Τµ. Επιστήµης των Υλικών
Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, Ιδιότητες: (i) f(x i) 0, i = 1, 2,..., (ii) + i=1 f(x i) = 1. 2. Συνεχούς τύπου X ονοµάζεται συνεχής τ.µ. αν υπάρχει f : R R, τέτοια ώστε P(X B) = f(x)dx B f(x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, Ιδιότητες: (i) f(x) 0, x R, (ii) + f(x)dx = 1.
ιακριτές Κατανοµές ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) n f(x) = P(X = x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,...,n, 0 < p < 1. x Συµβολικά: X B(n, p). Περιγραφή Ενα διωνυµικό πείραµα ταυτίζεται µε ένα τυχαίο πείραµα το οποίο έχει δύο δυνατά αποτελέσµατα: Επιτυχία ή Αποτυχία. Παραδείγµατα 1 Ρίψη ενός νοµίσµατος 2 Επιλογή αντικειµένων σε ελαττωµατικά ή µη. 3 Αποτελέσµατα εξετάσεων (αποτυχία ή επιτυχία)
ιακριτές Κατανοµές Poisson κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη Poisson κατανοµή ή X είναι µια Poisson τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = P(X = x) = e λλx x! Συµβολικά: X P(λ)., x = 0, 1,..., λ > 0. Παραδείγµατα 1 X µετράει το πλήθος των πελατών που ϕτάνουν σε ένα κατάστηµα. (λ: είναι το πλήθος των πελατών που ϕτάνουν στην µονάδα του χρόνου.) 2 X µετράει το πλήθος των τηλεφωνηµάτων που ϕτάνουν σε ένα τηλεφωνικό κέντρο. (λ: είναι το πλήθος των τηλεφωνηµάτων που ϕτάνουν στην µονάδα του χρόνου.)
ιακριτές Κατανοµές Υπεργεωµετρική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί τη υπεργεωµετρική κατανοµή ή X είναι µια υπεργεωµετρική τυχαία µεταβλητή, εάν ( m ( n ) f(x) = P(X = x) = x) ), x = 0, 1,... min{m, r}, m, n, r Z +. r x ( m+n r Συµβολικά: X H(x : n, m, r). Περιγραφή κατανοµής Μέσα σε ένα σφαιρίδιο υπάρχουν m µαύρα και n άσπρα σφαιρίδια. Παίρνουµε r σφαιρίδια χωρίς επανατοποθέτηση, τότε η τ.µ. X µετράει τον αριθµό των µαύρων σφαιριδίων από τα r. Παρατήρηση min{m,r} ( ) ( ) ( ) m n m + n =. x r x r x=0
ιακριτές Κατανοµές Αρνητική ιωνυµική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή ή X είναι µια αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβλητή, εάν ( ) r + x 1 f(x) = P(X = x) = p r (1 p) x, x = 0, 1,..., 0 < p < 1. x Συµβολικά: X NB(r, p). Περιγραφή Εκτελούµε ένα διωνυµικό τυχαίο πείραµα, τόσες ϕορές, όσες για να εµφανιστούν οι r επιτυχίες, τότε η τ.µ. X µετράει το πλήθος των αποτυχιών του πειράµατός µας. Παρατήρηση Για r = 1, P(X = x) = p(1 p) x, x = 0, 1, 2,... και η κατανοµή ονοµάζεται γεωµετρική κατανοµή ή κατανοµή του Pascal. Συµβολικά: X Ge(p).
Συνεχείς Κατανοµές Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την κανονική κατανοµή ή X είναι µια κανονική τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R, µ R, σ > 0. Συµβολικά: X N(µ,σ 2 ). Παραδείγµατα Μέτρηση ύψους, ϐάρους, ϐαθµολογίας κ.λ.π. Παρατήρηση Για µ = 0, σ 2 = 1 f(x) = 1 2π e x2 /2, x R ονοµάζεται τυπική κανονική κατανοµή. Συµβολικά: X N(0, 1). και η κατανοµή
Συνεχείς Κατανοµές Οµοιόµορφη κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή ή X είναι µια οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή, εάν 1, x [a,β] f(x) = β a 0, x [a,β] Συµβολικά: X U(a,β).
Συνεχείς Κατανοµές Γάµµα κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την Γάµµα κατανοµή ή X είναι µια Γάµµα τυχαία µεταβλητή, εάν f(x) = Συµβολικά: X G(a,β). 1 Γ(a)β a xa 1 e x/β, x > 0, a,β > 0. Παρατήρηση + Γ(a) = x a 1 e x dx συνάρτηση Γάµµα. 0 Ιδιότητες: 1 Γ(a) = (a 1)Γ(a 1), 2 Γ(n) = (n 1)!, n Z +, 3 Γ(1) = 1, Γ(1/2) = π.
Συνεχείς Κατανοµές Εκθετική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή X ακολουθεί την εκθετική κατανοµή ή X είναι µια εκθετική τυχαία µεταβλητή, εάν Συµβολικά: X E(λ). f(x) = λ e λx, x > 0, λ > 0. Παρατήρηση E(λ) G(a = 1,β = 1/λ). Παραδείγµατα 1 Προβλήµατα αναµονής (π.χ. σε ουρά τράπεζας) 2 Προβλήµατα διάρκειας Ϲωής (π.χ. µηχανηµάτων)
Παραδείγµατα Παράδειγµα 1 Εστω ότι η διάρκεια Ϲωής X των κατοίκων µιας χώρας είναι µια τυχαία µεταβλητή που έχει την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ = 1/50. 1 Ποιο ποσοστό του παραπάνω πληθυσµού συνταξιοδοτείται, όταν η συνταξιοδότηση αρχίζει µόλις συµπληρωθεί η ηλικία των 65 χρόνων; 2 Ποια είναι η πιθανότητα για ένα άτοµο από τον παραπάνω πληθυσµό να Ϲήσει τουλάχιστον 70 χρόνια, δοθέντος ότι µόλις γιόρτασε την 40η επέτειο των γενεθλίων του;
Παραδείγµατα Παράδειγµα 2 Ο χρόνος άφιξης ενός ϕοιτητή στην κεντρική ϐιβλιοθήκη κατά τις ώρες 12:00 14:00 είναι µία οµοιόµορφη τ.µ. στο διάστηµα [12, 14] (U(12, 14)). 1 Υπολογίστε την πιθανότητα, ένας ϕοιτητής να ϕτάσει στην κεντρική ϐιβλιοθήκη µεταξύ 13:30 14:00. 2 Αν µεταξύ 12:00 14:00 έχουν ϕτάσει στην κεντρική ϐιβλιοθήκη 40 ϕοιτητές, ποια είναι η πιθανότητα οι 10 από αυτούς να έχουν ϕτάσει µεταξύ 13:30 14:00; 3 Αν είναι γνωστό ότι από τους 100 ϕοιτητές που ϕτάνουν µεταξύ 12:00 14:00 στην κεντρική ϐιβλιοθήκη, οι 20 ϕτάνουν µεταξύ 13:30 14:00 και πάρουµε τυχαία 30 (από τους 100) ϕοιτητές, ποια είναι η πιθανότητα 5 (από τους 30) να έχουν ϕτάσει στη ϐιβλιοθήκη µεταξύ 13:30 14:00;
Παραδείγµατα Παράδειγµα 3 Σε µία αίθουσα υπάρχουν 60 άτοµα, όπου τα 15 από αυτά ψήφισαν το κόµµα Α. Παίρνουµε τυχαία 5 άτοµα. Να ϐρεθεί η πιθανότητα ότι δύο άτοµα ψήφισαν το κόµµα Α, όταν η δειγµατοληψία γίνεται, α) µε επανατοποθέτηση και ϐ) χωρίς επανατοποθέτηση.
Οριακές σχέσεις µεταξύ κατανοµών Θεώρηµα 1 Εστω X B(n, p) και έστω ότι η πιθανότητα επιτυχίας p εξαρτάται από το n µε τον ακόλουθο τρόπο, p n 0 έτσι ώστε λn = npn λ, για κάποιο λ > 0. n + n + Τότε, ( ) n pn(1 p x n) n x λ x n + x e λ x!, x = 0, 1, 2,... Απόδειξη. Εφ όσον np n λ p n λ n, εποµένως, ( n x) p x n (1 pn)n x ( n = n(n 1)(n x+1) n x λ x x! λ x)( n ( 1 λ n ) x ( ) 1 λ n x = n ) n ( ) 1 λ x n n + 1 λx x! e λ 1 = e λλx x!. Παρατήρηση Αν το n είναι αρκετά µεγάλο (και το p αρκετά µικρό), τότε οι διωνυµικές πιθανότητες δεν είναι εύκολο να υπολογιστούν, παρά µόνο προσεγγιστικά από τις Poisson πιθανότητες µε λ = np.
Οριακές σχέσεις µεταξύ κατανοµών Θεώρηµα 2 Εστω X H(x; n, m, r) και έστω m, n +, Τότε, ( m x) ( n ) r x ( m+n ) m,n + r m m + n = p m,n m,n + p ( ) r p x (1 p) r x x = 0, 1, 2,...,r. x