Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει δ > : Α και < < δ f b < ε. Ισοδύναµα: Για κάθε (, δ (, ε Β f Β b [ ή ακόµη, για κάθε ε > υπάρχει : { } ε > υπάρχει { } δ > Α και δ > : f Β, δ Α Β b, ε ] Σηµειώνουµε ότι: Ο αριθµός δ εξαρτάται από το ε και το σηµείο. Το όριο αν υπάρχει είναι µοναδικό ( εφαρµογή της τριγωνικής ανισότητας. 3Για µια πραγµατική συνάρτηση f : Α, τα όρια li f = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. Παραδείγµατα: li = και li + = (, (, + (, (, Λύση Έστω, ε >. Τότε για δ ε = και για κάθε (, (, µε,, = + < δ = ε έχουµε + = + + < ε. Έπεται ιδιαίτερα ότι, ( li (, (, = + + li + = li, =,,,, ( και ( li + =,, Λύση. Έστω, ε >. Τότε για (, (, δ δ = + < ε τότε >ε, άρα + Έπεται ιδιαίτερα ότι ( li + =.,, <, έχουµε αν (, (, ε li + (, (,, = +. 3 Το όριο li (, (, + (, (, (, δεν υπάρχει. (, Λύση Προσεγγίζουµε πρώτα το, κατά µήκος του άξονα ', δηλαδή αν = και. Έστω f (, =, (, (, +, (,
3 f, = = + τότε: και συνεπώς f ( li, =.,, Αναλόγως αν προσεγγίσουµε το (, κατά µήκος του άξονα ' ( = και βρίσκουµε f ( (, (, ( li f, =, = =, δηλαδή + Όµως αν προσεγγίσουµε το (, κατά µήκος της ευθείας = βρίσκουµε ( li f, = =. Έπεται ότι το όριο υπάρχει. (, (, ( li f, + 4 Το όριο li δεν υπάρχει. (, (, + Λύση. Η f (, = είναι ορισµένη στο ανοικτό σύνολο U {(, : } σύνολο (, : =, του οποίου το σύνορο είναι η ευθεία =, δηλαδή το { }. Έστω, µε. Προσεγγίζουµε το δεν, κατά µήκος + + της ευθείας =, τότε li f (, = li = Επειδή + + β για, β µε, β και β έπεται ότι το όριο β + li, δεν υπάρχει. (, (, ( Μπορούµε να περιορισθούµε και στις ευθείες διαπιστώσουµε την µη ύπαρξη του ορίου. {, : },{(, : } για να Παρατηρούµε ότι η f περιορισµένη σε κάθε ευθεία, και θέτοντας f (, µεταβλητής, παρόλα αυτά το όριο {, : } L = µε + = γίνεται συνεχής συνάρτηση µιας li f, δεν υπάρχει.,,.6. Θεώρηµα. ( Χαρακτηρισµός των ορίων συναρτήσεων µε ακολουθίες. Έστω, f : Α συνάρτηση, σ.σ. του Α και b. Οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι: (ι li f = b, για κάθε και (ιι Για κάθε ακολουθία Α µε f ( b Απόδειξη. (ι (ιι Έστω ε > τότε από την υπόθεσή µας υπάρχει : < < δ f b < ε ( δ > Α και
4 Έστω Α { } :, υπάρχει τότε N : τότε < δ (. Από τις ( και ( έπεται ότι: αν τότε f b < ε. ηλαδή f b. (ιι (ι Έστω ότι δεν ισχύει ο ισχυρισµός (ι. Τότε θα υπάρχειε > ώστε για κάθε δ > υπάρχει δ Α { } µε δ < δ και f ( b ε (3. Άρα για δ =, υπάρχει Α { }: ( < και f b ε. Έπεται ότι και f ( δεν συγκλίνει στο b, άτοπο από την υπόθεσή µας. Σηµείωση: Οι συναρτήσεις προβολές π :, =,,..., ορίζονται ως π =, όπου = (,..., Αν f : Α συνάρτηση τότε ορίζονται οι συναρτήσεις π of : Α, =,,...,. Γράφουµε τότε f = π of, =,,...,, δηλαδή f = π ( f, =,,...,. Είναι τότε σαφές ότι, ( = Α. ηλαδή f f f,..., f, διανύσµατος f, δ είναι η συντεταγµένη του. Για παράδειγµα, αν f (, (,, τότε f (, = +, f (, = και f =. 3, Οι αλγεβρικές ιδιότητες των ορίων περιγράφονται στην επόµενη..7 Πρόταση. Έστω, f, g : Α συναρτήσεις, Α, b και λ. Τότε έχουµε: ( Αν li f = b, li λ f = λ b, ( όπου η f : τότε λ Α ορίζεται ως ( λ f λ f ( ( Αν li =, li = = Α. = +, σ.σ. του f b g b li f + g = li f + li g = b + b, (όπου η f + g : Α ορίζεται τότε µε ( f + g = f + g, Α. (3 Αν, li =, li = f b g b li f g = b b ( εσωτερικό γινόµενο, (όπου η f g : Α ορίζεται τότε µε ( f g = f g, Α. Για = έχουµε βέβαια το σύνηθες γινόµενο πραγµατικών αριθµών. (4 Αν = και li f ( = b τότε f για «κοντά» στο και li = ( η ορίζεται τότε σε κατάλληλη περιοχή του στο σύνολο Α. f b f (5 Αν f = ( f,..., f, όπου f,..., : f συναρτήσεις της f, τότε, li (,..., li =,,...,. Α είναι οι συντεταγµένες f = b = b b f = b για κάθε
5 Απόδειξη: Οι ιδιότητες ( έως (4 συνάγονται εύκολα από τις αντίστοιχες αλγεβρικές ιδιότητες των ορίων ακολουθιών και τον χαρακτηρισµό των ορίων µε ακολουθίες (θεώρηµα.6. Η (4 χρησιµοποιεί και τον ορισµό του ορίου. Η ιδιότητα (5 αποδεικνύεται µε χρήση της πρότασης.5 ( κατά συντεταγµένες και τον χαρακτηρισµό των ορίων µε σύγκλιση µιας ακολουθίας ακολουθίες ( θεώρηµα.6. Έτσι οι αποδείξεις αυτές αφήνονται ως άσκηση. Παραδείγµατα: Εξετάστε αν υπάρχουν τα όρια: συν ( + (α li, και (, (, + + ηµ ( + (β li, (, (, + + Λύση (α Σύµφωνα µε την πρόταση.7 (5 αρκεί να υπολογίσουµε τα όρια συν ( + li και li. (, (, + (, (, + Για το πρώτο όριο έχουµε: θέτουµε δ = ε. = = + +. ( Αν ε > Συνεπώς, εφόσον li + =, (για τον υπολογισµό αυτού του ορίου µε τον,, ορισµό των ορίων, αρκεί δοθέντος του ε >, να θέσουµε δ = ε έπεται ότι: li =. (, (, + Για τη δεύτερη συντεταγµένη παρατηρούµε ότι, θέτοντας li z, = li + =, άρα ( ( (,,,, li,, z ( z = + έχουµε ότι συν + συν z συν z συν = li = li = συν ' = ηµ =. + z z z (β Για το δεύτερο όριο παρατηρούµε ότι αν (, = ( ηµ + g(, = + f,,, και (, (, ( li f, (, (, τότε έχουµε: f f, =,, = =, άρα f ( > + άρα f ( και li, = li, =. Έτσι δεν υπάρχει το όριο κατά συνέπεια ( από την πρόταση.7 (5 ούτε και το ζητούµενο ( f ( g( li,,, στον. Για λόγους πληρότητας εξετάζουµε και το όριο li g (, Έτσι έχουµε:,,.