8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω πίλαθα: Γειαδή ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην Άξα ζην () () e,e e e θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην παξνπζηάδεη ν ι η θ ό ε ι ά ρ η ζ ην, ην e, Β. Μειέηε ωο πξνο ηα θνίια Δίλαη e e lne e e
ln ln ln, νπόηε : ln e ln ln ln lne e To πξόζεκν ηεο '', θαζώο θαη ηα θνίια θαη ηα θπξηά ηεο κε ηα ζεκεία θακπήο θαίλνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα: Γειαδή ε ζην παξνπζηάδεη θακπή, Άξα ζ ε κ ε ί ν θ α κ πή ο είλαη ην e, e e,. e Β. Γηα ηελ εύξεζε ηνπ ζπλόινπ ηηκώλ ρξεηαδόκαζηε, εθηόο από ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα, ηε ζπκπεξηθνξά ηεο ζηα άθξα ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο, δειαδή: lim () lim ln θαη ( ) ln lim () lim ln lim lim lim Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην,e, νπόηε
8,e, e Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην e, Οπόηε e,, e Τειηθά ην ζ ύ λ ν ι ν ηηκώλ ηεο είλαη :, e. 7. Θ Ε Μ Α Β study4eams Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο g είλαη ην, θαη είλαη ζπλερήο ζε απηό. Δπίζεο ε ζπλάξηεζε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην, κε παξάγωγν g () = =. Οπόηε έρνπκε ηνλ επόκελν πίλαθα πξόζεκνπ γηα ηελ g : g () ην νπνίν ζεκαίλεη όηη ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Άξα παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζην, ην νπνίν είλαη ην g() Γηα ην ζύλνιν ηηκώλ βξίζθνπκε ηα εμήο όξηα: lim g() = lim ( ln) = θαη ln lim g() = lim ( ln) = lim =, αθνύ lim = θαη,. ln ln (ln) lim = lim = lim = lim =. ()
Αλ A, Αλ A, θαη επεηδή ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην A, είλαη g A g, lim g, θαη επεηδή ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην A, είλαη g A lim g, lim g, Από ηα πξνεγνύκελα έπεηαη όηη ην ζύλνιν ηηκώλ είλαη ην,. Σρόιην: Μπνξνύκε λα απαληήζνπκε βξίζθνληαο θαη ην έλα από ηα δύν όξηα. Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην (, ). Καηαθόξπθε αζύκπηωηε Θεωξνύκε ην όξην αθνύ lim () lim e ln, lim ln θαη lim e y lim e y y Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο έρεη θ α ηαθόξπθε α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ επζεία. Πιάγηεο αζύκπηωηεο Θεωξνύκε ην όξην αθνύ όκωο () e ln ln lim = lim = lim e = y= ln (ln) y lim = lim = lim = θαη lim e = lime =, y () lim [() ] = lim e ln =, αθνύ lim e = θαη lim ln =. Άξα ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο δ ε λ έ ρ ε η π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην. Β. Ζ παξάγωγνο ηεο ηζνύηαη κε:
() = (e ln) = e ln e = e ( ln) = e g() θαη από ην εξώηεκα Β έπεηαη όηη γηα θάζε (, ), άξα ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (, ). Σην Β βξήθακε επίζεο όηη lim () = θαη lim () = lim e ln =, άξα ην ζ ύ λ ν ι ν ηηκώλ ηεο είλαη ην. 8. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠ. B. Πξέπεη θαη αξθεί 9 9 Άξα ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη B. α. Γηα (, ) είλαη: β. Έρνπκε άξα B. Έρνπκε D = [, ]. 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 lim lim lim 9 9 ή
4 9 / () () Άξα ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην,, ελώ είλαη,. B4. Ζ ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη η ν πηθό ε ι ά ρ η ζ ην : 7 η ν πηθό κέγη ζ η ν : = 9 = 4 η ν πηθό ε ι ά ρ η ζ ην :. 9. Θ Ε Μ Α Β study4eams Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην. Β. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε παξάγωγν Δπεηδή θαη ε ( ) () = = =. ζην (, ) (, ) είλαη ζπλερήο ζην, έπεηαη όηη ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην. Β. Ηζρύεη 4 = ln7 ln( ) ln( ) = 4 ln(4 ) () = (4) θαη ε είλαη αθνύ είλαη γλεζίωο αύμνπζα, άξα ε ηειεπηαία ζρέζε καο δίλεη: Β. Έρνπκε: 4
5 4 4 6 > ln > ln( ) ln( ) 6 ln (( ) ) > ln(( ) ) γλ.αμ. ( ) > ( ) > ( ) > > 4. Θ Ε Μ Α Β study4eams Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην. Β. Έρνπκε Ηζρύεη: άξα ζπλ θαη εκ. εκ εκ εκ (), γηα θάζε, ην νπνίν ζπλεπάγεηαη όηη ε είλαη θ π ξ η ή ζην. Β. Έρνπκε: ζπλ θαη θαη επεηδή ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην π π π ζπλ π π,, έπεηαη από ην ζ ε ώξ ε κ α B o l za n o όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα π, =. Όκωο όπωο δείμακε ζην πξνεγνύκελν εξώηεκα, άξα ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην π ππάξρεη κνλαδηθό, ηέηνην, ώζηε ηέηνην, ώζηε, γηα θάζε,, πνπ ζεκαίλεη όηη.
8 8 6 π Β. H είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην θαη ππάξρεη κνλαδηθό, ηέηνην, ώζηε νπόηε: Άξα ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θζίλνπζα ζην, γηα θαη γηα., θαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην,. 4. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ. B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην * κε παξάγωγν:, R ή,, * () () Άξα ε ζπλάξηεζε έρεη: B. Καηαθόξπθεο αζύκπηωηεο Δίλαη η ν πηθό κέγη ζ η ν : 6 η ν πηθό ε ι ά ρ η ζ ην : 6 lim lim
άξα ε 7 C έρεη θ α η α θ ό ξ π θ ε α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ ( ν άμνλαο y y) Πιάγηεο αζύκπηωηεο Δίλαη Άξα ε Οκνίωο είλαη Άξα ε B. Δίλαη lim lim lim ι lim ι lim lim β C έρεη π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ y. lim lim lim ι lim ι lim lim β C έρεη π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ y. 6 θαη, άξα ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζην ζεκείν Α, είλαη: B. Έρνπκε Πξέπεη (ε): y (ε): y 6 (ε): y 6 Άξα ην δεηνύκελν ζεκείν είλαη ην 6 ιαβ μ μ μ μ μ μ 4
8 M, 4 4. Θ Ε Μ Α Β 5 B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε, ωο πειίθν παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ, κε παξάγωγν e ( ) e e ( ) () γηα θάζε, ζπλεπώο ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζε θάζε έλα από ηα δηαζηήκαηα,,. θαη Δπεηδή ε είλαη ζπλερήο, ζα είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην. Δπίζεο έρνπκε όηη θαη e lim () lim lim e e e e e e lim () lim lim lim lim lim Άξα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ην δηάζηεκα,. B. Δπεηδή ε είλαη -, ε εμίζωζε γξάθεηαη ηζνδύλακα: Ο αξηζκόο αλήθεη ζην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο, άξα ππάξρεη αξηζκόο ξ, ηέηνηνο ώζηε e e e () e 5 e e e e () e e e (ξ), ν νπνίνο είλαη κνλαδηθόο, αθνύ ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο αύμνπζα. Λόγω ηωλ ηζνδπλακηώλ ν αξηζκόο ξ είλαη θαη κνλαδηθή ξίδα ηεο αξρηθήο εμίζωζεο. 4. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ.
9 B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε παξάγωγν:, δηόηη ζπλ εκ θαη εκ αθνύ εκ. Άξα ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην. B. Έρνπκε ε είλαη ζπλερήο ζην, π, ωο άζξνηζκα ζπλερώλ ζπλ π π π ζπλπ π π π (π ) Από Θ. B o l z a n o ε εμίζωζε,π θαη επεηδή ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,π έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην δηάζηεκα ε ξίδα απηή είλαη κνλαδηθή. B. Δίλαη "-" 8 6 8 6 6 8 ή 4 B4. Έρνπκε ζπλ lim lim ζπλ ζπλ lim lim lim. 44. Θ Ε Μ Α Β study4eams Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο 5 4 είλαη ην. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ωο πνιπωλπκηθή κε παξάγωγν Δίλαη () = 6 4 () 6 4 ή 4 () 6 4 4 () 6 4 ή 4
8 8 Έηζη έρνπκε ηνλ παξαθάηω πίλαθα: () () 4 6 Ζ είλαη ινηπόλ γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζηα δηαζηήκαηα (, ] θαη [4, ) θαη γ λ ε ζ ί ωο θζίλνπζα ζην [, 4]. Δπεηδή είλαη επίζεο ζπλερήο ζηα ζεκεία θαη 4, παξνπζηάδεη Β. Ηζρύεη ζηε ζέζε = η ν πη θ ό κ έ γ η ζ η ν ην () = θαη ζηε ζέζε = 4 ην πηθό ειάρηζην ην (4) = 6. lim () θαη lim (), θαη επεηδή ε είλαη ζπλερήο ζην ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην. Β. Τα επηκέξνπο ζύλνια ηηκώλ είλαη,,,,4 = 6, θαη θαη από ηε κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο πξνθύπηεη όηη Αλ ι 6, Αλ ι 6, ηόηε ε εμίζωζε Αλ 6 ι, Αλ ι, Αλ ι, Β4. Δίλαη ηόηε ε εμίζωζε ηελ 4 ηόηε ε εμίζωζε 4, 6, ι έρεη κηα κνλαδηθή ιύζε ζην,. ι έρεη δπν αθξηβώο ιύζεηο, θαη κηα δεύηεξε ζην,. ι έρεη ηξεηο αθξηβώο ιύζεηο, κηα ζε θάζε έλα από ηα δηαζηήκαηα ηόηε ε εμίζωζε ηόηε ε εμίζωζε,,,4 θαη 4,. ι έρεη δπν αθξηβώο ιύζεηο, ηελ θαη κηα δεύηεξε ζην 4,. ι έρεη κηα κνλαδηθή ιύζε ζην 4,.
8 8 Οπόηε έρνπκε () = θαη () 5 () > >. 5/ Άξα ε είλαη 5 θ ν ί ι ε ζην δηάζηεκα, θαη θ π ξ ηή ζην 5,. 5 Δπεηδή ε κεδελίδεηαη ζην ζεκείν = θαη εθαηέξωζελ αιιάδεη πξόζεκα, ην ζεκείν είλαη ζ ε κ ε ί ν θ α κ π ή ο ηεο C. 5 5 A, 45. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠ. B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε κε παξάγωγν α α β β Τν ζεκείν Α αλήθεη ζηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο, νπόηε είλαη: 5 5 α 5 Α, C ( ) = 4 β Ζ εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ίζν κε 5, άξα είλαη: 8 5 α 5 8 4 β 8 Από () θαη () κε αθαίξεζε θαηά κέιε έρνπκε: β 5. β 6
8 8 Θέηνπκε όπνπ ω β B. Αλ α θαη β 4, ηόηε Οπόηε Γηα θαη 4 :, νπόηε έρνπκε 5 ω ω = 6 4 5 Γ = θαη ξίδεο ω = θαη ω = 9 6 6 5 5 6 4 ω = = β = β = Ε 6 β 6 5 5 ω = = β = 6 β = 4Ε 6 β 6 β=4 α 5 () = α = 5 α = α = 4 6, {,4} 4, {,4} ( 4) 4 6 8 6 6 Από ηνλ παξαπάλω πίλαθα κεηαβνιώλ παξαηεξνύκε όηη: Ζ είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζηα,,,4 θαη γ λ ε ζ ί ωο θζίλνπζα ζην,. () () 4 Ζ παξνπζηάδεη ην πηθό ειάρηζην ηελ ηηκή. 4 4,, ελώ είλαη
B. Έρνπκε Γ, Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Γ Γ, lim lim 4 Γ, lim lim 4 Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην Γ Γ,4 lim lim 4 Γ, 4 4 Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Γ 4 ζπλερήο lim 4 Γ, 4 lim lim 4 4 4 Γ 4, Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Γ 4 lim lim 4 Γ 4, lim lim 4 4 4 Δπνκέλωο ην ζ ύ λ ν ι ν ηηκώλ ηεο είλαη: *,, R 4 B4. Δίλαη: θ 4θ 4
4 Ζ γηα δίλεη 4 = άηνπν Ζ γηα 4 δίλεη 6 = άηνπν Άξα γηα θαη 4 ε γίλεηαη: θ θ 4θ 4 θ 4θ 4 θ 4θ 4 θ 4 4 θ 4 4 θ 4 4 4 4 Γηαθξίλνπκε ηηο παξαθάηω πεξηπηώζεηο: θ θ θ θ Γ θ Γ θ Γ 4 θ Γ θ Γ θ Γ θ θ 4 θ Γ θ Γ θ Γ 4 θ Γ θ Γ θ Γ θ Γ θ Γ θ Γ Δπνκέλωο ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο είλαη:, αλ θ, αλ θ (,), 4 L =, αλ θ 4, αλ θ, 4 θ Γ 4 ξίδα θ Γ 4 ξίδεο θ Γ 4 ξίδα θ Γ 4 ξίδεο θ Γ 4 ξίδεο 46. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 9 B. H ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε παξάγωγν α α α α α α () = (e ) = () e (e ) = e e = ( )e.
8 8 Ζ εθαπηνκέλε ηεο άξα είλαη: B. i. Γηα α είλαη C ζην ζεκείν 5 A, είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία y e, α () e e e α α. () e θαη () ( )e Ζ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω πίλαθα: Άξα ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (, ] θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [, ). Ζ παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ην ii. άξα Έρνπκε ε () (). L'Hospital lim () = lim (e ) = lim = lim = lim ( e ) = e e C έρεη νξηδόληηα αζύκπηωηε ζην ηελ επζεία y (άμνλαο ). 47. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN B. H ζπλάξηεζε είλαη δπν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην, κε πξώηε παξάγωγν: θαη δεύηεξε παξάγωγν: Άξα B.Έρνπκε (), () 6, γηα, ε είλαη θπξηή ζην,.
8 άξα ε B.Έρνπκε 6 lim () lim( ln ) C έρεη θαηαθόξπθε αζύκπηωηε ηνλ άμνλα y y. Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε g, κε άξα g,,e, δειαδή g ln,,e ε g είλαη ζπλερήο ζην,e ωο πξάμεηο ζπλερώλ g() ln θαη g(e) e lne e 5, g g e Δπνκέλωο από Θ. B o l z a n o ππάξρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ηεο g ζην δηάζηεκα,e θαη επεηδή ( )( ) g () = = >, γηα (, e] ε g είλαη γλ. αύμνπζα ζην,e, νπόηε ε ξίδα απηή είλαη κνλαδηθή, άξα ε εμίζωζε έρεη κνλαδηθή ξίδα ζην,e. 48. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ. B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην Άξα είλαη: * κε παξάγωγν:,. 8 () ()
7 Δπνκέλωο ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θζί λ ν π ζ α ζηα, γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην,. Ζ παξνπζηάδεη ην πηθό ειάρηζην γηα, ηελ ηηκή B. Έρνπκε 5 θαη 7. θαη.,, ελώ είλαη Άξα ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν A, είλαη: B. Έρνπκε δηόηη άξα ε άξα ε άξα ε B4. Έρνπκε (ε) : y 7 7 (ε) : y 5 (ε) : y lim lim, lim θαη lim C έρεη θ α η α θ ό ξ π θ ε α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ ( ν άμνλαο y y) lim lim lim, lim lim, C δ ε λ έ ρ ε η α ζ ύ κ π η ωη ε ζην lim lim lim, lim lim, C δ ε λ έ ρ ε η α ζ ύ κ π η ωη ε ζην.
8 lim lim lim 6 6 lim lim 4 DLH 4 49. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN B. H ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε παξάγωγν: e e e () ln(e ) e e e Άξα ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην. B.Έρνπκε άξα ε είλαη θνίιε ζην. B. α ηξόπνο (e ) e () = = = <, e (e ) (e ) Γηα θάζε, ε είλαη παξαγωγίζηκε ζην,, άξα από Θ. Μ. Τ. ππάξρεη,, ηέηνην ώζηε β ηξόπνο Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε g, κε Δίλαη () () () ( ln) () ln ( ) = = = () ln > < < ( ) > () > () () ln > () () < () ln g() = () () ln, g () = [ () () n] = () () () = () <, γηα > άξα ε g είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην [, ). Δπνκέλωο έρνπκε:
8 9 g > g() < g() () () ln () () ln 5. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN B. H ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην, κε παξάγωγν: () = ln = ln ln = ln ln ln ln (ln ) = = > άξα ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (, ). Άξα είλαη: ln ln e () = ln ln = ln = () = = ln = = e = () () 8 Δπνκέλωο ε είλαη θνίιε ζην, e, ελώ είλαη θπξηή ζην, e. B. Ζ είλαη γλεζίωο αύμνπζα, άξα θαη, νπόηε είλαη: Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε g, κε " " 4 4 4 ( ) = (4) = 4 4 = 4 g() 4,. H g είλαη ζπλερήο ζην, ωο πνιπωλπκηθή g θαη Άξα από Θ. B o l za n o Άξα g 6, νπόηε είλαη g g ε εμίζωζε g έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην,. α
Σεκείωζε: Δπεηδή ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (, ) είλαη g() >, γηα θάζε >, άξα ε ηηκή ηνπ α είλαη κνλαδηθή. Δπίζεο είλαη g () = 4 >, γηα >, B.Έρνπκε άξα ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην (, ), επνκέλωο ε ξίδα επίζεο είλαη κνλαδηθή. ln < ln < ln < () < () < < > 5. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ. B. Ο ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηεο επζείαο (ε) είλαη, άξα ε εθαπηνκέλε ηεο ζπληειεζηή δηεύζπλζεο Αιιά είλαη B. i. Γηα α είλαη: Δίλαη C ζην ζεκείν Α, πνπ είλαη θάζεηε ζηελ (ε) ζα έρεη. 4 4 α α, νπόηε 4 α α 4 α 4, 4 4 ή
8 8,, () () Άξα ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζηα (, ] θαη [, ), ελώ είλαη γλεζ ί ωο θζί λ ν π ζ α ζηα, θαη,. Ζ παξνπζηάδεη ην πηθό κ έ γ η ζ ην ην ε ι ά ρ η ζ ην ην 5. ii. Καηαθόξπθεο αζύκπηωηεο Έρνπκε άξα ε, ελώ παξνπζηάδεη η ν πη θ ό 4 4 lim lim, δηόηη lim, lim C έρεη θ α η α θ ό ξ π θ ε α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ. Πιάγηεο αζύκπηωηεο ζην α ηξόπνο β ηξόπνο άξα ε 4 4 lim lim lim 4 4 lim = lim = lim = = ι 4 4 lim ι = lim = lim = = β C έρεη π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ y. Πιάγηεο αζύκπηωηεο ζην α ηξόπνο β ηξόπνο 4 4 lim lim lim
άξα ε iii. Έρνπκε 4 4 lim = lim = lim = = ι 4 4 lim ι = lim = lim = = β C έρεη π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ y. lim 4 6 6 lim 4 6 lim lim ( ) lim ( ) lim 5. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ. B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην, κε παξάγωγν: α β α, αθνύ α θαη, άξα ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην,. B. Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην Γ,. Άξα είλαη Γ lim, lim Αιιά Άξα. α lim lim α β lim lim α β
8 Γ lim, lim, Δπεηδή Γ, ε εμίζωζε B. i. Έρνπκε άξα ε ii. άξα ε β. έρεη κ η α α θ ξ η β ώο ι ύ ζ ε ζην lim lim α β, C έρεη θαηαθόξπθε αζύκπηωηε ηελ γηα θάζε α,β. α αλ α, ηόηε lim lim α β α αλ α, ηόηε lim lim α β αλ α, ηόηε lim lim β β,. C έρεη ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ y β κόλν αλ α θαη γηα θάζε B4. Γηα λα παξνπζηάδεη ε ηνπηθό αθξόηαην ζην ηελ ηηκή 7 πξέπεη Γηα α θαη β 4 είλαη: 4 θαη 7 α α α 7 α β 7 β 4 4 () Τ.Δ Από ηνλ παξαπάλω πίλαθα κεηαβνιώλ πξνθύπηεη όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη η ν πηθό ε ι ά ρ η ζ ην.
8 8 8 8 4 5. Θ Ε Μ Α B Β. Πξέπεη, άξα ην πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη A,,. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην Α ωο δηαθνξά παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ κε παξάγωγν: ( ) ( ) 4 ( ) ( ) () e e, Τν πξόζεκν ηεο θαη ε κνλνηνλία ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω πίλαθα: () () Γειαδή ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην A, θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην A,. Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην A, επεηδή A lim, lim,, lim lim e e lim lim e Ζ είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην A, επεηδή 8, νπόηε θαη, νπόηε A lim, lim,, θαη lim lim e lim lim e e Άξα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη A A A,.
Β. 5 Δίλαη A,, νπόηε επεηδή A ε εμίζωζε έρεη κηα ξίδα ηνπιάρηζηνλ ζην A, θαη ιόγω κνλνηνλίαο ηεο ζπλάξηεζεο, ε ξίδα απηή εηλαη κνλαδηθή. Δίλαη A,, νπόηε επεηδή A ε εμίζωζε έρεη κηα ξίδα ηνπιάρηζηνλ ζην A, θαη ιόγω κνλνηνλίαο ηεο ζπλάξηεζεο, ε ξίδα απηή εηλαη κνλαδηθή. Άξα ε εμίζωζε έρεη α θξ η β ώ ο δ ύ ν ξίδεο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο. Β. Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο δηέξρεηαη από ην ζεκείν g e A α,4 κε α, άξα είλαη 4 α α α α g(α) 4 4 (e )(α ) e 4 4α α α α α Δπνκέλωο ην α είλαη ξίδα ηεο. Β4. Έζηω α, α νη ξίδεο ηεο. Τόηε Αιιά από ην Β εξώηεκα είλαη νπόηε gα gα α α α e e e α α α. g α 4 θαη g α 4, επνκέλωο ε g δελ είλαη. 54. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN B. Ζ παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : h
6 h 4 4 4 Άξα ε ζπλάξηεζε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,. Β. Δίλαη h άξα ζύκθωλα κε ην πόξηζκα ηωλ ζπλεπεηώλ Θ. Μ. Τ. έρνπκε Γηα Δπνκέλωο c c,, ε ζρέζε γίλεηαη c c c,. 55. Θ Ε Μ Α Β study4eams Β. Έρνπκε: άξα g g, γηα θάζε,,. Απηό ζεκαίλεη όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζ ηαζεξή ζε θαζέλα από ηα δηαζηήκαηα, θαη,, δειαδή ππάξρνπλ ζηαζεξέο c, c ηέηνηεο, ώζηε Δπεηδή ε είλαη άξηηα, έρνπκε νπόηε Από ηα πξνεγνύκελα έπεηαη όηη g c, c, = = g c θαη g ( ) c
Β. Γηα Γηα Β. Δπεηδή 7, g., g. g., Άξα., lim lim, έπεηαη όηη ε επζεία είλαη θ α ηαθόξπ θε α ζ ύ κ πηωη ε ηεο C. Δπίζεο ηζρύεη lim θαη lim, άξα ε επζεία y είλαη ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ πηωη ε ηεο C ζην θαη ζην. Δπεηδή έρνπκε νξηδόλ ηηεο α ζύκπηωηε ο ηεο έηζη δ ε λ έ ρ ν π κ ε π ι ά γ η ε ο α ζ ύ κ π η ωη ε ο. C ζην θαη ζην, 56. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠΕΡ. B. Γηα θάζε είλαη: από ζπλέπεηεο Θ. Μ. Τ. είλαη Γηα ζηελ ζρέζε έρνπκε: c.
Δπνκέλωο γηα θάζε είλαη: 8 c c. ( ) 4 4 4 = θαη ην = ηζρύεη κόλν γηα, άξα ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην. B. H είλαη ζπλερήο ζην, άξα δελ έρεη θαηαθόξπθεο αζύκπηωηεο. Δπίζεο είλαη: άξα ε Οκνίωο είλαη: άξα ε B. Έρνπκε () lim lim lim lim ι lim [ () ι] lim lim lim β C έρεη π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ επζεία κε εμίζωζε y. () lim lim lim lim ι lim [ () ι] lim lim lim β C έρεη π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ επζεία κε εμίζωζε y. 5 8 8 5 8 8 5 8 8 5 8
8 9 5 B4. Έρνπκε 4 4 lim lim lim 4 4 lim 4 4 Άξα είλαη: lim θ 5 lim θ = 5 θ 5 θ 4. 57. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 5 B. Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ έρνπκε επνκέλωο είλαη Γηα έρνπκε Άξα Οπόηε () = e () κε e θαη γηα θάζε e () = e () e () e () = (e ()) = ( ) e () c, c. e() = c ee = c = c c = e () (). e
8 8 4 B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε παξάγωγν ( ) e (e ) e e e ( ) ( ) () = = = = e e e e Λύλνπκε ηελ εμίζωζε άξα ή. ( ) e > () = = ( ) = e Οπόηε θαηαζθεπάδνπκε ηνλ πίλαθα κνλνηνλίαο ηεο. () () Δπνκέλωο ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα Γ = (, ], γλεζίωο αύμνπζα ζην δηάζηεκα Γ = [, ] Γ = [, ). Δίλαη: θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα lim () = lim ( e ) = ( ) ( ) =, () =, () = 4e =, lim () = lim ( e ) = lim = = lim = D.L'H. D.L'H. e e e Ζ ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα Γ = (, ]. Δπνκέλωο ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζπλάξηεζεο ζην δηάζηεκα Γ = (, ] είλαη ην (Γ ) = [(), lim ()) = [, ). Ζ ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην δηάζηεκα Γ = [, ] επνκέλωο είλαη (Γ ) = [(), ()] =, 4 e θαη είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα Γ = [, ), άξα 4 e,
Σπλεπώο ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην B. Έρνπκε: 4 4 (Γ ) = ( lim (), ()] =, e. (R) = (Γ ) (Γ ) (Γ ) = [, ) :e e = e = () = e () = e () = () e e e Τν (Γ ) = [, ) e άξα ε εμίζωζε () έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα (Γ ) θαη επεηδή ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην Γ = (, ], ε ξίδα είλαη κνλαδηθή. 4 Τν (Γ ) =, e e άξα ε εμίζωζε () έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα (Γ ) θαη επεηδή ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Γ = [, ], ε ξίδα είλαη κνλαδηθή. 4 Τν (Γ ) =, e e άξα ε εμίζωζε () έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα (Γ ) θαη επεηδή ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην Γ = [, ), ε ξίδα είλαη κνλαδηθή. Σπλεπώο ε εμίζωζε () άξα θαη ε ηζνδύλακε ηεο B4. Ζ εθαπηνκέλε ηεο = e έρεη αθξηβώο ξίδεο ζην R. C ζην ζεκείν A, έρεη εμίζωζε ε: y ( ) = ( ) ( ) y e = e( ) y = e e αθνύ ε ζπλάξηεζε είλαη θπξηή ζην (, ] ε εθαπηνκέλε ηεο ζην ζεκείν Α(, ( )) βξίζθεηαη θάηω από ηε C πνπ ζεκαίλεη όηη e e () γηα θάζε, άξα είλαη () e e γηα θάζε
4 58. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠEΡ. B. Έρνπκε ζπλέπεηεο ΘΜΤ Γηα ζηελ είλαη Άξα c c c, B. Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε παξάγωγν: = = > άξα ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην. B. Έρνπκε 4 4 "-" Θεωξνύκε ζπλάξηεζε θ, κε 4 4 θ. ε θ είλαη ζπλερήο ζηα, θαη,4 ωο πνιπωλπκηθή θ, θ 6 θαη θ 4, νπόηε
4 θθ θαη Άξα από Θ ε ώξ ε κ α B o l z a n o ππάξρνπλ: B4. Έρνπκε θ θ 4 έλα ηνπιάρηζηνλ,, ηέηνην ώζηε θ έλα ηνπιάρηζηνλ,4, ηέηνην ώζηε θ 4 θ 4 9 4 ε θ είλαη παξαγωγίζηκε ζην, θ θ από εξώηεκα Άξα από Θ. R o l l e ππάξρεη μ,,4, ηέηνην ώζηε άξα Δπνκέλωο ε εμίζωζε θ μ, 4μ 9μ 4μ 4μ 9μ 4μ 4 9 4 έρεη κ η α ηνπιάρηζην λ ξ ί δ α ζην,4. 59. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠ. B. Έρνπκε ε είλαη ζπλερήο ζην α,β α 5β θαη β 5α, άξα α β Δπνκέλωο από Θ. B o l za n o ππάξρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ηεο εμίζωζεο ζην δηάζηεκα α,β. B. Δίλαη ιε, άξα γηα λα είλαη ε εθαπηνκέλε ηεο C ζην ζεκείν Μμ, μ θάζεηε ζηελ επζεία (ε), αξθεί λα δείμνπκε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ (α, β), 5 ηέηνην ώζηε μ 5. ε ιύζε ε είλαη ζπλερήο ζην α,β
ε είλαη παξαγωγίζηκε ζην α,β 44 Δπνκέλωο από Θ. Μ. Τ. ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ (α, β), ηέηνην ώζηε ε ιύζε Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε h, κε (β) (α) 5α 5β 5(β α) (μ) = = = = 5 β α β α β α h 5 ε h είλαη ζπλερήο ζην α,β, ωο άζξνηζκα ζπλερώλ ε h είλαη παξαγωγίζηκε ζην α,β, κε hα α 5α 5β 5α θαη h α h β h 5 h β β 5β 5α 5β, νπόηε είλαη Δπνκέλωο από Θ. R o l l e ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ (α, β), ηέηνην ώζηε B. ε ιύζε ε είλαη ζπλερήο ζην α,β β 5α α β 5β α h μ μ 5 μ 5. 5, δηόηη α α β α β Δπνκέλωο από Θ. ε λ δ η ά κ ε ζ ωλ η η κ ώλ ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ (α, β), ηέηνην ώζηε ε ιύζε Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε g, κε ε g είλαη ζπλερήο ζην α,β μ 5 α β g 5 α β 5 5 5 gα α α β 5β α β β α 5 5 5 gβ β α β 5α α β α β Δπνκέλωο από Θ. B o l z a n o ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ (α, β), ηέηνην ώζηε
45 g μ μ 5 α β μ 5 α β 6. Θ Ε Μ Α Β study4eams Β. Ζ ζπλάξηεζε είλαη: ζπλερήο ζην παξαγωγίζηκε ζην, θαη, Άξα ζύκθωλα κε ην ζ ε ώξ ε κ α κ έ ζ ε ο ηηκήο ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ηέηνην, ώζηε Δπνκέλωο ε εθαπηνκέλε ηεο μ, () (μ) = = = 4. 5 C ζην A μ, μ έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ι μ 4, άξα είλαη παξάιιειε ζηελ επζεία κε εμίζωζε y 4. Β. Ζ εθαπηνκέλε ηεο C ζην ζεκείν B γ, γ έρεη εμίζωζε: y γ γ γ θαη αθνύ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Ο, έρνπκε Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε Ζ g είλαη ζπλερήο ζην παξαγωγίζηκε ζην γ γ γ γ γ γ g,,.,, ωο πειίθν ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ θαη,, ωο πειίθν παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ.
46 g 4 θαη g 4, άξα g g, πνπ ζεκαίλεη όηη εθαξκόδεηαη ην ζ ε ώξ ε κ α Rolle γηα ηε g ζην Άξα ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ηέηνην, ώζηε γ, (γ)γ (γ) g(γ) γ γ γ γ Άξα απνδείρηεθε ε (), ζπλεπώο ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ηέηνην, ώζηε ε εθαπηνκέλε ηεο C ζην γ, 6. Θ Ε Μ Α B Β. Έζηω νη ξίδεο ηεο εμίζωζεο (),. Bγ, γ λα δηέξρεηαη από ην,, κε ζην α,β, άξα ( ) ( ) ( ) Δίλαη πξνθαλέο όηη ζην δηάζηεκα, ε ζπλάξηεζε θ κε () θ() = ηθαλνπνηεί ηηο απαηηήζεηο ηνπ Θ. Rolle, αθνύ ε θ είλαη ζπλερήο ζην, ωο πειίθν ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ε θ είλαη παξαγωγίζηκε ζην ( ) θ( ) θαη Σπλεπώο ε εμίζωζε θ (),δειαδή ππάξρεη ηέηνην ώζηε () (), κε θ () ( ) θ( ), άξα θ( ) θ( ) έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην, μ, Ο,.
47 θ μ Με αλάινγν ηξόπν δηαπηζηώλνπκε όηη ππάξρεη ηέηνην ώζηε μ, θ μ Από ηηο ζρέζεηο θαη πξνθύπηεη όηη νη εθαπηόκελεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο θ ζηα μ, μ είλαη παξάιιειεο πξνο ηνλ άμνλα ηωλ ηεηκεκέλωλ, άξα ππάξρνπλ η ν π ι ά ρ η ζ η ν λ δ ύ ν ε θ α π η ό κ ε λ ε ο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C ηεο ζπλάξηεζεο θ, νη νπνίεο είλαη π α ξ ά ι ι ε ι ε ο πξνο ηνλ άμνλα ηωλ η ε η κ ε κ έ λ ω λ. Β. Δίλαη πξνθαλέο ιόγω ηωλ θαη όηη γηα ηε ζπλάξηεζε κε θ () θ : μ, μ () () ηθαλνπνηνύληαη νη απαηηήζεηο ηνπ Θ ε ωξ ή κ α ηνο Rolle, επεηδή: ε θ είλαη ζπλερήο ζην μ,μ ωο παξαγωγίζηκε ε θ είλαη παξαγωγίζηκε ζην μ,μ θ (μ ) θ (μ ) θαη ζπλεπώο ε εμίζωζε δειαδή ε () () θ () () ή έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ιύζε ζην μ,μ α,β. () () () 6. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ. B. Γηα ηελ ζπλάξηεζε ηζρύεη: εκ Ζ ζπλάξηεζε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε παξάγωγν:, ωο πξάμεηο παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ g ζπλ εκ Άξα ε ζπλάξηεζε g είλαη ζ η α ζ ε ξ ή ζην.
48 B. H ζπλάξηεζε g είλαη ζηαζεξή ζην, άξα είλαη g Γηα Δπνκέλωο, είλαη Γηα είλαη g c c, άξα B. Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε h, κε Ζ h είλαη ζπλερήο ζην g, γηα θάζε ζπλ ζπλ ζπλ h εκ ζπλ π π, Από Θ. B o l za n o ε εμίζωζε π π,. ωο πξάμεηο ζπλερώλ c. π π π π h = εκ ζπλ > π π π π π h = εκ ζπλ = < B. Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε θ, κε Ζ θ είλαη ζπλερήο ζην h έρεη κ η α ηνπιάρηζην λ ξ ί δ α ζην θ εκ ζπλ π π, π ωο πξάμεηο ζπλερώλ π π π π π θ = εκ ζπλ = > θπ πεκπ ζπλπ 4, νπόηε π θ θπ
49 π Από Θ. B o l za n o ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ, π (, π), ηέηνην ώζηε θμ ή μεκμ ζπλμ = π μ 6. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ. B. Θεωξνύκε ζπλάξηεζε θ, κε Δίλαη: limθ θαη εκ θ,,. εκ θ εκ θ () lim lim εκ θ lim εκ limθ lim () εκ θ lim lim εκ θ = lim = εκ lim lim θlim B. Ζ g είλαη παξαγωγίζηκε ζην, ωο πξάμεηο παξαγωγίζηκωλ κε Οπόηε είλαη: g α g α α α, g 4α 4α Γηα λα ηθαλνπνηεί ε g ηηο ππνζέζεηο ηνπ Θ. Rolle πξέπεη Γηα α είλαη: 4α α α α
8 5 g g g B. Από ην Θ. R o l l e κε ηε ζπλάξηεζε g, πξνθύπηεη όηη ε g έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην,. g, δηόηη άξα ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα άξα ε, Δπνκέλωο ππάξρεη έλα κνλαδηθό μ (, ), ηέηνην ώζηε g έρεη κηα ην πνιύ ξίδα ζην. g μ μ μ μ μ B4. Τν μ είλαη ε κνλαδηθή ξίδα ηεο g, νπόηε είλαη g g g g g () μ g Άξα ε g παξνπζηάδεη ειάρηζην γηα μ. 64. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΕΡ. B. Έρνπκε άξα ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην. B. Έρνπκε = "-" Θεωξνύκε Q.
5 ε Q είλαη ζπλερήο ζην, ωο πνιπωλπκηθή Q θαη Q, νπόηε είλαη Q Q Άξα από Θ. B o l za n o ε Q έρεη κ η α η ν π ι ά ρ η ζ ην λ ξ ί δ α ζην,. B. Ζ είλαη παξαγωγίζηκε ζηα,,, θαη,, άξα ηθαλνπνηνύληαη νη ππνζέζεηο ηνπ Θ. Μ. Τ. ζε θαζέλα από ηα παξαπάλω δηαζηήκαηα. Από Θ. Μ. Τ. κε ηελ ζηα,,, θαη Δπνκέλωο έρνπκε:, έρνπκε όηη ππάξρνπλ: μ, κε μ μ, κε μ μ, κε μ μ μ μ. 65. Θ Ε Μ Α Β Β. Ζ εθαπηνκέλε ηεο Πξέπεη, επνκέλωο, λα βξνύκε ηα Α, ( ) έρεη εμίζωζε C ζην Δπεηδή ε είλαη ζπλερήο ζην ζα είλαη Θέηνπκε Οπόηε είλαη y. θαη. lim. 5 g κε, νπόηε lim g θαη g 5 () lim 5 θαη ζπλεπώο 5 ()
Γηα ηελ έρνπκε: Με είλαη άξα 5 (),() g() 5 5 g. lim lim g lim g. Δπνκέλωο ε εθαπηνκέλε έρεη εμίζωζε y y 5 y 5 y 5. Β. Αξθεί λα δείμνπκε όηη ε εμίζωζε έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα,. Έζηω ε ζπλάξηεζε ζ κε νξηζκέλε ζην ζ Ζ ζ είλαη ζπλερήο ζην, (),. ζ 5 θαη ζ 5 4. Δπνκέλωο από ην ζ ε ώξ ε κ α B o l za n o πξνθύπηεη ην δεηνύκελν, δειαδή όηη ε επζεία κε εμίζωζε y έρεη κε ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο έλα ηνπιάρηζηνλ θνηλό ζεκείν κε ηεηκεκέλε ζην δηάζηεκα,. 66. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠΕΡ. B. Έρνπκε lim lim α α ζπλερήο lim lim β β β α ζην β ( β) α α
B. Έρνπκε β β 5 α β β α ζπλερήο ζην [, ) ωο πνιπωλπκηθή ζπλερήο ζην, ζπλερήο ζην = από ππόζεζε Γηαθξίλνπκε πεξηπηώζεηο: α β Αλ, ηόηε από Θ. B o l za n o, ε εμίζωζε έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην,. Αλ, ηόηε ή. Δπνκέλωο ε εμίζωζε έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην, B. Έρνπκε α β () α α lim lim lim lim lim DL'H β β lim lim lim ( ) β. β lim β β β β β β 5 () α α α 4 4 παξ/κε ζην B. Γηα 5 α θαη 4 β έρνπκε: 5, 4, θαη,,
54 Άξα ε εμίζωζε ηεο δεηνύκελεο εθαπηνκέλεο είλαη: 9 (ε): y (ε) : y 4 9 (ε) : y (ε) : y 4 4 67. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠ. B. Έρνπκε άξα νη g, γηα θάζε, g () g C, C έρνπλ θνηλό ζεκείν ην A,. Από ηελ πξνθύπηεη όηη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ωο γηλόκελν παξαγωγίζηκωλ, άξα παξαγωγίδνληαο ηελ έρνπκε θαη γηα g πξνθύπηεη g θνηλό ηνπο ζεκείν A,. B. Θεωξνύκε ζπλάξηεζε θ, κε Δίλαη άξα νη C, C g έρνπλ θνηλή εθαπηνκέλε ζην θ g β,,. g() β θ() = θ(). Ζ θ παξνπζηάδεη κέγηζην ζην =. Ζ θ είλαη παξαγωγίζηκε ζην, κε Τν = είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ,. Από Θ. F e r m a t ηζρύεη όηη θ () = g () = β. θ g β Ζ θ ν η λ ή ε θαπην κ έ λ ε ζην θνηλό ηνπο ζεκείν A, είλαη:
55 (ε): y g() = g ()( ) (ε): y ( ) = β (ε): y = β B. Ζ είλαη γλεζίωο αύμνπζα, άξα ε εμίζωζε β έρεη κηα ην πνιύ ξίδα ζην,. Όκωο άξα ε εμίζωζε g β, β έρεη κ ν λ α δ η θ ή ξ ί δ α ζην, ην. B4. Ζ είλαη γλεζίωο αύμνπζα, άξα ε είλαη θ π ξ ηή ζην,. Ζ C βξίζθεηαη π ά λ ω από ηελ εθαπηνκέλε ηεο (ε) κε ε μ α ί ξ ε ζ ε ην ζεκείν επαθήο A,. Άξα β, γηα θάζε,. 68. Θ Ε Μ Α Β study4eams Β. Παξαγωγίδνπκε ηε ζρέζε θαη παίξλνπκε e εκ e e εκ e εκ e e εκ e εκ e ζπλ e Γηα ε ζρέζε καο δίλεη Β. Γηα ε ζρέζε γίλεηαη Οπόηε ε εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην. e εκ e. Α, είλαη: ε: y ( ) ε: y Β. Ζ ηεηκεκέλε ηνπ ζεκείνπ είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t θαη (t) cm / sec,
56 νπόηε θαη ε ηεηαγκέλε ηνπ y ηνπ ζεκείνπ ζα είλαη ζπλάξηεζε ηνπ ρξόλνπ t θαη ζα ηζρύεη νπόηε παξαγωγίδνπκε θαη έρνπκε y t t y t t 4 cm / sec 69. Θ Ε Μ Α Β ΕΠΑΝ. ΕΠ. t 6 t 6t, t. Δπνκέλωο από ζπλέπεηεο Θ.Μ.Τ. είλαη B. Δίλαη Γηα είλαη () = c =, άξα t 6t c, t. t 6t, t. B. Παξαηήξεζε: Έπξεπε λα εμεγεζεί γηαηί ν παξαηεξεηήο ράλεη ηελ νπηηθή επαθή κε ην θηλεηό ζην Α. Έζηω νπόηε είλαη Ζ εθαπηνκέλε (ε) ηεο Αιιά,,,. C πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Π, έρεη εμίζωζε, ε : y ε : y Π C, άξα είλαη όπνπ A, ην ζεκείν επαθήο. 4 ή 4. Γηα 4 y, άξα A(4, ), νπόηε (t ) = 4 6t = 4 t = min ή t = 5 sec 4
57 Δπνκέλωο ε νπηηθή επαθή δηαξθεί 5 δεπηεξόιεπηα. B. Δίλαη t 6 yt t, άξα yt t t 6t t Αιιά ηε ρξνληθή ζηηγκή t ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ θηλεηνύ είλαη 4 m / min, άξα έρνπκε: y (t ) = 4 = 4 t = t = t 4 Άξα ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο είλαη 4 m / min ηε ρξνληθή ζηηγκή B4. Δίλαη Άξα ε απόζηαζε d ΠΜ t = min 4 ή t =5 sec. M,y M, M6t, 4 t ηνπ παξαηεξεηή από ην θηλεηό είλαη d t (ΠΜ) (6 ) (4 t ) 56t 6t 8 t d t 56t 6t 8 t Θεωξνύκε ζπλάξηεζε g κε g (t) = 56t > t t α ηξόπνο Ζ g είλαη ζπλερήο ζην 56t 8 56t 6t 8 t g(t) = 56t 8, t >, νπόηε t, άξα ε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,., 64 4 ωο πξάμεηο ζπλερώλ g = 4 8 6 = 4 < 64 g = 64 8 4 = 68 > 4 t
8 58 Από Θ. B o l za n o ε g έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα t ζην επεηδή g γλεζίωο αύμνπζα, ε ξίδα απηή είλαη κνλαδηθή. β ηξόπνο Ζ g είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Άξα gγ, 68. Δίλαη, 68, 4 lim gt lim 56t 8 t t t g 64 8 4 68 4, άξα ε g έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα t, 4 γλεζίωο αύμνπζα ε ξίδα απηή είλαη κνλαδηθή. d g g g t t g,, 64 4 4 θαη θαη επεηδή g d () d() Τ. E. Ζ d είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην (, t ] θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην [t, ). Ζ απόζηαζε d γίλεηαη ειάρηζηε ηε ρξνληθή ζηηγκή t, 4. 7. Θ Ε Μ Α B Β. Δίλαη επνκέλωο Άξα (t) (t) (t), (t) ln(t) = t
59 t c ln (t) t c (t) e Δπεηδή ε αξρηθή ηηκή ηνπ πξνϊόληνο είλαη 5 έρνπκε Ζ ζρέζε γηα t : Δπνκέλωο είλαη c c e e, άξα t 5. c e 5 t c t c t e e e 5 e, t,. Β. Ζ ηηκή ηνπ πξνϊόληνο ζα ηξηπιαζηαζηεί ηε ρξνληθή ζηηγκή t θαηά ηελ νπνία Άξα έρνπκε Β. (t ) (). t t t (t ) () 5 e 5 e ln t ln Ζ είλαη ζπλερήο ζην,, 5 θαη, δειαδή 5 e Σύκθωλα κε ην Θ ε ώξ ε κ α η ωλ Ε λ δ η ά κ ε ζ ωλ Τ η κ ώλ ε ζα παίξλεη όιεο ηηο ελδηάκεζεο ηηκέο κεηαμύ ηνπ Δπεηδή 5 θαη 5 8 e ε ζα παίξλεη ηελ ηηκή 8 δειαδή ζα ππάξρεη ηέηνην ώζηε t, 5 e. t 8. 7. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. Β. H ηηκή ηνπ πξνϊόληνο ηε ζηηγκή ηεο εηζαγωγήο ηνπ ζηελ αγνξά είλαη:
8 6 6 6 4 4 76 P() 4 4 4, 4. 5 5 5 5 5 4 4 Άξα ε ηηκή ηνπ πξνϊόληνο ηε ζηηγκή ηεο εηζαγωγήο ηνπ ζηελ αγνξά είλαη,4 ρηιηάδεο δξαρκέο δειαδή.4 δξαρκέο. Β. Δίλαη 5 5 5 t (t 6)t t t t t t P (t) 4 4 4. 5 5 5 t t t 4 4 4 5 5 P (t) t t t ή t. 4 Σύκθωλα κε ηνλ επόκελν πίλαθα θαη κε ηνλ πεξηνξηζκό όηη t, έρνπκε: t P ( t) 5/ P(t) Οπόηε ζπκπεξαίλνπκε όηη ην ρξνληθό δηάζηεκα, ζην νπνίν ε ηηκή ηνπ πξνϊόληνο ζπλε- 5 ρώο απμάλεηαη είλαη γηα t,. Β. Ζ ζπλάξηεζε είλαη: γλεζίωο αύμνπζα ζην 5, θαη 5 γλεζίωο θζίλνπζα ζην, άξα ε ηηκή ηνπ πξνϊόληνο γίλεηαη κέγηζηε όηαλ 5 t κήλεο. Β4. Δίλαη t 6 t 6 t lim P(t) lim 4 4 lim 4 lim 4 4 t t t t 5 5 t t t 4 4 Δπνκέλωο ε ηηκή ηνπ πξνϊόληνο κεηώλεηαη κεηά από ηνπο πξώηνπο 5,5 κήλεο θαη
6 δελ κπνξεί λα γίλεη κηθξόηεξε από 4 ρηιηάδεο δξαρκέο, άξα είλαη πάληα κεγαιύηεξε από ηελ αξρηθή ηηκή ηνπ πξνϊόληνο (.4 δξαρκέο). 7. Θ Ε Μ Α Β Β. Δπεηδή ε παξνπζηάδεη αθξόηαην ζηε ζέζε 6 (ην νπνίν είλαη εζωηεξηθό ζεκείν) ην 5 θαη είλαη παξαγωγίζηκε ζην, ζα έρνπκε 6 θαη Γηα θάζε t έρνπκε : t β β αt t 6 5. θαη t β t tβ t t β t t β t t β α β α β α β α β t β t β t β t Δπνκέλωο (α θαη β ζεηηθνί αξηζκνί ) : β 6 6 β 6 β 6 6α 6 6 5 5 α 5. 6 6 Β. Δίλαη ( γηα α 5 θαη β 6 ) β αt 8t t, t β t 6 t Ζ δξάζε ηνπ θαξκάθνπ είλαη απνηειεζκαηηθή, όηαλ 8t t t 5t 6 t,. 6 t 7. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. 7 Β. Ζ ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, ωο δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ θαη παξαγωγίζηκε ζην, κε παξάγωγν: Θεωξνύκε ζπλάξηεζε e e e () e. h() e e,, νπόηε είλαη:, h () e e
8 6 άξα ε h είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,. Παξαηεξνύκε όηη Σπλεπώο θαη h e e, νπόηε γηα γηα, h γλ. αύμνπζα h() h(). επνκέλωο ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,. Γ. Δίλαη: h γλ. αύμνπζα Γηα h h, νπόηε, άξα ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην,. h γλ. αύμνπζα Γηα h h, νπόηε, άξα ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην,. () () ()=e Από ηνλ παξαπάλω πίλαθα κεηαβνιώλ παξαηεξνύκε όηη ε παξνπζηάδεη ειάρηζην ζην. Άξα γηα θάζε είλαη: e eln e. 74. Θ Ε Μ Α B Β. Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε H ζπλάξηεζε είλαη e () G(). παξαγωγίζηκε ζην α,β ωο άζξνηζκα παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ ζπλερήο ζην α,β θαη α β e e (α) G(α) α, (β) G(β) β.
Αθαηξώληαο ηηο δπν απηέο ζρέζεηο έρνπκε: νπόηε (α) (β) 6 α β e e (α) (β) G(α) α G(β) β e [G(α) G(β) β α] e e e e β α α β α e Άξα ζύκθωλα κε ην Θ ε ώ ξ ε κ α R o l l e ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα Αιιά Ζ παξαπάλω ζρέζε γηα Β. Έζηω Έζηω νπόηε μ α,β ηέηνην ώζηε e μ. () G () () g() e. μ δίλεη: μ μ μ (μ) g(μ) e g(μ) e g(μ) e h() g() e., α,β κε e < e ( επεηδή ε e είλαη γλεζίωο αύμνπζα) Δπίζεο g( ) g( ) (από ηελ ππόζεζε) Πξνζζέηνληαο ηηο παξαπάλω ζρέζεηο έρνπκε: e g( ) e g( ) e g( ) e g( ) h( ) h( ) Άξα ε ζπλάξηεζε h είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην α,β, νπόηε ε εμίζωζε g() e β
64 έρεη κ ν λ α δ η θ ή ι ύ ζ ε ζην α,β. 75. Θ Ε Μ Α B Β. Γηα θάζε ηζρύεη νπόηε είλαη: ()g() ()g () α ()g() α, ()g() α c Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ θαη g έρνπλ θνηλό ζεκείν ην A,, άξα g. Δπίζεο ε εμίζωζε () έρεη ιύζε ην, άξα Ζ ζρέζε γηα, γίλεηαη Ζ ζρέζε Άξα από ηελ (αθνύ Β. Δίλαη ()g() α c4 α c 4 γηα, γίλεηαη 4 έρνπκε α 4 g γηα θάζε ). Οπόηε ιόγω ηνπ εξωηήκαηνο Β έρνπκε: Ζ ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην ()g() cc, νπόηε ε ζρέζε γξάθεηαη 4 ()g() 4 () g() () g() 4 (). κε: 4( ) 8 4( ) ( ) ( )
Ζ ζπλάξηεζε ωο ξεηή είλαη ζπλερήο ζην, 65 είλαη παξαγωγίζηκε ζην, θαη Δπνκέλωο από ην Θ ε ώξ ε κ α R o l l e πξνθύπηεη όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ,, ηέηνην ώζηε μ