6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.

6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία. 6.1 Διανύσματα στον χώρο. 6.1.1 Ορισμοί Οι μαθηματικές ποσότητες μπορεί να είναι βαθμωτές, όταν είναι αριθμοί οι οποίοι ανήκουν σε ένα υποσύνολό του συνόλου των πραγματικών αριθμών και σε διανυσματικές όταν ανήκουν στις «δυνάμεις» του συνόλου των πραγματικών αριθμών : {( x, y) : x, y }, 3 {( x, y, z) : x, y, z }... n {( x, x,..., x ) : x, i 1,,..., n} 1 n i Στο επίπεδο και στο χώρο, όπου υπάρχει εποπτεία, τα διανύσματα είναι κατευθυνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Δηλαδή, τα διανύσματα είναι ευθύγραμμα τμήματα τα οποία δεν καθορίζονται μόνο από το μήκος (μέτρο) τους αλλά και από την ευθεία στην οποία βρίσκονται (την διεύθυνσή τους) και την αρχή και το πέρας τους (την φορά τους). Η διεύθυνση και η φορά κάθε διανύσματος καθορίζουν την κατεύθυνση του διανύσματος. Ως ποσότητες τα διανύσματα μπορεί να αναπαριστούν διάφορες φυσικές ποσότητες την μετατόπιση ενός σώματος όταν κινείται ευθύγραμμα ή Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο μέτρο αλλά και ίδια κατεύθυνση. Γενικεύοντας μπορούμε να πούμε ότι δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν το ίδιο μέτρο, βρίσκονται σε παράλληλους φορείς (ευθείες) και έχουν την ίδια φορά. Έστω r ένα διάνυσμα στο χώρο και έχει (ή είναι ίσο με διάνυσμα που έχει) αρχικό σημείο το (0,0,0) και τελικό σημείο το ( x, y, z ) τότε μπορούμε να το γράψουμε με μορφή των συνιστωσών του δηλαδή να γράψουμε r x, y, z. Το διάνυσμα r x, y, z καλείται διάνυσμα θέσεως του σημείου P( x, y, z ). 1

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών P( x, y, z) Το διάνυσμα θέσης μπορεί να γραφεί σε σχέση με τα τρία πρότυπα μοναδιαία (με μέτρο 1) διανύσματα (ένα σε κάθε άξονα) ως r xi yj zk z P( x, y, z) i k O j y x Το διάνυσμα θέσεως που αντιστοιχεί στο PP 1 x x1, y y1, z z1 είναι το PP x x i y y j z z k 1 1 1 1

z P( x, y, z) P ( x, y, z) i k O OP j PP 1 y x OP 1 P1 ( x1, y1, z1) Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι κάθε διάνυσμα θέσης αντιπροσωπεύει όλα τα ίσα με αυτό διανύσματα τα οποία βρίσκονται οπουδήποτε στον χώρου. 6.1. Πράξεις με διανύσματα Από τη Φυσική γνωρίζουμε τις βασικές πράξεις διανυσμάτων: Θεωρώντας τα αντίστοιχα διανύσματα θέσεις μπορούμε να τελέσουμε τις παραπάνω πράξεις σε ένα αλγεβρικό πλαίσιο. Έστω r1 x1i y1j z1k, και r x i y j z k διανύσματα και a αριθμός ορίζουμε τις Πρόσθεση r1 r x1 x y1 y z1 z ( ) i ( ) j ( ) k 3

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών r r ( x x ) i ( y y ) j ( z z ) k Αφαίρεση 1 1 1 1 Πολλαπλασιασμό με αριθμό ar1 ( ax1 ) i ( ay1 ) j ( az1 ) k Το μέτρο (μήκος) διανύσματος r xi yj zk ισούται με : r x y z Τα μοναδιαία διανύσματα έχουν μέτρο 1 ενώ το μηδενικό 0. Για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα το διάνυσμα r/ r έχει μέτρο 1 και φορά τη φορά του r. Το μοναδιαίο αυτό διάνυσμα χαρακτηρίζει μία από τις δυο φορές που μπορούν να οριστούν στον φορέα του διανύσματος r και συχνά το ονομάζουμε και φορά του διανύσματος r. Οπότε κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως γινόμενο του μέτρου του επί τη φορά του. r r r r Εκφράστε το διάνυσμα ταχύτητας μέτρο v i jφορά 3k ενός βλήματος ως γινόμενο του μέτρου του επί τη φορά του. v Το μέτρο του είναι Οπότε 1 3 14 v i j3k 1 3 v v 14 14( i j k ) v 14 14 14 14 Έτσι ερμηνεύουμε ότι το βλήμα κινείται με ταχύτητα που έχει μέτρο 14 m/ sec 1 3 στη κατεύθυνση του διανύσματος i j k. 14 14 14 6.1.3 Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων r1 x1i y1j z1k και r xi yj zk είναι ένας αριθμός r r x x y y z z r r cos 1 1 1 1 1 Όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων που τη μετράμε ως θετική όταν την μετρά με φορά αντίθετη από αυτή των δεικτών του ρολογιού. Για το εσωτερικό γινόμενο ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: r r r r 1 1 ( r ) r r ( r ) ( r r ), 1 1 1 ( r r ) r = r r r r 1 3 1 3 3 6.1.4 Η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων 1 r1 r r1 r cos arccos r r r r 1 1 Βρείτε τη γωνία μεταξύ των v i j k και u 6i 3j k. 4

vu 1 6 3 4, v 9 3, u 49 7 1 v1 u 1 4 οπότε cos cos 1.76 rad (ακτίνια) vu 37 Εάν και μόνο αν vu 0τότε τα διανύσματα είναι κάθετα (ορθογώνια) μεταξύ τους. 6.1.5 Διανυσματική προβολή διανύσματος σε άλλο διάνυσμα. u u projvu v projvu v Η διανυσματική προβολή του u πάνω στο v : u v proj v u v v Η αριθμητική συνιστώσα του u πάνω στη κατεύθυνση του v : u v v ucos u v v Βρείτε την διανυσματική προβολή του u πάνω στο v και την αριθμητική συνιστώσα του u πάνω στη κατεύθυνση του v όταν u 6i 3j k και v i j k. u v 1 6 3 4 8 8 proj v u v i j k i j k v 14 4 9 9 9 v 1 4 4 u cos u (6i 3j k) i j k v 3 3 3 3 3 Η αριθμητική συνιστώσα ισούται με το μέτρο του διανύσματος προβολής προσημασμένο με + εάν το διάνυσμα είναι ομόρροπο του v και στην αντίθετη περίπτωση. Πράγματι, στην περίπτωσή του παραδείγματος έχουμε, 4 8 8 16 64 64 144 1 4 projvu i j k. 9 9 9 81 81 9 81 9 3 5

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών 6.1.6 Το εξωτερικό (διανυσματικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων Το εξωτερικό διάνυσμα δύο μη μηδενικών διανυσμάτων στο χώρο βρίσκεται ως u v u v sin n όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και n το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι κάθετο στο επίπεδο των διανυσμάτων. Το εξωτερικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο των δύο διανυσμάτων με φορά που καθορίζει ο κανόνας του αντίχειρα του δεξιού χεριού, που βλέπουμε στο σχήμα. u v n v u Τα διανύσματα είναι παράλληλα μεταξύ τους εάν και μόνο εάν vu 0. Για το εξωτερικό γινόμενο ισχύουν οι ιδιότητες r r = r r, ( r + r ) c = r r + r r 1 1 1 1 3 3 r ( r + r ) = r r r r 1 3 1 1 3 ( r ) r = r ( r ) = ( r r ), 1 1 1 Δίνονται τα διανύσματα: a i j 3 k, b i k, c i j. Να υπολογίσετε τα a a b a c a b a ba b,,,,. a a a 4 1 9 14, a b (-1) (-1) 0 3 4, i j k i j k a c = -1 3 3i 6 j. a b = -1 3 i - 7 j - k, -1 0 1 0 ( a b)( a b) 4( a b) 4( i - 7 j - k) 8i - 8j - 4k Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου ισούται με το εμβαδό παραλληλογράμμου που ορίζουν τα δύο διανύσματα. r x i y j z k, και r x i y j z k διανύσματα τότε Έστω 1 1 1 1 6

i j k r r x y z 1 1 1 1 x y z Βρείτε τα u v, v u όταν u i 1j 1k και v 4i 3j k. Υπολογίστε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζουν τα uv., i j k 1 1 1 1 uv 1 1 i j k i 6j10k 3 1 4 1 4 3 4 3 1 6 10 vu u v i j k Το ζητούμενο εμβαδό ισούται με τετραγωνικές μονάδες μήκους. u v 6.1.7 Το μεικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων Το μεικτό διάνυσμα τριών διανυσμάτων στο χώρο ορίζεται ως u v w Για το μέτρο του μεικτού γινομένου ισχύει: u v w u v w cos όπου είναι η γωνία που φαίνεται στο σχήμα: ( ) ( 6) 10 140 u v w v u Η απόλυτη τιμή του μεικτού γινομένου τριών διανυσμάτων ισούται με τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που ορίζουν τα τρία διανύσματα. 7

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών w v u r x i y j z k, r x i y j z k και r3 x3i y3j z3k διανύσματα Έστω 1 1 1 1 τότε x y z 1 1 1 r r r x y z 1 3 x y z 3 3 3 Βρείτε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που ορίζουν τα u i 0j 0k, v 0i j 0k και w i j k. 0 0 0 Υπολογίζουμε το u v w 0 0 4 8. Οπότε ο ζητούμενος όγκος ισούται με u v w 8 8. Εφαρμογή Αν ρευστό ρέει με ταχύτητα a ( a cm / sec) σε αγωγό ορθογώνιας διατομής με πλευρές τα b, c ( b cm, c cm) τότε η παροχή (=εμβαδόν επί την κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας) μέσω της διατομής αυτής είναι: a n E V abc cm / sec 3 8

Το πρόσημο είναι θετικό αν και μόνο αν η ταχύτητα σχηματίζει οξεία γωνία με το εξωτερικό γινόμενο των b, c. Δηλαδή αν η ροή είναι προς τη «θετική» όψη του επιπέδου των b, c. 6. Ευθείες, επίπεδα στο χώρο Διανυσματική εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο P0 ( x0, y0, z0) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v r( t) r0 tv, - t όπου το r είναι το διάνυσμα θέσης του τυχαίου σημείου P( x, y, z ) της ευθείας και r 0 είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου P0 ( x0, y0, z 0) z P( x, y, z) P0 ( x0, y0, z0) O v y x Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από το σημείο P0 ( x0, y0, z0) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v v1i vj v3k x x tv, y y tv, z z tv, - t 0 1 0 0 3 Βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από το σημείο (,0,4) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα i 4jk. x t, y 4 t, z 4 t, - t 9

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από τα σημεία P( 3,, 3) και Q(1, 1,4) και παραμετρικοποιήστε το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα δύο σημεία. Το διάνυσμα PQ (1 ( 3)) i ( 1 ) j (4 ( 3)) k 4i 3j 7k είναι παράλληλο στη ζητούμενη ευθεία. Οπότε εάν θεωρήσετε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς το P( 3,, 3) είναι x 3 4 t, y 3 t, z 3 7 t, - t Ενώ εάν θεωρήσετε την εξίσωση ως προς σημείο αναφοράς το Q(1, 1, 4) είναι x 1 4 t, y 1 3 t, z 4 7 t, - t Τα εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος PQ δίνεται από την παραμετροποίηση x 3 4 t, y 3 t, z 3 7 t, 0 t 1 όπου για t 0μας δίνει το P( 3,, 3) και γιαt 1 το Q(1, 1,4). Ενώ η x 1 4 t, y 1 3 t, z 4 7 t, 0 t 1 για t 0μας δίνει το Q(1, 1,4) και γιαt 1 το P( 3,, 3). Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από το σημείο P0 ( x0, y0, z0) και είναι κάθετο στο διάνυσμα n Ai Bj Ck Διανυσματική μορφή: n PP 0 0 Μορφή Συνιστωσών: A( x x0 ) B( y y0) C( z z0) 0 Απλοποιημένη : Ax By Cz D D Ax By Cz 0 0 0 n P0 ( x0, y0, z0) P( x, y, z) Βρείτε μία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο P( 3, 0, 7) και είναι κάθετο στο διάνυσμα n 5i j1k. 10

Με βάση τον τύπο 5( x ( 3)) ( y 0) ( 1)( z 7) 0 5x y z Βρείτε μία εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία P (0, 0,1), Q (,0,0), R (0,3,0). i j k Το εξωτερικό γινόμενο PQ PR 0 1 3i j 6k είναι διάνυσμα 0 3 1 κάθετο στο επίπεδο που ζητάμε. Οπότε η εξίσωση είναι 3( x 0) ( y 0) 6( z 1) 0 3x y 6z 6. Βρείτε ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία τομής των δύο επιπέδων 3x 6y z 15 και x y z 5 Το διανύσματα n1 3i 6j k είναι κάθετο επίπεδο 3x 6y z 15, ενώ το διάνυσμα n i j k είναι κάθετο στο επίπεδο x y z 5 Οπότε κάθε πολλαπλάσιο του διανύσματος που προκύπτει από το εξωτερικό γινόμενο n n θα είναι παράλληλο στην ευθεία της τομής του επιπέδου. 1 i j k n1 n 3 6 14i j15k 1 Βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας που ορίζει η τομή των δύο επιπέδων 3x 6y z 15 και x y z 5 Από το προηγούμενο παράδειγμα έχουμε ένα διάνυσμα που θα είναι παράλληλο στην ευθεία. Βρίσκουμε και ένα σημείο της τομής (θέτουμε z 0 και λύνουμε) π.χ. (3, 1, 0) οπότε οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι x 314 t, y 1 t, z 15 t, - t. Βρείτε τα σημεία που η ευθεία επίπεδο 3x y 6z 6. 8 x t, y t, z 1 t, t τέμνει το 3 Το σημείο 8 t, t,1 t της δοθείσας ευθείας βρίσκεται στο 3 11

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Επίπεδο 3x y 6z 6 αν 8 3 t t 61 t 6 8 6t 4t 6 6t 6 3 6t 4t 6t 8 6 6 8t 8 t 1 Οπότε το σημείο που η ευθεία τέμνει το επίπεδο είναι το 8 1, 1,1 1,,0 3 3 Βρείτε την τομή των επιπέδων 3x 6y z 15 και x y z 5. Για να βρούμε την τομή των επιπέδων, θα λύσουμε το σύστημα 3x 6y z 15 x y z 5 Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο του επαυξημένου πίνακα: 1 3 6 : 15 1 1 1 / 3 : 5 3 1 1 : 5 1 : 5 1 1 / 3 : 5 1 / 3 : 5 5 0 5 4 / 3 : 5 0 5 / 3 : 5 1 / 3 : 5 1 1 1 0 4 / 15 / 3 : 3 0 1 / 15 : 1 0 1 / 15 : 1 1 0 14 / 15 : 3 0 1 / 15 : 1 Οπότε το αρχικό σύστημα είναι ισοδύναμο με το 14 14 x z 3 x 3 z 15 15 y z 1 y 1 z 15 15 Επομένως 14 x, y,z 3 z, 1,z 15 15 14 3, 1,0 z,,1, z 15 15 Άρα η τομή των επιπέδων είναι η ευθεία 14 x, y,z 3, 1,0 t,,1, t. 15 15 1

6.3 Διανυσματικές συναρτήσεις. 6.3.1 Ορισμοί Έστω D ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Για τον χώρο μία διανυσματική συνάρτηση r () t ορισμένη στο D είναι ένας κανόνας που αποδίδει ένα διάνυσμα του χώρου σε κάθε στοιχείο του D. r( t) x( t) i y( t) j z( t) k Η καμπύλη του του χώρου που διατρέχεται από τη διανυσματική συνάρτηση είναι το γράφημα της συνάρτησης. Οι συνιστώσες συναρτήσεις x( t), y( t), z( t ) είναι βαθμωτές (αριθμητικές) συναρτήσεις. Γενικά οι ποσότητες χωρίζονται σε βαθμωτές (αριθμητικές) και διανυσματικές. Έστω ότι κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος I παρατηρούμε την κίνηση ενός σωματιδίου στον στο χώρο. Οι συντεταγμένες θέσεως μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις του χρόνου και το διάνυσμα θέσεως κάθε χρονική στιγμή μία διανυσματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το I. Η τροχιά του σώματος είναι μία καμπύλη που διέρχεται από το r. Το r() t είναι το διάνυσμα θέσεως του σώματος κάθε χρονική στιγμή. 6.3. Καμπύλες στο χώρο. Αν [α,β] είναι ένα κλειστό διάστημα του και r r( t) x( t) i y( t) j z( t) k, t [ a, b] είναι μια συνεχής διανυσματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, τότε το σύνολο των σημείων του χώρου που παριστάνουν τα διανύσματα θέσεως r ( t), t [ a, b] ονομάζεται καμπύλη c με εξίσωση r r( t), t [ a, b] και συμβολίζεται c : r r ( t), t [ a, b]. Το t καλείται παράμετρος της c. 13

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Παραδείγματα α) Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε την παραμετρική εξίσωση της ευθείας. β) Η παραμετρική παράσταση του κύκλου x y που βρίσκεται στο επίπεδο xy, κατά τη θετική φορά διαγραφής είναι η εξής: r( t) (cos t) i (sin t) j 0 k, t [0, ]. γ) Η έλικα r( t) (cos t) i (sin t) j tk, t [0, ]. 0.5 0-0.5-1 -1-0.5 1 0 0.5 1 8 P( f ( t), g( t), h( t)) 6 4 0 δ) Η καμπύλη που προκύπτει από την τομή του ελλειπτικού κυλίνδρου ( x x0) ( y y0) 1, a 0, b 0 και του επιπέδου z z 0 έχει μορφή: a b r( t) ( x acos t) i ( y bsin t) j z k, t [0, ]. 0 0 0 14

6.3.3 Όρια Έστω r( t) x( t) i y( t) j z( t) k. Εάν ισχύει ότι lim x( t) L1, lim y( t) L και 3 tc lim z( t) L τότε το όριο του r() t καθώς το t τείνει στο c είναι tc lim r( t) L L i L j L k tc 1 3 Αν r( t) (cos t) i (sin t) j tk τότε lim r( t) ( lim cos t) i ( lim sin t) j (lim t) k i j k 4 t / 4 t / 4 t / 4 t /4 tc 6.3.4 Συνέχεια Μία διανυσματική συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο t cτου πεδίου ορισμού της εάν lim r( t) r ( c) tc Η διανυσματική συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο t cεάν και μόνο εάν οι συνιστώσες της x( t), y( t), z( t) είναι συνεχής στο σημείο t c. 6.3.5 Παράγωγος σε σημείο Η διανυσματική συνάρτηση r( t) x( t) i y( t) j z( t) k διαθέτει παράγωγο (είναι διαφορίσιμη στο t, αν οι f ( t), g( t), h( t ) έχουν παραγώγους στο t. Η παράγωγος είναι η διανυσματική συνάρτηση dr r( t t) r( t) dx( t) dy( t) dz( t) r '( t) lim i j k dt t 0 t dt dt dt Αν r( t) (cos t) i (sin t) j tk τότε r '( t) (cos t)' i (sin t)' j t ' k ( sin t) i (cos t) j1k z r'( t) r( t t) r( t) t rt () r( t t) O y x 15

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Η διανυσματική συνάρτηση είναι διαφορίσιμη εφόσον είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Η καμπύλη που διατρέχεται από το διάνυσμα r είναι λεία (δηλαδή δεν εμφανίζει γωνιές) αν η παράγωγος d r είναι παντού συνεχής και διάφορη dt του μηδενικού διανύσματος (κάτι που είναι ισοδύναμο με το να έχει μη μηδενικό μέτρο). Το διάνυσμα d r όταν είναι διάφορο του μηδενικού, είναι εφαπτόμενο της dt καμπύλης. Τύποι και κανόνες παραγώγισης για διανυσματικές συναρτήσεις d d C ( c i c j c k) 0 dt dt 1 3 d dr ( cr( t)) c cr '( t) dt dt d ( f ( t ) r( t )) f '( t ) r( t ) f ( t ) r '( t ) dt d ( r1 ( t) r ( t)) r1 '( t) r '( t) dt d ( r1 ( t) r ( t)) r1 '( t) r ( t) r1 ( t) r '( t) (Εσωτερικό γινόμενο) dt d ( r( f ( t)) r '( f ( t)) f '( t) dt d ( r1 ( t) r ( t)) r1 '( t) r ( t) r1 ( t) r '( t) dt (Εξωτερικό γινόμενο, για καμπύλες στο χώρο) Αν r είναι μία διαφορίσιμη διανυσματική συνάρτηση του t με σταθερό μέτρο τότε dr r 0 dt Δείξτε ότι η t t t ορθογώνια στην παράγωγό της. r( ) (sin ) i cos j 3k έχει σταθερό μέτρο και είναι Έχει σταθερό μέτρο r t t t Και ( ) (sin ) cos 3 1 3 r '( t) cos( t) i sin t j 0k όπου 16

t t t t r( t) r '( t) (sin t ) i cos t j 3 k (cos t ) i sin t j 0k sin cos sin cos 0 6.3.6 Το ολοκλήρωμα 6.3.6.1 Το αόριστο ολοκλήρωμα Το αόριστο ολοκλήρωμα της διανυσματικής συνάρτησης r( t) x( t) i y( t) j ως προς το t είναι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων του r και συμβολίζεται με r () t dt. Αν R είναι τυχούσα αντιπαράγωγος του r τότε Όπου C c1i cj c3k. r ( t) dt R ( t) C 6.3.6. Το ορισμένο ολοκλήρωμα Εάν οι συνιστώσες του r( t) x( t) i y( t) j z( t) k είναι ολοκληρώσιμες στο [ ab,, ] τότε το r είναι ολοκληρώσιμο, και το ορισμένο ολοκλήρωμα του r από το a στο b είναι b b b b r( t) dt x( t) dt i y( t) dt j z( t) dt k a a a a ((cos t) i j tk) dt costdt i dt j tdt k 0 0 0 0 0 0 0 sin t i t j t k [0 0] i [ 0] j[ 0 ] k j k 6.3.6.3 Μήκος τόξου καμπύλης Το μήκος λείας καμπύλης r( t) x( t) i y( t) j z( t) k, a t b που διατρέχεται ακριβώς μία φορά καθώς το t αυξάνει από t a στο t b ισούται με b dx dy dz L dt a dt dt dt Η παραμετρική μορφή του μήκους τόξου με σημείο αναφοράς το Pt ( 0) είναι t t0 t0 t s s( t) r ( t) d x'( ) y'( ) z'( ) d Ένας αετός ανελίσσεται επί της καμπύλης έλικας r( t) cos( t) i sin( t) j tk. Πόση απόσταση έχει διανύσει στην τροχιά του από t=0 έως t=π (περίπου 6.8 sec); dx dy dz L dt 0 dt dt dt sin t cos t 1 dt 0 11dt 0 17

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών t dt μονάδες μήκους. 0 0 ds( t) dr( t) Επειδή 0 η s s() t επιλύεται ως προς t μπορούμε να έχουμε dt dt μία έκφραση της μορφής t t() s και η περιγραφή της καμπύλης να γίνει ως προς μία άλλη παράμετρο αυτή του μήκους τόξου r( s) r ( t( s)), η οποία 1 ονομάζεται φυσική παράμετρος και έχει την ιδιότητα: dr ( ) 1 s 1 ds Μία καμπύλη μπορεί να θεωρηθεί ως τροχιά υλικού σημείου και εάν r () t είναι ο χρόνος και r () t η τροχιά του κινητού τότε ορίζονται οι ακόλουθες φυσικές ποσότητες dr() t v( t), ταχύτητα dt ds( t) dr( t) vt ( ), μέτρο ταχύτητας dt dt d r() t a( t), επιτάχυνση dt 6.3.7 Το τρίεδρο Frenet (συνοδεύον τρίεδρο) Η παράγωγος μιας καμπύλης r r ( s) ως προς το μήκος τόξου συμβολίζεται dr() s με μία τελεία από πάνω, δηλαδή r () s. ds Τρίεδρο του Frenet ονομάζεται το σύστημα T,N,B ˆ ˆ ˆ όπου: T ˆ ( s) r ( s) το N ˆ () s είναι κάθετο στο T ˆ ( s), ομόρροπο με το T ˆ ( s) με φορά προς το εσωτερικό της καμπύλης και μέτρο τη μονάδα. Τέλος ισχύει Bˆ ( s) Tˆ ( s) N ˆ ( s). Το σύστημα T,N,B ˆ ˆ ˆ είναι δεξιόστροφο. 18

Η καμπυλότητα ( s) μίας καμπύλης ορίζεται από τη σχέση και η στρέψη () s από τη σχέση στρέψη είναι βαθμωτά μεγέθη. dtˆ ( s ) ( s) N ˆ ( s) ds dbˆ () s ( s) N ˆ ( s). Η καμπυλότητα και η ds Tο N ˆ () s είναι κάθετο στο T ˆ ( s), ομόρροπο με το T ˆ ( s) με φορά προς το εσωτερικό της καμπύλης και μέτρο τη μονάδα. Οπότε από τον τύπο ˆ ˆ () ( ) d T s T s ( s) N ˆ( s) έχουμε ότι ( s) T ˆ ( s). ds Επίσης από τη σχέση Bˆ ( s) ( s) Nˆ ( s) Bˆ ( s) Nˆ ( s) ( s) Nˆ ( s) Nˆ ( s) ( s) Bˆ ( s) N ˆ ( s). Αφού το N ˆ () s έχει μέτρο τη μονάδα οπότε Ισχύει επίσης η σχέση ισχύει: Nˆ ( s) Nˆ ( s) N ˆ ( s) 1 dnˆ T ˆ+ B ˆ. Συνοπτικά μπορούμε να πούμε ότι ds Tˆ 0 0 ˆ T d ˆ 0 N Nˆ ds ˆ 0 0 ˆ B B Για κάθε καμπύλη, ισχύει ότι η καμπυλότητά της είναι μηδέν, αν και μόνο αν αυτή είναι ευθεία γραμμή και η καμπύλη είναι επίπεδη, αν και μόνον αν η στρέψη της είναι ίση με μηδέν. Έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε την καμπυλότητα σαν ένα μέτρο της απόκλισης μιας καμπύλης από το να είναι ευθεία γραμμή και την στρέψη σαν ένα μέτρο της απόκλισης μιας καμπύλης από το να είναι επίπεδη. Αποδεικνύεται ακόμη ότι για μια καμπύλη r με τυχαία παράμετρο, όχι απαραίτητα την παράμετρο «μήκος τόξου», η καμπυλότητα και η στρέψη δίνονται από τους τύπους: x y z rr r 3 x y z ( rr) r x y z και 3 3. r r Για 0 και η κυλινδρική έλικα r( t) ( cos t) i ( sin t) j tk, t [0, ] έχει μήκος τόξου από το 0 έως το t ίσο με t t t s r ( u) du ( cos t) ( sin t) ( ) du du t Οπότε 0 0 0 t s και η καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου είναι η r(s) ( cos s ) i ( sin s ) j s k, 19

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών 1 To ˆ s s T ( s ) r ( s ) ( sin ) i ( cos ) j k ˆ dtˆ () s s s T ( s ) cos i sin j 0 k ds ˆ s s ( s) T( s) cos sin. Οπότε ˆ ˆ T () s s s N ( s ) cos i sin j 0 k () s s s cos i sin j 0k i j k ˆ ˆ ˆ s s B( s) T( s) N( s) sin cos s s cos sin 0 1 s s sin i cos j ak ˆ d Bˆ ( s ) 1 s s B ( s ) cos i sin j 0 k ds ( s) Bˆ( s) Nˆ( s) 1 s s s s cos i sin j 0k sin i cos j ak s Αντικαθιστώντας το t έχουμε: 1 Tˆ ( t) ( sin t) i ( cos t) j k, ˆ ( t) T ( s), N ˆ ( t) cos t i sin t j 0k, ˆ B( t) sin t i cos t j ak, () t 0

Παρατηρούμε ότι η στρέψη είναι ίση με μηδέν, αν και μόνον αν 0 δηλαδή, αν και μόνον αν η καμπύλη είναι κύκλος (επίπεδο σχήμα). Τέλος, η στρέψη είναι θετική ή αρνητική, ανάλογα με το αν η έλικα είναι δεξιόστροφη (θετική φορά) ή αριστερόστροφη (αρνητική φορά). 6.4 Διανυσματικά Πεδία 6.4.1 Ορισμοί Διανυσματικό πεδίο σε μία περιοχή του χώρου ή του επιπέδου είναι μία συνάρτηση που αντιστοιχίζει σε κάθε σημείο του χώρου (ή του επιπέδου αντίστοιχα) ένα διάνυσμα. F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k ή αντίστοιχα F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j Ένα διανυσματικό πεδίο είναι συνεχές όταν οι συνιστώσες συναρτήσεις του είναι συνεχείς. Επίσης είναι διαφορίσιμο όταν οι συνιστώσες συναρτήσεις του είναι διαφορίσιμες. Παραδείγματα: Τα διανύσματα του βαρυτικού ή ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Τα διανύσματα ταχύτητας ενός βλήματος ορίζουν ένα διανυσματικό πεδίο κατά μήκος της τροχιάς. 1

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών Αν σε κάθε σημείο ενός ρευστού που ρέει αντιστοιχίσουμε το διάνυσμα ταχύτητάς του. Το επίπεδο των διανυσμάτων κλίσης f της επιφάνειας f(x,y,z)=c. Το πεδίο κλίσεως μίας διαφορίσιμης συνάρτησης f(x,y,z) είναι το πεδίο των διανυσμάτων κλίσης: 6.4. Απόκλιση f f f f i j k x y z Έστω ένα διανυσματικό πεδίο ορισμένο σε περιοχή του χώρου F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k

με συνιστώσες που έχουν συνεχείς πρώτης τάξης μερικές παράγωγους σε όλο το πεδίο ορισμού του. Τότε μπορώ να ορίσω την απόκλισή του (divergence) : M N P divf F x y z Η απόκλιση είναι μία βαθμωτή συνάρτηση (όχι διανυσματική) την οποία συμβολίζουμε με divf ή F. Η τελεία εδώ δεν έχει έννοια εσωτερικού γινομένου. Για διανυσματικά πεδία ορισμένα στο επίπεδο έχουμε M N divf F x y. Για την απόκλιση ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: ( F G) F G, όπου, ( f G) f G f ( G), όπου f βαθμωτή συνάρτηση : Βρείτε την απόκλιση του διανυσματικού πεδίου F( x, y) ( x y) i xj του επιπέδου xy. Ισχύει M ( x y) N ( x) 1, 0 x x y y M N Οπότε divf = 1 0 1 x y 6.4.3 Τελεστής Laplace Έστω μία βαθμωτή συνάρτηση f(x,z,y) με συνεχείς μέχρι και μερικές παραγώγους δευτέρας τάξης. Γνωρίζουμε ότι η κλίση της είναι ένα διανυσματικό πεδίο f f f f i j k. x y z Εάν πάρουμε την απόκλιση του διανυσματικού αυτού πεδίου τη συμβολίζουμε με Laplace. Εάν ισχύει f f f x y z div f f f f και τον τελεστή (πράξη) αυτή ονομάζουμε τελεστή f 0 τότε η συνάρτηση χαρακτηρίζεται ως αρμονική. Οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace : Εξετάστε εάν η συνάρτηση f ( x, y) x 1 y είναι αρμονική. f 0. 3

Κεφάλαιο Εισαγωγικών Εννοιών 1/ 1 1/ 1 3/ x y x y fx x y xx y x x x y 3x x y 3/ x x y 3 fxx x y x x y x x 3/ 5/ Λόγω συμμετρίας ισχύει yy 3 3/ 5/ 3/ 5/ f x y y x y, f f 3/ 5/ 3/ x y 3x y x y x y 0 x y την ικανοποιεί. 6.4.4 Στροβιλισμός Έστω ένα διανυσματικό πεδίο ορισμένο σε περιοχή του χώρου F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+P(x,y,z)k Οπότε δεν με συνιστώσες που έχουν συνεχείς πρώτης τάξης μερικές παράγωγους σε όλο το πεδίο ορισμού του. Τότε μπορώ να ορίσω τον στροβιλισμό του i j k P N P M N M curlf F x y z y z i j x z x y k M N P Ο στροβιλισμός είναι μία διανυσματική συνάρτηση την οποία συμβολίζουμε με curlf ή F. Το x εδώ δεν έχει έννοια εξωτερικού γινομένου. Όταν ένα πεδίο έχει στροβιλισμό το μηδενικό διάνυσμα λέγεται αστρόβιλο. : Βρείτε τον στροβιλισμό του πεδίου i j k F ( x y) i 4zj x k F (0 4) i (x 0) j (0 1) k 4i xj k x y z x y 4z x : Δείξτε ότι το πεδίο F yzi xzj xyk είναι αστρόβιλο. Παρατηρούμε ότι P N M P N M x, y, z y z z x x y οπότε i j k F ( x x) i ( y y) j ( z z) k 0i 0j 0k x y z yz xz xy 4

Για τον στροβιλισμό ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: ( F G) F G ( f G) f G f ( G), όπου f βαθμωτή συνάρτηση ( F) F, όπου ( F) F F ( F) 0, στροβιλισμός της κλίσης είναι 0 ( F) 0, η απόκλιση του στροβιλισμού είναι 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα : 1. Thomas Calculus 11 th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW. Thomas Απειροστικός Λογισμός, Finney, Hass, Jiordano, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 3. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Copyright των εκδόσεων αυτών. 5