ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ λ y λ.0 Δίνεται τ σύστημα:, λy λ λ R. Να υλγίσετε τις τιμές τυ λ ώστε για τη λύση τυ συστήματς (,y) να ισχύει y 0.0 Δίνεται η συνάρτηση : αν 0 f() με λ R λ αν 0 Να βρεθύν ι τιμές τυ λ ώστε f(0) Να γίνει η γραφική αράσταση της συνάρτησης f στην ερίτωση υ λ ισύται με την μεγαλύτερη αό τις τιμές υ βρήκατε στ α) ερώτημα. Για την συνάρτηση f τυ β) ερωτήματς: α) να βρεθύν τα f( ), f(,5), β) Να λύσετε τ σύστημα : f( ) y 6 f(,5)y 0.0 Να λύσετε τ σύστημα: (Σ): 7 y y 0 μ 5y 5.0 Δίνεται τ (Σ):, μ y 5 μ R Για ιες τιμές τυ μ έχει άειρες λύσεις Για ιες τιμές τυ μ έχει μναδική λύση Αν τ σύστημα έχει μναδική λύση,y o o, να βρείτε τη λύση αυτή. δ) Να υλγίσετε τις τιμές τυ ραγματικύ αριθμύ μ ώστε για τη λύση τυ συστήματς,y, τυ δ) ερωτήματς, να ισχύει: o o y 5 o.05 Να σχηματιστεί εξίσωση δευτέρυ βαθμύ με ρίζες, ώστε : λ λ+ λ- λ.06 Δίνεται ένα σύστημα (Σ) γραμμικών εξισώσεων με αγνώστυς και ψ και D, D, D ψ ι ρίζυσες τυ συστήματς ι ίες ικανιύν τ αρακάτω σύστημα : Σ : D.D + D ψ = 0 D + D.D ψ = 0 Να λύσετε τ Σ, με αγνώστυς τυς D, D ψ Να λύσετε τ (Σ). (λ ) y.07 Δίνεται τ (Σ), λ R (λ )y να λύσετε τ σύστημα (Σ) για κάθε λ στ R Στην ερίτωση υ τ (Σ) έχει μναδική 0 0 λύση (χ,y 0 ) και ισχύει y να βρεθεί τ λ στ R. y 6.08 Δίνεται τ σύστημα (Σ): y λ Αδείξτε ότι έχει μναδική λύση 0,y 0 Για ιες τιμές τυ λ ισχύει : 0 y0 0.09 Δίνεται τ σύστημα λ y 0 (Σ): λ R y Για ιες τιμές τυ λ R τ σύστημα (Σ) έχει μναδική λύση; Πια είναι αυτή; Αν λ, ια είναι η σχετική θέση των ευθειών υ αντιστιχύν στις εξισώσεις τυ (Σ) ; λy λ λy.0 Δίνεται τ σύστημα Σ και τα τριώνυμα f λ, g λ. Α. Να βρεθεί τ λ ώστε τ σύστημα να έχει μναδική λύση. Β. Εάν η μναδική λύση τυ Σ είναι 0 0, y και ισχύει 0 y0 0, να λυθεί η ανίσωση f g. Γ. Βρείτε τη λύση τυ συστήματς D λ D λ D Dy 0 όυ λ και λ είναι ι τιμές για τις ίες τ Σ είναι αδύνατ και έχει άειρες λύσεις αντίστιχα
Άλγεβρα B Λυκείυ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ.0 Να μελετήσετε τη μντνία των συναρτήσεων A) f 5, με B) f f.0 Να μελετήσετε τη μντνία των συναρτήσεων f ( ) στ, f f.0 Να μελετήσετε τη μντνία των συναρτήσεων f() f(), 0.0 Να αδείξετε ότι η γραφική αράσταση κάθε γνησίως μνότνης συνάρτησης τέμνει σε ένα τ λύ σημεί τν άξνα..05 Να ρσδιρίσετε τ λ αν η συνάρτηση f ( λ ) 0 είναι αύξυσα.06 Να μελετηθεί ως ρς τη μντνία η συνάρτηση f() (λ ), λ R..07 Να αδείξετε ότι η συνάρτηση f με f είναι γνησίως αύξυσα στ R 5.08 f () f για κάθε R. Να αδείξετε ότι η f είναι γνήσια αύξυσα f Να λυθεί η ανίσωση.09 Έστω συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα: fyf fy,,y R. Δίνεται ακόμα ότι ισχύει ρόταση: «Αν 0 τότε f 0». να αδείξετε ότι: f0 0 η f είναι εριττή η f είναι γνησίως αύξυσα. Δ) Να λύσετε την ανίσωση f 005 f 005 f 8 ΑΚΡΟΤΑΤΑ.0 Να μελετηθύν ως ρς τα ακρότατα ι συναρτήσεις f f f Δ) f 5. Να μελετηθύν ως ρς τη μντνία και τα ακρότατα ι συναρτήσεις f στ, f στ, f 7 6 στ,5. Έστω η συνάρτηση f, R. Να αδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι τ. Να ρσδιριστεί κ ώστε όταν η συνάρτηση f κ αρυσιάζει ελάχιστ, η συνάρτηση g κ να αρυσιάζει για την ίδια τιμή τυ μέγιστ. Να ρσδιριστεί μ ώστε για τις τιμές υ η εξίσωση μ έχει αρνητική λύση, η συνάρτηση f ( μ ) να αρυσιάζει μέγιστ..5 Έστω η συνάρτηση f, R. Να αδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι τ.6 Έστω η f αδείξετε ότι: f, 0, 0. Να f, 0 η μέγιστη τιμή της f είναι τ
ΑΡΤΙΕΣ ΠΕΡΙΤΤΕΣ.7 Για κάθε μια αό τις συναρτήσεις εξετάστε ια είναι άρτια και ια είναι εριττή. f f f 5 ( ) ( ).8 Να βρείτε ιες αό τις αρακάτω συναρτήσεις είναι εριττές και ιες άρτιες: f() f() f(). Έστω μια συνάρτηση ρισμένη στ R, η ία είναι συγχρόνως άρτια και εριττή. Δείξτε ότι για κάθε είναι f 0.. Δίνεται συνάρτηση f:r R με την ιδιότητα για κάθε,y R ισχύει fy f fy. Δείξτε ότι: f0 0 η f είναι εριττή.5 Έστω συνάρτηση f με f() (λ ) λ. Να βρείτε για ιες τιμές τυ λ R η f είναι άρτια εριττή Δ) f Ε) f 8 5 5.9 Να βρείτε ιες αό τις αρακάτω συναρτήσεις είναι εριττές και ιες άρτιες: f:, R με f f () ( ) Δ) f Ε) f () ( ).0 Nα δείξετε ότι αν τ μηδέν ανήκει στ εδί ρισμύ μιας εριττής συνάρτησης f τότε f(0) 0. Να ρσδιρίσετε για ια τιμή τυ α η γραφική αράσταση της συνάρτησης g() α+ είναι συμμετρική ως ρς την αρχή των αξόνων..6 Πιες αό τις αρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ιες εριττές;.7 Δίνεται η συνάρτηση f για την ία ισχύει ότι f. Nα βρεθεί τ f αν γνωρίζετε ότι : η f είναι άρτια η f είναι εριττή. Να βρείτε ιες αό τις αρακάτω συναρτήσεις είναι εριττές και ιες άρτιες: f 7 7 f 0 0 f 0 0. Αν η συνάρτηση f είναι εριττή με εδί ρισμύ Α, να αδείξετε ότι η g() f() είναι άρτια.8 Να συμληρώσετε τις αρακάτω γραμμές ώστε να αριστάνυν γραφικές αραστάσεις άρτιας ή εριττής συνάρτησης
6 Άλγεβρα B Λυκείυ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.0 Σε ι τεταρτημόρι βρίσκεται τ σημεί M, αν ΟΜ ω και ημω συνω>0.0 Αν 5 να αδείξετε ότι εφ ημ συν σφ..0 Να υλγίσετε τις αραστάσεις : ημ90 ημ80 ημ70 ημ60 εφ 80-5(-συν 90 ) εφ60 εφ0 εφ5 εφ0 εφ60 Ανισότητες Μέγιστα Ελάχιστα.0 Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των αραστάσεων : A=ημ 5 B= συν Γ ημ συνy.05 Να δείξετε ότι ημ συν.06 Να εξηγήσετε γιατί δεν υάρχει γωνία τέτια ώστε να ισχύει: συν συν ημ Να βρεθύν ι άλλι τριγωνμετρικί αριθμί.07 Αν είναι συνω και 90 ω 80 να υλγίσετε την αράσταση 5 Α ημω συνω εφω.09 Αν 6συν ω 5 0 και 90 ω 80, να υλγίσετε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς..0 Αν ημ ω και 0 ω 80, να υλγίσετε τυς άλλυς τριγωνμετρικύς αριθμύς..08 Αν 0ω 90 και εφω να υ- λγίσετε την αράστασης ημω συνω Α ημω 9συνω. Αν 7συνω 8 0 και 90 ω 80 να υλγίσετε την τιμή της ημω συνω αράστασης Α εφω Βασικές Ταυτότητες. Να αδείξετε ότι: συνθημθ συν θ ημ θ. Να αδείξετε ότι: ημωσυνφ ημωημφ συνω. Να αδείξετε ότι: 5 ημ θσυνθ ημ θσυνθ ημ θ συν θ.5 Να αδείξετε ότι: εφω ημω συνω εφω.6 Να αδείξετε ότι: ημ συν συν ημ.7 Να αδείξετε ότι: ημω συνω εφω ημω - συνω εφω -.8 Να αδείξετε ότι: συν ωημ ω εφ ω ημωσυνω εφω.9 Να αδείξετε ότι εφ+ εφ συν, αν 0
εφ.0 Αδείξτε ότι ημ -συν εφ +. Να αδείξετε ότι συν- ημ+ ημ συν. Να αδείξετε ότι ημα συνα εφα +συνα + ημα.5 Να αδείξετε ότι ημ ωημωσυν ω εφω συνω.6 Να αδείξετε ότι: εφ ημ 6 εφ σφ συν.7 Να αδείξετε ότι 7 εφ εφ 7 +σφ +σφ 7. Να αδείξετε ότι ημα συναεφα+σφα ημα συνα. Να αδείξετε ότι: ημ συν ημ συν ημ συν Αναγωγή στ Τεταρτημόρι.0 Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς των γωνιών, 5 6 50,,. Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς των γωνιών κ με κ Ζ 000, 00, 6. Να υλγίσετε την τιμή της αράστασης: 7 συν εφ σφ ημ συν 6 6 7 ημ σφ εφ συν ημ 6 6. Να αλιήσετε τις αραστάσεις: εφθσυν 90 θ ημ 80 θ ημθσυν 90 θ εφ 80 θ.8 Να αδείξετε ότι: συν α+συν β+ημα ημβ.9 Να αδείξετε ότι συν α+ συν α.5 Να αδείξετε ότι: εφ(+)συν(-)ημ(-) σφ συν(-)συν.6 Σε κάθε τρίγων ABΓ να αδείξετε ότι : εφα Β εφγ.7 Αν ημφ= και φ< τότε να 5 υλγίσετε την τιμή της αράστασης εφφσφφ Α και να εξετάσετε αν ημ( φ)+συν( φ) υάρχει γωνία ω ώστε ημω=α.8 Να αδείξετε ότι ημ συν ημ συν 8 8 8 8.9 Να υλγίσετε την τιμή τυ γινμένυ: συν0 συν συν συν006. Να αδείξετε ότι: ημ 5 συν 8 συν συν
8 Άλγεβρα B Λυκείυ τριγωνμετρικες συναρτησεις.0 Να βρείτε τα ακρότατα και την ερί- t δ της συνάρτησης f(t) ημ.. Αν 7 αβ να συγκρίνετε τις τιμές ημα και ημβ. Αν βρείτε t f(t) συν, t 0,. Να Την ερίδ και τ λάτς της συνάρτησης Τ t 0, ώστε f(t) 0.. Δίνεται εριδική συνάρτηση f με ερίδ T 0, και και Af R. Στ διάστημα 0,T η συνάρτηση αρυσιάζει μέγιστη τιμή τ 00 για τ μναδικό και στ διάστημα T,T η συνάρτηση αρυσιάζει μέ- 9 γιστη τιμή για. Α. Είναι σωστό ή λάθς ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι τ 00 ; Β. Αν f() αημ(ω) να βρείτε τ α και τ ω και να σχεδιάσετε την γραφική αράσταση της συνάρτησης στ διάστημα 0,T. Εξισώσεις. Να λύσετε τις αρακάτω εξισώσεις: 5ημ συν στ [,] εφ ημεφ ημ εφσφ5 στ διάστημα [0,] Δ) ημ συν συν ημ.5 Να βρείτε τα εδία ρισμύ των συ- ημ ναρτήσεων f() συν, g() εφ, h() συν.6 Να λυθύν ι αρακάτω εξισώσεις στ [0,] ημ ημ 0 ημ συν συν ημθ συνθ 0.7 Να λύσετε τις εξισώσεις ημ(συν) 0 ημ ημ συν 0 Δ) ημ( συν) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ.8 Να λύσετε τις ανισώσεις: ημ συν 0.9 Να λύσετε τις ανισώσεις: σφ 0 εφ
Τριγωνμετρικί Αριθμί α+β.50 Να αδείξετε ότι: ημα βσυνβ ημβσυνα β ημα συν(y) συν(y) συν συν y.5 Να αδείξετε ότι: ημα βσυνβ ημβσυνα β ημα συνα βσυνα βσυν α συν β.5 Να αδείξετε ότι: συνα συν0 α συν0 α 0.5 Να αδείξετε ότι: συν ημεφ συν ημ.5 Να αδείξετε ότι η αράσταση συν συνασυνσυνα συν α είναι ανεξάρτητη τυ..55 Να αδείξετε ότι: συνω - ημω εφ(5 ω) συνω + ημω ημ(5 α) συν(5 α) εφα ημ(5 α) συν(5 α) θ ημθ.56 Να δείξετε ότι εφ ημθ.57 Να αδείξετε ότι: εφ α - εφ β εφ(αβ)εφ(αβ) - εφ α εφ β εφ α - εφ α - εφ αεφ α.58 Να αδείξετε ότι: εφα εφα ημ(α β) εφα εφβ συν(αβ) συν(α-β) ημ(αβ) εφα εφβ ημ(αβ) εφα εφβ.59 Nα αδείξετε ότι Αν συν α β συνασυνβ τότε ημ α β ημα ημβ.60 Nα αδείξετε ότι αν ημ(β α) συv(β α), τότε.6 Αν εφβ εφα αβγ 90 να αδειχθεί ότι: εφα εφβ εφβεφγ εφγ εφα σφα σφβ σφγ σφασφβ σφγ.6 Αν α β γ να αδείξετε ότι: εφγ εφα εφβ εφα εφβ εφγ.6 Για τις γωνίες α,β ισχύει αβ Να αδείξετε ότι εφα εφβ.6 Αν ημ συνy και συν ημy να βρείτε τ ημ( y).65 Αν ημ ημy και συν συνy, να βρείτε τ συν( y).66 Αν 0 ω, εφω, 5 yω, y 0, 5 εφ και εφy, τότε.67 Να βρεθεί γωνία με 0 ώ- στε να ισχύει 0 0 0 0 συν συν9 ημσυν συνσυν8.68 Αν ισχύυν α σφ αβγ 80, β γ σφ 00σφ και γ κ και α β να αδείξετε ότι: σφ σφ 00.69 Αν η εξίσωση 89 0, έχει ρίζες τυς αριθμύς εφα και εφβ να αδειχθεί ότι εφα β
0 Άλγεβρα B Λυκείυ.70 Nα αδείξετε ότι αν σε τρίγων ABΓ ισχύει ότι ημασυνβ ημβσυνα τότε είναι ρθγώνι..7 Nα λύσετε την εξίσωση συvσυνσυνημ ημσυvημημ.7 Αν για τις γωνίες τριγώνυ ABΓ ι- σχύυν: εφα, εφβ, να αδείξετε ότι: A) εφ(α B) ˆΓ 5 o.7 Να αδείξετε ότι αν σε ένα τρίγων ABΓ ισχύει ότι είναι Β 60 ημγ συνβ ΓσυνΑ σφβ θα Τριγωνμετρικί αριθμί α.7 Να αδείξετε ότι: α β ημα ημβ συνα συνβ συν εφ αεφ αεφα συνημ σφ συνημ.75 Να αδείξετε ότι : A) B) ημα συνα α εφ ημα συνα ημα συνα α εφ + συνα + συνα.76 Να αδείξετε ότι : ημ ημ εφ συν συν συνα συνα σφα ημα ημα.77 Να αδείξετε ότι: συνθ ημ θ συν θ σφα + συνα σφα - - ημα.78 Αν σε μη αμβλυγώνι τρίγων ΑΒΓ Α ισχύει ότι ημβημ ημα, να δειχτεί ότι είναι ισσκελές.79 Να αδείξετε ότι: B) Αν σφα (σφ α - ) ημα ( + σφ α) ημα συνα ημα συνα 0 α, τότε 6 συνα συνα συνα.80 Να αδείξετε ότι A) 5 7 ημ ημ ημ ημ 8 8 8 8 B) 6συν0συν0συν60συν80 Δ) ημ6α συνασυνασυνασυν8α. 6 ημα θ ημθ εφ ημθ.8 Για τη γωνία α είναι γνωστό ότι α, και ότι 9συνα 6συνα 5 0. Να υλγίσετε τυς τριγωνμετρικύς αριθμύς της γωνίας α..8 Αν σε μη αμβλυγώνι τρίγων ΑΒΓ Α ισχύει ότι ημβημ ημα, να δειχτεί ότι είναι ισσκελές.8 Αν σε τρίγων ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: ημαημβ συνασυνα Γ 0, να αδείξετε ότι είναι ρθγώνι.
Τριγωνμετρικές Εξισώσεις.8 Να λύσετε τις εξισώσεις : ημ συν ημ εφ ημ ημ συν συν.87 Να λύσετε την εξίσωση 00 00 ημ συν 0 0,. στ Δ) ημ συν.85 Να λύσετε τις εξισώσεις: συνημ συν συν 0 ημ ημ στ,5.86 Να λύσετε τις εξισώσεις: A) B), ημ ημ συν στ 0, συνημ στ 0,. εφ εφ0 αν.88 Να λύσετε τις εξισώσεις: συν 8 7ημ ημ 8συν ημ 5 ημσυν (συν ) ημ.89 Αν ημσυν συν εφ6 να λυθεί η εξίσωση :.90 Να βρείτε τα κινά σημεία των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f() ημ και g() συν στ διάστημα (0,). Γενικές.9 Δίνεται η συνάρτηση fκ λσυν, κ, λ R υ έχει μέγιστ τ 7 και είναι f. 8 Να υλγιστύν τα κ, λ Να βρείτε τ ελάχιστ και τη ερίδ της f. Να λύσετε την εξίσωση f0συν.9 Δίνεται η συνάρτηση f() συν ημ ημ συν με R. Να αδείξετε ότι: f() ημ Να λύσετε την εξίσωση f() εφ f 8 Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης: g() 8f()..9 Αν f() ημ συν με 0, τότε: Α. Να δείξετε ότι f() συν ημ συν για κάθε 0, Β. Να βρείτε τις τιμές τυ 0, για τις ίες ισχύει f() 0 Γ. Για τις τιμές τυ υ βρήκατε στ β ερώτημα να αδείξετε ότι: f( ) σφ f().9 Δίννται ι αραστάσεις: ημα συνα A και ημα συνα συνα εφ α B συνα Να δείξετε ότι ι είναι ανεξάρτητες τυ. Αν AB α, να αδείξετε ότι
Άλγεβρα B Λυκείυ.95 Έστω η συνάρτηση εφ εφ f() εφ Α. Να βρείτε τ εδί ρισμύ της f Β. Να αδείξετε ότι f() ημ συν Γ. Να λύσετε την εξίσωση f() Δ. Η εξίσωση f() και η εξίσωση ημ συν είναι ισδύναμες;.96 Δίνεται η g ημ Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της Για ιά έχυμε την μέγιστη τιμή της Να λυθεί η εξίσωση: g g.97 Αν f κ λ συν κ λ και g κ λ συν κ λ 5, όυ κ, λ θετικί αριθμί τότε να βρείτε τυς κ, λ ώστε ι συναρτήσεις f και g να έχυν την ίδια μέγιστη τιμή, και η ερίδς της f να είναι διλάσια της εριόδυ της g.98 Δίνεται η συνάρτηση f() ημ συν εφ σφ. Να βρείτε τ εδί ρισμύ της Να αδείξετε ότι f() εφ σφ. Να λύσετε την εξίσωση f()..99 Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() ασυν β, R και α,β R διέρχεται αό τα σημεία A, και B,. Να υλγίσετε τυς ραγματικύς α, β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή καθώς και την ερίδ της f. Να λύσετε την εξίσωση f.00 Δίνεται τ γραμμικό σύστημα (Σ) με αγνώστυς,y. ημθ συνθy (Σ), θ R συνθ ημθy Να δείξετε ότι τ σύστημα έχει μναδική λύση,y, την ία και να βρείτε. 0 0 0 0 Να λυθεί η ανίσωση: y.0 Δίνεται η συνάρτηση f με τύ: f() συν συν Να βρείτε τ εδί ρισμύ της f. Να αδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια. Να αδείξετε ότι η f είναι εριδική, με ερίδ T. Δ) Να βρείτε τα κινά σημεία της γραφικής αράστασης της f με τυς άξνες..0 Τα ετήσια έξδα μιας ειχείρησης σε χιλιάδες ευρώ δίννται αό τη συνάρτηση t Ε(t) 00 5ημ όυ t χρόνς σε έτη. 6 Η ειχείρηση λειτυργεί αό την αρχή τυ 99 έως και τ τέλς τυ έτυς 00 Πια έτη τα έξδα φτάνυν τα 500 ευρώ Πι έτς έχυμε τ μέγιστ σό εξόδων;