ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι β θετικοι καλα ορισμενα, συγκρινεται και διακρινονται τους αριθμους το ενα Α = απ το α + αλλο. β, Β = α β + αβ. Στοιχεια η μελη του συνολου, λεγονται τα αντικειμενα που αποτελουν το συνολο. Καλως ορισμενο συνολο, λεγεται αυτο που τα στοιχεια του εμφανιζονται μια μονο φορα. Ενα συνολο Α λεγεται υποσυνολο του συνολου Β, οταν καθε στοιχειο του ειναι και στοιχειο του συνολου Β. Συμβολιζεται: Α Β Ισχυει: Α Α (ανακλαστικη) Α Β και Β Γ τοτε Α Γ (μεταβατικη) Α Β και Β Α τοτε Α = Β (αντισυμμετρικη) Κενο συνολο, λεγεται αυτό που δεν εχει κανενα στοιχειο. Συμβολιζεται: { } η Δυο συνολα Α και Β λεγεται ισα, οταν εχουν ακριβως τα ιδια στοιχεια. Συμβολιζεται: Α = Β Ισχυει: Α Β και Β Α Ενα συνολο Α μπορει να παρασταθει με: αναγραφη Α = {α,α,... }, οπου α, α,... ολα τα στοιχεια του Α περιγραφη Α = {xω/ιδιοτητα του A} οπου Α Ω. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να γραψετε με αναγραφη τα συνολα: Α={x / x < 4} B={x / x- } Eιναι x < 4 και επειδη ο x ειναι φυσικος,τοτε: x= η η 3 Αρα, Α = {,,3} Eιναι x- - x- - + x-+ + x 3 και επειδη ο x ειναι φυσικος, τοτε: x = η η 3 Αρα, Β = {,,3} Να γραψετε με περιγραφη τα συνολα: Α={-,-,0,,} B={0,,,3} Ο x παιρνει τιμες, που είναι διαδοχικοι ακεραιοι απ το - ως το. Αρα, Α = {x / - x } η A = {x / x } Ο x παιρνει τιμες, που είναι διαδοχικοι φυσικοι απ το 0 ως το 3. Αρα, Β = {x / 0 x 3 } H Εννοια του διανυσματος
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α ( Ε ν ω σ η - Τ ο μ η - Σ υ μ π λ η ρ ω μ α ) Διαγραμμα Venn, λεγεται η εποπτικη παρουσιαση των συνολων που γινεται με Α κλειστες γραμμες. Β Ω Το βασικο συνολο (Ω) συμβολιζεται με το εσωτερικο ενος ορθογωνιου. Εργαζομαστε με συνολα που είναι υποσυνολα του βασικου συνολου, και παριστανονται με το εσωτερικο κλειστων καμπυλων. Για τα συνολα Α,Β ειναι: Β Α. Ενωση δυο συνολων Α και Β λεγεται το συνολο που αποτελειται απ ολα τα στοιχεια των συνολων Α, Β. Συμβολιζεται: ΑUΒ Ισχυει: ΑUΒ ={x Ω/ x A η x Β} Τομη δυο συνολων Α και Β λεγεται το συνολο που αποτελειται απ τα κοινα στοιχεια των συνολων Α, Β. Συμβολιζεται: Α Β Ισχυει: Α Β ={x Ω/ x A και x Β} Συμπληρωμα του συνολου Α λεγεται το συνολο που αποτελειται απ τα στοιχεια του συνολου Ω που δεν ανηκουν στο συνολο Α. Συμβολιζεται: Α Ισχυει: Α = {xω/ x A } Π α ρ α δ ε ι γ μ α Δινονται τα συνολα: Α={,,3} και B={xΖ/ x-3 } Nα βρεθει: η ενωσηa U B η τομη A B το συμπληρωμα της τομης (A B ) ως προς το συνολο αναφορας Β. το διαγραμμα Venn για τα συνολα Α και Β ως προς το συνολο αναφορας το Γ={0,,,3,4,5} Eιναι x-3 - x-3 - +3 x-3+3 +3 x 4 και επειδη ο x ειναι ακεραιος, τοτε:x= η 3 η 4, οποτε Β={,3,4}. Αρα Α Β A U B ={,,3,4} 3 4 A B ={,3} (A B ) ={4} Α Α Α Α Β Ω Β Ω Ω 0 5 Γ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3 Σ υ ν α ρ τ η σ η - Ο ρ ι σ μ ο ι Εστω Α ενα μη κενο υποσυνολο του. Ονομαζουμε πραγματικη συναρτηση με πεδιο ορισμου το Α μια διαδικασια (κανονα), με την οποια καθε στοιχειο xa αντιστοιχιζεται σε ενα μονο πραγματικο αριθμο y. To y ονομαζεται τιμη της στο x και συμβολιζεται με (x). Παρατηρησεις. Το γραμμα x λεγεται ανεξαρτητη μεταβλητη, ενώ το γραμμα y που παριστανει την τιμη της στο x λεγεται εξαρτημενη μεταβλητη.. Το πεδιο ορισμου Α της συμβολιζεται με A. Αν η συναρτηση δινεται μονο με τον τυπο της, πεδιο ορισμου της θα θεωρειται το ευρυτερο υποσυνολο των πραγματικων αριθμων για τους οποιους η τιμη (x) να εχει νοημα πραγματικου αριθμου. Συμβολικα γραφουμε: A = {x : y = (x) }. 3. Το συνολο τιμων της συμβολιζεται με (A). Ειναι το συνολο που στοιχεια του είναι οι τιμες της για κάθε x. Δηλαδη (A)={y / y=(x) για τουλαχιστον ενα xα} Το συνολο τιμων περιλαμβανει εκεινους τους πραγματικους αριθμους y για τους οποιους υπαρχει ενα τουλαχιστον xα, ώστε (x)=y. 4. Μια συναρτηση είναι ορισμενη, όταν γι αυτην γνωριζουμε: To πεδιο ορισμου της Α Την τιμη της (x) για κάθε x, δηλαδη τον τυπο μεσω του οποιου μπορουμε να βρουμε την τιμη (x) για κάθε x. 5. Καθε στοιχειο x του πεδιου ορισμου Α ονομαζεται αρχετυπο της, ενώ το y ονομαζεται εικονα της στο x. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων: (x) = x- (x) = (x) = - x x - Επειδη η (x) για κάθε x, το πεδιο ορισμου είναι το συνολο. Πρεπει: x - 0 x ± Ετσι, το πεδιο ορισμου της είναι: Α={x / x και x - = (-,-) (-,) (,+ ) Πρεπει: -x 0 x x - x Oποτε το πεδιο ορισμου της είναι: Α={x / - x } η Α=[-,] Δινεται η συναρτηση (x)=x-. Nα βρεθουν: το x ώστε να ισχυει (x)=(3x-)+ το α αν (α)=5 Είναι (3x-)=(3x-)-=6x-4-=6x-5 () Οποτε, (x)=(3x-)+ () x-=6x-5+ 4x=3 x= 3 4 Είναι (α)=5 α-=5 α=6 α=3
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 Σ υ ν α ρ τ η σ η - Γ ρ α φ ι κ η π α ρ α σ τ α σ η Γραφικη παρασταση της με πεδιο ορισμου το Α, που συμβολιζεται με C, είναι το συνολο ολων των σημειων του επιπεδου που αντιστοιχουν στα ζευγη (x,(x)), x. Παρατηρησεις. Η C τεμνει τον x x στα σημεια A₁(x₁,0), A₂(x₂,0), oπου x₁, x₂, είναι οι ριζες της εξισωσης (x)=0.. Η C τεμνει τον y y στο σημειο Β(0,(0)), με την προυποθεση ότι το 0 A. 3. Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες του x που η C βρισκεται πανω απο τον x x λυνουμε την (x) > 0 και συναληθευουμε τις λυσεις με το A, ενω λυνουμε την (x) < 0 οταν η C είναι κατω από τον x x. 4. Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των,g λυνουμε την εξισωση (x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. g 5. Προκειμενου να βρουμε τις πραγματικες τιμες x που η C βρισκεται πανω απο την C g λυνουμε την (x)>g(x) και συναληθευουμε τις λυσεις στο A Ag, ενω την (x) < g(x) αν η C g είναι πανω απ την C. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να βρειτε τα σημεια που η γραφικη παρασταση C της συναρτησης (x)=x -5x+6 τεμνει τους αξονες x x και y y. Η C τεμνει τον αξονα x x όταν (x)=0. Oποτε (x)=0 x -5x+6=0 x= η x=3 Αρα τα ζητουμενα σημεια είναι: Α(,0) και Β(3,0). Η C τεμνει τον αξονα y y όταν x=0. Oποτε (0)= 0-5.0+6=6 Αρα τo ζητουμενo σημειo είναι: Γ(0,6). Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων C και C g των συναρτησεων (x)=x 4-6 και g(x)=4x 3-6. Eιναι (x)-g(x) x 4-6=4x 3-6 x 4 =4x 3 x 4-4x 3 =0 x 3 (x-)=0 x=0 η x= Για x=0 είναι (0)=.0 4-6=-6 (το ιδιο είναι (0)=4.0 3-6=-6) Για x= είναι ()=. 4-6=6 (το ιδιο είναι (4)=4. 3-6=6) Αρα τα ζητουμενα σημεια είναι: Α(0,-6) και Β(,6). Να βρειτε τα α,β ωστε η γραφικη παρασταση C της συναρτησης (x)=α +β +αx-4βx να διερχεται απ το σημειο Α(,-5). Αφου η γραφικη παρασταση της διερχεται απ το σημειο Α(,-5), τοτε: ()=-5 α +β +α-4β=-5 α +β +α-4β+5=0 (α +α+)+(β -4β+4)=0 (α+) +(β-) =0 (α + ) = 0 α + = 0 α = - (β - ) = 0 β - = 0 β =
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Ο ρ θ ο κ α ν ο ν ι κ ο Σ υ σ τ η μ α Σ υ ν τ ε τ α γ μ ε ν ω ν Καρτεσιανο συστημα αναφορας είναι το συστημα των δυο καθετα τεμνομενων αξονων x x και y y με κοινη αρχη το 0. Ορθοκανονικο είναι το καρτεσιανο συστημα αναφορας, που οι μοναδες των αξονων εχουν το ιδιο μηκος. Εστω το σημειο Α του καρτεσιανου επιπεδου. Οι αριθμοι α,β λεγονται συντεταγμενες του σημειου Α. y A (-a,β) -α β 0 Α(α,β) α x Ο αριθμος α λεγεται τετμημενη του σημειου Α. Ο αριθμος β λεγεται τεταγμενη του σημειου Α. A (-a,-β) -β Α (α,-β) Τα σημεια Α,Α,Α είναι τα συμμετρικα του σημειου Α, ως προς τον αξονα y y, τον αξονα x x και την αρχη των αξονων Ο, αντιστοιχα. Η αποσταση δυο σημειων Α(x,y ) και Β(x,y ) δινεται απ τον τυπο: (ΑΒ) = (x - x ) + (y - y ) Στο τριγωνο ΑΒΓ εφαρμοζουμε το Πυθαγορειο θεωρημα. Ετσι:(ΑΒ) =(ΑΓ) +(ΒΓ) () Όμως: (ΑΓ) = x -x () (ΒΓ) = y -y (3) Oποτε: () () (3) (ΑΒ) = x -x + y -y (AB) = (x - x ) + (y - y ) y y y A Γ 0 x x x x -x B y -y Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να αποδειχτει οτι το τριγωνο ΑΒΓ με κορυφες τα σημεια Α(,4), Β(-,8), Γ(,) ειναι ορθογωνιο και ισοσκελες. Στη συνεχεια να βρειτε το εμβαδον του. Ειναι (AB) = (- - ) + (8-4) = (-3) + (4) = 9 + 6 = 5 = 5 (AΓ) = ( - ) + ( - 4) = + 7 = + 49 = 50 (ΒΓ) = ( + ) + ( - 8) = 4 + 3 = 6 + 9 = 5 = 5 Επειδη (ΑΒ)=(ΒΓ) το τριγωνο είναι ισοσκελες. Επειδη (ΑΒ) +(ΒΓ) =5 +5 =5+5=50=(ΑΓ) το τριγωνο είναι ορθογωνιο στο Β. Το εμβαδον του είναι: 5 Ε = (ΑΒ)(ΒΓ) = 5 5 = τ.μ.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 Σ υ ν α ρ τ η σ η : ( x ) = a x + β Η γραφικη παρασταση της συναρτησης (x)=αx+β είναι ευθεια που: τεμνει τον αξονα y y στο σημειο (0,β) τεμνει τον αξονα x x στο σημειο (-β/α,0) σχηματιζει με τον αξονα x x γωνια ω, για την οποια: εφω=α Συντελεστης διευθυνσης (κλιση) της ευθειας y y=αx+β λεγεται ο αριθμος λ=α=εφω, ο- α<0 α<0 α>0 α>0 που ω είναι η γωνια που σχηματιζει η (x (x,y,y ) ) ευθεια με τον αξονα y y. α=0 a=0 0 Αν α>0 τοτε: 0 0 < ω < 90 (x (x,y,y ) 0 Αν α<0 τοτε: 0 90 < ω < 80 ω ω Αν α=0 τοτε: ω = 0 0 y - y Aκομα η κλιση δινεται απο: λ = x - x Η γρ. παρασταση της συναρτηση (x)=ax ειναι η γρ. παρασταση της συναρτησης (x)=αx+β μετατοπισμενη παραλληλα ωστε να διερχεται απ την αρχη των αξονων. Για τις ευθειες ε :y=α x+β και ε :y=α x+β ισχυει: ε ε α = α ε ε α α = - Α π ο δ ε ι ξ η : Π α ρ α λ λ η λ ι α ς - Κ α θ ε τ ο τ η τ α ς Παραλληλια (σχ. ) ε ε α = α ε ε ω =ω εφω =εφω α = α Καθετοτητα (σχ. ) ε ε α α = - Θεωρουμε δυο καθετες ευθειες ε και ε με εξισωσεις y=α x και y=α x αντιστοιχα. Στο ορθ. τριγωνο ΟΑΒ απ το Πυθαγορειο θεωρημα: (ΟΑ) + (ΟΒ) = (ΑΒ) α + + α + = (α - α ) + (-) α + + α + = α - α α + α = -α α α α = - Επειδη οι ευθειες y = α x + β και y = α x + β ειναι παραλληλες στις y = α x και y = α x, γενικα συμπεραινουμε οτι δυο ευθειες y = α x + β και y = α x + β ειναι καθετες αν α α =-. Σχ. ε x ω ω Σχ. α Α(,α ) 0 α Β(,α ) ε
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να βρειτε τον λ ώστε η ευθεια ε: y = (λ -3λ+)x+5-λ, να : διερχεται απ την αρχη των αξονων είναι παραλληλη στον αξονα x x είναι παραλληλη στην ευθεια ε :y=(λ-)x+3 είναι καθετη στην ευθεια ε :y=x-5 Για να διερχεται η ευθεια (ε) απ την αρχη των αξονων πρεπει η εξισωση της να είναι της μορφης: y=αx, δηλαδη 5-λ=0 λ=5 Για να είναι παραλληλη στον αξονα x x η ευθεια (ε) πρεπει η εξισωση της να είναι της μορφης: y=β, δηλαδη λ -3λ+=0 (λ-)(λ-)=0 λ= η λ= Για να είναι η ευθεια (ε) παραλληλη στην ευθεια (ε ) πρεπει: λ -3λ+=(λ-) λ -3λ+=λ-4 λ -5λ+6=0 (λ-)(λ-3)=0 λ= η λ=3 Για να είναι η ευθεια (ε) καθετη στην ευθεια (ε ) πρεπει: (λ -3λ+).=- λ -3λ+=- λ -3λ+3=0 Δ=9-=-3<0 αρα δεν υπαρχει πραγματικος λ, ώστε οι ευθειες να είναι καθετες. Να βρειτε τη συναρτηση, που η γραφικη παρασταση φαινεται στο διπλανο σχημα. - 0 Για x : - Η ευθεια περναει απ την αρχη των αξονων, οποτε είναι της μορφης: y=αx Όμως το σημειο (-,) ανηκει στην ευθεια. Αρα ικανοποιει τον τυπο της, δηλαδη =α(-) α=-, αρα η ευθεια εχει τυπο: y=-x Για x : H ευθεια είναι παραλληλη στον αξονα x x, οποτε είναι της μορφης: y=β, με β=-. Αρα η ευθεια εχει τυπο: y=- -x αν x Και τελικα η συναρτηση εχει τυπο: (x) = - αν x >
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Κ α τ α κ ο ρ υ φ η - Ο ρ ι ζ ο ν τ ι α μ ε τ α τ ο π ι σ η κ α μ π υ λ η ς Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x) + c, οπου c > 0, προκυπτει απο μια κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα πανω. Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x) - c, οπου c > 0, προκυπτει απο μια κατακορυφη μετατοπιση της γραφικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα κατω. Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x - c), οπου c > 0, προκυπτει απο μια οριζοντια μετατοπιση της γραφικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα δεξια. Η γραφικη παρασταση της συναρτησης, με(x) = φ(x + c), οπου c > 0, προκυπτει απο μια οριζοντια μετατοπιση της γρα - φικης παραστασης της φ κατα c μοναδες προς τα αριστερα. Σημειωση: Η C εχει μαυρο χρωμα, ενω η C εχει μπλε. Το μηκος του κοκκινου βελους ειναι ο c. φ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Α ρ τ ι α - Π ε ρ ι τ τ η - Μ ο ν ο τ ο ν ι α - Α κ ρ ο τ α τ α Μια συναρτηση με πεδιο ορισμου το Α λεγεται αρτια αν: Για καθε xa και - xa (-x) = (x) για καθε xa Μια συναρτηση με πεδιο ορισμου το Α λεγεται περιττη αν: Για καθε xa και - xa (-x) = -(x) για καθε xa Μια συναρτηση λεγεται γνησιως αυξουσα σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, οταν για οποιαδηποτε x₁,x₂δ με x₁ < x₂ ισχυει: (x₁) < (x₂). Μια συναρτηση λεγεται γνησιως φθινουσα σ ενα διαστημα Δ του πεδιου ορισμου της, οταν για οποιαδηποτε x₁,x₂δ με x₁ < x₂ ισχυει: (x₁) > (x₂). Για μια συναρτηση με πεδιο ορισμου Α θα λεμε οτι: Παρουσιαζει στο x₀a (ολικο) μεγιστο, το (x₀), αν :(x) (x₀), για καθε xa. Παρουσιαζει στο x₀a (ολικο) ελαχιστο, το (x₀), αν : (x) (x₀), για καθε xa.. Οι γν. αυξουσες και οι γν. φθινουσες συναρτησεις γενικα λεγονται γνησιως μονοτονες.. Οταν μια συναρτηση είναι γνησιως μονοτονη και δεν αναφερεται το διαστημα, θα εννοουμε οτι είναι γνησιως μονοτονη στο πεδιο ορισμου της. 3. Το μεγιστο και το ελαχιστο μιας συναρτησης λεγονται ακροτατα. Ειναι φανερο οτι μια συναρτηση μπορει να μην εχει ακροτατα. 4. Αν το συνολο τιμων μιας συναρτησης ειίναι κλειστο διαστημα, τα ακρα του ειναι τα ακροτατα της συναρτησης. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να εξετασετε αν είναι αρτια η περιττη η συναρτηση: (x) = 6 - x Πρεπει: 6-x 0 x 4 x 4-4 x 4. Aρα το πεδιο ορισμου της ειναι Α =[-4,4] (συμμετρικο ως προς το 0). Οποτε: για x A και το - x A Eιναι (-x) = 6 - (-x) = 6 - (-x) = 6 - x = (x). Aρα η ειναι αρτια. Να μελετηθει ως προς τη μονοτονια η συναρτηση (x)=x +5 To πεδιο ορισμου της είναι το. Εστω x,x 0 με x x. Τοτε (x ) - (x ) x + 5 - (x + 5) x + 5 - x - 5 (x + x )(x - x ) λ = = = = = x + x > 0 x - x x - x x - x x - x Αρα η ειναι γνησιως αυξουσα στο [0,+ ). Εστω x,x 0 με x x. Τοτε (x ) - (x ) x + 5 - (x + 5) x + 5 - x - 5 (x + x )(x - x ) λ = = = = = x + x < 0 x - x x - x x - x x - x Αρα η ειναι γνησιως φθινουσα στο (-,0]. Να βρεθουν τα ακροτατα της συναρτησης: (x)=x -4x+3. To πεδιο ορισμου της ειναι το. Eιναι, (x)=x -4x+3 (x)=(x -4x+4)- (x)+=(x-) 0 (x) - Eπισης, (x)= οταν (x-) =0 x=.αρα η παρουσιαζει ελαχιστο για x= το ()=-.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Να γραφουν με αναγραφη τα συνολα : Α = {x / (x + )(x - )(x - 3) = 0} B = {x / x - 3 5} Να γραφουν με περιγραφη τα συνολα : Γ = {,,3} Δ = {-3,-,-,0,,,3} Δινονται τα συνολα : Ε = {x - x +, x} και Ζ = {x -,} Nα βρεθει η τιμη του x, για την οποια ισχυει : Ε = Ζ. Ειναι, (x + )(x - )(x - 3) = 0 x = - η x = η x = 3. Αρα, Α = {-,,3} (+3) x - 3 5-5 x - 3 5-5 + 3 x - 3 + 3 5 + 3 - x 8 Eπειδη x, το x παιρνει τιμες τους φυσικους αριθμους που ειναι μικροτεροι η ισοι του 8. Αρα, Β = {0,,,3, 4,5, 6, 7, 8} Ειναι, Γ = {x / (x - )(x - )(x - 3) = 0} η Γ = {x / x - < } Αφου (x - )(x - )(x - 3) = 0 x = η x = η x = 3. x x x - < - < x - < 0 < x < 4 x = η x = η x = 3. Δ = {x / x < 4} Αφου x < 4-4 < x < 4 x = -3, -, -, 0,,,3. Για να ειναι ισα τα συνολα Ε και Ζ, πρεπει : x - x + = x - x - 3x + = 0 (x - )(x - ) = 0 x = η x = x = x = x = x = x = Δινεται η συναρτηση : (x) = x - 4. Να βρεθει το x ωστε να ισχυει : (x) = (x - 4x + 6) Να βρεθει το y ωστε να ισχυει : (y) = y - 4y x +, αν x < - Δινεται η συναρτηση : g(x) = x - α, αν - x < 3 βx + 3, αν x 3 Nα βρεθουν τα α και β, αν ισχυει : g(-) = g() και g(0) = g(4). Ειναι (x) = x - 4. Oποτε : (x - 4x + 6) = (x - 4x + 6) - 4 = x - 4x +. Ομως, x = (x) = (x - 4x + ) x - 4 = x - 4x + x - 5x + 6 = 0... x = 3 (x) = x - 4. Oποτε : (y) = y - 4. Ομως, y = (y) = y - 4y y - 4 = y - 4y y - 5y + 4 = 0... y = 4 Αφου, - < -, - < 3, - 0 < 3 και 4 3, τοτε g(-) = g() - + = - α α = + - α = 3 () () g(0) = g(4) 0 - α = β.4 + 3-3 = 6β + 3 6β = -6 β = -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Nα βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων : -3 (x) = + + x - g(x) = - x - Πρεπει x + x - 5x + 6-3 h(x) = + x - - x - x + 0 x + 0 x + 0, x x - 5x + 6 0 (x - )(x - 3) 0 x και x 3 Α = [,)U(,3)U(3, + ) x - 0 x x Πρεπει - x - 0 x - - x - - + x - + + - x 3 Αρα Α = [-,3] g Πρεπει (+) x - 0 x - 0 x - > 0 x > x > x > < x < 3 - x - 0 - x - > 0 x - < - < x - < - < x < 3 - x - 0 Αρα Α = (,3) h Eστω το σημειο Μ(x - 3x +, x - ). Nα βρεθει η τιμη του x, ωστε το σημειο Μ : να ανηκει μονο στον αξονα y'y. να ανηκει και στους δυο αξονες x'x και y'y. Eστω η συναρτηση, με τυπο : (x) = 3x - 6. Nα βρεθουν τα σημεια που η C : τεμνει τον αξονα x'x. τεμνει τον αξονα y'y. Για να ανηκει το σημειο Μ, μονο στον αξονα y'y, πρεπει : x x x - 0 x και και και και x - = 0 x = x = x - 3x + = 0 (x - )(x - ) = 0 η η x - = 0 x = Για να ανηκει το σημειο Μ και στους δυο αξονες, πρεπει : x - = 0 και... x = x - 3x + = 0 Η C τεμνει τον αξονα x'x στο σημειο (x, (x )), αν x = 0 (x ) = 3.0-6 (x ) = -6 Αρα στο σημειο (0, -6). Η C τεμνει τον y'y στο σημειο (x, (x )), αν (x ) = 0 0 = 3.x - 6 3.x = 6 x = Αρα στο σημειο (, 0).
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δινεται η συναρτηση, με τυπο : (x) = x + α - 6. Να δειξετε οτι το σημειο Μ(3, α) ανη - κει στη γρ. παρασταση της. Δινεται η συναρτηση g, με τυπο : g(x) = x η γρ. παρασταση της g διερχεται απο το σημειο Ν(α, 5 + 3α). Για να ανηκει το σημειο Μ(3, α) στη γρ.παρασταση της, πρεπει : (3) = α.3 + α - 6 = α 6 = 6, που αληθευει. Αρα το σημειο Μ ανηκει στη γρ.παρασταση της. + 7. Να βρεθουν οι τιμες του α, για τις οποιες Για να διερχεται η γρ.παρασταση της g απ'το σημειο Ν(α,5 + 3α), πρεπει : (α) = 5 + 3α α + 7 = 5 + 3α α - 3α + = 0 α - α - α + = 0 α - = 0 α = α(α - ) - (α - ) = 0 (α - )(α - ) = 0 α - = 0 α = Στο διπλανο σχημα δινεται η γραφικη παρασταση της συν - αρτηση. Να βρεθουν : Το πεδιο ορισμου της. Το συνολο τιμων της. Τα (), (4), (6). Οι τιμες εκεινες του x για τις οποιες ειναι : (x) =. Η προβολη της γρ.παραστασης της πανω στον αξονα x'x δινει το πεδιο ορισμου της. Δηλαδη : Α = [-, 6] Η προβολη της γρ.παραστασης της πανω στον αξονα y'y δινει το συνολο τιμων της. Δηλαδη : (Α) = [,3]U(4, 5] Aπο τη γρ.παρασταση της προκυπτει : () = (4) = 5 (6) = 5 x = -, αν (x) = Να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση, με τυπο : x -, αν x 0 (x) = x + 3, αν 0 < x 3, αν x > Κανουμε πινακα τιμων για την, σε καθενα απ'τα διαστηματα. y 5 4 3-0 3 4 5 6 Για x 0 Για x x - 0 x 3 y - - y - 0 Για x 0 η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο (0,-) που διερχεται - 0 3 απ το σημειο (0,-). - Για 0<x η γρ. παρασταση της ειναι ευθ.τμημα με ακρα τα σημεια (0,-) και (,-), παραλληλη στον αξονα x x. Για x η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο (,-) που διερχεται απ το σημειο (3,0).
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Στο διπλανο σχημα δινεται η γραφικη παρασταση της συναρτηση. Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης. Για x 0 η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο O(0,0) που διερχεται απ το σημειο A(-,3). Oποτε τα σημεια αυτα επαληθευουν τον τυπο της, (x)=αx: 3=-α α=-3. Δηλαδη για α=-3, τοτε (x)=-3x. Για 0<x η γρ. παρασταση της ειναι ευθ.τμημα με ακρα τα σημεια O(0,0) και B(,). Oποτε τα σημεια αυτα επαληθευουν τον τυπο της, (x)=αx: =α α=. Δηλαδη για α=, τοτε (x)=x Για x η γραφικη παρασταση της ειναι ημιευθεια με αρχη το σημειο B(,) παραλληλη στον αξονα x x. Oποτε (x)= -3x, αν x 0 Τελικα (x) = x, αν 0 < x, αν x > Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε οι ευθειες : ε : y = α - 3 x + 4 και ε : y = - α x -, να ειναι παραλληλες. ε : y = α x + 5 και ε : y = ( 4α -4)x -, να ειναι καθετες. 3 4 Δινεται η ευθεια ε : y = (α - )x + (α - 5α + 6). 5 5 5 5 Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε : η ευθεια ε να διερχεται απ'την αρχη των αξονων. η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x. η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στην ευθεια ε : y = α(α - )x - α. 4 α - 3 = - α 3α = 4 α = ε / /ε τοτε : α - 3 = - α 3 α - 3 = α - α = α = ε3 ε 4 τοτε : α.( 4α -4) = - 4 α -4 α + = 0 ( α -) = 0 α - = 0 α = α = ± 6 y 5 4 Α 3 Β - 0 3 4 5 6 η ευθεια ε διερχεται απ'την αρχη των αξονων, αν : 5 α - 5α + 6 = 0 (ειναι της μορφης y = αx, β = 0) α - α - 3α + 6 = 0 α - = 0 α = α(α - ) - 3(α - ) = 0 (α - )(α - 3) = 0 α - 3 = 0 α = 3 η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x, αν : α - = 0 α = 5 η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στην ευθεια ε : y = α(α - )x - α, αν : 5 6 α - = α(α - ) α - = α - α α - 3α + = 0 α - α - α + = 0 α(α - ) - (α - ) = 0 (α - )(α - ) = 0 α - = 0 α - = 0 α = α =
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, για τις οποιες το ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια Α(0,3α - ) και Β(0,α ) να εχει μηκος ισο με. Δινονται τα σημεια Α(3,0), Β(,6) και Γ(,3). Να αποδειχτει οτι : Α, Β και Γ συνευθειακα και Γ μεσο του ΑΒ. Ειναι (ΑΒ) = (0-0) + [α - (3α - )] = (α - 3α + ) = α - 3α + = Ειναι α - 3α + = α - 3α = 0 α(α - 3) = 0 α - 3α + = - α - 3α + = 0 (ΑΒ) = ( - 3) + (6-0) = + 6 = 4 + 36 = 0 (ΑΓ) = ( - 3) + (3-0) = (-) + 3 = + 9 = 0 (ΒΓ) = ( - ) + (3-6) = + (-3) = + 9 = 0 α = 0 η α = η α = η α = 3. (α - )(α - ) = 0 (ΑΓ) + (ΒΓ) = (ΑΒ) = 0 Α, Β και Γ συνευθειακα Αφου, (ΑΓ) = (ΒΓ) = 0 Γ μεσο του ΑΒ Να εξετασετε αν ειναι αρτιες η περιττες οι παρακατω συναρτησεις : x -3 -x +, x 0 (x) = - 4x g(x) = h(x) = p(x) = x (x - )(x - 3) x +, x 0 Για να οριζεται η, πρεπει : - 4x 0 x x - x 4 4 4 4 Το πεδιο ορισμου της ειναι : Α = -, 4 4 (συμμετρικο ως προς 0) Οποτε για x A τοτε και - x A, και (-x) = - 4(-x) = - 4x = (x), αρα η ει Για να οριζεται η g, πρεπει : x 0 Το πεδιο ορισμου της g ειναι : Α = Οποτε για x A τοτε και - x A,και g g -x = x -x -3 x -3 g ναι αρτια. (συμμετρικο ως προς 0) g(-x) = = - = -(x), αρα η ειναι περιττη. -x x Για να οριζεται η h, πρεπει : x και x 3. h p * Το πεδιο ορισμου της h ειναι : Α = - {,3} (οχι συμμετρικο ως προς 0) Οποτε η h δεν ειναι ουτε αρτια, ουτε περιττη. Το πεδιο ορισμου της p ειναι : Α = (συμμετρικο ως προς 0) Οποτε Για x 0 -x 0 και p(-x) = -(-x) + = x + = p(x), αρα η p, αρτια. Για x 0 -x 0 και p(-x) = -x + = p(x), αρα η p, αρτια. Tελικα για καθε x ειναι p(-x) = p(x), αρα η p ειναι αρτια.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 3 Να μελετησετε ως προς τη μονοτονια τη συναρτηση : (x) = x - 3 Το πεδιο ορισμου της ειναι το. Eστω x, x, με x < x. (x ) - (x ) = x - 3 - (x - 3) = x - 3 - x + 3 = x - x = (x - x ) = 3 3 3 3 3 3 3 3 = (x - x )(x + x.x + x ) > 0 (Αφου x - x > 0 και x + x.x + x > 0) Αρα η ειναι γνησιως αυξουσα στο. Eιναι 3 3 3 3 3 (x ) - (x ) x - 3 - (x - 3) x - 3 - x + 3 x - x λ = = = = x - x x - x x - x x - x (x - x ) = = x - x 3 3 3 (x - x )(x + x.x + x ) = = (x + x.x + x ) > 0 (Αφου x + x.x + x > 0) x - x Αρα η ειναι γνησιως αυξουσα στο. Να δειξετε οτι η συναρτηση με (x) = αx + β, ειναι γν.αυξουσα αν α > 0 και γν.φθι - νουσα αν α < 0. Να μελετηθουν ως προς τη μονοτονια οι συναρτησεις : g(x) = (4 - κ )x - h(x) = x + x - To πεδιο ορισμου της ειναι το. Eστω x, x, με x < x. (x ) - (x ) αx + β - (αx + β) αx + β - αx - β λ = = = = x - x x - x x - x Αν α > 0, τοτε η ειναι γνησιως αυξουσα στο. Αν α < 0, τοτε η ειναι γνησιως φθινουσα στο. To πεδιο ορισμου της ειναι το. Η συναρτηση g(x) = (4 - κ )x - ειναι της μορφης g( α( x - x x - x Αν 4 - κ > 0 κ < 4 κ < κ < - < κ <, η g ειναι γν. αυξουσα στο. Αν 4 - κ = 0 κ = 4 κ = ±, η g ειναι σταθερη στο. Αν 4 - κ < 0 κ > 4 κ > κ > κ < - η κ <, η g εινα στο. ) = α x) = αx + β, οποτε : ι γνησιως φθινουσα -3x +, αν x 0 Ευκολα ο τυπος της συναρτησης h γινεται : h(x) = x +, αν 0 < x 3x -, αν x > Oποτε Στο διαστημα (-, 0] η h ειναι γν.φθινουσα, αφου α = -3 < 0. Στο διαστημα (0,] η h ειναι γν.αυξουσα, αφου α = > 0. Στο διαστημα (, + ) η h ειναι γν.αυξουσα, αφου α = 3 > 0.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να βρεθουν τα ακροτατα των συναρτησεων : 4 (x) = x + x + g(x) = x - + To πεδιο ορισμου της ειναι το. Eιναι x (x +) 0 4 (x) = x + x + 4 (x) - = x + x (x) - = x (x + ) (x) - 0 (x) () Ομως x +0 (x) = αν x (x + ) = 0 x = 0, δηλαδη (0) = Oποτε η () γινεται : (x) (0), που σημαινει οτι η παρουσιαζει ελαχιστο, το, οταν x = 0. x -, αν x Ευκολα ο τυπος της συναρτησης g γινεται : g(x) = -x + 3, αν x > Oποτε Στο διαστημα (-,] η g ειναι γν.αυξουσα, αφου α = > 0. Στο διαστημα (, + ) η g ειναι γν.φθινουσα, αφου α = - < 0. Aρα η g παρουσιαζει στη θεση x = μεγιστο, το g() =. (Στη θεση x =, αλλαζει η μονοτονια της g, οποτε εχουμε ακροτατο) Να γινει η μελετη και η γρ.παρασταση της συναρτησης : x +, αν x < 0 (x) = -x +, αν x 0 To πεδιο ορισμου της ειναι το (συμμετρικο ως προς 0). Eιναι Για x < 0 -x > 0 και (-x) = -(-x) + = x + = (x), αρα η, αρτια. Για x 0 -x 0 και (-x) = -x + = (x), αρα η, αρτια. Tελικα για καθε x ειναι (-x) = (x), αρα η ειναι αρτια. Οποτε η γρ.παρασταση της εχει αξονα συμμετριας τον y'y. Ειναι Στο διαστημα (-, 0) η ειναι γν.αυξουσα, αφου α = > 0. Στο διαστημα [0, + ) η ειναι γν.φθινουσα, αφου α = - < 0. Aρα η g παρουσιαζει στη θεση x = 0 μεγιστο, το (0) =. (Στη θεση x = 0, αλλαζει η μονοτονια της, οποτε εχουμε ακροτατο) Κατασκευαζουμε πινακα τιμων για την στα δυο διαστηματα : Για x < 0 Για x 0 x - 0 x 0 y 0 y 0-0
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Να γραφουν με αναγραφη τα συνολα : Α = {x / x - 4} B = {x / x - 4} Να γραφουν με περιγραφη τα συνολα : Γ = {, 3, 5, 7, 9} Δ = {-, -, 0,,, 3} Δινονται τα συνολα : Ε = {x,} και Ζ = {, x Nα βρεθει η τιμη του x, aν ισχυει : Ε = Ζ. }. Για ενα συνολο Α με : αναγραφη Α = α,α, περιγραφη Α = {x Ω / ιδιο - τητα τουa} οπου Α Ω. Ισα συνολα : εχουν ακριβως τα ιδια στοιχεια. Δινεται η συναρτηση : (x) = x -. Να βρεθει το x ωστε να ισχυει : (x) = (x - x) + 3 Να βρεθει το y ωστε να ισχυει : (y) = αx+ β αν x < Δινεται η συναρτηση : g(x) = (α - )x, αν x Nα βρεθουν τα α και β, αν ισχυει : g(-) = 3 και g() = 4. Nα βρεθει το πεδιο ορισμου των συναρτησεων : -3 (x) = + + x - x + - x g(x) = x - - x x h(x) = + x - x - - 3x + Eστω το σημειο Μ(λ -, λ - 4). Nα βρεθει η τιμη του λ, ωστε το σημειο Μ : να ανηκει μονο στον αξονα x'x. να ανηκει και στους δυο αξονες x'x και y'y. Eστω η συναρτηση, με τυπο : (x) = x - -. Nα βρεθουν τα σημεια που η γρ. παρασταση της συναρτησης : τεμνει τον αξονα x'x. τεμνει τον αξονα y'y. Η συναρτηση εχει τυπο : (x) = αx + β, τοτε (γx + δ) = α(γx + δ) + β (y) = αy + β Αν ο τυπος της συναρτησης : Περιεχει ριζα, τοτε πρεπει το υπορριζο να ειναι μεγαλυτερο η ισο με το 0. Περιεχει κλασμα, τοτε πρεπει ο παρονομαστης να ειναι διαφο - ρος του 0. Eνα σημειο Μ(α,β) ανηκει μο - νο στον x'x, αν : α 0 και β = 0. Eνα σημειο Μ(α,β) ανηκει και στους δυο αξονες, αν : α = 0 και β = 0. Η γρ.παρασταση της (x) = αx + β τεμνει : τον αξονα x'x στο : Α(0,β) β τον αξονα y'y στο : Α(-,0) α
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 Δινεται η συναρτηση, με τυπο : (x) = x - α. Να δειξετε οτι το σημειο Μ(α +, α + ) ανηκει στη γρ. παρασταση της. Δινεται η συναρτηση g, με : g(x) = x - x + + β. Να βρεθουν οι τιμες των α και β, για τις οποιες η γρ. παρασταση της g διερχεται απο το σημειο Ν(α, -β - β). Για να διερχεται η γρ.παρασταση της απ'το σημειο Α(α,β), η το σημειο Α να ανηκει στη γρ.παρα - σταση της συναρτησης, πρεπει : (α) = β Να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση, με τυπο : -x, αν x (x) = x -, αν < x 3, αν x > 3 Βρειτε τις τιμες του πραγματικου αριθμου α, για Η αποσταση δυο σημειων, τις οποιες το ευθυγραμμο τμημα με ακρα τα σημεια Α(x, y ) και Β(x, y ), Α(α, x + 6) και Β(α,x + 3) να εχει μηκος ισο με. δινεται απ'το τυπο : Δινονται τα σημεια Α(3, ), Β(4, -) καιγ(-,). (ΑΒ) = (x - x ) + (y - y ) Να αποδειχτει οτι : Α, Β και Γ ειναι κορυφες ισοσκε - λους τριγωνου. 3 4 Προκειμενου να χαραξουμε τη γρ. παρασταση συναρτησης : Παιρνουμε πινακα τιμων της συναρτησης. Ενωνουμε καταλληλα τα ση - μεια που προκυπτουν, σε σχεση με τον τυπο της συναρτησης και το πεδιο ορισμου της. Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, Δυο ευθειες : ωστε οι ευθειες : y = α x + β και y = α x + β : ε : y = (3α + )x και ε : y = (α - 3)x + 5 ειναι : ειναι παραλληλες αν : α = α παραλληλες καθετες ειναι καθετες αν : α.α = - α + 3 Δινεται η ευθεια ε : y = x +, με α. Μια ευθεια y = αx + β : 3 α - διερχεται απ'τo O(0,0) : Να βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, β = 0 ωστε : ειναι παραλληλη στον x'x αν : η ευθεια ε 3 να διερχεται απ'την αρχη των αξονων. α = 0 η ευθεια ε να ειναι παραλληλη στην ευθεια ε : y = -5x +. η ευθεια ε 3 να ειναι καθετη στην ευθεια ε 5 : y = - x 9 + 3.
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Να εξετασετε αν ειναι αρτιες η περιττες οι παρα - Αν το πεδιο ορισμου μιας συναρ - κατω συναρτησεις : τησης, ειναι συμμετρικο ως (x) = x - 9 g(x) = x - x + x - h(x) = x + Δινεται η συναρτηση p ορισμενη στο p(x) = (α - 4)x + 7. *, με Να βρεθει ο πραγματικος αροιθμος α, ωστε η p να ειναι αρτια. προς το 0, δηλ. για καθε x A τοτε και - x A : η ειναι αρτια, αν (-x) = (x). και περιττη, αν (-x) = -(x). Μελετησετε ως προς τη μονοτονια τις συναρτησεις : (x) = x + 3 g(x) = -x - x + h(x) = x - 4x + 3, με x Μελετησετε ως προς τη μονοτονια τις : (x) = (λ - 9)x + g(x) = x - + x + x +, αν x 0 h(x) = -x + 3, αν x > 0 Nα βρεθουν οι τιμες του πραγματικου αριθμου α, αν η συναρτηση 4 (x) = x - 8x + Αν και x,x A, με x < x. Aν (x ) < (x ) τοτε η γν. αυξουσα. Aν (x ) > (x ) τοτε η γν. φθινουσα. x < x (x ) < (x ) : x < x (x ) > (x ) : Βγαλτε τα απολυτα με (x) = α x + -3 x - ειναι γν.φθινουσα στο διαστημα [, + ). Να βρεθουν τα ακροτατα των συναρτησεων : g(x) = 3 x - + Αν η συναρτηση ειναι : γν.αυξουσα, στο (-,x ] γν.φθινουσα, στο (x,+ ) τοτε στη θεση x παρουσιαζει 0 0 μεγιστο, το (x ). (Το ιδιο αν : (x) (x )) ομοια... 0 0 0 Να γινει η μελετη και η γρ.παρασταση των : (x) = -x x +, αν x < g(x) = -x +, αν x x + - x - h(x) = x Βρισκουμε το π.ο. της. Ελεγχουμε αν η ειναι αρτια η περιττη (συμμετριες). Εξεταζουμε τη μονοτονια της. Βρισκουμε τα ακροτατα της. Κατασκευαζουμε πινακα τιμων.
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Στο σχημα δινεται η γρ. παρασταση της. Να βρεθουν : Το πεδιο ορισμου της. Το συνολο τιμων της. Τα (), (4), (6). Οι τιμες εκεινες του x για τις οποιες : (x) =. y Η προβολη της γρ.παραστα - σης της πανω στον αξονα x'x δινει το π.ο. της. Η προβολη της γρ.παραστα - σης της πανω στον αξονα y'y δινει το σ.τ. της. 5 4 3 - - 0 3 4 5 6 Nα βρειτε το τυπο της συναρτησης, που η γραφικη της παρασταση φαινεται στο παρακατω σχημα y A 3 B - - 0 x Απο γνωστα σημεια που ανη - κουν στη γραφικη παρασταση της συναρτησης, αντικαθιστων - τας στη γνωστη εξισωση της ευ - θειας y = αx + β, το x με την τετμημενη του σημειου και το y με την τεταγμενη, προσδιορι - ζουμε τον τυπο της συναρτησης.