Διεθνές Πανεπιστήμιο της Ελλάδος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Πρόγραμμα Σπουδών Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Επεξεργασία Σήματος Δρ Δεμερτζής Κωνσταντίνος
Σήματα Συνεχούς Χρόνου 2
Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων 4. Κατάταξη σημάτων ως προς την ενέργεια και την ισχύ 5. Απλές Πράξεις Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 6. Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 3
1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 4
Επεξεργασία Σήματος Ως σήμα ορίζεται οποιαδήποτε συνάρτηση μεταξύ φυσικών ποσοτήτων. Ως επεξεργασία σήματος ορίζουμε την ανάλυση και τον χειρισμό σημάτων. Η επεξεργασία σήματος είναι ουσιαστικώς ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο, ορισμένο με αυστηρά μαθηματικά και με τις δικές του μεθοδολογίες και ορολογία. Οι εφαρμογές του είναι πάρα πολλές στις τεχνολογικές επιστήμες και βρίσκεται στη βάση τομέων όπως οι τηλεπικοινωνίες, ο αυτοματισμός, η επεξεργασία εικόνας, βίντεο και ήχου, η συμπίεση δεδομένων κλπ. Σε συστήματα τηλεπικοινωνιών, επεξεργασία σήματος λαμβάνει χώρα μόνο στο πρώτο επίπεδο του μοντέλου αναφοράς OSI (φυσικό επίπεδο) και προαιρετικά στο έκτο και έβδομο επίπεδο του ίδιου μοντέλου.
Σήματα Ορισμένα παραδείγματα: Η τιμή της τάσης μεταξύ των οπλισμών ενός πυκνωτή σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου, καθώς ο πυκνωτής φορτίζεται και μετά εκφορτίζεται, είναι αναλογικό σήμα. Η τιμή του πληθωρισμού στην οικονομία μίας χώρας κατά τη διάρκεια ενός έτους, μετρημένη σε κάθε μήνα, είναι σήμα διακριτού χρόνου όπου πεδίο ορισμού είναι οι ακέραιοι 1-12. Οι τιμές λαμπρότητας κάθε pixel σε μία ασπρόμαυρη ψηφιακή εικόνα είναι ψηφιακό σήμα, με πεδίο τιμών π.χ. 1-256 (αν για κάθε pixel αποθηκεύεται ένα byte) και πεδίο ορισμού το σύνολο φυσικών 1-Μ*Ν, όπου ΜxΝ η ανάλυση της εικόνας.
Η ομιλία είναι ένα ακουστικό σήμα. Σήματα Μια τοπική διαταραχή στην πυκνότητα του αέρα που διαδίδεται ως ακουστικό κύμα Για να την επεξεργαστούμε στον υπολογιστή πρέπει να την μετατρέψουμε σε ηλεκτρικό σήμα και μάλιστα ψηφιακό Εδώ υπεισέρχεται η ψηφιακή επεξεργασία σήματος
Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων είναι: a) Να αναπτύξει μαθηματικά μοντέλα τα οποία θα περιγράφουν επαρκώς ικανοποιητικά τις διάφορες κατηγορίες σημάτων που μεταφέρουν την χρήσιμη πληροφορία, (Τηλεπικοινωνίες, TV, κτλ). b) Να αναλύσει τα συστήματα που επεξεργάζονται και μεταδίδουν τα σήματα (Τι είναι σήμα? Τι είναι Σύστημα? Είσοδος/Έξοδος). c) Να συνθέσει «άριστα» συστήματα, τα οποία θα ελαχιστοποιούν την επίπτωση του θορύβου «επάνω» στα σήματα (Τι είναι θόρυβος?). 9
Επεξεργασία Σήματος Η Επεξεργασία Σήματος βρίσκεται στον πυρήνα όλων των εφαρμογών που βασίζονται σε σήματα, είτε πρόκειται για ιατρικές εφαρμογές, είτε για εφαρμογές γεωφυσικής και σεισμικής ανάλυσης, στην όραση υπολογιστών, στην αναζήτηση βάσει περιεχομένου, στην τηλεόραση υψηλής ευκρίνειας και στην επεξεργασία κινούμενης εικόνας βίντεο. Ενδεικτικές εφαρμογές EEG/MEG (Ηλεκτροεγκεφαλογραφία/Μαγνητοεγκεφαλογραφία), ανάλυση σεισμικών σημάτων, εξαγωγή χαρακτηριστικών χαμηλού επιπέδου και κατάτμηση εικόνων, ανάλυση βιοϊατρικής πληροφορίας, επεξεργασία κίνησης και μετασχηματισμών πολυμεσικού περιεχομένου, επεξεργασία ήχου/φωνής/φυσικής γλώσσας ρομποτική (πχ μηχανική όραση/ακοή/όσφρηση)
Machine Hearing 15
Machine Hearing 16
AI apps
1. Analog to Digital - Sampling a Signal AI apps How does Shazam work?
2. Recording - Capturing the Sound AI apps How does Shazam work?
3. Time-Domain and Frequency-Domain AI apps How does Shazam work?
3. The Discrete Fourier Transform AI apps How does Shazam work?
3. Music Recognition: Fingerprinting a Song AI apps How does Shazam work?
3. The Music Algorithm: Song Identification AI apps How does Shazam work?
AI apps How does Shazam work?
2. Κατηγορίες Σημάτων 33
Κατηγορίες Σημάτων Ως σήμα ορίζουμε τις τιμές που λαμβάνει μία ποσότητα y (εξαρτημένη μεταβλητή) η οποία μεταβάλλεται συναρτήσει μίας άλλης ποσότητας x (ανεξάρτητη μεταβλητή). Αν οι ποσότητες x και y λαμβάνουν συνεχείς τιμές (π.χ. από το κλειστό πραγματικό διάστημα [0,+100]) τότε το σήμα είναι μία συνάρτηση y(x) και χαρακτηρίζεται αναλογικό. Αναλογικό σήμα είναι η ρέουσα ένταση που λαμβάνει συνεχείς τιμές σε ένα μέσο μετάδοσης συναρτήσει του χρόνου αντικατοπτρίζοντας τη διακύμανση μιας ποιότητας που μεταβάλλεται ομοίως στον χρόνο, καθώς αυτός οδεύει προς τα εμπρός.
Κατηγορίες Σημάτων Ως προς την μεταβλητή του χρόνου: Σήμα Συνεχούς Χρόνου (continuous time): ένα σήμα x t το οποίο ορίζεται για κάθε τιμή του t στο διάστημα χρόνου (a, b). Συνεχείς τιμές πχ 1, 2, 2.1, 2.67342, 5.88812 35
Κατηγορίες Σημάτων Το αναλογικό σήμα χρησιμοποιεί ιδιότητες του μέσου μετάδοσης για να μεταφέρει τις πληροφορίες της μεταβολής της ποιότητας που αντικατοπτρίζει. Ένας ήχος που ταξιδεύει σε ένα μέσο, πχ τον αέρα, αποτελεί ένα αναλογικό σήμα που μεταφέρει τη διακύμανση της πίεσης που προκαλεί στον αέρα η ταλάντωση μιας ηχητικής πηγής, για παράδειγμα ενός διαπασών. Ένα ηλεκτρικό σήμα χρησιμοποιεί διαφορετικό μέσο (ηλεκτρικό κύκλωμα) για τη μετάδοση της πληροφορίας που εκπέμπει μια ηχητική πηγή, έπειτα από μετατροπή των κυμάτων πίεσης σε ηλεκτρικές διακυμάνσεις μέσω πχ ενός μικροφώνου. Ένα αναλογικό σήμα αντικατοπτρίζει με δυνάμει άπειρη ακρίβεια τη διακύμανση φυσικών φαινομένων, όπως φωτός, θερμοκρασίας, θέσης, ήχου, πίεσης, υγρασίας κλπ. Σε ένα ηλεκτρικό σήμα η πληροφορία μπορεί να μεταφέρεται με διαφοροποίηση της ηλεκτρικής τάσης, της έντασης του ηλεκτρικού ρεύματος, της συχνότητας κλπ που μεταβάλλονται ακολουθώντας τη μεταβολή του φυσικού φαινομένου που περιγράφουν.
Κατηγορίες Σημάτων Ως προς την μεταβλητή του χρόνου: Σήμα Διακριτού Χρόνου (discrete time): ένα σήμα το οποίο ορίζεται μόνο για κάποιες (συγκεκριμένες) στιγμές του χρόνου. Τα διακριτά σήματα συμβολίζονται από ακολουθίες {x(n)}. Η τιμή της ακολουθίας x n τη χρονική στιγμή n 0 είναι το βαθμωτό μέγεθος x(n 0 ). Ακέραιες τιμές πχ {5, 0, -1, 2, 4} 37
Κατηγορίες Σημάτων Αν η ποσότητα y λαμβάνει συνεχείς τιμές αλλά η ποσότητα x μόνο διακριτές τιμές (π.χ. από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών) τότε το σήμα λέγεται διακριτού χρόνου και πρόκειται για μία ακολουθία y[n], ενώ αν τα x και y λαμβάνουν διακριτές τιμές έχουμε πάλι ακολουθία y[n] και το σήμα λέγεται ψηφιακό. Αν οι ατομικές τιμές του σήματος αντί να μετρηθούν επακριβώς, επάνω στον άξονα του χρόνου, είναι εναρμονισμένες με κάποια ορισμένη ακρίβεια, τότε η ροή δεδομένων που προκύπτει είναι το ψηφιακό σήμα. Η διαδικασία προσέγγισης αυτής της ακρίβειας (δηλ. μιας συγκεκριμένης τιμής), μέσα από ένα σταθερό αριθμό ψηφίων (δηλ. bit) ονομάζεται ψηφιοποίηση. Σε γενικές γραμμές, ένα ψηφιακό σήμα είναι ένα ψηφιοποιημένο σήμα διακριτού χρόνου.
Συνεχής μεταβλητή Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς χρόνου Διακριτού χρόνου Διακριτή μεταβλητή x(t) y(t) z(t) Αναλογικά Μετατροπή Α/D x(n) y(n) z(n) Ψηφιακά {5, 0, -1, 2, 4} n=0, 1, 2, 3, 4 Το n συμβολίζει το δείγμα στον χρόνο 39
Κατηγορίες Σημάτων Ως προς την μεταβλητή του πλάτους: Συνεχούς τιμής: ένα σήμα που παίρνει όλες τις δυνατές τιμές σε ένα διάστημα τιμών Διακριτής τιμής: ένα σήμα που παίρνει τιμές από ένα πεπερασμένο σύνολο τιμών Γενικά υπάρχουν: Συνεχούς χρόνου/συνεχούς πλάτους Διακριτού χρόνου/συνεχούς πλάτους Συνεχούς χρόνου/διακριτού πλάτους Διακριτού χρόνου/διακριτού πλάτους 40
Σήματα Συνεχούς Χρόνου Τα σήματα συνεχούς χρόνου υποδιαιρούνται σε δύο κατηγορίες: Στα αναλογικά σήματα ή σήματα συνεχούς χρόνου και συνεχούς πλάτους, στα οποία τόσο η ανεξάρτητη μεταβλητή (t) όσο και η εξαρτημένη μεταβλητή (πλάτος του σήματος) λαμβάνουν συνεχείς (πραγματικές) τιμές, π.χ. x t = 6t. Στα διακριτά σήματα συνεχούς χρόνου, στα οποία η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει διακριτές τιμές, π.χ. x t = 0, 0 t 1 1, 1 < t 2 2, αλλού 41
Σήματα Διακριτού Χρόνου Τα σήματα διακριτού χρόνου διαιρούνται σε δύο κατηγορίες: Στα διακριτά σήματα συνεχούς τιμής (πλάτους), στα οποία η εξαρτημένη μεταβλητή (πλάτος) λαμβάνει συνεχείς τιμές, π.χ. x t = cos(n t), όπου n είναι φυσικός αριθμός. Στα διακριτά σήματα διακριτής τιμής ή ψηφιακά, στα οποία η ανεξάρτητη και η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνουν διακριτές τιμές. Δειγματοληψία Παρατηρούμε ότι το διακριτό σήμα {x(n)} παίρνει τιμές από το σύνολο {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Κβαντισμός 42
Κατηγορίες Σημάτων Αναλογικό Σήμα ή σήμα συνεχούς χρόνου και συνεχούς πλάτους, στο οποίο τόσο η ανεξάρτητη μεταβλητή (t) όσο και η εξαρτημένη μεταβλητή (πλάτος του σήματος) λαμβάνουν συνεχείς (πραγματικές) τιμές, π.χ. x t = 6t Ψηφιακό Σήμα: Ένα σήμα διακριτού χρόνου και διακριτής τιμής. Τα σήματα απαντώνται στη φύση συνήθως σε αναλογική μορφή, π.χ. σήματα ομιλίας, μουσικής, κλπ, όμως η εξέλιξη της ψηφιακής τεχνολογίας επιτρέπει την αποδοτικότερη επεξεργασία, μετάδοση και αποθήκευση των ψηφιακών σημάτων. Ένα αναλογικό σήμα μετατρέπεται σε ψηφιακό μέσω των διαδικασιών της δειγματοληψίας του κβαντισμού και της κωδικοποίησης. 43
Κατηγορίες Σημάτων Το διακριτό σήμα είναι το αποτέλεσμα της επεξεργασίας ενός αναλογικού σήματος με τη μέθοδο της δειγματοληπτικής μείωσης. Ένα ψηφιακό σήμα μπορεί να προκύψει από ένα αναλογικό σήμα, μέσω μίας διεργασίας γνωστής ως δειγματοληψίας ή δειγματοληπτικής μείωσης, π.χ. με στόχο το σήμα να αποθηκευτεί και να υποστεί επεξεργασία σε έναν ψηφιακό ηλεκτρονικό μέσο.
Τόσο στους υπολογιστές όσο και σε οποιοδήποτε άλλο ψηφιακό σύστημα, η κυματομορφή του ψηφιακού σήματος εναλλάσσεται μεταξύ δύο επιπέδων τάσης (0 και 4,8V) οι οποίες αναπαριστούν αντίστοιχα τις δύο τιμές του δυαδικού συστήματος (0 και 1). Έτσι, αναφερόμαστε σε αυτή τη κυματομορφή ως ψηφιακό σήμα. Παρ' όλο που πρόκειται για μια αναλογική κυματομορφή τάσεως, το ονομάζουμε ψηφιακό διότι εναλλάσσεται μεταξύ δύο σταθερών καταστάσεων. Το σήμα του ρολογιού είναι ένα ειδικό ψηφιακό σήμα το οποίο χρησιμοποιείται για τον συγχρονισμό των ψηφιακών κυκλωμάτων. Οι λογικές αλλαγές ενεργοποιούνται είτε από την αύξηση είτε από την μείωση του σήματος. Έτσι, όταν λέμε: Κατηγορίες Σημάτων Αύξηση του σήματος: διαδικασία μετάβασης από χαμηλή σε υψηλή τάση. Μείωση του σήματος: διαδικασία μετάβασης από υψηλή σε χαμηλή τάση.
Κατηγορίες Σημάτων Ψηφιακό Σήμα H κυματομορφή ενός ψηφιακού σήματος: (1) χαμηλό επίπεδο τάσης, (2) υψηλό επίπεδο, (3) μετάβαση σε υψηλό επίπεδο τάσης, (4) μετάβαση σε χαμηλό επίπεδο
Κατηγορίες Σημάτων 47
Διαδικασια μετατροπης αναλογικου σε ψηφιακο (ADC) Αναλογικο σημα Μετα την δειγματοληψια Κβαντισμενο σημα
Kβαντισμος - Quantization Τα σηματα συνεχους χρονου υφιστανται δειγματοληψια κατα τακτα χρονικα διαστηματα Η δειγματοληψια δεν εισαγει οποιαδηποτε παραμορφωση αν γινει με ρυθμο μεγαλυτερο απο τον ρυθμο Nyquist. Τα αναλογικα δειγματα εχουν τιμες σε ενα συνεχες διαστημα τιμων και χρειαζεται απειρος αριθμος bits για την παρασταση τους με τελεια ακριβεια. Κβαντισμος (Quantization) ειναι η διαδικασια της προσεγγισης ενος αναλογικου (συνεχους) δειγματος με ενα πεπερασμενο αριθμο bits. O κβαντισμος εισαγει παντοτε παραμορφωση. Μπορουμε να την μειωσουμε αν αυξησουμε τον αριθμο των bits με τα οποια παριστανουμε ενα δειγμα.
Κατηγορίες Σημάτων Δειγματοληψία και ψηφιοποίηση αναλογικού σήματος
Γραφικη παρασταση του Κβαντισμου M=8 ~ x 8 3.5 x 8 =3.5 110 111 101 100-3 -2-1 1 2 3-3 3 x 0 x 1 011 x 7 x 8-010 000 001 ~ x 1 x 1 =-3.5-3.5
Συνοπτικη παρασταση Κβαντιστη Συνηθως αρκει ο καθορισμος των επιπεδων κβαντισμου Παραδειγμα: {-3.5,-2.5, -1.5, -0.5, +0.5, 1.5, 2.5, 3,5} Γιατι? Υποθετουμε οτι ολα τα δείγματα κβαντιζονται στο πλησιεστερο επιπεδο κβαντισμου Αυτο καθοριζει τα ορια των ζωνων κβαντισμου, εν προκειμενω στο μεσον μεταξυ των επιπεδων κβαντισμου δηλαδη: {-, -3.0, -2.0, -1.0, 0, 1.0, 2.0, 3.0, } Καθε αλλο οριο αυξανει το σφαλμα κβαντισμου (θεωρημα Loyd-Marx)
Ειδη Θορυβου στον Κβαντιστη Θορυβος κβαντισμου (Quantization Noise) Εμφανιζεται γιατι η τιμη του δειγματος x αντικαθισταται απο την τιμη του πλησιεστερου επιπεδου κβαντισμου. Το σφαλμα κβαντισμου για ενα δειγμα ειναι n Q = x f Q (x) και ειναι μικροτερο, κατα απολυτο τιμη, απο το ημισυ του μεγεθους της ζωνης κβαντισμου. Θορυβος υπερφορτωσης (Overload Noise): Εμφανιζεται οταν το σημα εισοδου ειναι μεγαλυτερο απο το μεγαλυτερο επιπεδο κβαντισμου με αποτελεσμα τον «ψαλλιδισμο» του. Κοκκωδης Θορυβος (Granularity Noise): Εμφανιζεται οταν τα επιπεδα κβαντισμου δεν ειναι αρκετα πυκνα για να προσεγγισουν με ακριβεια το δειγμα. Ειναι πιο εμφανης οταν οι τιμες των δειγματων κυμαινονται ελαφρα γυρω απο ενα οριο περιοχης κβαντισμου. Αν ο αριθμος των επιπεδων κβαντισμου Μ ειναι σταθερος τοτε υπαρχει ανταλλαγη μεταξυ των θορυβων κβαντισμου και υπερφορτωσης
Συστήματα Σύστημα είναι οτιδήποτε δέχεται ως είσοδο ένα σήμα και παράγει ως έξοδο ένα άλλο σήμα. Μαθηματικά είναι ένας μετασχηματισμός που αντιστοιχίζει σε μία συνάρτηση y(x), ή σε μία ακολουθία y[n], κάποια άλλη συνάρτηση y'(x), ή ακολουθία y'[n]. Τα συστήματα διακρίνονται επίσης σε αναλογικά, διακριτού χρόνου και ψηφιακά, ανάλογα με τους τύπους σημάτων που δέχονται ως είσοδο και παράγουν ως έξοδο, ενώ υπάρχουν και υβριδικά. Π.χ. σύστημα είναι μία υπορουτίνα κάποιου προγράμματος επεξεργασίας εικόνας σε υπολογιστή, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που δέχεται μία τάση στα άκρα του και παράγει τάση σε έναν πυκνωτή ή ένα διαστημόπλοιο στο οποίο ασκούνται δυνάμεις (σήμα εισόδου) και αυτό ακολουθεί ανάλογη τροχιά (σήμα εξόδου). Τα σήματα και τα συστήματα είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος καθώς μπορούμε να φερθούμε σε ένα σήμα ως έξοδο κάποιου γνωστού συστήματος ή να χαρακτηρίσουμε πλήρως ένα σύστημα μελετώντας την έξοδό του για δεδομένη είσοδο.
Συστήματα Τα συστήματα χωρίζονται σε κατηγορίες με βάση διάφορα κριτήρια: Γραμμικά συστήματα και μη γραμμικά συστήματα, όπου στα γραμμικά η έξοδος ενός γραμμικού συνδυασμού επιμέρους εισόδων ισούται με τον γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων επιμέρους εξόδων (για σύστημα F ισχύει F(k1x1(t)+k2x2(t)) = k1f(x1(t))+k2f(x2(t))) Χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβλητά, όπου στα χρονικά αμετάβλητα η μόνη επίπτωση μίας ολίσθησης προς τα δεξιά της εισόδου είναι μία ίδια ολίσθηση της εξόδου (αν F(x(t)) = y(t), τότε F(x(t+s)) = y(t+s)) Στατικά και δυναμικά (ή με μνήμη) συστήματα, όπου στα στατικά η έξοδος σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου στο ίδιο σημείο, ενώ στα δυναμικά εξαρτάται και από άλλες τιμές της εισόδου. Τα δυναμικά συστήματα υποδιαιρούνται σε αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται μόνο από την τρέχουσα και από προηγούμενες τιμές της εισόδου και σε μη αιτιατά, όπου η έξοδος σε κάθε σημείο επηρεάζεται επιπλέον και από μελλοντικές τιμές της εισόδου.
Συστήματα Η γραμμικότητα ενός συστήματος συνεπάγεται ότι δύο διαφορετικά σήματα μπορούν να διέλθουν μέσα από το σύστημα ταυτοχρόνως χωρίς να επηρεάζουν το ένα το άλλο, επομένως στην ολική έξοδο συμμετέχουν αθροιζόμενες οι έξοδοι των επιμέρους σημάτων, υπολογισμένες σαν τα τελευταία να διήλθαν μόνα τους απ' το σύστημα. Η χρονική ανεξαρτησία σημαίνει ότι τα χαρακτηριστικά του συστήματος δεν μεταβάλλονται καθώς αλλάζει τιμή η ανεξάρτητη μεταβλητή (συνήθως ο χρόνος), ενώ τα μη αιτιατά συστήματα δεν είναι ρεαλιστικά καθώς δεν δύνανται να λειτουργήσουν σε πραγματικό χρόνο και συνήθως χρησιμοποιούνται μόνο για μοντελοποίηση προσομοιώσεων ή επεξεργασία αποθηκευμένων δεδομένων. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των γραμμικών συστημάτων είναι ότι αν η είσοδος είναι ένα απλό ημιτονοειδές σήμα, τότε η έξοδος είναι ένα ημίτονο ίδιας συχνότητας αλλά με τροποποιημένο πλάτος και φάση.
Γραμμικά Συστήματα
Γραμμικά Συστήματα
Γραμμικά Συστήματα
Γραμμικά Συστήματα
3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων 61
Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 62
Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 63
Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 Μέση Τιμή Ημιτόνου Το ημιτονικό σήμα έχει μέση τιμή ίση με 0 64
Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Ενεργός Τιμή: x t = x rms = 1 t 2x 2 t t 2 t 1 t 1 dt 1/2 Ενεργός Τιμή Ημιτόνου Πάντα θετική ^2 και ρίζα.. 65
Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (1/2) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου (ΣΣΧ) x(t) ορισμένο στο διάστημα t 1, t 2, ορίζουμε: Μέση Τιμή: Ενεργός Τιμή: Στιγμιαία Ισχύς: Μέση Ισχύς: Ενέργεια: x t = x av = 1 t 2x(t) dt t 2 t 1 t 1 x t = x rms = 1 t 2x 2 t t 2 t 1 t 1 P t = x 2 (t) dt P x = P av = 1 t 2x 2 (t) dt t 2 t 1 t 1 1/2 E x = t 1 t 2x 2 (t) dt 66
Χαρακτηριστικές Παράμετροι Σημάτων Συνεχούς Χρόνου (ΣΣΧ) (2/2) Για τον υπολογισμό της ενέργειας και της ισχύος στο χρονικό διάστημα [, ], ισχύει αντίστοιχα: E = lim Τ Τ Τ x 2 (t) dt = x 2 (t) dt 1 P = lim Τ Τ 2T Τ x 2 (t) dt = lim 2T Τ E 67
4. Κατάταξη σημάτων ως προς την ενέργεια και την ισχύ 68
Κατάταξη σημάτων ως προς την ενέργεια και την ισχύ Ένα σήμα x(t) χαρακτηρίζεται ως: Σήμα ισχύος: όταν 0 < P av < όταν το διάστημα [t 1, t 2 ] τείνει στο άπειρο Σήμα ενέργειας: όταν η ενέργειά του στο διάστημα [, ] είναι t πεπερασμένη, δηλαδή E x = 2 t1 x 2 (t) dt <. Για να συμβαίνει αυτό, το πλάτος του σήματος θα πρέπει να φθίνει αρκετά γρήγορα προς το μηδέν στο πέρασμα του χρόνου. Σε μερικές περιπτώσεις αυτό δεν συμβαίνει, π.χ. x(t) = cos(ω 0 t) για < t <. Ένα σήμα δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σήμα ενέργειας και σήμα ισχύος, επειδή τα σήματα ενέργειας έχουν P x = 0 και τα σήματα ισχύος έχουν E x =. Ένα σήμα μπορεί να μην είναι ούτε σήμα ενέργειας, ούτε σήμα ισχύος. Τα περισσότερα σήματα που συναντάμε στην πράξη είναι είτε σήματα ενέργειας είτε σήματα ισχύος. Όλα τα περιοδικά σήματα (με εξαίρεση το x(t) = 0) είναι σήματα ισχύος. 69
Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η μέση τιμή του σήματος x(t) ως συνάρτηση των α και K. x(t) Απάντηση: Από τη γραφική παράσταση παρατηρούμε πως το σήμα x(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ και πλάτος Κ. K α 0 T 2T (t) Επομένως η μέση τιμή του στο διάστημα [t 1, t 2 ] = [0, Τ] δίνεται από τη σχέση: x t = x av = 1 t 2x T 1 t dt = x t dt = t 2 t 1 t 1 T 0 = 1 T 0 T a K dt = K T t T a 0 = K 1 a T 70
5. Απλές Πράξεις Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 71
Απλές Πράξεις Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 1. Χρονική Μετατόπιση 2. Ανάκλαση 3. Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου 4. Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός Σημάτων 72
Χρονική Μετατόπιση Σήματος (1/2) Ένα σήμα y(t) αποτελεί μία μορφή χρονικά μετατοπισμένη κατά ποσότητα χρόνου t 0 του σήματος x(t), όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί από την ποσότητα t t 0, δηλ. όταν ισχύει: y t = x t t 0 όπου το t 0 χρόνο. είναι ένας πραγματικός αριθμός που εκφράζει την ολίσθηση στο Το σήμα x(t) και η χρονικά μετατοπισμένη κατά t 0 μορφή του, y(t) (lagging). 73
Χρονική Μετατόπιση Σήματος (2/2) Η χρονική μεταβολή κατά θετικό t 0 αντιστοιχεί σε χρονική καθυστέρηση (ολίσθηση προς τα δεξιά) και είναι μια διαδικασία που συμβαίνει συνήθως κατά τη μετάδοση ενός σήματος μέσα από ένα τηλεπικοινωνιακό σύστημα. Αν η χρονική μεταβολή γίνει κατά αρνητικό t 0 τότε η χρονική μετατόπιση αντιστοιχεί σε χρονική προήγηση ή προπορεία, δηλ. η ολίσθηση του σήματος γίνεται προς τα αριστερά στον άξονα του χρόνου. Κατά την εφαρμογή της χρονικής μετατόπισης σε ένα σήμα, δεν προκύπτει μεταβολή της ενέργειάς του, ισχύει δηλαδή η σχέση: E[x(t)] = E x t t 0 74
Ανάκλαση Σήματος Ένα σήμα y(t) αποτελεί την ανάκλαση του σήματος x(t) ως προς t = 0, δηλ. ως προς τον κατακόρυφο άξονα, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί από t, δηλ. όταν ισχύει: x( t) y(t) = x( t) x( t) 0 t 0 t Σήμα συνεχούς χρόνου και η ανάκλασή του ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Η πράξη της ανάκλασης έχει ως αποτέλεσμα την εναλλαγή μεταξύ «παρελθόντος» και «μέλλοντος» ενός σήματος. Κατά την εφαρμογή της χρονικής μετατόπισης σε ένα σήμα, δεν προκύπτει μεταβολή της ενέργειάς του, ισχύει δηλαδή η σχέση: E[x(t)] = E[x( t)] 75
Αλλαγή Κλίμακας Χρόνου Σήματος Το σήμα x 1 t αποτελεί μια χρονική συστολή του σήματος x(t), αν ισχύει: x 1 t = x at a > 1 δηλ. αν η ανεξάρτητη μεταβλητή t αντικατασταθεί από την ποσότητα αt. Το σήμα x 2 t αποτελεί μια χρονική διαστολή του σήματος x(t), αν ισχύει: x 2 t = x at 0 < a < 1 (εάν μικρότερο του 0, τότε πάμε στην ανάκλαση) Η αρχή των αξόνων t = 0 παραμένει αμετάβλητη. x( t) x( 2t) x t 2 t 0 t t t 2 t 0 t 0 2 2 2t t t Αρχικό σήμα Η χρονική συστολή του Η χρονική διαστολή του Η πράξη της αλλαγής της κλίμακας του χρόνου κατά μία σταθερή α, οδηγεί στον πολλαπλασιασμό της ενέργειας του σήματος επί 1, δηλ., ισχύει: α E x t = 1 a E x t 76
Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός Σημάτων Δοθέντων δύο σημάτων συνεχούς χρόνου x 1 t και x 2 t, ορίζουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού σημάτων, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των αντίστοιχων στιγμιαίων τιμών τους, δηλ.: y t = x 1 t + x 2 t z t = x 1 t x 2 t 77
Πρόσθεση και Πολλαπλασιασμός Σημάτων Αν τα σήματα x 1 t και x 2 t δεν χαρακτηρίζονται από χρονική επικάλυψη, τότε η ενέργεια του σήματος y(t) είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών των δύο σημάτων, δηλ. ισχύει: E[y(t)] = E x 1 t + E x 2 t 78
Άσκηση 2 Ένα σήμα x(t) περιγράφεται (μαθηματική περιγραφή σήματος) από τη σχέση πολλαπλού κλάδου: x(t) = 2t + 2, 1 t < 0 2 t, 0 t < 2 0, αλλού Να περιγράψετε και να σχεδιάσετε τα παρακάτω σήματα: x t y 1 t = x t (ανάκλαση) y 2 t = x t 2 (ολίσθηση με καθυστέρηση 2) y 3 t = x t + 1 (ολίσθηση με καθυστέρηση -1 προπορεία ) y 4 t = x 2t (αλλαγή κλίμακας χρόνου επί 2) y 5 t = x t (αλλαγή κλίμακας χρόνου διά 2) 2 y 6 t = x 1 t (ανάκλαση) y 7 t = x(2t 2) (ανάκλαση) 79
Άσκηση 2 Απάντηση: Το αρχικό σήμα x(t) είναι: x t 2 Το σήμα y 1 t είναι η ανάκλαση του x(t) και υπολογίζεται αντικαθιστώντας το t με t: 1 0 2 t y 1 t = 2 t + 2, 1 t < 0 2 t, 0 t < 2 0, αλλού = 2t + 2, 1 t > 0 2 + t, 0 t > 2 0, αλλού Η γραφική παράσταση του σήματος y 1 t = t + 2, 2 t < 0 2 2t, 0 t < 1 0, αλλού = x( t): x t 2 2 0 1 t 80
Άσκηση 2 Το y 2 t είναι μια χρονικά μετατοπισμένη μορφή του x(t) y 2 t = 4 + 2t, 2 t < 1 1 t, 1 t < 1 0, αλλού x t 1 2 2 0 1 t Τα y 3 t y 3 t = και y 4 t είναι χρονική συστολή και διαστολή του x(t), αντίστοιχα: 2 + 4t, 1 2 t < 0 2 2t, 0 t < 1 0, αλλού x 2t 2 05. 1 t y 4 t = 2 + t, 2 t < 0 2 t 2, 0 t < 4 0, αλλού 2 x t 2 2 0 2 4 t 81
Άσκηση 2 Το y 5 t είναι μια χρονικά μετατοπισμένη μορφή προς τα δεξιά του σήματος y 1 t, δηλαδή της ανάκλασης του σήματος x(t). x 1 t 2 1 0 1 2 t Το y 6 t = x 2 t 1 αποτελεί μια διαστολή του σήματος x(t 1) δηλαδή της χρονικά μετατοπισμένης μορφής του σήματος x(t). x 2t 2 2 0 1 2 t 82
6. Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 83
Ιδιότητες Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 1. Απλά και Στοχαστικά Σήματα 2. Αιτιατά και μη Αιτιατά Σήματα 3. Σήματα Πεπερασμένου Πλάτους 4. Σήματα Πεπερασμένης και Σήματα Άπειρης Διάρκειας 5. Άρτια και Περιττά σήματα 6. Περιοδικά Σήματα 84
Απλά και Στοχαστικά Σήματα Απλό ή αιτιοκρατικό ονομάζεται ένα σήμα για το οποίο είμαστε πάντα σε θέση να γράψουμε μία μαθηματική σχέση που να το περιγράφει πλήρως σε κάθε χρονική στιγμή, άρα και να το προσδιορίσουμε πριν συμβεί. Αντίθετα, στοχαστικό ή τυχαίο ονομάζεται ένα σήμα το οποίο δεν είναι δυνατό να το προσδιορίσουμε επακριβώς πριν συμβεί, δηλαδή δεν μπορούμε να γράψουμε μία αναλυτική μαθηματική έκφραση που να το περιγράφει. Στην περίπτωση αυτή εντάσσεται ο θόρυβος καθώς και πληθώρα άλλων πραγματικών σημάτων. Για τη μελέτη των σημάτων αυτών χρησιμοποιείται η Θεωρία Πιθανοτήτων. 85
Αιτιατά και μη Αιτιατά Σήματα Ένα σήμα x(t) λέγεται αιτιατό εάν είναι μηδενικό για αρνητικές τιμές του χρόνου t (δεν έχει παρελθόν), δηλαδή αν ισχύει: x(t) = 0 για t < 0 Αυτή η διαπίστωση ισχύει γενικά, καθώς τα σήματα που μελετώνται στην πράξη προέρχονται από φυσικά συστήματα και προφανώς σε μεταγενέστερες χρονικές στιγμές από τη στιγμή έναρξης λειτουργίας του συστήματος, η οποία θεωρείται ως η χρονική στιγμή t = 0. x t x t t t Αιτιατό Σήμα Μη αιτιατό σήμα 86
Σήματα Πεπερασμένου Πλάτους Ένα σήμα x(t) λέγεται πεπερασμένου πλάτους όταν ισχύει: x(t) < για καθε t Ισοδύναμα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον όρο σήμα «φραγμένου πλάτους» 87
Σήματα Πεπερασμένης Διάρκειας και Σήματα Άπειρης Διάρκειας Ένα σήμα x(t) λέγεται σήμα πεπερασμένης διάρκειας όταν: x(t) = 0, t T 1 0, t T 2 όπου τα T 1 και T 2, (T 1 < T 2 ) είναι πεπερασμένοι αριθμοί. Αν τουλάχιστον ένα από τα T 1 και T 2 γίνει ίσο με το άπειρο, τότε το σήμα έχει άπειρη διάρκεια. 88
Άρτια και Περιττά Σήματα (1/2) Ένα σήμα x(t) λέγεται άρτιο και παρουσιάζει άρτια συμμετρία (συμμετρία με βάση τον άξονα y), όταν ισχύει: x( t) = x(t) < t < + Ένα σήμα x(t) λέγεται περιττό και παρουσιάζει περιττή συμμετρία (συμμετρία με βάση κέντρο συμμετρίας ίσο και αντίθετο--), όταν ισχύει: x( t) = x(t) < t < + x( t) x( t) 0 t Άρτιο Σήμα 0 Περιττό σήμα t 89
Άρτια και Περιττά Σήματα (2/2) Κάθε σήμα μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα ενός άρτιου x e t και ενός περιττού σήματος x o (t), δηλ. ως: x(t) = x e t + x o t όπου τα x e t και x o t δίνονται από τις σχέσεις: ανάκλαση x e t = 1 2 x t + x t ανάκλαση x ο t = 1 [x(t) x( t)] 2 Αποδεικνύεται ότι: το γινόμενο δύο άρτιων ή δύο περιττών σημάτων είναι ένα άρτιο σήμα το γινόμενο ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος είναι ένα περιττό σήμα 90
Περιοδικά Σήματα (1/3) Ένα αναλογικό σήμα x(t) λέγεται περιοδικό αν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ έτσι ώστε να ισχύει x(t) = x(t + T) για κάθε t. Η ποσότητα Τ λέγεται περίοδος και μετριέται σε sec. Η ελάχιστη περίοδος ονομάζεται και θεμελιώδης περίοδος ( Τ 0 ) και ορίζει τη μικρότερη χρονική διάρκεια μετά την οποία το περιοδικό σήμα θα αρχίσει να επαναλαμβάνεται. Η ποσότητα f = 1/T ονομάζεται συχνότητα, δίνει τον αριθμό των επαναλήψεων του σήματος στη μονάδα του χρόνου (sec) και μετριέται σε Hertz (Hz), ενώ η ποσότητα ω = 2π/Τ = 2πf ονομάζεται κυκλική συχνότητα και μετριέται σε rad. 91
Περιοδικά Σήματα (2/3) Κλασσικό παράδειγμα περιοδικών σημάτων είναι τα ημιτονοειδή και συνημιτονοειδή σήματα, δηλαδή αυτά που περιγράφονται από μία σχέση της μορφής x(t) = A cos (ω 0 t + θ), όπου A είναι το πλάτος φάσης ή απλά φάση. cos 0 4 x t A t και θ είναι η γωνία A 0 A T 0 t Το ημιτονοειδές σήμα x(t) = A cos(ω 0 t + π/4) 92
Περιοδικά Σήματα (3/3) Έστω x(t) και y(t) περιοδικά σήματα με θεμελιώδεις περιόδους T 1 και T 2, αντίστοιχα. Θα μελετήσουμε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες το άθροισμα z(t) = x t + y(t) είναι περιοδικό σήμα. Εφόσον τα x(t) και y(t) είναι περιοδικά με θεμελιώδεις περιόδους T 1 και T 2 αντίστοιχα, ισχύει: x t = x t + mt 1, m = 1,2,.... y t = y t + nt 2, n = 1,2,.... Αν το άθροισμα z(t) = x t + y(t) είναι περιοδικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο T, τότε θα ισχύει z t = z t + T, η οποία γράφεται ως: z t + T = x t + mt 1 + y t + nt 2 Η σχέση αυτή ικανοποιείται μόνο όταν ισχύει: T 1 T = mt 1 = nt 2 = n T 2 m που αποτελεί και την αναγκαία προϋπόθεση για να είναι περιοδικό σήμα το άθροισμα δύο περιοδικών σημάτων. 93
Άσκηση 3 Να προσδιορίσετε την άρτια και την περιττή συνιστώσα του σήματος συνεχούς χρόνου x t = e jωt Απάντηση: Από τις εξισώσεις ορισμού των συνιστωσών x e t σήμα x t = e jωt και χρησιμοποιώντας τους τύπους του Euler: και x o (t) για το e +jωt = cos ωt + j sin ωt και e jωt = cos ωt j sin ωt έχουμε για την άρτια συνιστώσα: x e t = 1 2 x t + x t = 1 2 ejωt + e jωt = 1 2 cos ωt + j sin ωt + cos ωt j sin ωt = 1 2 cos ωt = cos ωt 2 94
Άσκηση 3 Ομοίως και για την περιττή: x o t = 1 2 x t x t = 1 2 ejωt e jωt = 1 2 cos ωt + j sin ωt cos ωt + j sin ωt = 1 2j sin ωt = j sin ωt 2 95
Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή Συνάρτηση Δέλτα 3. Η Συνάρτηση Μοναδιαίας Κλίσης (Ράμπα) 4. Εκθετικά Σήματα 5. Ημιτονοειδή Σήματα 6. Τετραγωνικός Παλμός 7. Τριγωνικός Παλμός 8. Συνάρτηση Δειγματοληψίας 9. Τραίνο κρουστικών συναρτήσεων (σήμα Comb) 96
1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 97
Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση Η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος ή μοναδιαία βηματική συνάρτηση συνεχούς χρόνου ή συνάρτηση του Heaviside, ορίζεται από τη σχέση: u t = 0, t < 0 1, t > 0 Η συνάρτηση u(t) είναι ασυνεχής εφόσον δεν ορίζεται στο t = 0. u( t) 1 0 t Συνάρτηση μοναδιαίου βήματος u(t) (Heaviside) 98
Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση Εναλλακτικά η μοναδιαία βηματική συνάρτηση ορίζεται ως το όριο μίας ακολουθίας συναρτήσεων u n (t), δηλαδή ως u t = lim Δ 0 u Δ t, όπου: u Δ (t) = 0, t < 0 t Δ, 0 t Δ 1, t Δ u ( t) 1 0 t Η συνεχής προσέγγιση της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος 99
Ιδιότητες Μοναδιαίας Βηματικής Συνάρτησης Οι πιο σημαντικές ιδιότητες της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης είναι: (α) Η πράξη της κλιμάκωσης: Α u(t) = 0, t < 0 Α, t > 0 (β) Η πράξη της χρονικής μετατόπισης κατά μία ποσότητα χρόνου t 0 : u(t t 0 ) = 0, t < t 0 1, t > t 0 100
Ιδιότητες Μοναδιαίας Βηματικής Συνάρτησης (γ) Η πράξη της αλλαγής μεταβλητής: u( t) = 0, t > 0 1, t < 0 Aν προσθέσουμε τις u(t) και u( t), βρίσκουμε : u(t) u( t) = 1, t < 0 0, t = 0 1, t > 0 = sgn t η οποία ονομάζεται συνάρτηση προσήμου, επειδή επιστρέφει τις τιμές +1, 0 και 1, αν η τιμή του t είναι θετική, μηδενική ή αρνητική, αντίστοιχα. 101
Άσκηση 1 Να σχεδιάσετε το σήμα x(t) = u(t + 2) u(t 1) Απάντηση: Στα σχήματα (α) (δ) απεικονίζονται τα βήματα δημιουργίας του x(t) (σχήμα δ), το οποίο είναι το άθροισμα των u(t), u(t 1) και u(t + 2) (σχήματα α, β και γ, αντίστοιχα). (α) (β) (γ) (δ) 102
2. Κρουστική Συνάρτηση ή Συνάρτηση Δέλτα 103
Κρουστική Συνάρτηση Η παράγωγος της συνάρτησης u Δ (t) είναι: ( t) δ Δ t = du Δ t dt = 0, t < 0 1/Δ, 0 t Δ 0, t Δ 1 0 t Όταν Δ 0 η χρονική διάρκεια του παλμού ελαττώνεται και αυξάνεται το ύψος του, το εμβαδόν όμως παραμένει σταθερό και ίσο με τη μονάδα. Αν πάρουμε το όριο της δ Δ t όταν Δ 0 oρίζουμε τη συνάρτηση Δέλτα ή συνάρτηση Dirac ή κρουστική συνάρτηση δ(t) από τη σχέση: δ t = lim Δ 0 δ Δ t ( t) 1 0 t 104
Κρουστική Συνάρτηση Η δ(t) δεν είναι συνάρτηση υπό την αυστηρή μαθηματική έννοια, διότι δεν ορίζεται για t = 0. Εναλλακτικά, μελετούμε τη συνάρτηση δ(t) ως έναν τελεστή που επενεργεί σε άλλες συναρτήσεις οι οποίες είναι ομαλές στο σημείο 0 και τις οποίες ονομάζουμε συναρτήσεις δοκιμής. Έτσι, μπορούμε να εκφράσουμε (όχι να ορίσουμε) τη συνάρτηση δ(t) ως: δ t = 0 για t 0 + δ t φ t dt = φ(0) όπου φ(t) είναι μία συνάρτηση δοκιμής. 105
Κρουστική Συνάρτηση Ο προηγούμενος ορισμός μπορεί να γενικευθεί ώστε να περιγράψει την χρονικά μετατοπισμένη συνάρτηση δ(t t 0 ): + δ t t 0 φ t dt = + δ t t 0 φ t 0 dt = φ(t 0 ) + δ t t 0 dt = φ(t 0 ) Η παραπάνω σχέση περιγράφει το μαθηματικό μοντέλο της διαδικασίας της δειγματοληψίας, η οποία αποτελεί το πρώτο από τα τρία στάδια μετατροπής ενός σήματος από αναλογική σε ψηφιακή μορφή. Για φ(t) = 1 έχουμε: + δ t dt = 0 + δ t dt = 1 0 Η συνάρτηση δ(t) είναι πολύ σημαντική επειδή ενώ η χρονική της διάρκεια τείνει στο μηδέν, το εμβαδόν της παραμένει ίσο με την μονάδα 106
Ιδιότητες Κρουστικής Συνάρτησης (1/2) δ(t) = δ( t) δ t = du t dt t u(t) = δ τ dτ φ t δ t t 0 = φ t 0 δ t t 0 δ(αt) = 1 a δ(t) + 1 δ at φ t dt = φ 0 a + δ t φ t dt = φ 0 + δ t dt = 0 107
Ιδιότητες Κρουστικής Συνάρτησης (2/2) + δ t e jωt dt = 1 + + Α δ t dt = Α δ t t0 dt = A φ t δ (t) = φ (0) δ(t) + φ(0) δ (t) t1 t 2 δ t t 0 φ t dt = φ t 0, t 1 < t 0 < t 2 0, t 0 < t 1, t 0 > t 2 t1 t 2 δ(τ t)δ t t 0 dt = δ t t 0, t 1 < t 0 < t 2 108
3. Συνάρτηση Μοναδιαίας Κλίσης (Ράμπα) 109
Συνάρτηση Μοναδιαίας Κλίσης Η συνάρτηση μοναδιαίας κλίσης συνεχούς χρόνου, ορίζεται από τη σχέση: r t = 0, t < 0 t, t 0 η r t = t u(t) Ισχύουν οι σχέσεις: dr t dt = d [t u t ] = u t dt r t = u τ d(τ) δ t = d r t dt 110
4. Εκθετικά Σήματα 111
Εκθετικά Σήματα Γενικός ορισμός εκθετικού σήματος: x(t) = Aβ st Όπου: Το Α ονομάζεται πλάτος του σήματος Το β είναι κάποιος πραγματικός αριθμός, με συνηθέστερη τιμή β = e = 2,171828. Το s μπορεί να παίρνει πραγματικές (θετικές ή αρνητικές) ή μιδαγικές τιμές και καθορίζει σε σημαντικό βαθμό τη συμπεριφορά του σήματος. Ακολουθεί ανάλυση με βάση τις διαφορετικές τιμές του s. 112
(α) s αρνητικός Πραγματικά Εκθετικά Σήματα Αν s = 1/T, το σήμα γράφεται x(t) = Ae t/t. Το Τ ονομάζεται σταθερά χρόνου και περιγράφει την ταχύτητα με την οποία ελαττώνεται το σήμα. Για t = T έχουμε: Για t = 5T έχουμε: x T x T = A e 1 = 0,368 A = A e 5 = 0,0067 A Παρατηρούμε ότι μετά από την πάροδο πέντε (5) μονάδων χρόνου, το εκθετικό σήμα λαμβάνει μία αμελητέα τιμή σε σχέση με το πλάτος του. 113
Πραγματικά Εκθετικά Σήματα (β) s θετικός Αν s = 1/T, το σήμα γράφεται x t = Ae t/t. Τα συμπεράσματα είναι ανάλογα με την προηγούμενη περίπτωση. Εκθετικό σήμα για s = 1/T Εκθετικό σήμα για s = 1/T 114
Σχέσεις του Euler Στην ανάλυση των μιγαδικών συναρτήσεων χρησιμοποιείται συχνά η σχέση του Euler, δηλαδή: e jθ = cosθ + jsinθ Θέτοντας στην παραπάνω σχέση θ = θ έχουμε: e jθ = cosθ jsinθ Προσθαφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, αποκτούμε τις αντίστροφες σχέσεις του Euler που εκφράζουν τις συναρτήσεις συνημιτόνου και ημιτόνου σε ισοδύναμες μιγαδικές μορφές: cosθ = 1 2 ejθ + e jθ j sinθ = 1 2 ejθ e jθ 115
Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα Αν s = jω 0 το σήμα γράφεται x(t) = A e jω 0t, όπου το j = 1 είναι η φανταστική μονάδα. Τα εκθετικά μιγαδικά σήματα δεν έχουν φυσική υπόσταση αλλά χρησιμοποιούνται στη Θεωρία Σημάτων, καθώς απλουστεύουν την άλγεβρα των πράξεων. Με βάση τις σχέσεις του Euler, έχουμε: A cos ω 0 t + φ = Α Re{e j ω0t+φ } A sin ω 0 t + φ = Α Im{e j ω0t+φ } όπου Re{. } και Im{. } το πραγματικό και το φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα. Επομένως, ένα σήμα συνημιτόνου μπορεί να θεωρηθεί ως το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού εκθετικού σήματος και ένα ημιτονικό ως το φανταστικό μέρος του. 116
Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα Ένα μιγαδικό εκθετικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί επίσης και ως: x t = A e j ω 0t+φ = X e jω 0t όπου η ποσότητα X = A e jφ ονομάζεται μιγαδικό πλάτος του σήματος. Επειδή το σήμα μπορεί να γραφεί και ως: x t = A e j ω 0t+φ = Α cosω 0 t + j Α sin ω 0 t Συμπεραίνουμε ότι το μιγαδικό εκθετικό σήμα x(t) είναι ένα περιοδικό σήμα με θεμελιώδη περίοδο Τ 0 = 2π/ω 0 (sec). Η συχνότητα του σήματος δίνεται από τη σχέση f 0 = ω 0 /2π (Hertz), όπου ω 0 (rad/sec) είναι η κυκλική συχνότητα. Η ποσότητα φ ονομάζεται φάση και είναι ένα μέτρο της σχετικής θέσης στο χρόνο για χρονικό διάστημα μίας περιόδου. 117
Άσκηση 2 Να αποδειχθεί πως το εκθετικό μιγαδικό σήμα x t θεμελιώδη περίοδο T 0 = 2π ω 0 = e jω 0t είναι περιοδικό με Απάντηση: Αν είναι περιοδικό το x t θα ικανοποιεί τη σχέση x t + T = x t, όπου Τ θετικός αριθμός. Άρα: e jω 0 t+t = e jω 0t e jω 0t e jω 0T = e jω 0t e jω 0T = 1 Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Για ω 0 = 0 έχουμε ένα σήμα σταθερών τιμών x t = 1 και επομένως είναι περιοδικό με οποιαδήποτε τιμή περιόδου. Για ω 0 0 το εκθετικό μιγαδικό σήμα είναι θα περιοδικό για εκείνες τις τιμές της περιόδου T που ικανοποιούν τη σχέση ω 0 T = 2πm. Δηλαδή: T = m 2π, m = 1, 2, ω 0 Επομένως, η θεμελιώδης περίοδος του σήματος αντιστοιχεί στην τιμή m = 1 και είναι η T 0 = 2π ω 0. 118
5. Ημιτονοειδή Σήματα 119
Ημιτονοειδή Σήματα Η γενική σχέση που περιγράφει ένα ημιτονοειδές σήμα συνεχούς χρόνου είναι: x t = A cos ω 0 t + θ = A sin ω 0 t + θ + π 2 Οι συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου εμφανίζουν μία σταθερή διαφορά φάσης π/2 (90 ο ). Το ημιτονοειδές σήμα είναι περιοδικό με θεμελιώδη περίοδο Τ 0 = 2π/ω 0 (sec) και συχνότητα f 0 = ω 0 /2π = 1/Τ 0 (Hertz). Η ποσότητα φ ονομάζεται γωνία φάσης ή απλά φάση. Τα ημιτονοειδή είναι μία ιδιαίτερα χρήσιμη κατηγορία περιοδικών σημάτων, επειδή αντιστοιχούν σε πολλά σήματα του πραγματικού κόσμου, όπως τα ηχητικά κύματα, τα ηλεκτρικά ρεύματα, κλπ. Επιπλέον, σήματα που δεν είναι ημιτονοειδή μπορούν να γραφούν ως άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων με την ανάλυση Fourier. 120
6. Τετραγωνικός Παλμός 121
Τετραγωνικός Παλμός Τετραγωνικός παλμός διάρκειας α και πλάτους Α: Π α (t) = Α, t < a 0, t > a Ο τετραγωνικός παλμός μπορεί να παραχθεί από την αφαίρεση δύο συναρτήσεων μοναδιαίου βήματος, δηλαδή από τη σχέση: Π α t = Α[ u t + a u t a ] Επαναλαμβανόμενοι παλμοί με περίοδο Τ 0 δημιουργούν ένα «τραίνο παλμών», το οποίο είναι περιοδικό σήμα με περίοδο T 0 και διάρκεια παλμού α. Το τραίνο παλμών έχει ενδιαφέρον στις ψηφιακές επικοινωνίες επειδή προσεγγίζει τις μεταδιδόμενες παλμοσειρές που περιγράφουν τα δείγματα ενός ψηφιακού σήματος. 122
7. Τριγωνικός Παλμός 123
Τριγωνικός Παλμός Τριγωνικός παλμός διάρκειας α και πλάτους Α: Λ α (t) = Α 1 t a, t < a 0, t > a 124
8. Συνάρτηση Δειγματοληψίας 125
Συνάρτηση Δειγματοληψίας Συνάρτηση δειγματοληψίας: sinc t = sin t /t 1 t 0 t = 0 Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση sinc(t) έχει άρτια συμμετρία Διέρχεται περιοδικά από το μηδέν για t = ±nπ, n = 1,2 Το ύψος των δευτερευόντων λοβών μειώνεται ασυμπτωτικά προς το μηδέν. Οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές της συμβαίνουν περίπου στο μέσο των αποστάσεων μεταξύ των σημείων μηδενισμού, δηλαδή περίπου για t = ± n + 1 2 π, όπου sint = 1. 126
9. Τραίνο κρουστικών συναρτήσεων (σήμα Comb) 127
Τραίνο κρουστικών συναρτήσεων (comb) Αν επαναλάβουμε τη συνάρτηση δ(t) με περίοδο T 0, δημιουργούμε το «τραίνο κρουστικών συναρτήσεων» (συνάρτηση comb): comb(t) = A + k= δ t kt 0 Αποδεικνύεται ότι η σειρά του δεξιού μέλους, συγκλίνει. Έτσι, η συνάρτηση comb(t) είναι δυνατό να οριστεί. 128
Δειγματοληψία Σήματος Συνεχούς Χρόνου Με τη συνάρτηση comb(t) υλοποιούμε τη δειγματοληψία ενός σήματος συνεχούς χρόνου x(t) με περίοδο δειγματοληψίας Τ 0 ίση με την περίοδο της comb(t). Το σήμα συνεχούς πλάτους και διακριτού χρόνου y(t), που προκύπτει από τη δειγματοληψία του σήματος x(t) με περίοδο δειγματοληψίας Τ 0, είναι: y(t) = + k= x kt 0 δ t kt 0 = x t + k= δ t kt 0 Οι συναρτήσεις δ t kt 0 επιτρέπουν την καταγραφή των τιμών του σήματος x(t) κατά τις χρονικές στιγμές nt 0 όπου n =,, 1,0,1,,, οδηγώντας έτσι στη δειγματοληψία του σήματος x(t). 129
Δειγματοληψία Σήματος Συνεχούς Χρόνου Διαδικασία δειγματοληψίας αναλογικού σήματος 130
References 1. Σήματα και Συστήματα (Θεωρία), Παρασκευάς Μιχαήλ, Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών» Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας 2. Μ. Παρασκευάς «Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με MATLAB», Εκδόσεις Τζιόλα, 2014 3. Α. Μάργαρης «Σήματα και Συστήματα Συνεχούς & Διακριτού Χρόνου», Εκδόσεις Τζιόλα, 2012. 4. Σ. Θεοδωρίδης, Κ.Μπερμπερίδης, Λ.Κοφίδης, «Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων», Εκδόσεις Τυπωθήτω, 2003. 5. Α. Παλαμίδης, Α.Βελώνη, «Σήματα και Συστήματα με MATLAB», Σύγχρονη Εκδοτική, 2010. 6. Α. Λιάβας, «Σήματα και Συστήματα», Εκπαιδευτικές Σημειώσεις, 2005. 7. Γ. Μουστακίδης, «Βασικές Τεχνικές Επεξεργασίας Σημάτων», Εκδόσεις Τζιόλα, 2003. 131
Επεξεργασία Σήματος Δρ. Κωνσταντίνος Δεμερτζής 132