ΜΑΘΗΜΑ 8A. Ανισότητες Ασκήσεις Ανισοτήτων ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 4 i και w, να αποδείξετε ότι w iw w + ( iw ) w + iw w iw 6. Τριγωνική ανισότητα w + i 5 w + w (είναι w 5. +. 6 4 + 5). Για το µιγαδικό, αν ισχύει 4 4 6 0, να αποδείξεις ότι > Πάµε µε την απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι είναι. Τότε είναι και 4 () Η υπόθεση 4 4 + 6 4 4 + 6 () Από την τριγωνική ανισότητα, είναι 4 + 6 4 6 () Αλλά 4 6 ( 4 6) 4 + 6 4 4 6 () Η () µε τη µεταβατική ιδιότητα 4 4 + 6 (4) Έχουµε () 4 (4) 4 + 6 άρα 4 + 6 4 5 4 5 5 4 Τριγωνική ανισότητα και απαγωγή σε άτοπο > που είναι άτοπο, αφού
. Αν για το µιγαδικό ισχύει i και i, να αποδείξετε ότι i i ( i)( + i) + i i + + i( ) 0 () i i 4 ( i)( + i) 4 + i i + 9 4 + i( ) 5 i( ) 5 () () + i( ) 5 Τριγωνική ανισότητα 4. 5 () 5 0 5 0 5 5 i i + i + Αν για το µιγαδικό ισχύει Re > Re + + 5 Re > > Εξαντλούµε τις υποθέσεις (ιδιότητα απολύτων τιµών στους πραγµατικούς), να αποδείξετε ότι < + > + > + > () < < ( )( ) < + < < 0 < + που ισχύει από την ()
5. Για τους,, C δίνεται ότι. Να αποδείξετε ότι ( ) + + + + 9 ( ) + + + +. Οµοίως για τους, ( + + )( + + ) ( + + ) ( + + + + ( + + ) ) ( + + Από την τριγωνική ανισότητα είναι + + + + + + 6. Για τους µιγαδικούς, δίνεται ότι i) Οι, δεν είναι πραγµατικοί + i ii) + + i < i + i ( + + ) + i + i ) 9 <. Να αποδείξετε ότι i) Η σε άτοπο απαγωγή Έστω ότι είναι πραγµατικός ο. Τότε οι i, + i είναι συζυγείς, άρα έχουν ίσα µέτρα. i Οπότε + i i + i ii) i Aπό την υπόθεση + i Εξαντλούµε την υπόθεση που είναι άτοπο από την υπόθεση. < i + i < () i < + i i < + i ( i)( + i) < ( + i)( i) + i i + < i + i + i i < 0 i( ) < 0 i i Im( ) < 0
4 4 Im( ) < 0 Im( ) > 0 () Οµοίως Im( ) > 0 Οπότε Im( + ) Im( ) + Im( ) > 0 + 0 0 Με την αντίστροφη πορεία των παραπάνω ισοδυναµιών και έχοντας Im( + ) > 0 δηλαδή τη σχέση () για το µιγαδικό +, + i αποδεικνύουµε την () δηλαδή ότι < + + i 7. Αν C και 5 i, + i, να αποδείξετε ότι 5 +. Τριγωνική ανισότητα Τριγωνική ανισότητα ( ) ( ) + + + + () Aλλά 5 i ( + i ) 5 i i ) 4i 9+ 6 5 5 () 5 +. 8. Αν *, C, να δείξετε ότι + ( ) + ( ) + ( ) +. Τριγωνική ανισότητα δύο φορές + ( + ) + ( ) + ( + ) ( + ) ( + )
5 9. Για µιγαδικούς, να αποδείξετε ότι α) + + β) Αν α > 0 τότε ( + α) α) Αρκεί να δειχτεί ότι β) Λειτουργούµε µε τα και όχι µε τα + ( ) + + α + + + + 0 + 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 που ισχύει Αρκεί να δειχτεί ότι + α + + α ( + )( + ) + α + + + + + α α + + α α + α + α α + α α 0 α (α ) (α ) 0 ( α )(α ) 0 α 0 που ισχύει 0. Αν για τον C ισχύει +, να αποδείξετε ότι +. Η υπόθεση γίνεται 4 + 4 + 4 + () Αρκεί να αποδείξουµε ότι + + Πράξεις και τρ. ανισότητα + + 4 ( + ) 4 4 + + 4
6 Είναι 4 + + 4 ( + ) + 4 + + () + + 4. Για τους,,, 4 C να αποδείξετε ότι 4 4 + 4. 4 + 4 ( )( 4 ) + ( )( 4 ) + w w ( )( 4 ) ( )( 4 ) 4 + 4 + 4 + 4 4 + + 4 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) 4 i) Για τους,, C να αποδείξετε ότι + + ii) Αν για τους, w C ισχύει i και w 5, να αποδείξετε ότι 6 w 6 + i) + + + ( + ) + w w + () + α α στους πραγµατικούς Αλλά + + + προσθέτω το + Η () γίνεται + + + () () ii) w w i + i 5 + 5 ηµιουργούµε τους i, w 5 ( i) + ( w + 5) + ( 5 + i) ( 5 + i) + ( i) + ( w + 5) (i) ( 5 + i) ( i) ( w + 5)
7 6 6 w w i + i 5 + 5 ( i) + ( w + 5) + ( 5 + i) τρ. ανισότητα σε τρεις προσθετέους i + w + 5 + 5 + i + + 6 + 6. Για τους,, C να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) Όταν ένα τουλάχιστον από τα,, είναι, ας είναι, τότε 0, οπότε το ο µέλος της αποδεικτέας ανίσωσης είναι 0. Αλλά το ο µέλος της αποδεικτέας ανίσωσης είναι 0. Άρα η αποδεικτέα ισχύει. Όταν καθένα από τα,, είναι < Είναι ( ) ( ) ( ) ) (τριγωνική τρεις φορές) ( < > 0) ( ) ( ) ( ) (πράξεις) + + + ( ) + ( + + Αρκεί να αποδειχθεί ότι + + 0 + + + + 0 ( ) + + 0 Που ισχύει, αφού το πρώτο µέλος είναι άθροισµα µη αρνητικών )
8 4. Να βρεθούν οι µιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει Έστω x + yi (y 0 και y 0 και y 0 και < 0 (x + yi ) (x + yi) < 0 x + xyi xy y 0 και y( ) 0 και y yi < 0 (y 0 ή 0) και < 0 y < 0 y < 0 y < 0) ή ( 0 και y < 0 y < 0 < 0 (ρίζες του τριωνύµου y 0 και < x < Άρα x, όπου < x < 0 και x x x και ( ) και y < 0 y < 0 4 y < 0 και 4 y 8 < 0 Αν δεν έχουµε κάτι άλλο, χρησιµοποιούµε συντεταγµένες y < 0) ± ή ) x και 4 y < 9 ισχύει για κάθε y R Άρα + yi, y R 5. Στο σύνολο C, να λύσετε την ανίσωση Υπόδειξη Ακολούθησε την άσκηση 4 4 + < 0
9 6. Για τις εικόνες των, w C δίνεται ότι ανήκουν στο εσωτερικό του κυκλικού δίσκου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 4. Να αποδείξετε ότι 4 w < w 6 ίνεται < 4 και w < 4 Αρκεί να δειχθεί 4 w < w 6 6 w < w 6 < 6 και 6( w)( w ) < ( w 6)( w 6) w < 6 () 6 6 w 6w + 6w w < w w w. 6 6 w + 6.6 6 + 6 w (6 w ) 6(6 w 6.6 < 0 w ) < 0 (6 w )( 6) < 0 που ισχύει από τις () 7. Για το µιγαδικό δίνεται ότι i. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του +. Είναι + + i + i ( i) + ( + i) () Η τριγωνική ανισότητα στον ( i) + ( + i) () i + i ( i) + ( + i) i + + i i + i + i + + i () Είναι όµως i και + i + () + + + + Εκφράζουµε τον ζητούµενο + συναρτήσει του δοσµένου i Εποµένως, η µέγιστη τιµή του + είναι + και η ελάχιστη. Αν θέλουµε να βρούµε τον για τον οποίο συµβαίνει το µέγιστο, i λύνουµε το σύστηµα εισάγοντας συντεταγµένες + + Οµοίως για το ελάχιστο.
0 8. Για το µιγαδικό δίνεται ότι i+. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του w όταν w + i. Υπόδειξη w + i + i i + i + ( i + ) + ( + i) Τριγωνική ανισότητα στον ( i + ) + ( + i) Συνέχισε όπως στην άσκηση 7. 9. Για το µιγαδικό δίνεται ότι +. Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του + i. Υπόδειξη + i + i + i + i + ( + ) + ( i) Η τριγωνική ανισότητα στον ( + ) + ( i) Συνέχισε όπως στην άσκηση 7. 0. Για τους µιγαδικούς α 0, α, α δίνεται ότι το µέτρο καθενός είναι και για µιγαδικό v ισχύει v + α v + α v + α 0 0. Αποδείξτε ότι v < 4. (Ιούνιος 0) v + α v + α v + α 0 0 v α v + α v + α 0 v α v + α v + α 0 v α v + α v + α 0 α v + α v + α 0 α v + α v + α 0 v + v + Αποδείξαµε ότι v v + v + v v + v + Άρα v < v < 4 ( v ) ( v + v + ) v + v + ( ) v + v + v + v + v + v + v v + v + v + v + v + v + v + v + <