KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 1 κάθε συνεχής απεικόνιση

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο κάθε συνεχής απεικόνιση i r :, : r t f t,, f t, f :, καλείται καμπύλη του χώρου r = r τότε η καμπύλη σε παραμετρική μορφή Αν καλείται κλειστή αλλιώς καλείται ανοικτή Η καμπύλη καλείται απλή αν ια κάθε t t ισχύει r t r t Διαπιστώσαμε ότι ο ορισμός της καμπύλης ορίζει με φυσικό τρόπο έναν προσανατολισμό (μια διάταξη των σημείων της καμπύλης) με φορά προς την κατεύθυνση αύξησης των Ετσι ορίσαμε ως αντίθετη καμπύλη της να είναι η καμπύλη Δηλαδή η r :[, ] : r t r t έχει το ίδιο ίχνος με την t, αλλά αντίθετο r :[, ] προσανατολισμό Επιπλέον αν είναι δύο καμπύλες έτσι r :[, ] r r, τότε ορίσαμε ως άθροισμα αυτών των ώστε καμπύλων να είναι μια νέα καμπύλη Μια καμπύλη r :, : r t r t, t, t, t, : r r t είναι λεία αν οι συνιστώσες συναρτήσεις αυτής έχουν συνεχείς παραώους και ισχύει r t ια κάθε Αν μια καμπύλη προκύπτει από τη συνένωση λείων καμπύλων τότε καλείται τμηματικά λεία t 47

6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΘ- ΜΩΤΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ( ου είδους) Υποθέτουμε ότι καλώδιο με συνεχή πυκνότητα μάζας (μάζα ανά f P, P x,, x, f P απλώνεται στο μονάδα μήκους) χώρο κατά μήκος της τροχιάς λείας καμπύλης του χώρου παραμετροποίηση t, t, r = r Εστω t t t, N είναι διαμέριση του που με τη σειρά της ορίζει μια διαμέριση της τροχιάς της καμπύλης στα P r t, k=,,n με τη φορά διαραφής της καμπύλης σημεία k k Υπενθυμίζουμε ότι το μήκος του τόξου καμπύλης ισούται με PP k k, με της τροχιάς της r, t, t s s t s t s t t t t k k k k k k k k k k k k όπου t s t r d Εάν το πλάτος της διαμέρισης Δ είναι αρκετά μικρό, μπορούμε να προσείσουμε τη μάζα του καλωδίου στο τόξο PP k k από την ποσότητα f Qk sk, Qk r k ια k tk, tk όπως παραπάνω Συνεπώς η συνολική μάζα του καλωδίου είναι κατά προσέιση ίση με: N Ν f Qk sk f rτk r τk tk+ t k, τk t k,tk+ k= k= Προφανώς η συνάρτηση f r t r t είναι ολοκληρώσιμη, συνεπώς το παραπάνω άθροισμα είναι ένα άθροισμα Riem, το οποίο όταν το πλάτος της διαμέρισης Δ τείνει στο μηδέν συκλίνει στον αριθμό f r t r t dt λ Το ολοκλήρωμα αυτό καλείται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους του βαθμωτού πεδίου f επί της λείας καμπύλης και η 48

τιμή του (όσον αφορά την παραπάνω εφαρμοή) μας δίνει τη συνολική μάζα του καλωδίου Ορισμός 6 Έστω f f P πάνω σε μια λεία καμπύλη είναι ένα συνεχές βαθμωτό πεδίο r r, t t, του χώρου Καλούμε επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους της f επί της τον αριθμό f Pds f rt r t dt λ Η ποσότητα ds Ετσι ορίζεται ως το διαφορικό του μήκους καμπύλης ds t s t dt r t dt r r f P ds f t t dt Ο ορισμός 6 μπορεί να ενικευθεί και ια μη λείες καμπύλες Εάν f P τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ds ισούται με το μήκος της καμπύλης Θεώρημα 6 Εστω :, : t r r r είναι μια λεία καμπύλη και f, g είναι συνεχή βαθμωτά πεδία επί της καμπύλης είναι συνεχώς παραωίσιμη πραματική (α) Αν :[, d], συνάρτηση με, d και t (ή t t, d τότε f P ds f P ds f P ds f P ds (β) ) ια κάθε Με άλλα λόια ο προσανατολισμός της καμπύλης δεν επηρεάζει την τιμή του επικαμπυλίου ολοκληρώματος ου είδους () f ( P) g( P) ds f ( P) ds g( P) ds,, 49

(δ) Αν :[, ] r είναι μια λεία καμπύλη με r r, τότε f P ds f ( P) ds f ( P) ds, υπό την προϋπόθεση ότι η f είναι συνεχής πάνω στο ίχνος της (ε) Αν M sup f P : P, καμπύλης τότε και αν L είναι το μήκος της f P ds f P ds M L r r d Απόδειξη: (α) f P ds f t t dt d f r t r t t dt f (β) r r d f P ds r r f P ds f t t dt r r f d f P ds f r r d () ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) r r r f P g P ds f t g t t dt f ( r ( t )) r t dt g ( r ( t )) r t dt f ( P) ds g( P) ds 5

(δ) f ( P) ds f ( ( t)) t dt r r Από τον ορισμό της καμπύλης η παραπάνω ίνεται ( ( )) r r ( r ( )) ( ( )) r r r f t t dt f t t dt f t t dt f ( r ( t )) r t dt g ( r ( t )) r t dt f ( P) ds g( P) ds (ε) f ( x, y, z ) ds f ( r ( t )) r( t ) dt f ( r ( t )) r ( t ) dt M r () t dt M L Παρατηρήσεις: (α) Aν η καμπύλη είναι λεία και δίνεται από τη y g( x), x,, τότε μια προφανής παραμετροποίηση σχέση αυτής είναι η r t t, yt, t,, οπότε f P ds f t, yt yt dt (β) Aν μια καμπύλη είναι λεία και δίνεται σε πολική μορφή μέσω ( ),,, τότε μια παραμετροποίηση αυτής της σχέσης είναι η r,,,, οπότε f P ds f, d () Αν :, : t r r είναι μια λεία καμπύλη μήκους και f είναι συνεχές βαθμωτό πεδίο επί της τροχιάς της τότε υπάρχει σημείο * P πάνω στην τροχιά της καμπύλης τέτοιο ώστε * fds f P Αυτό είναι νωστό και ως Θεώρημα μέσης τιμής 5

6 Εφαρμοές επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων ου είδους (α) Μάζα Όπως είδαμε παραπάνω αν θεωρήσουμε συνεχώς f x, y, z επί της τροχιάς κατανεμημένη μάζα με πυκνότητα μιας λείας καμπύλης, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μας δίνει τη συνολική μάζα επί της καμπύλης ds (β) Εμβαδόν κυλινδρικής επιφάνειας Εστω είναι μια κυλινδρική επιφάνεια στον της οποίας η ορθοώνια προβολή επί του επιπέδου είναι μια λεία καμπύλη με ενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα Τότε το εμβαδόν του τμήματος της μεταξύ της καμπύλης και μιας άλλης καμπύλης που προκύπτει ως τομή της ραφικής παράστασης μιας βαθμωτής z f x, y με την κυλινδρική επιφάνεια Ε ισούται με Ε xy συνάρτησης 3 z E f P ds 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΔΙΑ- ΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΔΙΩΝ ( oυ ΕΙΔΟΥΣ) Από τη Φυσική είναι νωστό ότι όταν εφαρμόσουμε μια δύναμη F σταθερής κατεύθυνσης και μέτρου πάνω σ ένα υλικό σημείο που κινείται στο χώρο προς την κατεύθυνση διανύσματος τότε το έρο που παράεται κατά την κίνηση από το σημείο P στο σημείο Q δίνεται από τη σχέση W = F PQ (η πράξη αυτή δηλώνει εσωτερικό ινόμενο διανυσμάτων) Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα υλικό σημείο κινείται στο χώρο κατά μήκος της τροχιάς μιας λείας καμπύλης με παραμετροποίηση r r t, t, και έστω F P είναι ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο που ορίζει μια δύναμη σε κάθε σημείο P Θέλουμε να υπολοίσουμε το έρο της δύναμης F κατά την κίνηση του υλικού σημείου επί της τροχιάς της καμπύλης, N η οποία με τη σειρά της ορίζει μια διαμέριση της τροχιάς της στα Εστω t t t είναι μια διαμέριση του, Ε PQ 5

σημεία P t k r k k=,,n με τη φορά διαραφής της καμπύλης Εάν το πλάτος τα διαμέρισης Δ είναι αρκετά μικρό, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε χωρίς μεάλο σφάλμα ότι η κίνηση ίνεται (αντί του τόξου Pk Pk = r tk r tk και ότι η F είναι «τοπικά» σταθερή κατά μέτρο και κατεύθυνση επί του τμήματος Εφόσον PP k k ) κατά μήκος του διανύσματος PP k k P P = r t r t dr t r t t t r t t, k k k k k k k k k k το έρο που παράει το πεδίο κατά την κίνηση κατά μήκος του τόξου PP k k μπορεί να προσεισθεί από την ποσότητα F P P P F r t r t Δt k k k+ k k k Αρα το συνολικό έρο W προσείζεται από το άθροισμα Ν k= k k k+ k W F r t r t t t Εφόσον η καμπύλη είναι λεία (άρα η r είναι συνεχής) και η F είναι συνεχής, η συνάρτηση F r t r t είναι ολοκληρώσιμη, συνεπώς το παραπάνω άθροισμα είναι ένα άθροισμα Riem Αρα αν το πλάτος mx tk tk : k,, N της διαμέρισης Δ είναι μικρό, το όριο του παραπάνω αθροίσματος υπάρχει ανεξάρτητα της επιλοής της διαμέρισης και των σημείων και ισούται με Ρ k t F r r t dt Το παραπάνω ολοκλήρωμα καλείται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους του διανυσματικού πεδίου επί της λείας καμπύλης, συμβολικά, F P d r και η τιμή του (όσον αφορά την παραπάνω εφαρμοή) μας δίνει το έρο του πεδίου κατά την κίνηση σημείου επί της καμπύλης F 53

Ορισμός 6 Έστω P πάνω σε μια λεία καμπύλη F F είναι ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο r r, t t, του χώρου Καλούμε επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους του πεδίου F επί της τον αριθμό F P dr F r t r t dt λ Ο ορισμός 6 ενικεύεται και ια μη λείες καμπύλες του Παρατηρήσεις: (α) Η ποσότητα dr = r t dt είναι το σύνηθες διαφορικό καμπύλης : t, t, r r (β) Αν η παραμετροποίηση της καμπύλης δίνεται συναρτήσει του μήκους τόξου s, δηλαδή r r s, s, ( είναι το μήκος της καμπύλης), τότε () Αν P = K P,LP,M P F P dr F r s r s ds F είναι ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο του 3 πάνω σε μία λεία καμπύλη με παραμετροποίηση τότε,,, r t = x t y t z t t,, Fd r = Frtrtdt,,,, K L M x t y t z t dt,,,, K x t y t z t x t dt Ετσι,, M x t y t z t z t dt L x t y t z t y t dt Kdx + Ldy + Mdz 54

F dr Kdx Ldy Mdz Η έκφραση Kdx+ Ldy + Mdz καλείται διαφορική μορφή ης τάξης (δ) Αν t P r r t t μιας λείας καμπύλης σε σημείο της είναι το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα P r t, τότε t t r F P dr F r t r t dt F r t r t dt Ftds r Η παραπάνω συνδέει το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους διανυσματικού πεδίου (του F) με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ου είδους βαθμωτού πεδίου (του ) Ft (ε) Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα P F κυκλοφορία του πεδίου κατά μήκος της καμπύλης, διότι μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μέτρο της τάσης κίνησης ρευστού/φορτίου κατά μήκος της τροχιάς της καμπύλης Ετσι, αν η κίνηση κατά μήκος της τροχιάς ίνεται αντιωρολοιακά και αν P d dr καλείται και ως F r >, τότε συμπεραίνουμε ότι η συνολική τάση κίνησης του ρευστού/φορτίου τείνει να είναι κατά μήκος της τροχιάς Θεώρημα 6 Εστω :, : t r r r είναι μια λεία καμπύλη και FG, είναι συνεχή διανυσματικά πεδία επί της (α) Αν :[, d], συνάρτηση με, d και t (ή t t, d τότε FP dr FP dr είναι συνεχώς παραωίσιμη πραματική (β) F P dr F P dr ) ια κάθε Με άλλα λόια ο προσανατολισμός της καμπύλης επηρεάζει το πρόσημο της τιμής του επικαμπυλίου ολοκληρώματος ου είδους 55

P P d P d P d,, () F G r F r G r (δ) Αν :[, ] r είναι μια λεία καμπύλη με t r r, τότε F P dr F P dr F P dr, υπό την προϋπόθεση ότι η Fείναι συνεχής πάνω στο ίχνος της και αν (ε) Αν M sup P : P, καμπύλης τότε F και αν F P d r M L Απόδειξη Όπως στο Θεώρημα 6 63 ΣYNTHΡHTIKA ΠΕΔΙΑ L είναι το μήκος της Εστω :, : t r r r είναι μια κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη Στο εξής ια επικαμπύλια ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων κατά μήκος κλειστών καμπύλων θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό F d r Εστω F : D είναι ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο πάνω σε τόπο D r :, : r r t είναι μια τμηματικά λεία και έστω καμπύλη εντός του τόπου D με αρχή σημείο A και πέρας σημείο B Προφανώς η τιμή του επικαμπυλίου ολοκληρώματος F d r δεν εξαρτάται μόνον από τον τύπο του πεδίου F και τα σημεία A και B αλλά εξαρτάται και από τη μορφή (τον τύπο) της καμπύλης Όταν η τιμή του F dr εξαρτάται μόνον από τον τύπο του πεδίου 56

τότε θα λέμε ότι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F dr είναι ανεξάρτητο του δρόμου και θα ράφουμε F και τα ακραία σημεία A και B Β F d r Α Ορισμός 63 Εστω F : D είναι ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο πάνω σε τόπο D Εάν ια κάθε τμηματικά λεία καμπύλη εντός του D το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του δρόμου, τότε λέμε ότι το F F d r είναι ανεξάρτητο είναι συντηρητικό πεδίο επί του D Θεώρημα 63 Εστω F : D είναι ένα συνεχές διανυσματικό πεδίο πάνω σε τόπο D Το F είναι συντηρητικό πεδίο επί του αν και μόνον αν ια κάθε κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη εντός του D ισχύει D F d r Απόδειξη Ας θεωρήσουμε δυο τυχαία σημεία A, B D και δυο τυχαίες λείες και προσανατολισμένες καμπύλες με κοινή αρχή το σημείο Α και κοινό πέρας το σημείο Β Εστω είναι μια νέα κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη με r r t Τότε και F dr F dr F dr F dr F dr F dr Αν το είναι συντηρητικό πεδίο επί του, εξ ορισμού το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F drείναι ανεξάρτητο του δρόμου Αρα F dr d F r οπότε και F d r Αφού τυχαίες καμπύλες έχουμε αποδείξει το ένα σκέλος Αντίστροφα, αν F d r ια κάθε κλειστή τμηματικά λεία καμπύλη, τότε η μπορεί να ραφεί ως, όπου και τυχαίες καμπύλες με κοινή αρχή το σημείο Α και κοινό πέρας το σημείο Β, οπότε από την παραπάνω ισότητα παίρνουμε F D και F d r F d r F d r F d r, 57

άρα το πεδίο συντηρητικό F είναι ανεξάρτητο του δρόμου, συνεπώς είναι Θεώρημα 64 Έστω :, : t με αρχή το σημείο, πέρας το σημείο A=r r r είναι μια λεία καμπύλη B=r και έστω είναι ένα βαθμωτό πεδίο με συνεχείς μερικές παραώους επί του ίχνους της καμπύλης Τότε f P dr= f Β f Α Αρα κάθε πεδίο κλίσεων είναι συντηρητικό Όπως ήδη έχουμε πει στο Κεφάλαιο η συνάρτηση καλείται βαθμωτό δυναμικό του πεδίου F f Απόδειξη f P dr f r t r t dt x r y r z r f t x t f t y t f t z t dt f r tdt f r f r f B f A Ισχύει και το αντίστροφο Θεώρημα 65 Αν F είναι συνεχές συντηρητικό πεδίο επί τόπου D τότε αυτό είναι πεδίο κλίσεων Απόδειξη Εφόσον το F είναι συντηρητικό πεδίο το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F drείναι ανεξάρτητο του δρόμου Ετσι έχει νόημα να ορίσουμε το βαθμωτό πεδίο P P F d r, όπου Α είναι σταθερό σημείο του D, Ρ είναι τυχαίο σημείο του D και το παραπάνω είναι επικαμπύλιο ολοκλήρωμα επί τυχαίας λείας καμπύλης εντός του D που συνδέει τα Α και Ρ (πάντα υπάρχει τέτοια καμπύλη ιατί το D είναι συνεκτικό) Εστω e είναι τυχαία κατεύθυνση Αρκεί να δείξουμε ότι A f f 58

Επειδή το D P Fe είναι ανοικτό, υπάρχει h e έτσι ώστε το πηλίκο P h e P να είναι καλά ορισμένο Αν λοιπόν Q P h e D, τότε έχουμε P h e P h Q P F dr F dr F dr, h h h A A PQ όπου χωρίς περιορισμό της ενικότητας η ολοκλήρωση μπορεί να θεωρηθεί ότι ίνεται επί του ευθυράμμου τμήματος PQ Αρα lim d lim P t h dt h h F r PQ h F + e e Δηλαδή limf + e e lim P t h dt h P h e P F P edt F P e h e P lim FPe h h Aν F f f και e :,,,, i i είναι η κανονική βάση του τότε από την παραπάνω ισότητα παίρνουμε, Με άλλα λόια P P i fi F e e i F= Παρατηρήσεις (α) Από την απόδειξη του προηούμενου θεωρήματος προκύπτει ένας εύκολος τρόπος υπολοισμού της συνάρτησης δυναμικού: P Α F d r P A 59

Επιπλέον, αν ο τόπος ορισμού D ενός συντηρητικού πεδίου F είναι κυρτός, τότε προκύπτει ένας εύκολος τρόπος υπολοισμού της συνάρτησης δυναμικού μέσω της σχέσης P A t AP AP dt A F ( ), όπου Α είναι τυχαίο μεν αλλά σταθεροποιημένο δε στοιχείο του D και η ολοκλήρωση ίνεται επί του ευθυράμμου τμήματος Σημειώνουμε ότι η συνάρτηση βαθμωτού δυναμικού σε τόπο D είναι μοναδική με προσέιση σταθεράς, δηλαδή και η k k είναι επίσης συνάρτηση δυναμικού, ΑP (β) Υπενθυμίζουμε απ το Κεφάλαιο ότι αν ένα διανυσματικό F x, y P x, y, Q x, y έχει συνεχείς μερικές παραώους πεδίο πάνω σε τόπο συντηρητικό), ισχύει D, τότε αν το F P Q P D y x είναι πεδίο κλίσεων (άρα και F έχει συνεχείς Ομοίως αν ένα διανυσματικό πεδίο P K, L, M 3 μερικές παραώους πάνω σε τόπο D, τότε αν το F είναι πεδίο κλίσεων (άρα και συντηρητικό), ισχύει K L και K M και L M P D y x z x z y Στο Κεφάλαιο είδαμε ότι ισχύει και το αντίστροφο υπό την προϋπόθεση ότι το πεδίο ορισμού D είναι απλά συνεκτικός τόπος Επίσης ισχύει P Q P D D y x F : ειναι αστροβιλο και K L K M L M P D D 3 3 y x και z x και z y F : ειναι αστροβιλο Ετσι έχουμε τις ακόλουθες συνθήκες ισοδυναμίας ια συντηρητικά πεδία: 6

Θεώρημα 66 Εστω F : D,3 είναι συνεχές διανυσματικό πεδίο επί τόπου Oι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναμες: To F είναι συντηρητικό πεδίο επί του τόπου D D Για κάθε κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη εντός του D ισχύει F d r To F είναι πεδίο κλίσεων επί του D Αν ο τόπος D 3 είναι απλά συνεκτικός, τότε ισχύει: To F είναι συντηρητικό πεδίο επί απλά συνεκτικού τόπου αν και μόνον αν το πεδίο F έχει συνεχείς μερικές παραώους και είναι αστρόβιλο επί του D D Αν ο τόπος D δεν είναι απλά συνεκτικός και το πεδίο είναι αστρόβιλο ΔΕΝ συνεπάεται ότι το είναι συντηρητικό πεδίο Μπορεί να είναι μπορεί και όχι F F 3 64 ΘΕΩΡΗΜΑ GREEN ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Αρχικά δίνουμε κάποιους ορισμούς που θα χρειασθούμε στη συνέχεια Επειδή η τιμή του επικαμπυλίου ολοκληρώματος ου είδους εξαρτάται από τη φορά διαραφής της καμπύλης είναι χρήσιμο να δοθεί ένας νόμος σύμφωνα με τον οποίο η φορά διαραφής μιας κλειστής καμπύλης να χαρακτηρίζεται ως θετική ή αρνητική Στο Κεφάλαιο αυτό θα δώσουμε ένα νόμο ια απλές κλειστές καμπύλες του Για κλειστές καμπύλες στον 3 παραπέμπουμε στο επόμενο Κεφάλαιο Από το Θεώρημα καμπύλων του Jord είναι νωστό ότι μια επίπεδη, απλή, κλειστή, και τμηματικά λεία καμπύλη χωρίζει το επίπεδο σε δυο χωρία: στο εσωτερικό της που είναι φραμένο χωρίο και στο εξωτερικό της που είναι μη φραμένο χωρίο Oρισμός 65 (Προσανατολισμός απλής, κλειστής καμπύλης) Θα λέμε ότι μια απλή, κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη στο επίπεδο είναι θετικά προσανατολισμένη (ή διαράφεται με τη θετική φορά) αν 6

κινούμενοι κατά μήκος της εσωτερικό της έχουμε πάντα στο αριστερό χέρι μας το Oρισμός 66 Ενα συνεκτικό σύνολο καλείται απλά συνεκτικό αν κάθε κλειστή καμπύλη στο D μπορεί να συσταλεί με συνεχή τρόπο σε σημείο παραμένοντας εξ ολοκλήρου στο D Σε αντίθετη περίπτωση ο D καλείται πολλαπλά συνεκτικό σύνολο D Σημείωση (α) Αν είναι συνεκτικό, τότε το είναι απλά συνεκτικό αν και μόνον αν δεν έχει «τρύπες» στο εσωτερικό του D (β) Αν είναι συνεκτικό σύνολο, τότε το D είναι απλά συνεκτικό αν και μόνον αν δεν έχει «ρωμές» που να διαπερνούν απ άκρη σ άκρη το εσωτερικό του D 3 Θεώρημα 67 (Gree) Εστω F F : D : x, y P x, y, Q( x, y) είναι διανυσματικό πεδίο με συνεχείς μερικές παραώους πάνω και στο εσωτερικό D μιας απλής, κλειστής, τμηματικά λείας και θετικά προσανατολισμένης καμπύλης που στο εξής συμβολίζουμε με (ως το σύνορο του εσωτερικού D της ) Τότε D D D Q P Fdr dxdy D x y Απόδειξη Θα δείξουμε το θεώρημα ια κανονικά χωρία (όπως ορίσθηκαν στα διπλά ολοκληρώματα) Μετά το θεώρημα μπορεί να ενικευθεί και ια μη κανονικά χωρία, περιράφοντάς τα ως ένωση κανονικών χωρίων Εστω D είναι ένα κανονικό χωρίο του έτσι ώστε D x, y : x, f x y f x, ή ισοδύναμα, :, D x y y d g y x g x, 6

όπου f, f:, και, :, συναρτήσεις επί των διαστημάτων και D f x g g d είναι συνεχείς, d, αντιστοίχως Τότε P fx P dxdy dydx Px, fx Px, f xdx y y, Pdx Pdx Pdx Pdx D όπου θεωρήσαμε ότι D είναι μια απλή κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη με τη θετική φορά διαραφής Απ την άλλη μεριά Q d g y Q d dxdy dxdy Qg y, y Qg y, y dy x x D g y Qdy Qdy Qdy Qdy D Αφαιρώντας τις παραπάνω έχουμε: Q P dxdy dxdy Qdy Pdx d x y F r D D D D D Παρατηρήσεις: (α) Υπό τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 67 και τον ορισμό της περιστροφής, το Θεώρημα Gree μπορεί να ραφεί ως D F dr F ( x,y) dxdy D Με άλλα λόια, η κυκλοφορία (ή το έρο) του πεδίου κατά μήκος του συνόρου ισούται με τη «συνολική» περιστροφή του πεδίου στο εσωτερικό του D D (β) Το Θεώρημα Gree μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ια τον υπολοισμό ενός διπλού ολοκληρώματος με τη βοήθεια ενός επικαμπύλιου ολοκληρώματος Για παράδειμα αν θέλουμε να υπολοίσουμε το dxdy, δηλαδή το εμβαδόν της περιοχής D, D τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα του Gree Q P θεωρώντας ότι Αν x y 63

x, Px,y Q x,y ή Q x, y, P x, y y ή τότε Q x,y x, Px,y y, E dxdy xdy ydx xdy y dx D D D D Θεώρημα 68 (Παραμόρφωση δρόμων) Εστω, είναι δυό απλές, κλειστές, τμηματικά λείες καμπύλες με τον ίδιο θετικό προσανατολισμό έτσι ώστε η μια εκ των να βρίσκεται στο εσωτερικό της άλλης (βλέπε ενδεικτικό σχήμα):, Αν F: R : F x, y P x, y, Q( x, y) είναι διανυσματικό πεδίο με συνεχείς μερικές παραώους στο φραμένο χωρίο R και στο σύνορό του R όπως στο σχήμα, τότε Q P F dr F dr dxdy R x y Απόδειξη Εστω R είναι το χωρίο που περικλείεται μεταξύ των καμπύλων και έστω L, L είναι οι καμπύλες με ίχνη τα ραμμοσκιασμένα ευθύραμμα σχήματα με τις φορές του σχήματος Τότε το R διαμερίζεται σε δύο απλά συνεκτικά χωρία (έστω φράσσονται από δύο απλές κλειστές και τμηματικά λείες καμπύλες, συνεπώς το θεώρημα Gree εφαρμόζεται σε κάθε μία από αυτές Εστω και R και R ) που και i i, R i, R, i, R L L R R R R,, R L L,, με τη θετική φορά Τότε: 64

Q P F dr F dr dxdy x y R L L R, R, R F dr F dr L, R Q P F dr d dxdy F r, R L R x y Ομοίως Q P F dr F dr dxdy x y R L L R, R, R F dr F dr L, R Q P F dr d dxdy F r, R L R x y Aθροίζοντας κατά μέλη παίρνουμε Q P F dr F dr dxdy R x y Με βάση το παραπάνω Θεώρημα μπορούμε να ενικεύσουμε το Θεώρημα Gree ως εξής: Θεώρημα 69 (Γενικευμένο Θεώρημα Gree) F F είναι διανυσματικό πεδίο με : D : x, y P x, y, Q( x, y) συνεχείς μερικές παραώους πάνω σε κλειστό τόπο D έτσι ώστε το σύνορό του D, όπου,,, είναι απλές, κλειστές, τμηματικά λείες και θετικά προσανατολισμένες καμπύλες με τις,, στο εσωτερικό της και με κάθε καμπύλη j να βρίσκεται στο εξωτερικό κάθε άλλης καμπύλης k k, j,,, k j Τότε Q P F dr F dr dxdy k k D k x y Απόδειξη Οπως στο Θεώρημα 68 τότε ισχύει 65

65 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έστω είναι το ευθύραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία A=(,,) και B=(,-3,) Υπολοίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f x, y,z x y z επί του τμήματος Λύση Παραμετροποιούμε το τμήμα ΑΒ ως εξής: οπότε: t OA+ t AB t,-3t,t, t, r, r r f x,y,z ds f t t dt t + -3t - t + -3 + dt 3t 3 t +9t - 4t 4dt 4 - +3t 3 3 3-4 4 Έστω είναι η καμπύλη του σχήματος: + xy ds Yπολοίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Λύση Προφανώς : άρα: π π r t συνt,ημt, t -, και r t t, t, :, 4, -π/ π/ f ds f ds f ds f r t r t dt f r t r t dt 66

π/ -π/ + 4ημtσυνt dt 6 dt π/ π/ t - συνt 4 π 4 +ημ t dt + 4t -π/ 3 Σωματίδιο κινείται προς τα πάνω κατά μήκος κυκλικής έλικας r t = συνt,ημt,t, t π και εφαρμόζεται με παραμετροποίηση πάνω σ αυτό μια δύναμη F x,y,z = -zy,zx,xy -π/ Υπολοίστε το έρο της δύναμης αυτής κατά την κίνηση του σωματιδίου πάνω στην κυκλική έλικα Λύση π π F dr Frtr tdt F συνt,ημt,t ημt,συνt, dt π tημt, tσυνt, ημt συνt ημt,συνt, dt π 4 Εάν t t, t, t 3 = -tημt ημt + tσυνt συνt + συνt ημt dt = t + ημt συνtdt = t + ημ t dt = π π π r, t είναι μία παραμετροποίηση καμπύλης, να υπολοισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα xydx 3zxdy 5x yzdz Λύση xydx 3zxdy 5x yzdz x t y t x t dt 3z t x t y t dt 5x t y t z t z t dt 3 3 t t t dt 3t t t dt -5 t t t 3t dt 3 5 9 t 6 t 5 t dt 4 5 Έστω είναι η κλειστή καμπύλη που περιράφεται στο ακόλουθο σχήμα: 67

y dx x +6xy dy 3 Να υπολοισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 4 Λύση H είναι μια απλή, κλειστή, θετικά προσανατολισμένη και F P, Q y 3, x 4 6xy είναι τμηματικά λεία καμπύλη Το πεδίο συνεχώς διαφορίσιμο πάνω και στο εσωτερικό της καμπύλης, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Gree Ετσι αν R είναι το φραμένο χωρίο με σύνορο την καμπύλη τότε έχουμε 3 4 Q P y dx x +6xy dy dxdy R x y R 4x 3 +6y 6y dxdy 4 4 x 3 3 4x dxdy R 4x dydx 4 4 5 5 3 4 4 4x 4 5/4 x dx - x 6 Υπολοίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την x y έλλειψη + = Λύση Θεωρούμε την παραμετροποίηση r t = συνt,ημt t,π της έλλειψης, οπότε: R π dxdy x dy συνt συνt dt π 7 Nα υπολοισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα dx xy dy x y +, AB 68

όπου AB είναι τόξο της καμπύλης με παραμετρικές εξισώσεις x = t, y = t +, t,4, A=, και B =, 5 Λύση 4 4 I = d t d t t t t t 4 = dt dt t t t t t t Αλλά 4 4 dt dt t t t t t t A B At Bt A Bt A t t + t t + άρα: A B B, A A 4 4 t I = dt t t + t t + t + 4 4 5 8 Nα υπολοισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:, 3x ydx+5xy dy AB όπου AB είναι το τόξο της καμπύλης y = x 3 από το σημείο Α = (,) ως το Β=(,8) r t, 3 Λύση Θεωρούμε την παραμετροποίηση t t,t καμπύλης y = x 3, οπότε: 3 6 3 5 9 I 3t t dt 5t t d t 3t dt +5t dt της 69

6 t t 9 3 3 5 3 3 566 6 9 Nα υπολοισθεί η κυκλοφορία του διανυσματικού πεδίου x,y x y 4, 3x+5y -6 F, επί του κύκλου x + y =4 με τη θετική φορά διαραφής Λύση Έστω P(x,y)=x y+4, Q(x,y)=3x+5y 6 Τότε οι P,Q έχουν συνεχείς μερικές παραώους πάνω και στο εσωτερικό του κύκλου, οπότε από τον τύπο Gree έχουμε: Q P F dr dxdy 4 dxdy x y R R π ρ 4 ρdρdθ = 4 π 6π Δίνεται το πεδίο y x F:, : F xy,, x y x y (α) Δείξτε ότι το πεδίο είναι αστρόβιλο στο, (β) Εστω D ο κυκλικός δίσκος κέντρου (,) και ακτίνας ε> με σύνορο τον κύκλο x y με τη θετική φορά Δείξτε ότι Fdr D () Αν είναι οποιαδήποτε απλή, κλειστή, τμηματικά λεία και θετικά προσανατολισμένη καμπύλη που περιέχει το (,) στο εσωτερικό της, δείξτε ότι Fdr (δ) Eίναι το πεδίο συντηρητικό στο, (ε) Ορίζεται συνάρτηση δυναμικού στο, D ; Εξηήστε ; Αν όχι πως θα έπρεπε να διαμορφώσετε το πεδίο ορισμού ώστε να ορίζεται συνάρτηση δυναμικού; Λύση (α) Είναι εύκολο να δούμε ότι 7

y x Py Qx x y x y άρα το πεδίο είναι αστρόβιλο στο,,, (β) Επειδή το πεδίο δεν έχει συνεχείς μερικές παραώους στο εσωτερικό του κύκλου x y (αφού το (,) ανήκει στο εσωτερικό του κύκλου), το Θεώρημα Gree 67 δε μπορεί να εφαρμοσθεί Εραζόμαστε μέσω ορισμού και έχουμε F dr F r t r t dt t t t t dt () Εστω ο κυκλικός δίσκος κέντρου (,) και ακτίνας ε> με σύνορο τον κύκλο : x y με τη θετική φορά ώστε D R και G φραμένο χωρίο με σύνορο G Τότε το πεδίο F είναι αστρόβιλο στο G και απ το θεώρημα παραμόρφωσης δρόμων ισχύει R F d r F d r F ( x, y ) dxdy λόω και του ερωτήματος (β) G (δ) Το πεδίο αν και είναι αστρόβιλο ΔΕΝ είναι συντηρητικό στο, διότι όπως είδαμε στο ερώτημα (β) (ή ()) το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος οποιασδήποτε κλειστής καμπύλης εντός του D δεν είναι μηδέν (δ) Δεν μπορεί να ορισθεί συνάρτηση δυναμικού στο, Αν όμως περιορίσουμε το πεδίο ορισμού του πεδίου σε ένα απλά συνεκτικό υποσύνολο Ε του που δεν περιέχει το, τότε ισχύει το Θεώρημα του Gree, το πεδίο είναι συντηρητικό και υπάρχει μονότιμα ορισμένη συνάρτηση δυναμικού (με προσέιση σταθεράς) στο Ε 7

66 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Yπολοίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα: y dx x dy, όπου είναι το τρίωνο με πλευρές x =, y =, y = x με τη θετική φορά Aπάντ Yπολοίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα: y dx x dy, όπου είναι η τεθλασμένη ραμμή P P P, όπου P = (,,), P = (,,) P = (,,) Aπάντ 6 3 Να υπολοισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ( ) είναι η τεθλασμένη ραμμή P P P x y z ds, όπου, όπου P = (,,), P = (,,) P = (,,) Απάντ 5 3 6 4 Να υπολοισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι η καμπύλη με εξίσωση,, 4 x 3 y ds, όπου Απάντ 5 Να υπολοισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα y z ds, όπου είναι η καμπύλη x y z, y z Απάντ 6 6 Δίνεται το πεδίο F x, y, z xyz ( z ) y, x z x, x y xz ( z ) Να δείξετε ότι το πεδίο είναι συντηρητικό και στη συνέχεια υπολοίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα F d r, όπου AB τόξο καμπύλης με AB αρχή το σημείο Α = (,,) και πέρας το σημείο Β = (,,) Απάντ 7

7 Yπολοίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα AB είναι το τόξο της καμπύλης το σημείο Β = (,5) y AB 3 xydx xy dy, όπου από το σημείο Α = (,) έως x Απάντ 666 5 8 Υπολοίστε την κυκλοφορία του πεδίου F x, y, z x, y, z επί της καμπύλης x y, z Απάντ 9 Υπολοίστε το έρο του πεδίου x, y, z x, y, z έλικας rt t, t, t, t,4 F επί της κυκλικής Aπάντ Επαληθεύστε τον τύπο Gree ια το πεδίο F και ια τον τόπο D x y D x, y x y, y 3x x y, : 4 9 8 Δίνεται το πεδίο y x F:, : F xy,, ( x ) y ( x ) y (α) Δείξτε ότι το πεδίο είναι αστρόβιλο στο, (β) Εστω τόπος που φράσσεται από μια απλή κλειστή και τμηματικά λεία καμπύλη με τη θετική φορά Αν ο τόπος περιέχει στο εσωτερικό του το σημείο,, υπολοίστε το F dr D () Δείξτε ότι το πεδίο δεν είναι συντηρητικό στο, (δ) Δείξτε ότι ορίζεται συνάρτηση δυναμικού στο σύνολο D x, y : x y / Υπολοίστε έναν τύπο της Υπολοίστε το έρο του πεδίου συνόρου του δακτυλίου x x, y F xy, y επί του D x, y : x y 4 Θεωρήστε ως φορά διαραφής τη θετική ως προς το χωρίο Απάντ D 73

3 Υπολοίστε την κυκλοφορία του πεδίου F x, y x y, x y επί του συνόρου του δακτυλίου, : 4 D x y x y Θεωρήστε ως φορά διαραφής τη θετική ως προς το χωρίο Απάντ 74