4 η Διάλεξη Συνέχεια - Παράγωγος ως συνάρτηση 27 Σεπτεµβρίου 2016 Γιάννης Σαριδάκης Σχολή Μ.Π.Δ., Πολυτεχνείο Κρήτης ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ΤΟΜΟΣ Ι - Finney R.L. / Weir M.D. / Giordano F.R. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Συνέχεια Oρισµός Σηµειακή συνέχεια Eσωτερικό σηµείο: Mια συνάρτηση y f(x) είναι συνεχής σε ένα εσωτερικό σηµείο c του πεδίου ορισµού της αν lim xlc f(x) f(c). Aκραίο σηµείο: Mια συνάρτηση y f(x) είναι συνεχής στο αριστερό άκρο a ή συνεχής στο δεξιό άκρο b του πεδίου ορισµού της αν lim x a f(x) = f(a) ή lim f(x) = f(b), αντίστοιχα. x b 27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 2
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 3 Kριτήριο συνέχειας Mια συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο x c αν και µόνο αν πληροί τους ακόλουθους τρεις όρους: 1. υπάρχει το f(c) (το c ανήκει στο πεδίο ορισµού της f ) 2. υπάρχει το lim xlc f(x) (η f έχει όριο καθώς x l c) 3. lim xlc f(x) f(c) (το όριο ισούται µε την τιµή της συναρτήσεως)
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 4
Μία συνάρτηση f(x) είναι δεξιά ή αριστερά συνεχής στο lim σηµείο c του πεδίου ορισµού της όταν: f (x) = f (c) ή x c + x c f x = f c 27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 5
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 6
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 7
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 8 Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα όταν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του διαστήµατος Συνεχής συνάρτηση καλείται µία συνάρτηση που είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του πεδίου ορισµού της
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 9
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 10
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 11 Συνεχείς συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού τους: πολυώνυµα ρητές συναρτήσεις συναρτήσεις µε ρίζες (y = n x, n θετικός ακέραιος µεγαλύτερος του 1) τριγωνοµετρικές συναρτήσεις αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις εκθετικές συναρτήσεις λογαριθµικές συναρτήσεις. l
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 12 Θεώρηµα 8 Iδιότητες συνεχών συναρτήσεων Aν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x c, τότε και οι ακόλουθοι συνδυασµοί είναι συνεχείς στο x c. 1. Aθροίσµατα: f g 2. ιαφορές: f g 3. Γινόµενα: f g 4. Σταθερά πολλαπλάσια: k f, για τυχόντα αριθµό k 5. Πηλίκα: f/ g, για g(c) 0
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 13 l Θεώρηµα 9 Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Aν η f είναι συνεχής στο c και η g είναι συνεχής στο f(c), τότε η σύνθετη συνάρτηση g f είναι συνεχής στο c.
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 14
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 15 Θεώρηµα 10 To θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής για συνεχείς συναρτήσεις Mια συνάρτηση y f(x) που είναι συνεχής σε κλειστό διάστηµα [a, b] παίρνει όλες τις τιµές µεταξύ των f(a) και f(b). Mε άλλα λόγια, αν y 0 είναι τυχούσα ενδιάµεση τιµή µεταξύ των f(a) και f(b), τότε y 0 f(c) για κάποιο c στο [a, b]. f(b) y y f(x) y 0 f(a) 0 a c b x
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 16
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 17 Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) ως προς x είναι η συνάρτηση f (x) που ορίζεται ως f ( x) = lim h 0 ( + ) ( ) f x h f x υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. h f ( ) f ( x) f x + Δx ( x) = lim Δx 0 Δx f ( x) = lim z x f ( z) f ( x) z x
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 18 f (x) = x f ( x) = lim h 0 f ( x + h) f ( x) h = lim h 0 x + h x h 1 = lim h 0 h h x + h + x = 1 2 x
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 19 Συμβολισμός Παραγώγιση ή Διαφόριση y = f (x) t = χρόνος y = s(t)!y =!s(t) y = f ( x) = dy dx = df dx = d dx f (x) = D( f )(x) = D f (x) x Newton Leibniz f ( x ) 0 = dy dx x=x0 = df dx x=x0 = d dx f (x) x=x 0
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 20 Η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο x=c υπάρχει η παράγωγος f (c) Η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (a,b) όταν υπάρχει η παράγωγος f (x) για κάθε a<x<b Η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [a,b] όταν είναι παραγωγίσιµη στο (a,b) και υπάρχει η δεξιά παράγωγος f (a) και η αριστερή παράγωγος f (b) f (a) = lim h 0 + f ( a + h) f ( a) h δεξιά παράγωγος στο a f (b) = lim h 0 f ( a + h) f ( a) h αριστερή παράγωγος στο b
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 21
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 22
/ / 1. a corner, where the one-sided derivatives differ. 1. a corner, where the one-sided derivatives differ. 2. a cusp, where the slope of PQ approaches 00 from one side aod - 00 from the other. 2. a cusp, where the slope of PQ approach 00 from one side aod - 00 from the othe / / 3. a vertical tangent, 4. a discontinuity (two examples shown). 27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 23
27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 24 Εάν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη στο x=c τότε η f(x) είναι συνεχής στο x=c Αρκεί lim f (x)= f (c) lim x c h 0 f (c+ h)= f (c) το οποίο ισχύει αϕού lim h 0 f (c+ h)= lim h 0 f (c)+ = f (c)+ f (c)lim h 0 h= f (c) f (c+h) f (c) h h Εάν η συνάρτηση f(x) είναι ασυνεχής στο x=c τότε η f(x) είναι µη-παραγωγίσιµη στο x=c
Θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής για παραγώγους Εάν a και b είναι δύο τυχαία σηµεία ενός διαστήµατος στο οποίο η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιµη τότε η παράγωγος f η παίρνει όλες τις τιµές µεταξύ του f (a) και f (b) 27/09/2016 2016 Γιάννης Σαριδάκης/ΕΕΜΗΥ/Πολυτεχνείο Κρήτης 25