ΕΡΕΤΝΗΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ: ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΑΡΧΑΙΟΤ ΧΡΟΝΟΤ Β ΛΤΚΕΙΟΤ 1 Ο ΛΤΚΕΙΟ ΜΙΚΡΑ 2 Ο ΣΕΣΡΑΜΗΝΟ

ΕΡΕΤΝΗΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ: ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΑΡΧΑΙΟΤ ΧΡΟΝΟΤ Β ΛΤΚΕΙΟΤ 1 Ο ΛΤΚΕΙΟ ΜΙΚΡΑ 2 Ο ΣΕΣΡΑΜΗΝΟ

ΕΡΑΣΟΘΕΝΗ :ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΙΗΜΕΡΙΝΟΤ ΣΗ ΓΗ ΑΔΑΜΑΡΑ ΡΑΥΑΗΛ ΓΕΨΡΓΑΝΣΖΙΔΟΤ ΦΡΙΣΙΝΑ ΔΕΡΕΜΠΕΪΔΟΤ ΕΙΡΗΝΗ ΚΟΡΨΝΑΙΟΤ ΛΗΔΑ

ΕΡΑΣΟΘΕΝΗ :ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΙΗΜΕΡΙΝΟΤ ΣΗ ΓΗ Ο Ερατοςθϋνησ πληροφορόθηκε, ότι ςτην περιοχό τησ υόνησ (το ςημερινό Αςςουϊν), το μεςημϋρι τησ ημϋρασ που αρχύζει το καλοκαύρι (21 Ιουνύου), οι κατακόρυφεσ ςτόλεσ και οι οβελύςκοι δεν ρύχνουν καθόλου ςκιϊ. Επύςησ ότι, την ύδια μϋρα και ώρα, ο όλιοσ καθρεφτύζεται ςτο νερό των πηγαδιών, οι ακτύνεσ του εύναι παρϊλληλεσ προσ τα κατακόρυφα τοιχώματα και ϊρα ο όλιοσ βρύςκεται ςτην κατακόρυφο του τόπου. Κϊτι που δεν ςυνϋβαινε ςτην Αλεξϊνδρεια, ούτε ςε οποιοδόποτε ϊλλο μϋροσ που εύχε ζόςει. Ο Ερατοςθϋνησ ζότηςε να μϊθει την απόςταςη Αλεξϊνδρειασ υόνησ. Διαςταυρώνοντασ τισ πληροφορύεσ κατϊληξε ότι η απόςταςη αυτό όταν 5.000 ςτϊδια.

ΕΡΑΣΟΘΕΝΗ :ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΙΗΜΕΡΙΝΟΤ ΣΗ ΓΗ Σην ύδια μϋρα και ώρα, του θερινού ηλιοςταςύου, που όλιοσ όταν ςτην κατακόρυφο ςτη υόνη, εκεύνοσ μϋτρηςε τη ςκιϊ και τη γωνύα που ςχημϊτιζαν οι ακτύνεσ του όλιου με ϋναν κατακόρυφο οβελύςκο που υπόρχε ςτην Αλεξϊνδρεια. Θεώρηςε, οτι οι ακτύνεσ του όλιου ςτη υόνη και ςτην Αλεξϊνδρεια εύναι παρϊλληλεσ. Η γωνύα των ακτύνων με την κατακόρυφο, ςτην Αλεξϊνδρεια, όταν το ϋνα πεντηκοςτό του κύκλου, 7,2 μούρεσ. Ίδια εύναι και η επύκεντροσ γωνύα, όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Ωρα ο πλόρησ κύκλοσ, (50 x 7,2 = 360), όταν 50 φορϋσ μεγαλύτερη, 250.000 ςτϊδια.

ΕΡΑΣΟΘΕΝΗ :ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΜΕΗΜΒΡΙΝΟΤ ΣΗ ΓΗ

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΕΡΙΑ ΑΝΑΓΝΨΣΑΚΗ ΚΨΝΣΑΝΣΙΝΑ ΑΝΔΡΙΣΟΤΔΗ ΣΕΥΑΝΟ ΔΨΔΟΠΟΤΛΟΤ ΑΛΙΚΗ ΚΨΝΣΑΝΣΙΝΙΔΗ ΦΑΡΗ ΣΟΠΟΤΖΛΙΔΟΤ ΕΤΓΕΝΙΑ

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΕΡΙΑ Αν ϋνα πλούο βρύςκεται ςτη θϋςη A ςτη θϊλαςςα, εμεύσ ςτεκόμαςτε ςτη θϋςη B ςτη ςτεριϊ και θϋλουμε να υπολογύςουμε την απόςταςη AB, τότε:

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΕΡΙΑ Ξεκινϊμε από το ςημεύο B και περπατώντασ πϊνω ςτην παραλύα κϊθετα ςτην AB διανύουμε μιαν απόςταςη BΓ. το ςημεύο Γ βϊζουμε ϋνα ςημϊδι, π.χ. ςτερεώνουμε ϋνα ραβδύ και ςυνεχύζοντασ πϊνω ςτην ύδια ευθεύα διανύουμε την απόςταςη ΓΔ=BΓ.

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΕΡΙΑ το ςημεύο Δ αφού βϊλουμε ϋνα ςημϊδι, π.χ. μια πϋτρα, κϊνουμε ςτροφό και περπατώντασ κϊθετα ςτη BΔ ςταματϊμε όταν βρεθούμε ς ϋνα ςημεύο E, από το οπούο τα ςημεύα A και Γ φαύνονται να εύναι πϊνω ςτην ύδια ευθεύα.

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΕΡΙΑ Η ζητούμενη απόςταςη AB εύναι ύςη με την απόςταςη ΔE την οπούα μπορούμε να μετρόςουμε, αφού εύναι πϊνω ςτη ςτεριϊ.

ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΗ ΑΠΟΣΑΗ ΕΝΟ ΠΛΟΙΟΤ ΑΠΟ ΣΗΝ ΣΕΡΙΑ Ση μϋθοδο αυτό, λϋγεται, ότι εφϊρμοςε πριν από 2.500 χρόνια περύπου ο Θαλόσ ο Μιλόςιοσ.

ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΨΟΤ ΣΩΝ ΠΤΡΑΜΙΔΩΝ ΑΝΑΓΝΨΣΟΤ ΣΕΥΑΝΟ ΒΑΜΒΑΚΙΔΗ ΘΟΔΨΡΗ ΚΨΣΟΠΟΤΛΟΤ ΕΙΡΗΝΗ ΚΨΣΟΠΟΤΛΟΤ ΜΑΡΙΑ ΟΤΚΛΕ ΕΙΡΗΝΗ

Πώσ μέτρηςε ο Θαλήσ το ύψοσ των πυραμίδων Η πυραμύδα του Φϋoπα (2ου Υαραώ τησ 4ησ δυναςτεύασ), ϋνα από τα 7 θαύματα τησ αρχαιότητασ, ϊρχιζε να κτύζεται γύρω ςτο 2.600 π.φ. και η καταςκευό τησ κρϊτηςε όπωσ αναφϋρει ο Ηρόδοτοσ 30 ολόκληρα χρόνια ςυνεχούσ εργαςύασ. Θεωρεύται ωσ η τελειότερη καταςκευό του Αιγυπτιακού πολιτιςμού από ϊποψη γεωμετρικών ιδιοτότων. Κϊπου μακριϊ ςτη Μύλητο, πολλούσ αιώνεσ αργότερα από την καταςκευό τησ πυραμύδασ, ο Θαλόσ, Ϊλληνασ φιλόςοφοσ-μαθηματικόσ που ϋζηςε τον 6ο αιώνα π.φ. (640 π.φ. 546 π.φ.) ξεκινούςε ϋνα ταξύδι για την Αύγυπτο.

Πώσ μέτρηςε ο Θαλήσ το ύψοσ των πυραμίδων Για τη μϋτρηςη του ύψουσ των πυραμύδων ο Θαλόσ χρηςιμοπούηςε ϋνα ραβδύ, το οπούο ςτόριξε κϊθετα ςτο ϋδαφοσ δύπλα από τισ πυραμύδεσ. τη ςυνϋχεια περύμενε μϋχρι το μόκοσ τησ ςκιϊσ του ραβδιού να γύνει ύςο με το ύψοσ του.

Πώσ μέτρηςε ο Θαλήσ το ύψοσ των πυραμίδων Όταν ςυνϋβη αυτό μϋτρηςε το μόκοσ τησ ςκιϊσ τησ πυραμύδασ. Προφανώσ, τη χρονικό ςτιγμό όπου το μόκοσ τησ ςκιϊσ του ξύλινου ραβδιού γινόταν ύςο με το ύψοσ του, τότε όλα τα αντικεύμενα (που όταν κϊθετα τοποθετημϋνα ςτο ϋδαφοσ) ςχημϊτιζαν μια ςκιϊ, με μόκοσ ύςο με το ύψοσ τουσ. Οι πυραμύδεσ δεν αποτελούςαν εξαύρεςη και ϋτςι το ύψοσ μπορούςε να μετρηθεύ από το μόκοσ τησ ςκιϊσ τουσ. ο Θαλόσ με μόνο όπλο το μυαλό του και ϋνα ραβδύ εύχε μετρόςει την πυραμύδα με ςφϊλμα μόνο 1,7 μϋτρα!

ΜΕΣΡΗΗ ΑΠΟΣΑΗ ΓΗ ΕΛΗΝΗ ΜΠΑΣΙΟΣΟ ΣΕΥΑΝΟ ΡΑΜΑ ΝΣΕΒΗ ΠΤΡΟΤ ΜΠΑΜΠΗ ΧΑΡΟ ΚΨΣΑ

ΜΕΣΡΗΗ ΑΠΟΣΑΗ ΓΗ ΕΛΗΝΗ Ο Ερατοςθϋνησ βρόκε με ϋξυπνο τρόπο την απόςταςη μϋχρι τη ελόνη, παρατηρώντασ προςεκτικϊ μια ςεληνιακό ϋκλειψη, που ςυμβαύνει όταν η Γη εμποδύζει τισ ακτύνεσ του όλιου να φτϊςουν ωσ το φεγγϊρι. Για την καλύτερη οπτικοπούηςη τησ ςεληνιακόσ ϋκλειψησ, φανταςτεύτε ότι κρατϊτε ϋνα νόμιςμα (διαμϋτρου περύπου μια ύντςα ό 2,54 εκατοςτϊ) ςε απόςταςη, όπου αυτό μόλισ να μπλοκϊρει τισ ακτύνεσ του όλιου από το μϊτι ςασ. Αποδεικνύεται ότι η ςωςτό απόςταςη για να το κρύψουμε εύναι περύπου 274 εκατοςτϊ.

Σι ςημαύνει αυτό από μαθηματικό ςκοπιϊ; Ότι όλη η ςκιϊ τησ Γησ θα πρϋπει να εύναι 108 φορϋσ τη διϊμετρο τησ Γησ! (το 108 εύναι το πηλύκο του 274 με τη διϊμετρο του νομύςματοσ 2.54). Αυτό ςυμβαύνει διότι η ϊκρη του μεγϊλου κώνου εύναι το πιο μακρινό ςημεύο όπου η Γη μπορεύ να μπλοκϊρει όλεσ τισ ηλιακϋσ ακτύνεσ, και ο λόγοσ τησ απόςταςησ τησ ελόνησ προσ τη διϊμετρο τησ ελόνησ εύναι ύςοσ με τον λόγο των 274 εκατοςτών (η απόςταςη που κρύψαμε το φωσ) με τη διϊμετρο του νομύςματοσ. Πολλαπλαςιϊζοντασ 108 φορϋσ τη διϊμετρο τησ Γησ βρύςκουμε την απόςταςη μϋχρι τη ελόνη. Ο Ερατοςθϋνησ ϋδειξε ότι η διϊμετροσ τησ Γησ όταν ςχεδόν 12.700 χιλιόμετρα, ϊρα και το μόκοσ του κώνου τησ ςκιϊσ που δημιουργούςε η Γη όταν περύπου (12.700*108=) 1.380.000 χιλιόμετρα!!!

Η ελόνη ειςϋρχεται ςτην ςκιϊ τησ Γησ (ςτα δεξιϊ μασ) ςε μια ϋκλειψη. Αφού παρατόρηςαν ότι EF=2.5 * ED κατϊλαβαν με τη βοόθεια των ομούων τριγώνων FAE και DCE ότι AE=2.5 * EC και από αυτό ότι AC=3.5 * EC. Γνωρύζοντασ από πριν ότι το μόκοσ του κώνου AC εύναι 108 * BC (όπου BC εύναι η διϊμετροσ τησ Γησ 12700 χλμ), ςυμπϋραναν από τα όμοια τρύγωνα ότι AC εύναι 3,5 φορϋσ η EC ό ότι η απόςταςη τησ ελόνησ εύναι 395.000 χιλιόμετρα περύπου. Επύςησ, η διϊμετροσ τησ ελόνησ όταν (1/4 * 12.700) χιλιόμετρα, ό ςχεδόν 3.200 χιλιόμετρα

Παρατηρώντασ το φεγγϊρι προςεκτικϊ κατϊ την ϋκλειψη, και βλϋποντασ πώσ πϋφτει πϊνω του η γόινη ςκιϊ, αςτρονόμοι ςαν τον Αρύςταρχο διαπύςτωςαν ότι η διϊμετροσ τησ κωνικόσ ςκιϊσ τησ Γησ ωσ την ελόνη (δηλαδό η EF), όταν περύπου 2,5 φορϋσ η διϊμετροσ του φεγγαριού (ED).

Λοιπόν, κατϊλαβε ότι το φεγγϊρι εύναι πιο κοντϊ από 1.380.000 χιλιόμετρα (το γινόμενο 12.700*108), ϊλλωσ το φεγγϊρι δεν θα διϋρχονταν καθόλου από τη γόινη ςκιϊ. Μόπωσ όμωσ η ελόνη όταν μεν ςτην απόςταςη των 1.380.000 χιλιομϋτρων (ςτην κορυφό του κώνου), αλλϊ όταν πολύ πιο μικρό ςαν ςημεύο; Ψςτόςο, ϋνα τϋτοιο μικρό φεγγϊρι ςαν ςημεύο, δεν θα μπορούςε ποτϋ να προκαλϋςει μια ηλιακό ϋκλειψη. την πραγματικότητα, οι Ϊλληνεσ γνώριζαν καλϊ ότι το φεγγϊρι ϋχει το ύδιο φαινόμενο μϋγεθοσ ςτον ουρανό με τον όλιο. Κι αυτό εύναι ϋνα κρύςιμο επιπλϋον γεγονόσ που χρηςιμοποιόθηκε για τον υπολογιςμό τησ απόςταςησ τησ ελόνησ από τη Γη.

Η γωνύα ECD εύναι η ύδια με τη γωνύα EAF. Παρατηρόςτε τώρα ότι το μόκοσ FE εύναι η διϊμετροσ τησ γόινησ ςκιϊσ ςτην απόςταςη που εύναι η ελόνη, όπωσ και το μόκοσ ED εύναι η διϊμετροσ τησ ελόνησ. Εύδαμε πριν ότι από παρατηρόςεισ τησ ςεληνιακόσ ϋκλειψησ η αναλογύα των FE να ED όταν 2,5 προσ 1, και γι αυτό από τα όμοια ιςοςκελό τρύγωνα FAE και DCE, βλϋπουμε ότι η ΑΕ εύναι 2,5 φορϋσ όςο η EC, ό ότι η AC εύναι 3,5 φορϋσ την EC. Από πριν εύδαμε ότι το μόκοσ τησ κωνικόσ ςκιϊσ AC εύναι 1.380.000, επομϋνωσ η απόςταςη τησ ελόνησ ΑΕ εύναι 1.380.000:3.5 = 395.000 χιλιόμετρα περύπου!!!