεν ισχύει f( ) = για κάθε Î ή g= ( ) για κάθε Î Για αυτό το λόγο εργαζόμαστε ως εξής: Με συμπλήρωση τετραγώνου καταλήγουμε σε μια ισότητα της μορφής ( f ( ) - k) = l Û g ( ) = l (), για κάθε Î, όπου ( ) ( ),, Για κάθε Î είναι g ( ) g( ) g = f -k klî με l > > Û ¹ και επειδή η g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Άρα για κάθε Î θα είναι ή g< ( ) ή g> ( ) Διακρίνουμε περιπτώσεις: Αν για κάθε Î είναι ( ) Αν για κάθε Î είναι ( ) g<, τότε από () έχουμε: g( ) f ( ) f ( ) =-l Û - k =-l Û = k - l g>, τότε: από () έχουμε g( ) f ( ) f ( ) Επομένως: ή f ( ) = k - l για κάθε Î ή f ( ) = k + l για κάθε Î = l Û - k = l Û = k + l Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -8-

9 ΘΕΜΑ Α - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], η εξίσωση f () = δεν έχει ρίζα στο (α, β) και υπάρχει ξ Î (α, β) ώστε f (ξ) <, τότε θα ισχύει f () < για κάθε Î (α, β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], και παίρνει δύο διαφορετικές τιμές f ( ), f ( ) με, Î [α, β], τότε παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f ( ) και f ( ) 3 Αν για μια συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( ) = και f ( ) = 4, τότε υπάρχει Î (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = e 4 Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι [f (α), f (β)] 5 Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι [f (β), f (α)] 6 Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] με f (α) ¹ f (β), παίρνει μόνο τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β) 7 Aν ( - ) ( + 5) f () (3 + ), τότε η f είναι συνεχής στο 8 Aν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ), τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( lim f (), lim f ()) + 9 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β] Αν η f είναι - στο [α, β], τότε είναι και γνησίως μονότονη στο [α, β] Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο με f ( ) ¹, τότε κοντά στο οι τιμές της f είναι ομόσημες του f ( ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f (Δ) Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι συνεχής και - στο Δ, τότε η συνάρτηση f - είναι συνεχής στο f (Δ) 3 Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή 4 Έστω η συνάρτηση ì +, < f() = í Ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο R - {} î -, ³ 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο 6 Αν οι συναρτήσεις f, g δεν είναι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε και η f είναι συνεχής στο 8 Αν η συνάρτηση f + g είναι συνεχής στο, τότε και οι συναρτήσεις f, g είναι οπωσδήποτε συνεχείς στο Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -9-

10 9 Αν οι συναρτήσεις f, g δεν είναι συνεχείς στο τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο, τότε και η Αν η f ( ) είναι συνεχής στο( -,) τότε η f ( ) f o g είναι συνεχής στο - είναι συνεχής στο (,3) Αν η f είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και συνεχής στο ÎD, τότε ισχύει: ( ) lim f ( ) f lim = 3 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και lim f( ) lim f( ) <, τότε η - + εξίσωση f ( ) = έχει μια τουλάχιστον πραγματική λύση 4 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ a, b ] και ισχύει ( ) ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [ a, b ] - f a f b, τότε η εξίσωση f ( ) = 5 Υπάρχει πολυώνυμο P( ) με διαδοχικές ρίζες τους αριθμούς,4,8 τέτοιο ώστε : P() P(3) P(5) P(7) < 6 Αν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο και ισχύει ( ) é ( ) οι f, g διατηρούν σταθερό πρόσημο στο f g - ù ³ ë û για κάθε Î τότε 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και αντιστρέψιμη στο με f - ( 3) = και ( ) η εξίσωση f ( ) = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα 8 Η εικόνα, f (( a, b )), ενός ανοικτού διαστήματος ( a, b ) συνάρτησης f είναι πάντοτε ένα ανοικτό διάστημα f - - =, τότε, μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής 9 Αν η συνάρτηση f: είναι συνεχής και μη σταθερή, τότε το σύνολο τιμών της μπορεί να είναι * το 3 Αν η συνάρτηση f: [ a, b ] είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, τότε το ( b ) ελάχιστη τιμή της f 3 Αν η συνάρτηση [, ] διάστημα [ a, b ] f είναι η f: a b έχει σύνολο τιμών το διάστημα( g, d ), τότε δεν είναι συνεχής στο Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ --

11 ΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ì , ¹ 3 Δίνεται η συνάρτηση f () = í - 3 Τότε ισχύει: î, = 3 Α η f δεν είναι συνεχής στο 3 B η f είναι συνεχής στο 3 Γ η f για > 3 είναι γνησίως φθίνουσα Δ δεν υπάρχει το lim f () E lim f () ¹ f () Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R η οποία είναι συνεχής και - Τότε η f Α είναι πάντοτε γνησίως αύξουσα B δεν μπορεί να είναι άρτια Γ είναι πάντοτε περιττή Δ f () = f (- ) E είναι σταθερή συνάρτηση ìεφ (π), ¹ 3 Αν η συνάρτηση f () = í είναι συνεχής στο, τότε το κ είναι ίσο με î κ, = π Α Β Γ π Δ Ε π 4 Δίνονται οι παρακάτω γραφικές παραστάσεις κάποιων συναρτήσεων f, g, h, φ, t y C f y Ο α β α Ο β C g y y C t C φ C h α Ο β Ο α β α Ο β Τότε οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [α, β] ισχύουν για την περίπτωση Α της συνάρτησης f Β της συνάρτησης g Γ της συνάρτησης h Δ της συνάρτησης φ Ε της συνάρτησης t 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και ισχύει f (α) f (β) >, τότε από τις παρακάτω προτάσεις σωστή είναι πάντοτε η: Α f () ³ για κάθε Î [α, β] Β δεν υπάρχει ξ Î (α, β) ώστε f (ξ) = Γ η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [α, β] Δ η C f δεν τέμνει ποτέ τον άξονα y y Ε καμία από τις προηγούμενες προτάσεις Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ --

12 6 Αν η συνάρτηση f έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα, τότε η εξίσωση f () = έχει Α περισσότερες από μία ρίζες Β καμία ρίζα Γ μόνο μία ρίζα Δ δύο ρίζες Ε τίποτα από τα παραπάνω y f(β) O f(α) α o β 7 Αν η συνάρτηση f έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα, τότε η εξίσωση f () = έχει Α δύο ρίζες Β καμία ρίζα Γ περισσότερες από μία ρίζες Δ μόνο μία ρίζα Ε τίποτα από τα παραπάνω y f(α) O f(β) α o β 8 Η γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα Το σύνολο τιμών της f είναι Α (f (α), f (β)) Β [f (α), f (β)] Γ (f (β), f (α)) Δ [f (β), f (α)] Ε κανένα από τα προηγούμενα O α β y f(β) f(α) ì - 4, ¹ 9 Έστω συνάρτηση f () = í - και οι προτάσεις: î 6, = Ι υπάρχει το lim f () ΙΙ η f ορίζεται στο ΙΙΙ η f είναι συνεχής στο Τότε αληθεύουν Α μόνο η Ι Β μόνο η ΙΙ Γ μόνο η Ι ή η ΙΙ Δ καμία από τις τρεις Ε η ΙΙΙ Η γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα Το σύνολο τιμών της f είναι Α (f (α), f (β)) Β [f (α), f (β)] Γ (f (β), f (α)) Δ [f (β), f (α)] Ε κανένα από τα προηγούμενα y f(α) f(β) O α β Αν η συνάρτηση f έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα, τότε η εξίσωση f () = έχει Α καμία ρίζα Β ακριβώς τρεις ρίζες Γ μόνο μία ρίζα Δ το πολύ μία ρίζα Ε τουλάχιστον τέσσερις ρίζες f(β) Ο f(α) y α β Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ --

13 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο σχήμα, τότε δεν ισχύει ότι Α στο διάστημα (, ) η f () > Β στο διάστημα (, 3 ) η f () < y 3 4 Ο Γ στο διάστημα ( 3, 4 ) η f () > Δ στα διαστήματα (-, ) και ( 4, + ) η f () < Ε στο διάστημα (, 4 ) η f () = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 3 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και γνησίως φθίνουσα Τότε το σύνολο τιμών της f είναι Α [f (α), f (β)] Β [f (β), f (α)] Γ [β, α] Δ (f (β), f (α)) Ε το R 4 Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και οι προτάσεις: Ι f συνεχής ΙΙ f άρτια ΙΙΙ f γνησίως μονότονη Η αντίστροφη της f υπάρχει, όταν ισχύει: Α η Ι Β η ΙΙ Γ οι Ι και ΙΙ Δ η ΙΙΙ Ε η Ι ή η ΙΙ ì ln (- ), Î(-, ) 5 Δίνεται η συνάρτηση f () = í Τότε: î +, Î[, + ) Α η f δεν είναι συνεχής στο (-, ) B η f δεν είναι συνεχής στο (, + ) Γ η f δεν είναι συνεχής στο Δ lim f () = - E lim f () = + - y f( μ) 6 Η γραφική παράσταση της συνεχούς συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα Το σύνολο τιμών της f είναι Α [f (α), f (β)] Β (f ( ε ), f ( μ )) Γ [f (β), f (α)] Δ [f ( ε ), f ( μ )] Ε κανένα από τα προηγούμενα f(β) f(α) f( ε ) α μ ε β 7 Δίνεται η συνάρτηση f με f () = Τότε λάθος είναι Α f (- ) > Β f () < Γ η f είναι συνεχής στο [-, ] Δ υπάρχει Î (-, ) ώστε f ( ) = Ε f (- ) f () > 8 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μια συνάρτησης f Τότε ισχύει Α Β Γ lim f () = 8 + lim f () = 4 y 8 4 lim f () = 4 Δ lim f () ¹ Ε η f δεν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της 5 5 lim f () - 5 Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -3-

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β Να εξετάσετε ποιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχής στο σημείο : ì hm sun, ¹ f ( ) = í î, =, = και g( ) ì, Î, = í - î ln (- ), < [ ), = Β Να εξετάσετε αν η παρακάτω συνάρτηση είναι συνεχής: f ( ) ( ) ìsun hm -, ³ = í - î hm, < Β3 Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης [ 5, ) f: για την οποία ισχύει: - + f ( ) = + 5 -f ( ) - () για κάθε Î = [- 5, + ) D f Β4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: η οποία πληροί την παρακάτω σχέση: ( ) 3 sun - - f για κάθε Î Να βρείτε την f () Β5 Έστω ότι η συνάρτηση f: είναι συνεχής στο σημείο = Να υπολογίσετε το f () αν - - f για κάθε Î 4 γνωρίζουμε ότι ισχύει: ( ) ( ) Β6 Αν η συνάρτηση f: είναι συνεχής στο και την τιμή της f στο 9 ( ) -5 f -6 lim = να βρείτε Β7 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις: α f ( ) = 3hm 3 ( + ) + + β g( ) ( ), ¹ ìhm hm = í î, = f = και 4 Β8 Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ( ) 3 g( ) = τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του διαστήματος (,) Β9 Για κάθε a Î (,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) ( -)( - a) e = ( a - ) Β Να δείξετε ότι η εξίσωση 3hm - Î τέτοιο ώστε: - = έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα [ p,] - Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -4-

15 Β Να δείξετε ότι η εξίσωση = ln, έχει μοναδική ρίζα f: Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,] φθίνουσα στο [, + ), lim f ( ) = lim f ( ) = - και f() =, τότε: Β Έστω η συνεχής συνάρτηση - + α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να λύσετε την εξίσωση f() Β3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 = + + = έχει ακριβώς μία ρίζα στο (,) -, γνησίως - Β4 Δίνεται η συνάρτηση ì -, an f() = ía +b, an < <, όπου α, βî î + ln, an ³ Να υπολογίσετε τα α και β έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ , 5 Β5 Δίνεται η συνάρτηση f() =í ì - + an < < 5- î( a +b ) ln( e) + ( a+ )e, an ³ 5 lim f() lim f() i Να βρεθούν τα και ii Να βρεθούν τα α, βî, ώστε η f να είναι συνεχής στο = 5 iii Για τις τιμές των α και β του ερωτήματος ii) να βρείτε το lim f() ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f() - e + lim = 5 hm Β6 Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο, για την οποία ισχύει: Να βρείτε το f() Β7 Δίνεται η συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει: Να αποδείξετε ότι: i f()=, ii η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = Β8 Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο =, για την οποία ισχύει: Î Να βρείτε το f ( ) ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f() για κάθε Î ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f() -hm για κάθε Β9 Αν η f είναι συνεχής στο [,] και είναι < f() < για κάθε Î [,], να δείξετε ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξî(,), ώστε να ισχύει: f ( ) + f ( ) = + Β Να δείξετε ότι η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,] Δίνεται ότι α+β= ab f = -3 και g( ) = - + Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g Β Έστω ( ) 4 τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο (,) 4 Β Έστω f () = 4( + a ) + ( + a+ a ) -a και ( ) ( ) 3 g() = + a+ a + - a+ a + a, aî Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -5-

16 Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο [-,] + f( a)+f( b) + f( a) -f( b) > ισχύει για Β3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Αν η ανίσωση ( ) ( ) κάθε Î, να δείξετε ότι η C f της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο Β4 Έστω f συνεχής στο [α, β] με f( a ) ¹ f( b) και κ, λ θετικοί αριθμοί Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα kf( a ) +lf( b) τουλάχιστον Î ( a, b), ώστε να ισχύει: f ( ) = k+l Β5 Αν για τον μιγαδικό αριθμό z = α+βi ισχύει: z = z +, να αποδείξετε ότι: z i Re(z) =- iiμε δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος (i), αν επιπλέον f συνεχής στο [,3], f()=α>, f(3)=β και α>β, να αποδείξετε ότι: υπάρχει Î(,3) τέτοιο ώστε f( )= Β6 Έστω α,βî, με α<β Να δείξετε ότι για κάθε γî(α,β) υπάρχει μοναδικό ξ Î(,), ώστε g b ( ) = + - a Β7 Να αποδείξτε ότι : 4 c + c + i η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,) c+ c- efc sfc p p ii η εξίσωση + = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) 6c-p 4c-p 6 4 Β8 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,4] Να αποδείξετε ότι υπάρχει Î[,4] τέτοιο ώστε: f () + 3f () + 4f (3) = 9f ( ) f() Β9 Για μια συνάρτηση f συνεχή στο, ισχύει ότι: - Να δειχθεί ότι η C f τέμνει τη γραφική παράσταση της παραβολής που ανήκει στο διάστημα (,) lim = 4 και 4ημ(-) (-)f() - 4 " Î y = - + σε σημείο με τετμημένη Β3 Να ελέγξετε αν η συνάρτηση f ( ) = sun + 5hm - παίρνει την τιμή e é p - στο διάστημα, 3 ê ù ë ú û Β3 Έστω συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f () 5 + = για κάθε (,5) ÎD= i Να αποδείξετε ότι η f : Δεν έχει ρίζες στο Δ Έχει σταθερό πρόσημο στο Δ ii Να βρεθεί ο τύπος της f στο Δ, αν επιπλέον είναι γνωστό ότι f() = - Β3 Έστω συνεχής συνάρτηση f : [α,β] όπου α,βî με α<β Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή Β33 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e - = + 3 έχει ακριβώς μια ρίζα στο Β34 Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων: i f() = ημ + συν, -π π ii f() = ημ + συν, π π iii f () = Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -6-

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ Δίνεται η συνάρτηση f:, για την οποία ισχύει: 3f() = + hm (f()), Î Να αποδείξετε ότι: i f(), Î ii η f είναι συνεχής στο = Γ Δίνεται η συνάρτηση f :(,+ ), για την οποία ισχύει: f (y) = f () + f (y), για κάθε,y > Να αποδείξετε ότι: i f()= ii αν η f είναι συνεχής στο =, τότε η f είναι συνεχής Γ3 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: με την ιδιότητα: f () f() hm =, " Î Γ4 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: με την ιδιότητα: f () = e f(), " Î Γ5 Δίνονται οι συναρτήσεις f() = + + και ρίζα της g με ρ <ρ, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( ) b g g() =- + b + g με γ ¹ Αν ρ είναι ρίζα της f και ρ είναι f + g( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ, ρ ) Γ6 Έστω f,g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το Δ Εάν για κάθε χîδ η f είναι συνεχής και f()-g() = c, cî τότε να δείξετε ότι: Αν ρ, ρ δύο ετερόσημες ρίζες της f() = η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ρ, ρ ] Γ7 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο σημείο = την συνάρτηση: ( ) f ì + e - -e, ¹ =í î, = Γ8 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, gh, : με h( ) f ( ) sun e g( ) = - Αν η h είναι συνεχής στο και η g δεν είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο Γ9 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί α και β ώστε η συνάρτηση ( ) f ì a -a b +, < = í - î b a+ 3, ³ να είναι συνεχής στο = Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -7-

18 6 f 6 8 Γ Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο τέτοια ώστε: ( ) α Να αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο = 3 β Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) ( ) 9, ¹ 3 ì f - =í -3 î a- 3, = 3 Βρείτε τον a Î ώστε η συνάρτηση g να είναι συνεχής στο = για κάθε Î Γ Αν a Î να δείξετε ότι η εξίσωση a hm p * + + = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,a p] + Γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 3 9, - + = έχει ακριβώς δύο ρίζες στο ( ) Γ3 Να δείξετε ότι η εξίσωση e = - ln, έχει μοναδική ρίζα Γ4 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο με την ιδιότητα f ( ) f ( ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει Î [,3] ώστε να ισχύει f ( ) f ( ) Γ5 Δίνεται συνάρτηση f με τύπο f ( ) + f ( ) = είναι αδύνατη στο [ ] 3 e = + - ορισμένη στο [ ],5 = + é p ù Γ6 Αν abgî,, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î ê, ë ú hm ( ) ( ) + b + hm + 3g = sun ( + a) + = - Î - Γ7 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e, (,) i Να βρείτε το σύνολο τιμών της f = για κάθε Î,5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση û ώστε: ii Να δείξετε ότι η εξίσωση e -- = έχει μοναδική αρνητική ρίζα iii Να δείξετε ότι η εξίσωση e = - είναι αδύνατη, στο (,) - Γ8 Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f : για κάθε Î για τις οποίες ισχύει f ( ) f ( ) = Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -8-

19 Γ9 Έστω η συνάρτηση f :[-,], η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα (,) Î - ώστε: f ( ) Γ Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός = + i klî, Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) (- ) + ( ) + ( ) f f 3f = 6 z είναι ρίζα της εξίσωσης z ( ) 3 Î τέτοιο ώστε: ( ) + l-k z- 5k + l =, + k - l + ke = liméë ù= û Γ Έστω συνάρτηση f η οποία είναι περιττή και συνεχής στο με f ( sun ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον Î (,) ώστε ( ) f = Γ Έστω συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και περιττή στο με f ( 5) = 7 Αν η εξίσωση f ( ) = 6 είναι αδύνατη να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο Γ3 Έστω συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα Δ = (α,β), γνησίως φθίνουσα στο (α,γ] και γνησίως αύξουσα στο [γ,β) όπου γî(α,β)αν f(γ) = - και limf() = και lim f () = 3, να βρεθεί: i Το σύνολο τιμών της f iiτο πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ()=, Î Δ a β Γ4 Έστω συνεχής συνάρτηση f: με f ( ) = 3 Να δείξετε ότι η f είναι σταθερή Γ5 Δίνεται η συνάρτηση f() = e ++ Να δείξετε ότι: i η f είναι γνησίως αύξουσα iiνα βρείτε το σύνολο τιμών της f iiiνα αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει μια μόνο ρίζα Γ6 Έστω συνεχής συνάρτηση f :[-,4] με f() ¹ για κάθε [,4] παράσταση διέρχεται από το σημείο A( -, - 5) i Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f () 6 f () iiνα βρείτε το όριο lim ( f( ) 3 5 3) - p + - Γ7 Δίνεται η συνάρτηση f() = ln i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f iiνα μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία iiiνα βρείτε το σύνολο τιμών της f Î-, της οποίας η γραφική + = - έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,4) - Γ8 Οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο διάστημα [-α, α] και ισχύουν: Η f είναι περιττή, Η g είναι γνησίως φθίνουσα με g(α) = -α και g(-α) = α Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα Î (-α, α) τέτοιο ώστε: f(g( )) + f( ) + g( ) = Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -9-

20 Γ9 Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [α, β], με α> Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ Î (α, β) τέτοιο ώστε: ( ) f a b = + a - b - Γ3 (Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας στο [ ab), ] Έστω f: με τύπο f() = και g: με f() - g() = λ, l Î () Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [ρ, ρ ], όπου ρ, ρ με ρ < ρ οι ρίζες της f() = ΛΥΣΗ Από την () έχουμε g() = f() - λ, λî R Η g είναι συνεχής στο [ρ, ρ ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Είναι g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ = - 7λ, αφού g(ρ ) = f(ρ ) - λρ = - λρ = - λρ g(ρ )= f(ρ ) - λρ = - λρ = - λρ g a Και rr = =- 7 Διακρίνουμε τις περιπτώσεις Αν λ ¹, Τότε g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ = - 7λ <, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της g() = στο διάστημα (ρ, ρ ) Αν λ = Τότε g(ρ )g(ρ ) = λ ρ ρ =, οπότε g(ρ ) = ή g(ρ ) = και η g() έχει ρίζες τις ρ ή ρ Επομένως σε κάθε περίπτωση η εξίσωση g() = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [ρ,ρ ] Γ3 (ΘBolzano σε συνάρτηση που δεν ορίζεται στα άκρα διαστήματος) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,) ΛΥΣΗ Θεωρούμε την f() = ln , (,] Î Παρατηρούμε ότι lim f( ) lim ( ln 4 ) Αφού = =- διότι lim ln + = - και ( ) lim =- + lim f( ) = -, υπάρχει Î(,) τέτοιο ώστε f( ) < κοντά στο Επομένως: Η f είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων Είναι f( ) < και f () = ln = > δηλαδή ισχύει ότι f( ) f() < Οπότε σύμφωνα με το ΘBolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της = Û = Û = - + στο διάστημα (,) (,) f ( ) ln 4 ln 4 Γ3 Έστω η συνεχής και περιττή συνάρτηση f : με ( ) Í lim f = Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο της C f με τεταγμένη Γ33 i Να βρεθούν τα lim + hm και lim, - k * kî Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ --

21 iiνα βρεθεί ο kî ώστε η συνάρτηση ì hm an > f() = í k-3, an = k, an < î,, να είναι συνεχής στο = Γ34 Έστω συνεχής συνάρτηση f: με f( ) f()f(f()) =,να βρείτε τους αριθμούς f (), f () και f (5) = και f () = Αν για κάθε Î ισχύει ότι Γ35 Έστω συνάρτηση f :[,3 ] συνεχής και γνησίως αύξουσα Αν <f()<3, να δείξετε ότι: i Η ευθεία y=- + 3 τέμνει τη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη Î ( ),3 iiυπάρχει μοναδικός αριθμός (,3) Î έτσι ώστε: f ( ) 3 5 f æ ö f æ ö f æ ö ç + ç + ç = è ø è ø è ø 3 Γ36 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει Î(,4) τέτοιο ώστε: f () + f () + 3f (3) = 6f ( ) Γ37 Έστω f : z = + f i, Î συνεχής συνάρτηση και οι μιγαδικοί αριθμοί ( ) i Αν Im( z ) = για κάθε Î, να βρείτε τα iiαν lim z - sun ( ) Rez z - = για κάθε Î [,], τότε: Να λύσετε την εξίσωση f( ) = Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f αν Im ( z ) > και lim ( z ) - + Γ38 Έστω συνεχής συνάρτηση f :[,5 ] με f() > και ο μιγαδικός Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() ( ) ( ) 5+ f 5i z= ÎI -f i = έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (,5 ) Γ39 Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 + λ +3, όπου λ σταθερός πραγματικός αριθμός με l <- 4 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει 3 ρίζες πραγματικές Γ4 Έστω f συνεχής στο (, ], με ( ) f = για την οποία ισχύει: - f() hm, για κοντά στο 3f() + lim = - Αν - να δείξετε ότι η C f έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τον Γ4 Έστω συνεχής συνάρτηση f:, με ( ) f ¹ για κάθε Î, f ( ) = και f ( 5) = 3 Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ --

22 i Να αποδείξετε ότι υπάρχει Î ώστε f(ξ) = iiνα αποδείξετε ότι υπάρχει [ ], Î ώστε f ( ) f ( ) f ( ) = iiiαν για κάθε Î ισχύει ότι f()f(f()) =,να βρείτε τους αριθμούς f æ ç ö è ø, f () και f () ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Δ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση: f ( ) ì + a e, ¹ =í e + î b +, = Να βρείτε τους a, b Î Δ Έστω η συνεχής στο συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A (,5) και είναι τέτοια ώστε: ( ) ( ) k Να βρείτε τους klî, και τον τύπο της f ( ) - f = + l- για κάθε Î Δ3 Έστω συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής στο σημείο = και τέτοια ώστε: * f ( +k y) =sunk y f () +sun f ( k y) +k y (*) για κάθε yî, και k Î α Να βρείτε την τιμή f ( ) β Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Δ4 Έστω συνάρτηση f: η οποία είναι συνεχής στο σημείο = με ( ) ώστε: f() f(+ y- ) f( ) -f(y- ) για κάθε yî, Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Δ5 Έστω συνάρτηση f : f = και τέτοια * η οποία είναι συνεχής στο σημείο = και τέτοια ώστε: f( y) = f(y) + y f () - y (*) για κάθε y, α Να βρείτε το lim ( ) f * Î β Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο * Δ6 Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = 3 και ότι ( ) f lim = a 3-3 A 3,3 α Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο ( ) β Να βρείτε τον αριθμό a Î αν ( ) f - - lim = 3-3 όπου a Î Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ --

23 Δ7 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο και τέτοια ώστε: lim h ( + ) f h hmh = a όπου a Î α Να βρείτε το lim f ( ) β Να βρείτε τον a Î αν ( + ) - ( ) f h f lim 6 h h = Δ8 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g :, έτσι ώστε: ( ) ( ) é ( ) f - g ëg ln ùû για κάθε > Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο =, να αποδείξετε ότι και η f είναι συνεχής στο = Δ9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f ( ) ì, =í î f ( 6- )- z-, > Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού Δ Έστω συνάρτηση f : Nα αποδείξετε ότι: f α ( ) 3 f f τέτοια ώστε: ( ) ( ) + = + hm για κάθε Î + για κάθε Î β Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = Δ Έστω συνάρτηση f :[, + ) με f( ) = τέτοια ώστε: f æ ö æ ( ) hm ö ç - + ç - èø è ø για κάθε > α Να βρείτε το lim ( ) + é ù ê + hm ë ú û β Να αποδείξετε oτι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = Δ Έστω συνάρτηση f :[,6], η οποία είναι συνεχής στο [,6 ] με f( ) f( 6) = α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) = f( + ) - f( ) και να δείξετε ότι αυτή είναι συνεχής β Να αποδείξετε ότι: g( ) + g( ) + g( 4) = γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î (,4) ώστε: f( ) f ( ) + = - hm = + - lim f Δ3 Δίνεται η συνάρτηση f( ) ln e α Βρείτε τα όρια: lim f ( ) και ( ) + + β Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλ σημείο Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -3-

24 Δ4 α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ρίζες, (,) r r Î - ( ) e e - e - = + - ( ) έχει δύο τουλάχιστον ετερόσημες β Θεωρούμε τη συνάρτηση g η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο και τέτοια g( r) g( r) ώστε: =, όπου r, r οι ρίζες του προηγουμένου ερωτήματος r r Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) Δ5 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e, (,) i Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ii Να δείξετε ότι η εξίσωση iii Να δείξετε ότι η εξίσωση g = έχει μία ακριβώς πραγματική ρίζα = - Î - e -- = έχει μοναδική αρνητική ρίζα = - είναι αδύνατη, στο (,) e Δ6 Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστημα D = é-, ù ë + f ( ) = για κάθε ÎD = é-, ù ë û α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( ) β) Να δείξετε ότι η f ( ) f = στο διάστημα D > για κάθε (, ) Î - αν ( ) - û για την οποία ισχύει f = γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f ( ) δ) Να γίνει η γραφική της παράσταση Δ7 Δίνεται μία συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [ ] τέτοιο ώστε: f ( ) + f ( ) = 3f ( ),3 Να αποδείξετε ότι υπάρχει Î [,3] Δ8 Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :(,) f ( ) 3 lim και hm( - ) ( - ) f() - για κάθε (,) - = - - i Να υπολογιστούν τα όρια: lim f ( ) και lim f ( ) - +, για την οποία ισχύει Î ii Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης h( ) = f ( ) iii Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) = f ( ) + e :y= - μόνο ένα κοινό σημείο με τετμημένη Î (,) έχει με την ευθεία Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -4-

25 f f Δ9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( ) ( ) κάθε Î () και f( ) =- Να δείξετε ότι: i Η εξίσωση f( ) = είναι αδύνατη ii f( ) iii Η ευθεία τετμημένη ( ),3 - = - + 3, για <, για κάθε Î 7 y =- έχει με τη γραφική παράσταση της f ένα τουλάχιστον σημείο με Î Δ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w τέτοιοι ώστε: z = και w = Έστω επίσης συνάρτηση f συνεχής στο τέτοια ώστε: 3 f ( ) + z+ w f ( ) + 5f ( ) = + - για κάθε Î Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον Î (,) ώστε ( ) f = Δ Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, ], τέτοια ώστε f ( ) για κάθε [,] Î Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον Î [,) ώστε f ( ) e f ( ) + = Δ Αν a, a,, a Î [,], να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον [,] -a + -a + + -a = 5 Î ώστε: Δ3 α Να αποδείξτε ότι η εξίσωση ρίζες r, r ( kk, ) β Αν r r Î - + l m + k + -k = + = m - l, να βρείτε τον αριθμό k με k l m ¹, έχει ακριβώς δύο Δ4 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο τέτοια ώστε: 3 f -hm + e ³ e -sun + για κάθε Î ( )( ) Να βρείτε το πρόσημο της ( ) f Δ5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[,] È [ 3,4] με f ( ) =, f ( ) =-, f ( 3) =-, ( ) Αν η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της, τότε: α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f( ) = = - + Î ln Δ6 Δίνεται η συνάρτηση f ( ), (,) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( + ) ln= είναι αδύνατη, στο (, ) f 4 = 7 Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -5-

26 Δ7 Δίνεται η συνάρτηση : (, ) α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f f = ln+ e - f + με ( ) β) Να δείξετε ότι η εξίσωση e e ( ln) γ) Να λυθεί η εξίσωση = a-, έχει μοναδική ρίζα για κάθε a Î - eln e + = Δ8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ab, ] και f( a ) < f( ) f ( a ) + f ( b) τουλάχιστον Î( ab, ) ώστε f( ) = Δ9 Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f : για τις οποίες ισχύει 4 3 f - f + f -4f - 8= για κάθε Î ( ) ( ) ( ) ( ) 3 b, να δείξετε ότι υπάρχει ένα Δ3 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [,3 ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει [, ] f() + 3f( ) + 5f( 3) ώστε f( ) = 9 Δ3 Δίνεται συνάρτηση g ορισμένη και συνεχής στο [ ab, ] Αν,, [, ] υπάρχει [, ] Îab έτσι ώστε να ισχύει: g ( ) 3 ( ) ( ) ( ) a g +a g +a g = a +a +a Δ3 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ τέτοιοι ώστε: a¹ και Να αποδείξετε ότι b > 4ag Îab, Îab να αποδείξετε ότι ag-bg+g < 3 Δ33 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w και η συνάρτηση f( ) = w - z + w- z Να αποδείξετε υπάρχει [ ], Î- ώστε ( ) Δ34 Να αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) f Δ35 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο τέτοια ώστε: = όπου a, a, a 3 > æ p ö ln hm + e = έχει μία τουλάχιστον ρίζα Î ç, è ø f f lim = και lim =- - + Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο ( ) ( ) Δ36 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ì a - a, ³ =í îln( + ) -hm3, - < < όπου α Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής β Για την τιμή του α του προηγούμενου ερωτήματος να αποδείξετε ότι η εξίσωση a + = ln( + ) έχει μία ακριβώς θετική ρίζα Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -6-

27 Δ37 Έστω συνάρτηση f :[-,4], η οποία είναι συνεχής στο [-,4] με f ( ) f ( 4) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) f ( ) f ( ) αυτή είναι συνεχής - = = και να αποδείξετε ότι β Να αποδείξετε ότι: g( - ) + g( ) + g( 3) = γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον Î- [,3] ώστε: f ( ) f ( ) Δ38 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο και τέτοια ώστε: ( ) ( ) για κάθε Î και f ( ) =- α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) f ( ) sun β Να βρείτε τη συνάρτηση f + = - f + f sun = + hm = + διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε Î + = + + για κάθε Î f f Δ39 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( ) ( ) και f( ) = Να δείξετε ότι: α) Η εξίσωση f( ) = είναι αδύνατη β) f( ) > για κάθε Î + 7 γ) Η ευθεία y = τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με 4 Î τετμημένη ( ), Δ4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν: () 3 f = και ( ) α) η f δεν είναι ( ) ( ) 8 f f f + =, για κάθε Î () Να δείξετε ότι: β) υπάρχει ένα τουλάχιστον Î (,3) τέτοιο, ώστε g( ) = 6, όπου ( ) ( ) γ) η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο A ( 3,, 4,99) g = f + Δ4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :[,] z = f () + f ( ) i, f ( ) ¹ Αν z z φανταστικός, τότε: α) να δείξετε ότι η εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( ) β) Αν επιπλέον, η f είναι γνησίως μονότονη και f ( ) <, να δείξετε ότι: i f ( ) f (), για κάθε Î [,] f και οι μιγαδικοί αριθμοί = + i z και, ii H γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την ευθεία ( ) f y =- f 5 = Δ4 Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f :[,5] με f () = 5 και ( ) α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -7-

28 β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( ) = c, όπου c Î [,5] γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό g Î (,5) τέτοιο ώστε: 9f ( ) f ( ) 3f ( 3) 4f ( 4) Δ43 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f f 3 3 8, ( ) ( ) g = = - + Î () Να δείξετε ότι: α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον Î (,) τέτοιο ώστε f ( ) = + 5 β) Η ευθεία y= c με (,3) C ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη ( ) c Î έχει με την f Δ44 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο [, ] για τις οποίες ισχύουν τα εξής: g f ( ) + f ( ) = 4( f ( ) - ) ( ) και για κάθε Î [,] α) Να δείξετε ότι υπάρχει Î (,) τέτοιο, ώστε ( ) f = β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη Î [,] γ) Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη, να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) f ( ) ρίζα στο (, ) Î -,3 = - έχει μοναδική Δ45 Έστω συνάρτηση f :[,4 ] συνεχής και γνησίως αύξουσα Αν f()> και f() f() f(4) = 8, να δείξετε ότι υπάρχει Î [,4] έτσι ώστε: f ( ) = Δ46 i Έστω f : συνεχής συνάρτηση με f() + f() + f(3) = Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα f = f Να αποδείξετε ότι η εξίσωση iiδίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [, ], με ( ) ( ) æ ö f ( ) = f ç + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [, ] è 3ø ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΒΡΥΖΑΣ-ΚΩΝΣΤΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ-ΜΑΝΑΡΙΔΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Ξιφαράς ΜΑΣΤΑΚΑΣ-ΓΑΡΑΤΖΙΩΤΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κέδρος ΜΠΑΡΛΑΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Ελληνοεκδοτική ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΤΖΟΥΒΑΡΑΣ ΤΖΙΡΩΝΗΣ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας ΧΣΤΕΡΓΙΟΥ-ΧΝΑΚΗΣ-ΙΣΤΕΡΓΙΟΥ, Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σαββάλας ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ, Υπουργείο Παιδείας Φ4 : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ/3 Ο ΓΕΛ ΝΣΜΥΡΝΗΣ -8-