Μονάδες 2. ΘΕΜΑ 2 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μονάδες 2. ΘΕΜΑ 2 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0)"

Κασσιέπεια Σπηλιωτόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:. 1 Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε [α, β] ισχύει f() τότε. Μονάδες β. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του. Μονάδες γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο. Μονάδες δ. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και α είναι ένα σημείο του, τότε με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. Μονάδες ε. Αν α > 1 τότε. ΘΕΜΑ ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. Μονάδες α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,)

2 και ακτίνα ρ =1. Μονάδες 9 β. Έστω z 1, z οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για α = και α = αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z και z. 1 ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: για κάθε φυσικό αριθμό ν. ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση: f() = 3 3 ημ θ όπου θ IR μια σταθερά με θ κπ +, κ Z. α. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. Μονάδες 7 β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. γ. Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και η θέση του σημείου 1 3 καμπής της f, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, f( )), B(,f( )) και Γ(, f( )) βρίσκονται στην ευθεία y = ημ θ. 3 Μονάδες 3 δ. Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y = ημ θ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 4 ο Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [,1] για την οποία ισχύει f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, 1] για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, 1]. Ορίζουμε τις συναρτήσεις: F() =, [, 1],

3 G() =, [, 1]. α. Να δειχθεί ότι F() > για κάθε στο διάστημα (, 1]. β. Nα αποδειχθεί ότι: f() G() > F(), για κάθε στο διάστημα (, 1]. Μονάδες 6 γ. Nα αποδειχθεί ότι ισχύει:, για κάθε στο διάστημα (, 1]. δ. Να βρεθεί το όριο: Μονάδες 4 Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο : Α.1 Σχολικό βιβλίο απόδειξη σελ. 98 Α. Σχολικό βιβλίο, ορισμός, σελ. 141 Α.3 Σχολικό βιβλίο, ορισμός, σελ. 8 Β. α. Λάθος β. Λάθος γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό ΘΕΜΑ ο : +αi α. Είναι z=, α R α+i Έχουμε +αi +αi 4+α z= = = = 1 α+i α+i α +4 Άρα η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=1. β. Για α= έχουμε 1 +i 1 z= = =-i +i i

4 +i Για α= έχουμε z = =1 +i i. Αν Μ 1, Μ οι εικόνες των μιγαδικών z 1,z αντίστοιχα τότε (Μ 1,Μ )= z-z 1 =-i-1=1+i=. ii. Για κάθε φυσικό αριθμό v έχουμε: (z 1 ) v =(-i) v =i v =[i ] v =(-1) v (-z ) v =(-1) v Άρα (z 1 ) v = (-z ) v ΘΕΜΑ 3 ο : Έχουμε f()= 3-3-ημ θ, θ ΙR με θ κπ+ π, κ Ζ. α. Η f είναι συνεχής και δυο φορές παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με f ()=3-3 και f ()=6 Έχουμε f ()= =-1 ή =1. Το πρόσημο της f, η μονοτονία και τα ακρότατα της f, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: f () + + f() Τ.Μ. Για =-1, η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(-1)=-ημ θ. Τ.Ε. f(1)=--ημ θ. Έχουμε f ()= =. καμπής της C f, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Για =1, η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το Το πρόσημο της f, η κυρτότητα και το σημείο + f () + f() Σ.Κ. Για =, η f παρουσιάζει καμπή και το σημείο Γ(, -ημ θ) είναι το σημείο καμπής της C f.

5 β. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ 1 =(-,-1] οπότε f(), f(-1) =, -ημ θ f(δ 1 )=( lim ] ( αφού lim 3 f() = lim = -. Επειδή Ο f(δ 1 ), η εξίσωση f()= έχει ακριβώς μια ρίζα στο Δ 1. Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο Δ =[-1, 1] οπότε f(δ )=[f(1), f(-1)]=[--ημ θ, -ημ θ] Επειδή Ο f(δ ), η εξίσωση f()= έχει ακριβώς μια ρίζα στο Δ. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ 3 =[1, + ) ) οπότε f(δ 3 )=[f(1), lim f() =[--ημ θ, + ) + αφού lim + 3 f() = lim = +. + Επειδή Ο f(δ 3 ), η εξίσωση f()= έχει ακριβώς μια ρίζα στο Δ 3. Άρα η εξίσωση f()= έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. γ. Έχουμε Α(-1, -ημ θ) Β(1,--ημ θ) Γ(,-ημ θ) Επειδή οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας (ε) y=--ημ θ, βρίσκονται πάνω σ αυτήν. δ. Οι τετμημένες των κοινών σημείων της C f με την (ε) είναι οι ρίζες της εξίσωσης f()=--ημ θ Οπότε 3-3-ημ θ=--ημ θ 3 -= =-1 ή = ή =1. Έχουμε H()=f()-(--ημ θ)= 3 -. Το πρόσημο της Η στο [-1,1] φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

6 1 1 Η() + Άρα Ε(Ω)= Η()d- Η()d= ( -)d- ( -)d= = =...= τ.μ ΘΕΜΑ 4 ο : α. Αφού f γνησίως αύξουσα στο [,1] τότε f()>f()> για κάθε (,1]. Επειδή η f(t)g(t) είναι συνεχής στο [,1], η F είναι παραγωγίσιμη στο [,1], άρα και συνεχής με F ()= ( f(t)g(t)dt ) ' =f()g()> για κάθε (,1]. Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα στο [,1]. Οπότε F()>F(), για κάθε (,1]. Δηλαδή F()>, για κάθε (,1]. β. Για (,1] και t 1 έχουμε f(t) f() αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,1]. Επειδή g(t) > για κάθε t [,1] τότε f(t)g(t) f()g(t), για κάθε t [,1]. Έστω h(t) = f()g(t) - f(t)g(t) = g(t)(f()-f(t)), t [,] Η h είναι συνεχής στο [,] με h(t) για κάθε t [,] και αφού η h δεν είναι παντού μηδέν στο [,] τότε ( ) h(t)dt > f()g(t) f(t)g(t) dt > f()g(t)dt f(t)g(t)dt > f() g(t)dt > f(t)g(t)dt f()g()>f() για κάθε (,1].

7 γ. Θεωρούμε την συνάρτηση Φ()= F() G(), (,1]. Αφού g συνεχής στο [,1] τότε η G είναι παραγωγίσιμη στο [,1] άρα και συνεχής με G ()=g()>, για κάθε (,1]. Άρα η G είναι γνησίως αύξουσα στο [,1] οπότε G()>G(), για κάθε (,1], δηλαδή G()>, για κάθε (,1], άρα G(), (,1]. Η Φ είναι παραγωγίσιμη στο (,1] με Φ ()= F'()G()-F()G'() f()g()g()-f()g() g() ( f()g()-f() ) = = >, για κάθε (,1] G () G () G () αφού g()> και f()g()-f()>, για κάθε (,1]. Άρα η Φ είναι γνησίως αύξουσα στο (,1]. Επομένως Φ() Φ(1), για κάθε (,1]. Δηλαδή F() G() F(1) G(1), για κάθε (,1]. f(t)g(t)dt=f()= δ. Αφού F συνεχής στο o =, τότε lim+. Ομοίως, G συνεχής στο o =, g(t)dt=g()= οπότε lim+. Έχουμε Εφόσον lim + ( f(t)g(t)dt ) ( ) ημt dt = g(t)dt 5 ( ) ( ) f(t)g(t)dt ημt dt lim = f() = + 5 g(t)dt ' f(t)g(t)dt f(t)g(t)dt f()g() lim = lim = lim = lim f()=f() ' g() g(t)dt g(t)dt

8 ' ημt dt 4 ' ημt dt 4 ημ ( ) ημ lim lim = = lim = lim = 1 = ' ( ) Επειδή 4 4 ημ u= ημu lim = lim = u u Τα θέματα επιμελήθηκαν τα φροντιστήρια «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» Φλωρόπουλου. Γιοράν Π. Κούσης Π. Σιφναίος Δ. Φιλιόγλου Β. Φλωρόπουλος Α.

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y