ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν z 1, z είνι μιγδικοί ριθμοί, ν ποδειχθεί ότι: z 1 z = z1 z. Α. Πότε δύο συνρτήσεις f, g λέγοντι ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεί y = λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο ; Μονάδες 3 B. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή, ή Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσμένη.. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [,β] κι γι κάθε [, β] ισχύει f() τότε f() d >. β Μονάδες β. Έστω f μι συνάρτηση συνεχής σε έν διάστημ κι πργωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ γ. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είνι συνεχής στο. δ. Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ κι είνι έν σημείο του, τότε g() ( f(t) dt) = f ( g() ) g () με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμβολ έχουν νόημ. ε. Αν > 1 τότε lim =. ΘΕΜΑ ο ίνετι ο μιγδικός ριθμός i z = με IR. i. Ν ποδειχθεί ότι η εικόν του μιγδικού z νήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) κι κτίν ρ =1. Μονάδες 9 β. Έστω z 1, z οι μιγδικοί που προκύπτουν πό τον τύπο z = i i γι = κι = ντίστοιχ. i. Ν βρεθεί η πόστση των εικόνων των μιγδικών ριθμών z 1 κι z. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ii. Ν ποδειχθεί ότι ισχύει: ν (z1) = ( z ) ν γι κάθε φυσικό ριθμό ν. ΘΕΜΑ 3 ο ίνετι η συνάρτηση: f() = 3 3 ημ θ π όπου θ IR μι στθερά με θ κπ, κ Z.. Ν ποδειχθεί ότι η f προυσιάζει έν τοπικό μέγιστο, έν τοπικό ελάχιστο κι έν σημείο κμπής. β. Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει κριβώς τρεις πργμτικές ρίζες. γ. Αν 1, είνι οι θέσεις των τοπικών κροτάτων κι 3 η θέση του σημείου κμπής της f, ν ποδειχθεί ότι τ σημεί Α( 1, f( 1 )), B(, f( )) κι Γ( 3, f( 3 )) βρίσκοντι στην ευθεί y = ημ θ. Μονάδες 3 δ. Ν υπολογισθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f κι την ευθεί y = ημ θ. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4 ο Έστω f μι συνεχής κι γνησίως ύξουσ συνάρτηση στο διάστημ [, 1] γι την οποί ισχύει f() >. ίνετι επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημ [, 1] γι την οποί ισχύει g() > γι κάθε [, 1]. Ορίζουμε τις συνρτήσεις: F() = f(t) g(t) dt, [, 1], G() = g(t) dt, [, 1 ].. Ν δειχθεί ότι F() > γι κάθε στο διάστημ (, 1]. β. N ποδειχθεί ότι: f() G() > F() γι κάθε στο διάστημ (, 1]. γ. N ποδειχθεί ότι ισχύει: F() F(1) G() G(1) γι κάθε στο διάστημ (, 1]. Μονάδες 6 Μονάδες 4 δ. Ν βρεθεί το όριο: lim f(t) g(t) dt g(t) dt ημt 5 dt. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (γι τους εξετζόμενους) 1. Στο τετράδιο ν γράψετε μόνο τ προκτρκτικά (ημερομηνί, κτεύθυνση, εξετζόμενο μάθημ). Ν μην ντιγράψετε τ θέμτ στο τετράδιο.. Ν γράψετε το ονομτεπώνυμό σς στο πάνω μέρος των φωτοντιγράφων, μέσως μόλις σς πρδοθούν. Κμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπετι ν γράψετε. Κτά την ποχώρησή σς ν πρδώσετε μζί με το τετράδιο κι τ φωτοντίγρφ. 3. Ν πντήσετε στο τετράδιό σς σε όλ τ θέμτ. 4. Ν γράψετε τις πντήσεις σς μόνο με μπλε ή μόνο με μύρο στυλό. Μπορείτε ν χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο γι σχέδι, διγράμμτ κι πίνκες. 5. Κάθε πάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είνι ποδεκτή. 6. ιάρκει εξέτσης: τρεις (3) ώρες μετά τη δινομή των φωτοντιγράφων. 7. Χρόνος δυντής ποχώρησης: μετά τη 1.3 πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ