ΘΕΜΑ 1 ο ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΕΩΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΛΥΣΕΙΣ Α1 Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 98 Μέτρο Μιγαδικού αριθμού- ιδιότητα) Αν, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε: z1 z1 z 1 z z 1 ( 1 ) 1 1 z z z z Η τελευταία ισότητα ισχύει ροφανώς, άρα ισχύει και η αρχική όέδ ( z z )( z z ) z 1 z 1 z z z 1 z z 1 z z 1 z 1 z z Α Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 141 Ισότητα συναρτήσεων- ορισμός) Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες, εάν και μόνον εάν: * έχουν το ίδιο εδίο ορισμού A, και * για κάθε A ισχύει: f ( ) g( ) Α Θεωρία ( Σχολικό Βιβλίο, Σελίδα 8 Ασύμτωτοι καμύλης-ορισμός) Εάν f ( ) y l l, τότε η ευθεία λέγεται οριζόντια ασύμτωτος τής γραφικής αραστάσεως τής f στο Β α Λάθος ( Εσφαλμένη διατύωση τού Θ ο σελ, τού οοίου η ακριβής διατύωση έχει ως εξής: «Έστω f μία συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [ a, β ] Εάν για κάθε [ a, β ] ισχύει f( ) και η συνάρτηση β είναι αντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε f( ) d >») a β Λάθος ( Είναι διατύωση τού αντιστρόφου τού Θεωρήματος: «Έστω f μία συνάρτηση, συνεχής σε διάστημα Δ Εάν η f είναι αραγωγίσιμη και f δεν f ( ) > για κάθε εσωτερικό σημείο τού Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ» Όως γνωρίζουμε, το αντίστροφο αυτού τού Θεωρήματος δεν ισχύει γενικώς) γ Λάθος ( Εσφαλμένη διατύωση τού Θεωρήματος τής σελίδος 19, τού οοίου η ακριβής διατύωση έχει ως εξής: «Εάν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f ( ), τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο») )] a δ Σωστό [ Δεύτερο σχόλιο εί τού Θ τής σελίδος 4: ( f ( tdt ) ) f( ) ε Σωστό ( Όριο εκθετικής συναρτήσεως-σελ 18) ΘΕΜΑ ο ai Έχουμε τον μιγαδικόν αριθμό: z, με a a i α) Προφανώς, ρέει να δείξουμε, ότι: z 1, ώστε η εικόνα τού μιγαδικού z, να ευρίσκεται εάνω στον κύκλο, κέντρου Ο(,) και ακτίνος ρ1 Έχουμε: z z z ai ai a i a i ai ai ai ai ( ai )( ai ) a i a i a i a i a i ( a i)( a i) a i 4 a a 4 1 ai z 1 z 1 Άρα η εικόνα τού μιγαδικού z, με a, ευρίσκεται εάνω a i στον κύκλο, κέντρου Ο(,) και ακτίνος ρ1 i 1 i i β) ι) Για a, είναι z1 i, και i i i i 1 i για a, είναι z 1 Εομένως, η αόσταση τών δύο μιγαδικών z1 και z είναι: i Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός 1
z1 z i 1 ( 1) ( 1), όερ το ζητούμενον ιι) ( z1 ) ν ( i) ν [( i) ] ν ( 1) ν, και ( z ) ν ( 1) ν Εομένως: ν ν ( 1) ( ) z z, όέδ ΘΕΜΑ ο Έχουμε την συνάρτηση f( ) ημ θ, όου θ κ, κ α) Η f έχει εδίο ορισμού το και, ως ολυωνυμική, είναι αντού αραγωγίσιμη Είναι: f ( ), Είσης, η δηλαδή υάρχει αντού η f "( ) 6 1) ) ) 4) ) 6) f f ( ) ορίζεται στο και αραγωγίζεται ε αυτού, ( ) ( 1)( 1) 1 ή 1 f ( ) > ( 1)( 1) > < 1 ή > 1 f ( ) < 1< < 1 f " ( ) 6 f " ( ) > 6 > > f " ( ) < 6 < < Τα ανωτέρω συμεράσματα συνοψίζονται στον κάτωθι ίνακα: 1 1 f ( ) - - " f - - f ( ) Το Μέγ Σημ καμής Το Ελάχ Η τελευταία γραμμή τού ίνακα συνοψίζει τα εξής συμεράσματα: α) Η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα αό τα διαστήματα: (, 1], [1, ) β) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ 1, 1] Εομένως, ως αραγωγίσιμη αντού, η f αρουσιάζει τα εξής δύο τοικά ακρότατα: Τοικό μέγιστο το f ( 1) ( 1) ( 1) ημ θ ημθ (1 ημθ) συνθ, Τοικό ελάσιστο το f (1) 1 1 ημ θ ημθ (1 ημθ) γ) Η f στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω στο διάστημα (,] δ) Η f στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω στο διάστημα [, ) Εομένως, ως δύο φορές αραγωγίσιμη αντού, η f αρουσιάζει σημείο καμής στην θέση Το σημείο καμής είναι : A(, f ()), δηλαδή A (, ημ θ) β) Εειδή η εξίσωση f( ) είναι ολυωνυμική ου βαθμού, αυτή θα έχει το ολύ τρείς ραγματικές ρίζες Θα βρούμε το σύνολο τιμών τής f σε κάθε διάστημα μονοτονίας της - Στο διάστημα (, 1] Δ1, η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής Εομένως, το σύνολο τιμών εδώ είναι: f ( Δ 1) f ((, 1]) ( f( ), f( 1)], ενώ f( ) ( ημ θ ) ( ) και f ( 1) ημ θ συνθ Άρα f ( Δ 1) (, συν θ ] Εειδή, δε, θ κ, κ, τότε συν θ > Είναι φανερό, τώρα, ότι το μηδέν () ανήκει στο σύνολο (, συν θ ], εομένως η εξίσωση f( ) έχει μέσα στο σύνολο Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός
(, συν θ ] τουλάχιστον μία ρίζα Και εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η ρίζα αυτή θα είναι μοναδική στο διάστημα Δ (, 1] Ομοίως, 1 - Στο διάστημα [ 1, 1] Δ, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής Άρα f( Δ ) f([ 1, 1]) [ f( 1), f( 1)] [ (1 ημ θ), συνθ], διάστημα εις το οοίον ανήκει το μηδέν () Άρα, και στο διάστημα [ 1, 1] Δ η f( ) έχει ακριβώς μία ρίζα Ομοίως, - Στο διάστημα [ 1, ) Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής Άρα, f( Δ ) f([ 1, )) [ f( 1), f( ) [ συν θ, ), αφού f( ) ( ) Το διάστημα [ συν θ, ) εριέχει το μηδέν(), και εομένως η εξίσωση f( ) έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα Δ [ 1, ) Αό τα ανωτέρω ροκύτει, ότι η εξίσωση f( ) έχει ακριβώς τρείς ρίζες ραγματικές Κατωτέρω δίδουμε και έναν άλλον τρόο αάντησης στο ερώτημα β) (1) γ) * 1 1, η θέση τού τοικού μεγίστου Και f( 1 ) f( 1) συν θ Το σημείο τού τοικού μεγίστου είναι: A( 1, συν θ ), και εύκολα διαιστώνουμε, ότι οι συντεταγμένες τού σημείου A( 1, συν θ ) εαληθεύουν την εξίσωση τής ευθείας εάνω στην ευθεία y ημ θ y ημ θ * 1, η θέση τού τοικού ελαχίστου Και ελαχίστου είναι: B B (1, ημ θ) (1,, ημ θ) Άρα, το τοικό μέγιστο f( ) f(1) ημ θ Δ 1 A( 1, συν θ ) ευρίσκεται Το σημείο τού τοικού, και εύκολα διαιστώνουμε, ότι οι συντεταγμένες τού σημείου εαληθεύουν την εξίσωση τής ευθείας ελάχιστο B(1, ημ θ) ευρίσκεται εάνω στην ευθεία y ημ θ Άρα, το τοικό y ημ θ *, η θέση τού σημείου καμής Και f( ) f() ημ θ Το σημείο καμής είναι: Γ(, ημ θ), και εύκολα διαιστώνουμε, ότι οι συντεταγμένες τού σημείου Γ(, ημ θ) εαληθεύουν την εξίσωση τής ευθείας ευθεία δ) y ημ θ y ημ θ Άρα, το σημείον καμής f( ) ημ θ η δεδομένη συνάρτηση Και Γ(, ημ θ) ευρίσκεται εάνω στην g ( ) ημ θ Ορίζουμε την συνάρτηση h ( ) f( ) g ( ) ( 1)( 1) Ευρίσκουμε το ρόσημο τής h : η δεδομένη ευθεία 1 1 - - 1 - - - Χ1 - h ( ) ( 1)( 1) f ( ) g( ) - - Τα σημεία τομής τής ευθείας και τής γραφικής αράστασης τής f έχουν τετμημένες -1,, 1 1 Εομένως, το εμβαδόν τού χωρίου είναι : Ε h( ) d h( ) d Τα ολοκληρώματα, λόγω τού ανωτέρω ίνακα ροσήμων, γίνονται: 1 Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός
1 1 1 4 4 Ε h( ) d h( ) d ( d ) ( d ) 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 τετρ μονάδες 4 4 4 4 ΘΕΜΑ 4 ο α) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,1], άρα για κάθε [,1] είναι 1 και f () f ( ) f(1) Αλλά, f () > Άρα f ( ) f () >, δηλαδή f( ) > Έχουμε, λοιόν, γιά κάθε [,1] Έχουμε, λοιόν: [,1] είναι f( ) > και g( ) > Εομένως f( ) g( ) > για κάθε ι) Για, είναι F( ) F() f( t) g( t) dt, δηλαδή F () ιι) Για >, δηλαδή για (,1], θεωρούμε το διάστημα [, ] [,1] Τότε, συμφώνως ρος τα ανωτέρω, είναι * f g συνεχής στο [, ] [,1], ως γινόμενο συνεχών, και * f() t g() t > για κάθε t [, ] [,1], ενώ * f g δεν είναι αντού μηδέν στο διάστημα [, ] (αφού f() t g() t > για κάθε t [, ] [,1] ) Άρα (γνωστό Θεώρημα): f() t g() t dt > για κάθε (,1] Δηλαδή F( ) > γιά κάθε (,1], όέδ Κατωτέρω δίδουμε και έναν άλλον τρόο αάντησης στο ερώτημα 4α) () β) Η αοδεικτέα σχέση f ( ) G( ) > F( ), για κάθε (,1], γράφεται ισοδυνάμως: f ( ) G( ) > F( ) για κάθε (,1] (,1] f( ) G( ) F( ) > για κάθε (,1] (,1] (*) f( ) g() t dt f() t g() t > για κάθε (,1] f ( ) g() t dt f() t g() t > για κάθε [ f( gt ) ( ) f( tgt ) ( )] dt> για κάθε Προκειμένου να αοδείξουμε την (*), θα κατασκευάσουμε την συνάρτηση f ( gt ) () f() tgt () στο διάστημα [, ] - Για κάθε >, δηλαδή για κάθε (,1], θεωρούμε το διάστημα Δ [, ] [,1] - H f είναι γνησίως αύξουσα στο [,1], άρα και στο [, ] [,1] Εομένως, για κάθε t [, ] [,1], δηλαδή για κάθε t ισχύει: f () f ( t) f( ) και εειδή gt () > για κάθε t [,1] ( άρα και για κάθε t [, ] [,1] ), θα έχουμε: f () tgt () f( gt ) () για κάθε t [, ] [,1] Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός 4
- Άρα έχουμε: f ( gt ) () f() tgt () για κάθε t [, ] [,1] f( gt ) () f() tgt () για κάθε t [, ] [,1] - Τελικώς: η ως ρος t συνάρτηση f ( gt ) () f() tgt () είναι συνεχής στο [,1] ( άρα και στο [, ] ) και είναι f( gt ) () f() tgt () για κάθε t [, ], ενώ αυτή δεν είναι αντού μηδέν στο [, ] Τότε ( γνωστό θεώρημα ροσήμου τού ορισμένου ολοκληρώματος): [ f( gt ) ( ) f( tgt ) ( )] dt>, με t [, ] και (,1] Δηλαδή, αεδείξαμε την (*) Άρα ισχύει και η αοδεικτέα, ισοδύναμή της: f ( ) G( ) > F( ), για κάθε (,1] F( ) F(1) γ) Η αοδεικτέα είναι: για κάθε (,1] G ( ) G(1) F( ) Θεωρούμε την συνάρτηση: h ( ), με (,1] G ( ) [ Σημειώνουμε, ότι η h ορίζεται για κάθε, αφού : με () αό υόθεση για κάθε η g συνεχής στο [, ] [,1] gtdt> () με Δηλαδή (,1] G ( ) (,1] gt > t [,1], άρα και για κάθε t [, ] Άρα gtdt () με (,1], και εομένως ορίζεται η συνάρτηση h ] Θα ελέγξουμε την μονοτονία τής h διά τής αραγώγου αυτής: Είναι h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F G G F ( ) G ( ) ( ) [ G] f ( gg ) ( ) ( ) Fg ( ) ( ) g ( ) f( G ) ( ) F ( ) G ( ) [ G ( )] [ ] [ ] (**) Για το τελευταίο μέλος τής ισότητος (**): - είναι g( ) > για κάθε [,1], άρα και για κάθε (,1] - είναι f( ) G( ) F( ) > για κάθε (,1], όως ροκύτει αό το ερώτημα β) - Άρα: h ( ) > για κάθε (,1] Εειδή η h είναι συνεχής στο (,1] ( αό υόθεση), και h ( ) > για κάθε (,1], η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,1] Τούτο σημαίνει, ότι: για κάθε (,1], δηλαδή για F κάθε < 1 ισχύει h ( ) h(1) ( ) F (1) για κάθε (,1] όέδ G ( ) G(1) δ) Πρέει να βρούμε το όριο: ι) Βρίσκουμε το όριο: f () tgtdt () ημtdt f () tgtdt () gtdt () gtdt () F( ) G ( ) (1) Είναι: F( ), G( ) αραγωγίσιμες, άρα Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός
συνεχείς Οότε: F( ) F() f() t g() t dt, και G ( ) G() gtdt ( ) εφαρμόζοντας τον κανόνα de L Hospital, έχουμε: (1) Οότε, F ( ) f( ) g( ) f ( ) f() G ( ) g ( ) (1α) ( αφού g( ) > για κάθε [,1] και f συνεχής στο [,1] ) ιι) Βρίσκουμε το όριο: Άρα ημ tdt H( ) ημ t dt - Η συνάρτηση είναι αραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, εομένως: H( ) H() ημt dt Είσης: η συνάρτηση R( ) Είναι, όμως: ημ tdt R () H H R R ( ) ( ) ( ) ( ) () R( ) έχει φ ( ) H ( ) ημt dt ψ () tdt 4 ψ ( φ( )) φ ( ) ημ [( ) ] ημ, R ( ) ( ) 4 Συνεώς, () 4 4 4 4 ημ 1 ημ (α) Τελικώς: αό την ιδιότητα τού ορίου ενός γινομένου, έχουμε: ζητούμενον! f () tgtdt () ημtdt gtdt () f () tgtdt () gtdt () ημtdt (1 a),( a) f (), όερ και το (1) Άλλος τρόος ( με το Θεώρημα τού Bolzano) αντιμετωίσεως τού ερωτήματος β) ι) Η f είναι αντού συνεχής στο, άρα και στο διάστημα [, 1] Ενώ, εύκολα διαιστώνουμε: f ( ) 8 6 ημ θ ημ θ < f ( 1) 1 ημ θ ημ θ συν θ >, αφού θ κ και εομένως συνθ f( ) f( 1) < Άρα, κατά το Θεώρημα τού Bolzano, υάρχει τουλάχιστον ένα ρ1 (, 1), ώστε f ( ρ 1) f( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα (, 1) Οότε, Δηλαδή, η Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός 6
ιι) Η f είναι αντού συνεχής στο, άρα και στο διάστημα [ 1, 1] f ( 1) 1 ημ θ ημ θ συν θ >, αφού θ κ και εομένως συνθ f ( 1) 1 ημ θ ημ θ < Οότε, f( 1) f( 1) < Άρα, κατά το Θεώρημα τού Bolzano, υάρχει τουλάχιστον ένα ρ ( 1, 1), ώστε f ( ρ ) Δηλαδή, η f( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ( 1, 1) ιιι) Η f είναι αντού συνεχής στο, άρα και στο διάστημα [ 1, ] f ημ θ ημ θ ( 1) 1 < f ( ) 8 6 ημ θ ημ θ συν θ > Οότε, f( 1) f( ) < Άρα, κατά το Θεώρημα τού Bolzano, υάρχει τουλάχιστον ένα ρ ( 1, ), ώστε f ( ρ ) Δηλαδή, η f( ) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ( 1, ) Τελικώς, εδείξαμε, ότι η εξίσωση f( ) έχει τουλάχιστον τρείς ρίζες ραγματικές Αλλά, η f( ) είναι εξίσωση τρίτου βαθμού, ου, όως γνωρίζουμε, έχει το ολύ τρείς ραγματικές ρίζες Άρα, η εξίσωση f( ) έχει ακριβώς τρείς ρίζες () Άλλος τρόος (Με την μονοτονία και την αράγωγο ) αντιμετωίσεως τού ερωτήματος 4α) Το γινόμενο fg είναι συνεχής στο διάστημα [,1], ως γινόμενο συνεχών Και το είναι σημείο τού διαστήματος [,1] Τότε ( Θεώρημα ύαρξης τής αράγουσας μίας συνεχούς συναρτήσεως σε ένα διάστημα αραγωγίζεται στο Δ [,1], και είναι Δ F ( ) f( ) g( ) για κάθε Δ [,1] Δ ) η συνάρτηση F( ) Δ f () tgtdt () Εειδή f γνησίως αύξουσα στο [,1], τότε για κάθε [,1] είναι 1 και f () f ( ) f(1) Αλλά, f () > Άρα f ( ) f () >, δηλαδή f( ) >, ενώ και g( ) > Άρα f( ) g( ) > για κάθε [,1], δηλαδή Δ[,1] το Εομένως, για κάθε F ( ) > για κάθε [,1] Οότε η F είναι γνησίως αύξουσα σε όλο (,1], δηλαδή για >, είναι F( ) > F() ( διότι για, έχουμε F () f () tgtdt () f() t g() t dt ) Δηλαδή F( ) > για κάθε (,1] όέδ ----------------- Ειμέλεια Λύσεων: Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός-Λυκειάρχης Άγγελος Λιβαθινός, Μαθηματικός 7