( 1 ) ( 2) ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1 Θεώρημα σχ. βιβλίου σελ. 98 Α. 2 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 141 Α. 3 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 280

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( 1 ) ( 2) ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1 Θεώρημα σχ. βιβλίου σελ. 98 Α. 2 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 141 Α. 3 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 280"

Παιάν Δουμπιώτης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ 1 ο Α. 1 Θεώρημα σχ. βιβλίου σελ. 98 Α. Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 11 Α. 3 Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 8 Β. α Λάθος β Λάθος γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό ΘΕΜΑ ο + αi α) z =, α R α + i + αi + αi + α z = = = = 1 α + i α + i α + Άρα η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο (, ) και ακτίνα ρ = i β) για α =, z1 = = = = -i i i -i +i για α =, z = = 1 +i i) η απόσταση των μιγαδικών z 1 και z είναι : 1 z - z = - i - 1 = i = = ν ν ν ( 1 ) = = = = ν (- z ) = (-1) ν ( 1 ) ν ν ν ii) z - i - 1 i i -1 άρα z = - z για κάθε ν ν ν 1

2 ΘΕΜΑ 3 ο α) 3 f() = 3 ημ θ Παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική 3 f() 3 = ημ θ = 3 3= 3 1 f() ή f() + + f() TM TE f () > στο, 1 και f() < στο -1,1 άραη f στο 1 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f( 1) = 1 ημ θ = συν θ f () < στο -1,1 και f()> στο 1, + άρα η f στο 1 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το η μθ= 1 ( +ημθ ) f(1) = f () = 3 1 παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική f() =3 3 = 6 f () 6 + f() + f() ΣΚ

3 Η f() αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και ως παραγωγίσιμη f στο δέχεται εφαπτομένη στο Γ, f(), άρα το Γ, f() είναι σημείο καμπής της C. Πίνακας μεταβολών της f: β) Σύνολο τιμών για -, -1 : ( f (1) (( ) ( ( () f -, -1 = lim f(), lim f() = lim f(), f(-1) = -, συν θ 3 3 lim f()= lim -3-ημ θ = lim =- (1) π f(-1)=συν θ > () αφού θ κπ + () Παρατηρώ ότι το περιέχεται στο (-, συν θ, άρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f() = στο (-, -1) η οποία είναι και μοναδική, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, -1 άρα και «1-1». f(-1)=συν θ > f(-1)f(1) < f(1)=- ( 1+ημ θ ) < f συνεχής στο [-1, 1], άρα ισχύει θεώρημα Bolzano, οπότε υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f() = στο (-1, 1) η οποία είναι και μοναδική, αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [-1, 1] άρα και «1-1». Σύνολο τιμών για [1, + ) : 3

4 f (3) ( )) = = ) = ) f 1, + lim f(), lim f() f(1), lim f() --ημ θ, () 3 3 lim f()= lim -3-ημ θ = lim = + (3) f(1)=- 1+ημ θ < () Παρατηρώ ότι το περιέχεται στο [-(1+ημ θ), + ), άρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της f() = στο [1, + ), η οποία είναι και μοναδική, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο [1, + ) άρα και «1-1». Τελικά η f έχει 3 ακριβώς πραγματικές ρίζες μία στο (-, -1), μία στο (-1, 1) και μία στο (1, + ). γ) A 1, ημ θ Β 1,- 1+ ημ θ Γ,-ημ θ Παρατηρώ ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας y= ημ θ αφού: ημ θ = 1 ημ θ ισχύει ημ θ = 1 ημ θ ισχύει ημ θ = ημ θ ισχύει. δ) Έστω g() =, ημ θ θ κπ + π Από το γ ερώτημα ξέρω ότι η ευθεία y = ημ θ = g() τέμνει την C στα τρία σημεία Α, Β, Γ άρα το εμβαδό του ζητούμενου χωρίου είναι Ε = f() g() d f 1 1

5 3 3 Ισχύει: f() g() = 3 ημ θ + + ημ θ = 1 > στο 1, και f() g() = 1 < στο (,1). =

6 1 Άρα Ε = f() g() d + f() g() d = d + + d = = τ.μ. + + = + = 1 1 = 6

7 ΘΕΜΑ ο α) Επειδή η f στο [, 1], για 1 f() f()>, άρα f()> [, 1] από υπόθεση g()> [, 1] άρα f()g()> στο [, 1] (1) f() συνεχής στο [, 1], g() συνεχής στο [, 1], οπότε f()g() συνεχής στο [, 1] με αρχική την F()= f(t)g(t)dt παραγωγίσιμη στο [, 1] με F () = f()g() > () στο [, 1]. Επομένως F στο [, 1] και επειδή F()= f(t)g(t)dt = θα είναι < 1 F() > F() = δηλαδή F() >, για κάθε,1 ( β) t [, ] άρα t f στο [, ] [, 1], άρα f() f(t) f() (3) Η ισότητα ισχύει μόνο για t = ή για t = και επειδή g(t) > στο [, ] (3) f(t)g(t) f()g(t) f()g(t)-f(t)g(t) και επειδή f()g(t)-f(t)g(t) δεν είναι παντού στο [, ] αλλά μόνο στο και στο, και f()g(t)-f(t)g(t) συνεχής στο [, ] τότε f()g(t)-f(t)g(t) dt > f()g(t)dt - f(t)g(t)dt > f() g(t)dt > f(t)g(t)dt f()g() > F() για κάθε (, 1] γ) G()= g(t)dt είναι αρχική της συνεχούς g(), άρα παραγωγίσιμη στο [, 1] με G ()=g() > () στο [, 1] 7

8 G'()> στο [, 1], G() συνεχής (ως παραγωγίσιμη) στο [, 1], άρα G() στο [, 1]. Επομένως < 1 G() > G() = g(t)dt = ( ( Δηλαδή G()>, 1,άρα G() στο, 1. Επομένως ορίζεται στο (, 1] η συνάρτηση F() h() = παραγωγίσιμη στο (, 1] G() ως πηλίκο παραγωγισίμων με F() F ()G() - F()G () h() = G() = = G() () f()g()g() - F()g() = = G() () g() f()g() - F() = > διότι G() g() > στο [, 1], f()g() - F() > στο (, 1] από (β) ερώτημα, G() > στο (, 1] Δηλαδή h' () > στο (, 1], h() συνεχής ως παραγωγίσιμη στο (, 1], άρα h στο (, 1], επομένως παρουσιάζει μέγιστο στο 1 το h(1), άρα ισχύει h() h(1) για κάθε (, 1], δηλαδή F() F(1) για κάθε (, 1] G() G(1) δ) f(t)g(t)dt ημt dt f(t)g(t)dt ημt dt lim = lim g(t)dt g(t)dt + 8

9 f(t)g(t)dt = F() παραγωγίσιμη, άρα συνεχής οπότε lim f(t)g(t)dt = F() = (5) lim g(t)dt = G() = (6) και επειδή οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες δεξιά του και g(t)dt = g() > εφαρμόζεται ο κανόνας de l' Hospital f(t)g(t)dt f()g() lim = lim = lim f() = f() > g() g(t)dt ( αφού η f είναι συνεχής και στο ) 5 lim = (8) και επειδή οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες δεξιά του σ()=ημ είναι συνεχής στο R άρα έχει αρχική την Σ()= ημt dt παραγωγίσιμη στο R. φ()= είναι παραγωγίσιμη στο R τότε ημt dt= Σ φ() παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση παραγωγίσιμων άρα συνεχής οπότε lim ημt dt= ημt dt= (7) 5 και = 5 δεξιά του εφαρμόζεται καν. de l' Hospital 9

10 ημt dt ημt dt ημ lim = lim lim 5 5 ( ) w= = = 5 ημ ημ = lim = lim = 1 = 5 5 ημ ημw = = = 1 5 διότι lim και lim lim w w w Τότε f(t)g(t)dt ημt dt lim = 5 + g(t)dt f(t)g(t)dt ημt dt lim lim = f() = g(t)dt

Σχετικά έγγραφα

Μονάδες 2. ΘΕΜΑ 2 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0)

Μονάδες 2. ΘΕΜΑ 2 ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:. 1 Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια