Ανάθεση εργασίας για το εργαστηριακό μέρος του μαθήματος «Μηχανική των Ρευστών» ΕA-8: Κατανομή πίεσης σε δισδιάστατο κύλινδρο Συντάκτες: Α. Φιλιός, Κ. Μουστρής, Κ.-Σ. Νίκας 1 Αντικείμενο της εργαστηριακής άσκησης Αντικείμενο της άσκησης είναι η μέτρηση της κατανομής της πίεσης στην επιφάνεια κυλίνδρου που προσβάλλεται από ροή με διεύθυνση πρόσπτωσης κάθετη στον διαμήκη άξονα του. Από τις μετρούμενες πιέσεις προσδιορίζεται η κατανομή του συντελεστή πίεσης και αυτή συγκρίνεται με την κατανομή του συντελεστή πίεσης για ιδανική ροή άλλες πειραματικές μετρήσεις. Συνοπτική θεωρία Η ροή γύρω από δισδιάστατο (-d) κύλινδρο κυκλικής διατομής (Σχήμα 1) θεωρείται ένα από τα θεμελιώδη προβλήματα της ρευστομηχανικής (Bertin and Cummings, 13) και συναντάται σε αρκετά προβλήματα, όπως η ροή αέρα ή νερού στους πυλώνες έδρασης των πλωτών πλατφόρμων άντλησης πετρελαίου και φυσικού αερίου, η ροή γύρω από τους σωλήνες εναλλακτών θερμότητας και η ροή γύρω από τα καλώδια ηλεκτρικού ρεύματος και τηλεπικοινωνιών. (α) Ροή Hele Shaw (β) Re=1 4 Σχήμα 1: Οπτική απεικόνιση ροής γύρω από δισδιάστατο κύλινδρο (Milton van Dyke, 198)..1 Ιδανική ροή σε -d κύλινδρο Η ανάλυση της ιδανικής ροής γύρω από έναν -d κύλινδρο (Σχήμα ) ακτίνας r που προσβάλλεται από παράλληλη ροή U, γίνεται με τη μέθοδο των ιδιομόρφων σημείων (method of singularities). Ειδικότερα, το πεδίο ροής προσομοιάζεται από την επαλληλία παράλληλης ροής U και ενός διπόλου (dipole) του οποίου η ένταση είναι U r. Γι αυτή τη ροή, η συνάρτηση ροής και οι συνιστώσες της ταχύτητας U δίδονται από τις εξισώσεις που φαίνονται στο Σχήμα. Ο συντελεστής πίεσης στην επιφάνεια του κυλίνδρου, συναρτήσει της πολικής γωνίας θ (Σχήμα ) είναι: p p U ( r, ) c ( r, ) 1 1 4sin p (1) 1U U όπου p είναι η στατική πίεση στην επιφάνεια του κυλίνδρου, p είναι η στατική πίεση της αδιατάρακτης ροής, ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού και U είναι η ταχύτητα της αδιατάρακτης ροής. FM-EA-8.docx, -Μαϊ-19 Page 1 of 7
ΕA-8 U θ U(r,θ) r ( r, ) U 1 r sin r p, U U r Ο r Ur ( r, ) U 1 cos r r U ( r, ) U 1 sin r Σχήμα : Ιδανική ροή γύρω από -d κύλινδρο (Φιλιός, 17). Η κατανομή του συντελεστή πίεσης (cp) στην επιφάνεια -d κυλίνδρου φαίνεται 1. στο Σχήμα 3 και αυτή συγκρίνεται ά- μεσα με πειραματικές μετρήσεις.5 (Karamcheti, 198) για δύο διαφορετικούς αριθμούς Re=ρU d/μ. Για ιδανική c p. ροή, η κατανομή του cp στην επιφάνεια -.5 του κυλίνδρου παρουσιάζει συμμετρία ως προς τους άξονες x και y και αυτό αιτιολογεί την μη άσκηση δύναμης σ αυτόν. Πειραματικές μετρήσεις του cp δείχνουν μια καλή συμφωνία με τον α- ντίστοιχο θεωρητικό στην περιοχή πλησίον του εμπρόσθιου σημείου ανακοπής και σταδιακά αποκλίνουν με την απόκλιση αυτή να είναι έντονη στην οπίσθια επιφάνεια. Η ασυμμετρία της κατανομής -1. -1.5 -. -.5-3. Re=1.9 1 5 Re=6.7 1 5 Ιδανική ροή θ (deg) της πίεσης στην επιφάνεια του κυ- λίνδρου αιτιολογεί τη δύναμη Σχήμα 3: Κατανομή πίεσης σε -d κύλινδρο. αντίστασης για την περίπτωση συνεκτικής ροής. 45 9 135 18 5 7 315 36. Συνεκτική ροή σε -d κύλινδρο Στην περίπτωση της συνεκτικής ροής γύρω από το -d κύλινδρο, η ταχύτητα ροής στην επιφάνεια του είναι μηδέν λόγω της συνθήκης για την «μη ολίσθηση» της ροής ενώ ο αριθμός Reynolds καθορίζει ουσιαστικά την εικόνα του πεδίου ροής γύρω από αυτόν. Για Re < 5, η ροή παραμένει προσκολλημένη στην επιφάνεια του κυλίνδρου, ενώ για 5< Re <4, δύο δίνες σταθερές ως προς τη θέση τους εμφανίζονται κατάντη του κυλίνδρου. Για Re >4, μορφοποιείται το απόρρευμα του κυλίνδρου με έντονο μεταβατικό χαρακτήρα και με εύρος που εξαρτάται από τον αριθμό Reynolds. Η μεταβολή της ταχύτητας από μηδενική τιμή στην επιφάνεια του κυλίνδρου στην τιμή της τοπικής εξωτερικής ροής λαμβάνει χώρα στο οριακό στρώμα όπου οι δυνάμεις ιξώδους έχουν ιδιαίτερη σπουδαιότητα. Στην επιφάνεια του κυλίνδρου, η πίεση μειώνεται από τη μέγιστη τιμή της στο σημείο ανακοπής (θ= o ) μέχρι μια ελάχιστη τιμή στο σημείο θ=9 ο και στη συνέχεια Page of 7
ΕA-8 αυτή αυξάνεται πάλι μέχρι το σημείο θ=18 ο (Σχήμα 3). Συνεπώς, στην περιοχή ο < θ < 9 ο, η ροή υπόκειται σε αρνητική βαθμίδα πίεσης (p/ξ < ), ενώ στην περιοχή 9 ο < θ <18 ο η βαθμίδα πίεσης είναι θετική (p/ξ > ). Η αρνητική βαθμίδα πίεσης υποβοηθά τη ροή να υ- περνικήσει τις διατμητικές δυνάμεις και κατ αυτό τον τρόπο να παραμένει προσκολλημένη, ενώ η θετική βαθμίδα πίεσης συμβάλει σε ταχύτερη απώλεια ορμής με αποτέλεσμα τα φτωχά σε κινητική ενέργεια στρώματα της ροής να οδηγηθούν σε αποκόλληση και το σχηματισμό του απορρεύματος (Σχήμα 4). Λόγω της αποκόλλησης της ροής, στην πίσω επιφάνεια του κυλίνδρου η πίεση είναι μικρότερη από την πίεση στη μετωπική επιφάνεια (Σχήμα 3) και αυτό έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση της αντίστασης λόγω πίεσης η οποία σε μεγάλους αριθμούς Reynolds κυριαρχεί της αντίστασης λόγω επιφανειακής τριβής με την τελευταία ουσιαστικά να είναι ένα μικρό ποσοστό της ολικής αντίστασης του κυλίνδρου. 3 Πειραματική συσκευή p, U p / Σημείο ανακοπής Απόρρευμα Σημείο αποκόλλησης Οριακό στρώμα Σχήμα 4: Απεικόνιση συνεκτικής ροής σε -d κύλινδρο. Κοίλος κύλινδρος από plexiglass διαμέτρου d=5.8 mm και μήκους L=75 mm (Κορωνάκης, ), τοποθετείται στο χώρο δοκιμών υποηχητικής αεροσήραγγας, με τον άξονά του κάθετα στη ροή (Σχήμα 5). Ο κύλινδρος έχει τη δυνατότητα να περιστρέφεται περί του άξονά του, που είναι κάθετος στη διεύθυνση της ταχύτητας ροής του αέρα, ενώ η γωνία περιστροφής του, μετράται με μοιρογνωμόνιο ενσωματωμένο στη βάση του. Ο κύλινδρος φέρει στην επιφάνειά του οπή στατικής πίεσης, για τη μέτρηση της πίεσης σε στήλη μανομέτρου. Η ταχύτητα ροής στην αεροσήραγγα μετράται με σωλήνα Prandtl στην είσοδο του θαλάμου μετρήσεων. Η πειραματική διάταξη και η μετρητική αλυσίδα φαίνονται στο Σχήμα 6. y x p / Σχήμα 5: Εκπαιδευτική αεροσήραγγα και κύλινδρος τοποθετημένος στο θάλαμο μετρήσεων. Page 3 of 7
ΕA-8 1 5 4 6 7 8 13.4 3 Ø5.8 35 h 6 h 4 h 5 1: Στόμιο εισροής : Θάλαμος μετρήσεων 3: Κύλινδρος 4: Σωλήνας Prandtl 5: Οπή στατικής πίεσης 6: Οπή στατικής πίεσης στον κύλινδρο 7: Μανομέτρο πολλαπλών στηλών ύδατος 8. Σιλικονούχοι σωλήνες Σχήμα 6: Κύλινδρος στο θάλαμο μετρήσεων της αεροσήραγγας και μετρητική αλυσίδα. 4 Μετρήσεις - επεξεργασία και αποτίμηση Αρχικά επιθεωρείται η εγκατάσταση και απομακρύνονται εργαλεία και εξαρτήματα από το ε- σωτερικό του θαλάμου μετρήσεων. Συνδέονται οι σιλικονούχοι σωλήνες (8) στους υάλινους σωλήνες του μανομέτρου πολλαπλών στηλών ύδατος σύμφωνα με το Σχήμα 6 και με περιστροφή του κυλίνδρου (6) τοποθετείται η οπή στατικής πίεσης του κυλίνδρου στη θέση θ= ο. Γίνεται ανάγνωση της ατμοσφαιρικής πίεσης και της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος από τη βαρομετρική στήλη και το θερμόμετρο που βρίσκονται στον εργαστηριακό χώρο και οι μετρήσεις καταγράφονται στο φύλλο μετρήσεων (βλ. Παράρτημα Α: Φύλλο μετρήσεων). Μετά την εκκίνηση του ανεμιστήρα της αεροσήραγγας, επιλέγεται η ταχύτητα στην είσοδο του θαλάμου μετρήσεων με ρύθμιση του dumper στην έξοδο του ανεμιστήρα. Κατά τη διάρκεια του πειράματος θα πρέπει να ελέγχονται σε τακτά χρονικά διαστήματα οι ενδείξεις h4 και h5 στο μανόμετρο πολλαπλών στηλών ύδατος (Σχήμα 6) έτσι ώστε να βεβαιωθεί η λήψη των μετρήσεων υπό την ίδια δυναμική πίεση. Η κατανομή των πιέσεων στην επιφάνεια του κυλίνδρου λαμβάνεται με μετρήσεις του ύψους της στήλης ύδατος h6 στο μανόμετρο πολλαπλών στηλών ύδατος (Σχήμα 6) για το εύρος των γωνιών θ από ο έως 18 ο με βήμα Δθ=15 ο. Σε κάθε βήμα, καταγράφονται στο φύλλο μετρήσεων, η γωνία θ και το ύψος της στήλης ύδατος h6. Τα ύψη των στηλών ύδατος h4 και h5 καταγράφονται περιοδικά για λόγους ελέγχου, όπως προαναφέρθηκε. Το πείραμα διεξάγεται για δύο διαφορετικές ταχύτητες στο θάλαμο μετρήσεων και ως εκ τούτου για δύο αριθμούς Reynolds. Οι μετρήσεις διαφοροποιούνται στο φύλλο μετρήσεων ως 1 η και η ομάδα μετρήσεων αντίστοιχα. Με συμπληρωμένο τον πίνακα του φύλλου μετρήσεων (βλ. Παράρτημα Β), η επεξεργασία των μετρήσεων διεξάγεται κατά την ακόλουθη σειρά: Βήμα 1: Υπολογισμός των φυσικών ιδιοτήτων του αέρα και υπολογισμός των χαρακτηριστικών αριθμών Reynolds με χρήση των εξισώσεων του ακολούθου πίνακα. Page 4 of 7
ΕA-8 Πίνακας 1: Εξισώσεις υπολογισμού φυσικών ιδιοτήτων αέρα και αριθμών Reynolds. Πυκνότητα του αέρα: patm, kg m 3 R T () atm 5 73.15 Tatm Δυναμικό ιξώδες του αέρα: 1.81, Pa s 93.15.67 (3) όπου patm είναι η μετρούμενη βαρομετρική πίεση σε Pa, Tatm είναι η θερμοκρασία περιβάλλοντος σε o C και R είναι η ειδική σταθερά του αέρα. Βήμα : Υπολογισμός των ταχυτήτων στην είσοδο του θαλάμου μετρήσεων, των αριθμών Reynolds και των συντελεστών πίεσης, από τις εξισώσεις που αναφέρονται στον ακόλουθο πίνακα. Ταχύτητα αδιατάρακτης ροής: U w g h5 h4 (4) Αριθμός Reynolds: Re U d (5) Συντελεστής πίεσης: c r, p w 5 6 U g h h (6) όπου h4, h5 και h6 σε m είναι τα ύψη των στηλών του ύδατος στο μανομέτρου πολλαπλών στηλών (βλ. Σχήμα 6), ρw=1 kg/m 3 είναι η πυκνότητα του νερού στο μανομέτρου πολλαπλών στηλών ύδατος. 5 Παραδοτέο Παραδοτέο της εργαστηριακής άσκησης είναι μια έκθεση (Lab Report) κατά το πρότυπο συγγραφής ομαδικής εργαστηριακής έκθεσης η οποία θα περιλαμβάνει: Τον τίτλο της άσκησης, τα ονοματεπώνυμα των φοιτητών της ομάδας κατ αλφαβητική σειρά, τη δήλωση περί μη λογοκλοπής συμπληρωμένη και υπογεγραμμένη, το φύλλο αξιολόγησης στην οποία θα έχουν συμπληρωθεί τα αιτούμενα στοιχεία των φοιτητών, και τον πίνακα περιεχομένων της εργασίας. Το κύριο σώμα της εργασίας, στο οποίο περιλαμβάνονται: o Το αντικείμενο της άσκησης και το φύλλο μετρήσεων πλήρως συμπληρωμένο. o Οι πίνακες επεξεργασίας των πειραματικών μετρήσεων. o Συγκριτικό διάγραμμα στο οποίο θα φαίνονται οι συντελεστές πίεσης στην επιφάνεια του κυλίνδρου για τις δύο αριθμούς Reynolds όπου διεξήχθησαν οι μετρήσεις, ο συντελεστής Page 5 of 7
ΕA-8 πίεσης για την περίπτωση ιδανικής ροής (1) και ο συντελεστής πίεσης για έναν άλλο α- ριθμό Reynolds 1. o Ο υπολογισμός των αβεβαιοτήτων (Holman, 1, Kline and McClintock, 1953) στον προσδιορισμό: α) της ταχύτητας της άπειρης ροής και β) του συντελεστή πίεσης. o Ο σχολιασμός των αποτελεσμάτων και τα τελικά συμπεράσματα της εργασίας. o Οι βιβλιογραφικές πηγές που χρησιμοποιήθηκαν για την εκπόνηση της εργασίας. 6 Βιβλιογραφικές πηγές 1) Bertin, J. J and Cummings, R. M. (13). Aerodynamics for Engineers. Pearson. ) Holman, J.P. (1). Chapter 3: Analysis of experimental data from Holman, J.P. Experimental methods for engineers, pp. 48-6, McGraw-Hill. http://lstlss.ucl.ac.uk/course-materials/engs13p_777.pdf, Accessed 18.5.19. 3) Libii, J. N. (1). Using wind tunnel tests to study pressure distributions around a bluff body: the case of a circular cylinder. World Transactions on Engineering and Technology Education. Vol.8, No.3. http://www.wiete.com.au/journals/wte&te/pages/vol.8,%no.3%(1)/-8-libii.pdf, Accessed 19.5.19. 4) Karamcheti, K. (198). Principles of ideal-fluid aerodynamics. Krieger Publishing Co 5) Kline, S. J. and McClintock, F. A. (1953). Describing the uncertainties in single sample experiments. Mechanical Engineering, pages 3 8. 6) Milton van Dyke (198). An album of fluid motion. The Parabolic Press. 7) Κορωνάκης, Π. (). Εργαστηριακή Ρευστομηχανική IΙ. Εργαστηριακή άσκηση: Ροή γύρω από κύλινδρο, σελ. 71-84. Εκδόσεις ΙΩΝ. 8) Φιλιός, Α. (17). Τυπολόγιο Μηχανικής των Ρευστών. https://sites.google.com/a/tfeeg.net/aef/home/education/fluid-mechanics/contents/annexes/typologio, Accessed 19.5.19. 1 Άλλες πειραματικές μετρήσεις μπορούν να αναζητηθούν στη βιβλιογραφία. Ενδεικτικά αναφέρεται το διάγραμμα (Fig. 4) που παρέχει ο Libii (1). Page 6 of 7
ΕA-8 7 Παράρτημα Α: Φύλλο μετρήσεων Εργαστηριακή άσκηση 8: Κατανομή πίεσης σε δισδιάστατο κύλινδρο Ημερομηνία Ώρα Κωδικός ομάδας Βαρομετρική πίεση (patm), [Torr] Θερμοκρασία περιβάλλοντος (Τatm), [ o C] θ [deg] h4 1 η ομάδα μετρήσεων η ομάδα μετρήσεων h6 h5 h4 h6 h5 15 3 45 6 75 9 15 1 135 15 165 18 Page 7 of 7