Τεχνικές αριστοποίησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Τεχνικές αριστοποίησης Εισαγωγή Τα µοντέλα αριστοποίησης, ευρέως γνωστά ως µοντέλα µαθηµατικού προγραµµατισµού, είναι αναµφίβολα η δηµοφιλέστερη τεχνική λήψης αποφάσεων στο χώρο της Επιχειρησιακής Έρευνας. Τα µοντέλα αριστοποίησης χρησιµοποιούνται κυρίως για την άριστη κατανοµή πόρων µεταξύ εναλλακτικών δραστηριοτήτων, κάτω από συνθήκες βεβαιότητας. ηλαδή, τα µοντέλα αριστοποίησης επικεντρώνονται στον εντοπισµό του άριστου προγράµµατος, µε το οποίο κατανέµονται κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο οι περιορισµένοι διαθέσιµοι πόροι ή µέσα µιας οικονοµικής µονάδας στις ανταγωνιστικές δραστηριότητές της, ώστε να ικανοποιούνται οι προκαθορισµένοι στόχοι της. Χαρακτηριστικά προβλήµατα απόφασης αυτής της µορφής είναι τα ακόλουθα: Η κατανοµή σε διάφορες παραγωγικές διαδικασίες του εργατικού δυναµικού, του τεχνολογικού εξοπλισµού και των πρώτων υλών. Η κατανοµή του κεφαλαίου σε διάφορα επενδυτικά σχέδια. Ο προγραµµατισµός της διακίνησης των προϊόντων µιας επιχείρησης προς τους πελάτες της. Η κατανοµή υδατικών πόρων σε διάφορες ανταγωνιστικές χρήσεις. Το επιδιωκόµενο αποτέλεσµα αυτών των αποφάσεων µπορεί να αφορά τη µεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους από πωλήσεις, την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους παραγωγής, την ελαχιστοποίηση των αρνητικών επιπτώσεων στο περιβάλλον, κ.λ.π. Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί µια εισαγωγή στις τεχνικές αριστοποίησης. Εξετάζονται ορισµένα χαρακτηριστικά προβλήµατα αριστοποίησης,

198 Κεφάλαιο 9 παρουσιάζεται ο τρόπος χειρισµού τους στο περιβάλλον του Excel και δίνεται έµφαση στη χρήση του ισχυρού εργαλείου «Επίλυση» (Solver) που παρέχει το Excel για την ανεύρεση της άριστης λύσης. Θεωρητικές έννοιες Ένα µοντέλο αριστοποίησης αποτελείται από µια αντικειµενική συνάρτηση και από ένα σύνολο περιορισµών. Η αντικειµενική συνάρτηση εκφράζει το στόχο που επιχειρείται να µεγιστοποιηθεί ή να ελαχιστοποιηθεί και είναι µια σχέση µεταξύ µιας ή περισσοτέρων µεταβλητών που ονοµάζονται µεταβλητές απόφασης. Οι περιορισµοί (δυναµικότητας, διαθεσιµότητας πόρων, τεχνολογίας, κ.λ.π.) εκφράζουν τους περιορισµούς του περιβάλλοντος στο οποίο αναπτύσσεται η δραστηριότητα. Κάθε συνδυασµός τιµών που µπορούν να λάβουν οι µεταβλητές απόφασης ονοµάζεται λύση του προβλήµατος. Όταν οι τιµές αυτές ικανοποιούν τους περιορισµούς του προβλήµατος, η λύση ονοµάζεται εφικτή λύση. Ανάλογα µε τη µορφή της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών, ο µαθηµατικός προγραµµατισµός διακρίνεται στις ακόλουθες κατηγορίες: Γραµµικός προγραµµατισµός, όπου τόσο η αντικειµενική συνάρτηση όσο και οι περιορισµοί είναι γραµµικές σχέσεις. Ακέραιος προγραµµατισµός, όπου οι µεταβλητές απόφασης µπορούν να πάρουν µόνο ακέραιες τιµές ή αναπαριστούν αποφάσεις «λογικής» και όχι φυσικά µεγέθη. Μη γραµµικός προγραµµατισµός, όπου κάποιες από τις συναρτήσεις του προβλήµατος (αντικειµενική συνάρτηση, περιορισµοί) είναι µη-γραµµικές. Παραδοσιακά, τα προβλήµατα αριστοποίησης παρουσιάζονται µε τη µορφή αλγεβρικών µοντέλων, όπου η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί διατυπώνονται ως αλγεβρικές εξισώσεις και ανισώσεις µεταξύ των µεταβλητών απόφασης. Ο χειρισµός προβληµάτων αριστοποίησης µε τη βοήθεια του Excel απαιτεί ένα διαφορετικό τρόπο διατύπωσης. Αντί της χρήσης µαθηµατικών συµβόλων για την αναπαράσταση των µεταβλητών απόφασης και αλγεβρικών σχέσεων για τον καθορισµό της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών, ένα µοντέλο αριστοποίησης στο Excel στηρίζεται αποκλειστικά στη χρήση κελιών ενός υπολογιστικού φύλλου και κατάλληλων τύπων που εισάγονται σ αυτά. Για την επίλυση του µοντέλου και την ανεύρεση της βέλτιστης λύσης, το Excel διαθέτει ένα ισχυρό εργαλείο, το Solver.

Τεχνικές αριστοποίησης 199 Επίλυση προβληµάτων αριστοποίησης µε το Excel Εξετάζεται ένα απλό πρόβληµα παραγωγής και παρουσιάζεται ο τρόπος κατάστρωσης και επίλυσής του µε τη βοήθεια του Excel. Προβλήµατα του τύπου αυτού εµφανίζονται συχνά όταν µια σειρά πόρων (πρώτες ύλες, εργατικά, κλπ.) καταναλώνονται για την παραγωγή ενός αριθµού προϊόντων. Με την εφαρµογή µεθόδων αριστοποίησης είναι δυνατό να καθοριστεί ο βέλτιστος συνδυασµός πόρων που οδηγεί σε µεγιστοποίηση του κέρδους ή ελαχιστοποίηση του κόστους παραγωγής. Μία βιοτεχνία επίπλων κατασκευάζει τέσσερα είδη τραπεζιών. Κάθε τραπέζι απαιτεί έναν αριθµό ωρών λειτουργίας της µηχανής παραγωγής, έναν αριθµό ανθρωποωρών και έναν αριθµό µονάδων ξύλου. Στον πίνακα 9.1 παρουσιάζονται οι απαιτήσεις αυτές και το κέρδος (σε ) από την πώληση κάθε τραπεζιού. Για την επόµενη εβδοµάδα, η βιοτεχνία διαθέτει 400 ώρες λειτουργίας της µηχανής, 600 ανθρωποώρες και 1.000 µονάδες ξύλου. Η αγορά θέτει ορισµένους περιορισµούς σχετικά µε το µέγιστο αριθµό τραπεζιών που µπορούν να πουληθούν. Συγκεκριµένα, είναι αδύνατο να πουληθούν πάνω από 100 τραπέζια τύπου 1, 200 τραπέζια τύπου 2, 50 τραπέζια τύπου 3 και 100 τραπέζια τύπου 4. Το πρόβληµα είναι η ανεύρεση του αριθµού των τραπεζιών κάθε τύπου που πρέπει να παραχθούν ώστε να µεγιστοποιηθεί το κέρδος της βιοτεχνίας. Πίνακας 9.1 Απαιτήσεις πόρων και µοναδιαία κόστη τραπεζιών. Τύπος Τραπεζιού Ώρες Μηχανής Ανθρωποώρες Μονάδες Ξύλου Μοναδιαίο Κέρδος Τραπέζι 1 2 4 6 50 Τραπέζι 2 1 2 2 17 Τραπέζι 3 3 1 1 36 Τραπέζι 4 2 2 2 25 Αλγεβρική διατύπωση Πριν παρουσιαστεί ο τρόπος επίλυσης του προβλήµατος µε το Excel, δίνεται η κλασική διατύπωσή του σε αλγεβρική µορφή. Αν µε x, 1 x και 2, x3 x 4 συµβολιστεί ο αριθµός των παραγόµενων τραπεζιών κάθε τύπου, το πρόβληµα διατυπώνεται ως ακολούθως:

200 Κεφάλαιο 9 Να µεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: Υπό τους περιορισµούς: 50 x1 + 17 x2 + 36x3 + 25x 4 (9.1) 2x1 + x2 + 3x3 + 2x4 400 (ώρες µηχανής) (9.2) 4x1 + 2x2 + x3 + 2x4 600 6x1 + 2x2 + x3 + 2x4 1.000 (ανθρωποώρες) (9.3) (µονάδες ξύλου) (9.4) x1 100 (πωλήσεις τραπεζιού 1) (9.5) x2 200 (πωλήσεις τραπεζιού 2) (9.6) x3 50 (πωλήσεις τραπεζιού 3) (9.7) x4 100 (πωλήσεις τραπεζιού 4) (9.8) x,x,x,x 1 2 3 4 0 (µη-αρνητικοί περιορισµοί) (9.9) Η σχέση (9.1) αντιπροσωπεύει το συνολικό κέρδος από την πώληση των τραπεζιών και είναι η αντικειµενική συνάρτηση. Οι µεταβλητές x, 1 x 2, x3 και x 4 αποτελούν τις µεταβλητές απόφασης. Οι υπόλοιπες ανισότητες αντιπροσωπεύουν τους περιορισµούς του προβλήµατος. Στάδια επίλυσης Η επίλυση ενός προβλήµατος αριστοποίησης µε τη βοήθεια του Excel περιλαµβάνει τα ακόλουθα στάδια: 1. Κατάστρωση του µοντέλου. Αφορά στην εισαγωγή, µε κατάλληλο τρόπο, των δεδοµένων εισόδου του προβλήµατος, των δοκιµαστικών τιµών των µεταβλητών απόφασης και των τύπων που υπολογίζουν την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης και των περιορισµών. Η διευθέτηση των στοιχείων αυτών στο φύλλο εργασίας δεν είναι απαραίτητο να ακολουθεί τον τρόπο αλγεβρικής διατύπωσης του προβλήµατος. 2. Χρήση του Solver. Ορίζονται, το κελί που αντιπροσωπεύει την αντικειµενική συνάρτηση, τα κελιά που αντιπροσωπεύουν τις µεταβλητές σχεδιασµού και οι περιορισµοί του προβλήµατος. Ο

Τεχνικές αριστοποίησης 201 Σχήµα 9.1 Το µοντέλο του προβλήµατος παραγωγής τραπεζιών. Solver υπολογίζει τις βέλτιστες τιµές των µεταβλητών σχεδιασµού και τις αντικαθιστά στα αντίστοιχα κελιά. Το στάδιο αυτό είναι συνήθως απλό, προϋποθέτει όµως τη σωστή κατάστρωση του µοντέλου στο πρώτο στάδιο. Κατάστρωση του µοντέλου Στο σχήµα 9.1 παρουσιάζεται το µοντέλο του προβλήµατος διάθεσης πόρων που παρουσιάστηκε παραπάνω (αρχείο BLEND.XLS). Συνίσταται από τα ακόλουθα στοιχεία: εδοµένα εισόδου. Στην περιοχή Β5:Ε8 εισάγονται οι απαιτήσεις πόρων για κάθε τραπέζι και τα αντίστοιχα µοναδιαία κέρδη. Στην περιοχή Β14:Ε14 εισάγονται οι τιµές ζήτησης κάθε τραπεζιού. Τέλος, στα κελιά D18:D20 εισάγονται οι διαθέσιµες ποσότητες για κάθε πόρο. Επίπεδα παραγωγής. Στα κελιά Β12:Ε12 εισάγονται τυχαίες τιµές για τις µεταβλητές απόφασης (αριθµός παραγόµενων τραπεζιών κάθε τύπου). Μπορούν να χρησιµοποιηθούν οποιεσδήποτε τιµές, ακόµη και

202 Κεφάλαιο 9 αν δεν ικανοποιούνται οι περιορισµοί του προβλήµατος. Ο Solver θα υπολογίσει τις βέλτιστες τιµές. Χρήση πόρων. Στο κελί Β18 εισάγεται ο τύπος: =SUMPRODUCT(B5:E5;$B$12:$E$12) και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β20. Ο παραπάνω τύπος υπολογίζει το συνολικό αριθµό ωρών λειτουργίας της µηχανής που απαιτείται για το τρέχον επίπεδο παραγωγής. Αντίστοιχα, οι τύποι στα κελιά Β19 και Β20 υπολογίζουν το συνολικό αριθµό ανθρωποωρών και µονάδων ξύλου. Κέρδη. Στο κελί Β24 εισάγεται ο τύπος =B8*B12 και αντιγράφεται προς τα δεξιά µέχρι το κελί Ε24. Οι τύποι αυτοί υπολογίζουν τα κέρδη για κάθε τύπο τραπεζιού. Επίσης, στο κελί F24 υπολογίζεται το συνολικό κέρδος, εισάγοντας τον τύπο: =SUM(B24:E24) Η τιµή που προκύπτει αντιπροσωπεύει την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης για το τρέχον επίπεδο παραγωγής. Μετά την κατάστρωση του µοντέλου είναι δυνατή (και χρήσιµη) η µεταβολή των τιµών των µεταβλητών απόφασης και η εξέταση των αλλαγών που επιφέρουν αυτές οι µεταβολές. Η πρακτική αυτή στοχεύει τόσο στην κατανόηση της συµπεριφοράς του µοντέλου όσο και στον έλεγχο της ορθότητάς του. Για παράδειγµα, µπορεί να επιχειρηθεί η ανεύρεση της βέλτιστης λύσης µε δοκιµή και σφάλµα. Για το λόγο αυτό, στα κελιά Β12:Ε12, που αντιστοιχούν στις µεταβλητές απόφασης, δίνονται αρχικές τιµές ίσες µε 0. Προφανώς, όταν η συνολική παραγωγή είναι µηδενική θα είναι µηδενικά και τα συνολικά κέρδη. Επειδή τα τραπέζια τύπου 1 επιφέρουν το µεγαλύτερο κέρδος ανά µονάδα, είναι λογικό να προτιµηθούν έναντι των υπολοίπων. Έτσι στο κελί Β12 εισάγεται η τιµή 100, όση είναι η µεγαλύτερη ποσότητα που µπορεί να παραχθεί. Από τις τιµές των κελιών Β18:Β20 προκύπτει ότι κανένας από τους πόρους δεν έχει ακόµη εξαντληθεί. Ο επόµενος τύπος τραπεζιού µε το µεγαλύτερο περιθώριο κέρδους είναι ο τύπος 3. Έτσι, στο κελί D12 εισάγεται η τιµή 50 (η µέγιστη δυνατή ποσότητα που µπορεί να παραχθεί). Οι διαθέσιµοι πόροι δεν έχουν ακόµη εξαντληθεί, εποµένως είναι δυνατή η παραγωγή µερικών τραπεζιών τύπου 4 (του επόµενου τύπου µε το µεγαλύτερο περιθώριο κέρδους). Τώρα όµως, ο µέγιστος αριθµός τραπεζιών που µπορεί να παραχθεί είναι 25, επειδή έτσι εξαντλούνται πλήρως οι

Τεχνικές αριστοποίησης 203 Σχήµα 9.2 Προσπάθεια επίτευξης βέλτιστης λύσης µε δοκιµή και σφάλµα. διαθέσιµες ώρες µηχανής. Η λύση αυτή παρουσιάζεται στο σχήµα 9.2, απ όπου φαίνεται ότι το συνολικό κέρδος είναι ίσο µε 7.425. Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν η παραπάνω λύση, η οποία προέκυψε µε δοκιµή, είναι η βέλτιστη. Όπως θα φανεί στη συνέχεια, η απάντηση είναι όχι. Ακόµη και σε ένα απλό πρόβληµα όπως το συγκεκριµένο, είναι δύσκολη η ανεύρεση της βέλτιστης λύσης διαισθητικά. Η αιτία για την αποτυχία της παραπάνω προσπάθειας βρίσκεται στο γεγονός ότι τα τραπέζια µε το µεγαλύτερο περιθώριο κέρδους µπορεί να καταναλώνουν µεγάλα ποσά πόρων τα οποία θα µπορούσαν να διατεθούν για την παραγωγή άλλων λιγότερων κερδοφόρων αλλά και µε λιγότερες απαιτήσεις πόρων τραπεζιών. Ο µόνος σίγουρος τρόπος ανεύρεσης της βέλτιστης λύσης είναι µε τη χρήση του Solver. Χρήση του Solver Ο Solver ενεργοποιείται από το µενού Tools και την επιλογή Solver. Το βασικό πλαίσιο διαλόγου του εργαλείου παρουσιάζεται στο σχήµα 9.3. Για

204 Κεφάλαιο 9 Σχήµα 9.3 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα παραγωγής τραπεζιών. την ανεύρεση της άριστης λύσης στο συγκεκριµένο πρόβληµα εισάγονται οι ακόλουθες πληροφορίες: Set Target Cell. Εισάγεται το κελί που αντιστοιχεί στην αντικειµενική συνάρτηση, η τιµή του οποίου πρόκειται να µεγιστοποιηθεί: F24 Equal To. Επιλέγεται το είδος της αριστοποίησης (µεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση). Στο συγκεκριµένο παράδειγµα επιθυµείται η µεγιστοποίηση του κόστους και για το λόγο αυτό ενεργοποιείται η επιλογή Max. By Changing Cells. Εισάγονται τα κελιά που αντιστοιχούν στις µεταβλητές απόφασης: B12:E12 Subject to the Constraints. Εισάγονται οι περιορισµοί του προβλήµατος. Πατώντας το κουµπί Add εµφανίζεται ο διάλογος εισαγωγής περιορισµών, µε τη βοήθεια του οποίου καταστρώνονται οι περιορισµοί του προβλήµατος: B12:E12 <= B14:E14 B18:B20 <= D18:D20 Η πρώτη ανισότητα αντιστοιχεί στους περιορισµούς της ζήτησης (σχέσεις 9.5 έως 9.8) ενώ η δεύτερη στους περιορισµούς διάθεσης των πόρων (σχέσεις 9.2 έως 9.4). Στο σχήµα 9.4 παρουσιάζεται το πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής των περιορισµών.

Τεχνικές αριστοποίησης 205 Σχήµα 9.4 Το πλαίσιο διαλόγου εισαγωγής περιορισµών. Options. Με το κουµπί αυτό εµφανίζεται ένα πλαίσιο διαλόγου µέσω του οποίου ορίζονται οι παράµετροι επίλυσης (σχήµα 9.5). Για το συγκεκριµένο πρόβληµα ενεργοποιούνται οι επιλογές Assume Linear Model και Assume Non-Negative. Με την πρώτη επιλογή πληροφορείται ο Solver ότι το πρόβληµα είναι γραµµικό (στην πράξη, το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσµα τη χρήση του πολύ αποδοτικού αλγορίθµου simplex). Με τη δεύτερη επιλογή εξασφαλίζεται ότι τα κελιά που αντιστοιχούν στις µεταβλητές σχεδιασµού δεν θα πάρουν αρνητικές τιµές (περιορισµοί 9.9). Σχήµα 9.5 Το πλαίσιο διαλόγου των παραµέτρων του Solver. Μετά την εισαγωγή των απαραίτητων πληροφοριών και πατώντας το κουµπί Solve, ο Solver επιλύει το πρόβληµα εφαρµόζοντας µια επαναληπτική µαθηµατική διαδικασία και εµφανίζει το ακόλουθο µήνυµα:

206 Κεφάλαιο 9 Σχήµα 9.6 Το µήνυµα του εργαλείου Solver για την ανεύρεση της βέλτιστης λύσης. Ενεργοποιώντας την επιλογή Keep Solver Solution, τα κελιά που αντιστοιχούν στις µεταβλητές απόφασης παίρνουν τις βέλτιστες τιµές. Τα τελικά αποτελέσµατα παρουσιάζονται στο σχήµα 9.7. Σχήµα 9.7 Η τελική µορφή του φύλλου εργασίας µε τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος παραγωγής τραπεζιών.

Τεχνικές αριστοποίησης 207 Το βέλτιστο πρόγραµµα αντιστοιχεί στην παραγωγή 100 τραπεζιών τύπου 1, 80 τραπεζιών τύπου 2, 40 τραπεζιών τύπου 3 και κανενός τραπεζιού τύπου 4. Το συνολικό κέρδος που αντιστοιχεί στο παραπάνω επίπεδο παραγωγής είναι ίσο µε 7.800. Επίσης, για την παραγωγή των τραπεζιών καταναλώνονται όλες οι διαθέσιµες ώρες µηχανής και οι ανθρωποώρες. Όµως, απαιτούνται µόνο 800 µονάδες ξύλου από τις 1.000 διαθέσιµες. Αριστοποίηση παραγωγής διυλιστηρίου Το παράδειγµα που εξετάζεται στη συνέχεια αποτελεί ένα σύνθετο πρόβληµα παραγωγής και αναφέρεται στην αριστοποίηση του προγράµµατος παραγωγής ενός διυλιστηρίου πετρελαίου. Ένα διυλιστήριο παράγει τρεις τύπους βενζίνης (Βενζίνη 1, Βενζίνη 2 και Βενζίνη 3). Για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης χρησιµοποιείται ένα διαφορετικό µίγµα από τρεις τύπους αργού πετρελαίου (Αργό 1, Αργό 2 και Αργό 3). Στον πίνακα 9.2 δίνονται οι τιµές πώλησης κάθε βαρελιού βενζίνης ενώ στον πίνακα 9.3 το κόστος αγοράς, ο αριθµός οκτανίων και η περιεκτικότητα σε θείο κάθε τύπου αργού πετρελαίου. Οι τρεις τύποι βενζίνης που παράγονται διαφέρουν στον αριθµό οκτανίων και στην περιεκτικότητα σε θείο. Συγκεκριµένα, το µίγµα αργού πετρελαίου που χρησιµοποιείται για την παρασκευή βενζίνης τύπου 1 πρέπει να έχει µέση τιµή αριθµού οκτανίων τουλάχιστον ίση µε 10 και να περιέχει το πολύ 1% θείο. Το µίγµα αργού πετρελαίου που χρησιµοποιείται για την παρασκευή βενζίνης τύπου 2 πρέπει να έχει µέση τιµή αριθµού οκτανίων τουλάχιστον ίση µε 8 και να περιέχει το πολύ 2% θείο. Το µίγµα αργού πετρελαίου που χρησιµοποιείται για την παρασκευή βενζίνης τύπου 3 πρέπει να έχει µέση τιµή αριθµού οκτανίων τουλάχιστον ίση µε 6 και να περιέχει το πολύ 1% θείο. Η µετατροπή κάθε βαρελιού αργού πετρελαίου σε βενζίνη κοστίζει 4. Οι πελάτες του διυλιστηρίου είναι σε θέση να απορροφήσουν το πολύ 3.000 βαρέλια βενζίνης τύπου 1, 2.000 βαρέλια βενζίνης τύπου 2 και 1.000 βαρέλια βενζίνης τύπου 3 την ηµέρα. Επίσης, το διυλιστήριο µπορεί να προµηθευτεί το πολύ 3.800 βαρέλια την ηµέρα από κάθε είδος αργού πετρελαίου. Ζητείται το ηµερήσιο πρόγραµµα παραγωγής του διυλιστηρίου που µεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη.

208 Κεφάλαιο 9 Πίνακας 9.2 Τιµές πώλησης βενζίνης. Τύπος Βενζίνης Τιµή Βαρελιού Βενζίνη 1 62 Βενζίνη 2 53 Βενζίνη 3 44 Πίνακας 9.3 Κόστος και χαρακτηριστικά αργού πετρελαίου. Τύπος Αργού Κόστος Βαρελιού Αριθµός Οκτανίων Περιεχόµενο Θείο Αργό 1 39 12 0,5% Αργό 2 30 6 2,0% Αργό 3 22 8 3,0% Λύση Το βέλτιστο πρόγραµµα παραγωγής βενζίνης είναι αυτό που µεγιστοποιεί τα καθαρά κέρδη υπό τους περιορισµούς της ζήτησης σε βενζίνη, της διαθεσιµότητας σε αργό και της ποιότητας του µίγµατος αργού σε αριθµό οκτανίων και περιεχόµενο θείο. Οι µεταβλητές απόφασης του προβλήµατος είναι ο αριθµός των βαρελιών κάθε τύπου αργού πετρελαίου που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Κατά συνέπεια, ο συνολικός αριθµός των µεταβλητών απόφασης είναι εννιά. Θεωρείται ότι η ποιότητα (αριθµός οκτανίων και περιεκτικότητα σε θείο) ενός µίγµατος αργού πετρελαίου είναι γραµµική συνάρτηση της ποιότητας των τύπων αργού που χρησιµοποιούνται (γραµµική συνάρτηση ανάµιξης). Το µοντέλο του προβλήµατος βρίσκεται στο αρχείο REFINERY.XLS και παρουσιάζεται στο σχήµα 9.8. Στηρίζεται στα ακόλουθα στοιχεία: εδοµένα εισόδου. Στην περιοχή Β5:D7 εισάγονται τα στοιχεία που αφορούν στους τρεις τύπους αργού πετρελαίου, σύµφωνα µε τον πίνακα 9.3. Στην περιοχή Β10:D10 εισάγονται οι τιµές πώλησης κάθε τύπου βενζίνης σύµφωνα µε τον πίνακα 9.2. Στο κελί Β12 εισάγεται το µοναδιαίο κόστος µετατροπής του αργού σε βενζίνη. Στις περιοχές B27:D27 και G22:G24 εισάγονται τα επίπεδα ζήτησης βενζίνης και διαθεσιµότητας αργού πετρελαίου αντίστοιχα. Τέλος, στις περιοχές

Τεχνικές αριστοποίησης 209 Σχήµα 9.8 Το µοντέλο του προβλήµατος παραγωγής διυλιστηρίου. B33:D33 και B37:D37 εισάγονται οι περιορισµοί που αφορούν στον αριθµό οκτανίων και στην περιεκτικότητα σε θείο του µίγµατος αργού που χρησιµοποιείται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Επίπεδα παραγωγής. Στην περιοχή B22:D24 εισάγονται οι µεταβλητές απόφασης, δηλαδή ο αριθµός των βαρελιών από κάθε

210 Κεφάλαιο 9 τύπο αργού που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Αρχικά στα κελιά αυτά εισάγονται κάποιες τυχαίες τιµές. Μοναδιαία κέρδη. Στην περιοχή B16:D18 υπολογίζονται τα καθαρά κέρδη που αντιστοιχούν στη µετατροπή ενός βαρελιού από κάθε τύπο αργού πετρελαίου για την παραγωγή ενός βαρελιού κάθε τύπου βενζίνης. Το µέγεθος αυτό είναι συνάρτηση του κόστους κάθε βαρελιού αργού πετρελαίου, της αξίας κάθε βαρελιού βενζίνης και του κόστους µετατροπής. Στο κελί Β16 εισάγεται ο τύπος: =B$10-$B5-$B$12 και αντιγράφεται µέχρι το κελί D18. Κατανάλωση αργού πετρελαίου. Στην περιοχή Ε22:Ε24 υπολογίζονται οι συνολικές καταναλισκόµενες ποσότητες από κάθε τύπο αργού πετρελαίου. Στο κελί Ε22 εισάγεται ο τύπος: =SUM(B22:D22) και αντιγράφεται µέχρι το κελί Ε24. Παραγωγή βενζίνης. Στην περιοχή B25:D25 υπολογίζονται οι συνολικές παραγόµενες ποσότητες από κάθε τύπο βενζίνης. Στο κελί Β25 εισάγεται ο τύπος: =SUM(B22:B24) και αντιγράφεται µέχρι το κελί D25. Αριθµός οκτανίων. Στην περιοχή B31:D31 υπολογίζονται οι αριθµοί οκτανίων των τριών µιγµάτων αργού πετρελαίου που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Στο κελί Β31 εισάγεται ο τύπος: =SUMPRODUCT(B22:B24;$C$5:$C$7)/B25 και αντιγράφεται µέχρι το κελί D31. Περιεκτικότητα σε θείο. Στην περιοχή B35:D35 υπολογίζονται οι περιεκτικότητες σε θείο των τριών µιγµάτων αργού πετρελαίου που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή κάθε τύπου βενζίνης. Στο κελί Β35 εισάγεται ο τύπος: =SUMPRODUCT(B22:B24;$D$5:$D$7)/B25 και αντιγράφεται µέχρι το κελί D35. Συνολικά κέρδη. Υπολογίζονται στο κελί Β40 µε τον τύπο: =SUMPRODUCT(B22:D24;B16:D18)

Τεχνικές αριστοποίησης 211 Σχήµα 9.9 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα αριστοποίησης της παραγωγής του διυλιστηρίου. Η αριστοποίηση της παραγωγής επιτυγχάνεται ενεργοποιώντας το Solver και εισάγοντας τα στοιχεία που φαίνονται στο σχήµα 9.9. Τα αποτελέσµατα είναι αυτά που παρουσιάζονται στο σχήµα 9.8. Συγκεκριµένα, για την παραγωγή 3.000 βαρελιών βενζίνης τύπου 1 χρησιµοποιείται ένα µίγµα 2.333 βαρελιών αργού τύπου 1, 167 βαρελιών αργού τύπου 2 και 500 βαρελιών αργού τύπου 3. Επίσης, για την παραγωγή 2.000 βαρελιών βενζίνης τύπου 2 χρησιµοποιείται ένα µίγµα 800 βαρελιών αργού τύπου 1 και 1.200 βαρελιών αργού τύπου 3. Τέλος, για την παραγωγή 1.000 βαρελιών βενζίνης τύπου 3 χρησιµοποιείται ένα µίγµα 667 βαρελιών αργού τύπου 1 και 333 βαρελιών αργού τύπου 2. Τα συνολικά ηµερήσια κέρδη για το διυλιστήριο ανέρχονται σε 114.400. Επιλογή επενδυτικού σχεδίου Μια ιδιαίτερα σηµαντική κατηγορία προβληµάτων αριστοποίησης είναι αυτά στα οποία οι µεταβλητές απόφασης µπορούν να πάρουν µόνο ακέραιες τιµές και είναι γνωστά ως προβλήµατα ακέραιου προγραµµατισµού. Μια ειδική περίπτωση προβληµάτων ακέραιου προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα στα οποία η απόφαση µπορεί να είναι µόνο της µορφής «ΝΑΙ» ή «ΟΧΙ». Για την αντιµετώπιση τέτοιων προβληµάτων ορίζεται για κάθε απόφαση µια λογική µεταβλητή που µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές 0 (αν η απόφαση είναι «ΝΑΙ») ή 1 (αν η απόφαση είναι «ΟΧΙ»). Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα τυπικό παράδειγµα αυτής της µορφής. Μια εταιρεία ενδιαφέρεται να επενδύσει σε τέσσερις επιχειρηµατικές δραστηριότητες. Στον πίνακα 9.4 παρουσιάζονται οι ετήσιες χρηµατοροές

212 Κεφάλαιο 9 (σε χιλιάδες ) και τα διαθέσιµα κεφάλαια για τα επόµενα τέσσερα χρόνια. Αν το επιτόκιο προεξόφλησης είναι 15%, σε ποιες δραστηριότητες πρέπει να επενδύσει; Πίνακας 9.4 Χρηµατοροές των τεσσάρων επενδυτικών σχεδίων και διαθέσιµα κεφάλαια (σε χιλιάδες ). Επένδυση Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Σχέδιο 1 120 0 80 140 Σχέδιο 2 100 60 100 200 Σχέδιο 3 80 160 200 180 Σχέδιο 4 0 70 220 100 ιαθέσιµα Κεφάλαια 200 250 100 100 Λύση Το κριτήριο για την επιλογή των επενδυτικών σχεδίων που θα υιοθετήσει η εταιρεία είναι η µεγιστοποίηση της καθαρής παρούσας αξίας. Το σηµαντικό στοιχείο στο πρόβληµα αυτό είναι ότι αν η εταιρεία αποφασίσει να επενδύσει σε ένα σχέδιο, είναι υποχρεωµένη να το υιοθετήσει συνολικά. εν µπορεί δηλαδή να επενδύσει κατά ένα ποσοστό σε κάποιο από τα επενδυτικά σχέδια. Το µοντέλο για το πρόβληµα αυτό παρουσιάζεται στο σχήµα 9.10 (αρχείο INVESTMENT.XLS). Η απόφαση επένδυσης ή όχι σε κάποιο σχέδιο αντιπροσωπεύεται από τέσσερις λογικές µεταβλητές (επίπεδα) οι οποίες µπορούν να πάρουν µόνο τις τιµές 0 ή 1 και οι οποίες δηλώνουν απόρριψη ή υιοθέτηση του επενδυτικού σχεδίου αντίστοιχα. Το µοντέλο καταστρώνεται ως εξής: εδοµένα εισόδου. Στο κελί C4 εισάγεται η τιµή του επιτοκίου προεξόφλησης. Στην περιοχή C8:F11 εισάγονται οι χρηµατοροές των τεσσάρων σχεδίων. Τέλος, στην περιοχή C22:F22 εισάγονται τα διαθέσιµα κεφάλαια. Επίπεδα επένδυσης. Στα κελιά G16:G19 εισάγονται τυχαίες τιµές για τις µεταβλητές απόφασης. Καθαρές παρούσες αξίες επενδυτικών σχεδίων. Στο κελί Β8 εισάγεται ο τύπος:

Τεχνικές αριστοποίησης 213 Σχήµα 9.10 Το µοντέλο του προβλήµατος επιλογής επένδυσης. =C8+NPV($C$4;D8:F8) και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β1. Απαιτούµενα κεφάλαια. Στο κελί C16 εισάγεται ο τύπος: =IF(C8<0;ABS(C8);0)*$G16 και αντιγράφεται στην περιοχή C16:F19. Επίσης στο κελί C20 εισάγεται ο τύπος: =SUM(C16:C19) και αντιγράφεται προς τα δεξιά µέχρι το κελί F20. Καθαρή παρούσα αξία επένδυσης. Στο κελί Β16 εισάγεται ο τύπος: =B8*G16 και αντιγράφεται προς τα κάτω µέχρι το κελί Β19. Τέλος, στο κελί Β24 υπολογίζεται η συνολική καθαρή παρούσα αξία, εισάγοντας τον τύπο:

214 Κεφάλαιο 9 =SUM(B16:B19) Στη συνέχεια ενεργοποιείται ο Solver και εισάγονται οι πληροφορίες που φαίνονται στο σχήµα 9.11. Ο περιορισµός G16:G19 = binary περιορίζει τις τιµές των αντίστοιχων µεταβλητών απόφασης στο σύνολο (0, 1) Σχήµα 9.11 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα επιλογής επένδυσης. Τα αποτελέσµατα της αριστοποίησης είναι αυτά που παρουσιάστηκαν στο σχήµα 9.10. Συγκεκριµένα, η βέλτιστη απόφαση είναι αυτή της επένδυσης στις δραστηριότητες 1, 3 και 4. Στην περίπτωση αυτή η καθαρή παρούσα αξία είναι ίση µε 122.725. Επισηµάνσεις Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισµένες ενδιαφέρουσες παραλλαγές του παραπάνω προβλήµατος και ο τρόπος µε τον οποίο µπορούν να µοντελοποιηθούν. Έστω ότι δε γίνεται να επιλεγούν πάνω από 2 επενδυτικά σχέδια. Η περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται εισάγοντας ένα νέο περιορισµό σύµφωνα µε τον οποίο το άθροισµα των λογικών µεταβλητών δεν πρέπει να υπερβαίνει την τιµή 2. Έτσι, σε κάποιο κελί (π.χ. το κελί G20) υπολογίζεται το άθροισµα των λογικών µεταβλητών µε τον τύπο =SUM(G16:G19) και στο πλαίσιο διαλόγου του Solver εισάγεται ο περιορισµός G20<=2. Έστω ότι το επενδυτικό σχέδιο 1 προϋποθέτει το σχέδιο 2, δηλαδή, αν επιλεγεί το σχέδιο 1 πρέπει απαραίτητα να επιλεγεί και το 2. Στην περίπτωση αυτή εισάγεται ένας νέος περιορισµός, σύµφωνα µε τον οποίο η λογική µεταβλητή του σχεδίου 2 είναι µεγαλύτερη ή ίση από

Τεχνικές αριστοποίησης 215 τη λογική µεταβλητή του σχεδίου 1 (G17>=G16). Ο περιορισµός αυτός αφαιρεί από το σύνολο των λύσεων την περίπτωση επιλογής του σχεδίου 1 (G16=1) χωρίς να έχει επιλεγεί το σχέδιο 2 (G17=0). Έστω ότι κάποιο από τα επενδυτικά σχέδια 1 ή 3 (ή και τα δύο) πρέπει απαραίτητα να επιλεγεί. Η περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται εισάγοντας ένα νέο περιορισµό σύµφωνα µε τον οποίο το άθροισµα των λογικών µεταβλητών των σχεδίων 1 και 3 πρέπει να είναι µεγαλύτερο ή ίσο του 1. Έτσι, σε κάποιο κελί (π.χ. το κελί G20) υπολογίζεται το άθροισµα των λογικών µεταβλητών των σχεδίων 1 και 3 µε τον τύπο =G16+G18 και στο πλαίσιο διαλόγου του Solver εισάγεται ο περιορισµός G20>=1. Αριστοποίηση χαρτοφυλακίου Σε πολλά προβλήµατα αριστοποίησης, η αντικειµενική συνάρτηση ή οι περιορισµοί δεν είναι γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών απόφασης. Τα προβλήµατα αυτά είναι γνωστά ως προβλήµατα µη-γραµµικού προγραµµατισµού. Στη συνέχεια εξετάζεται ένα τυπικό παράδειγµα αριστοποίησης χαρτοφυλακίου. Ένας επενδυτής έχει σκοπό να επενδύσει ένα ποσό σε τρεις µετοχές. Οι αποδόσεις των µετοχών κατά τα τελευταία 10 χρόνια φαίνονται στον πίνακα 9.5. Επιδίωξη του επενδυτή είναι επιτύχει απόδοση τουλάχιστον 12%, µειώνοντας ταυτόχρονα το ρίσκο της επένδυσης. Ποια είναι τα ποσοστά των χρηµάτων που πρέπει να επενδύσει σε κάθε µετοχή; Πίνακας 9.5 Ετήσιες αποδόσεις των µετοχών. Έτος Μετοχή 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8,5 15,3 11,5 1,6-3,6 8,4 6,8 11,9 6,1 11,5 2 6,7 9,2 11,3 17,7 7,4 13,0 19,5 15,1 19,4 15,2 3 15,1 27,8 38,6 12,0 5,9 12,7 2,1 12,8 36,8 22,7 Λύση Τα κριτήρια µε τα οποία ο επενδυτής επιλέγει το χαρτοφυλάκιο είναι η µεγιστοποίηση της απόδοσης και η ελαχιστοποίηση του ρίσκου. Μέτρο του ρίσκου είναι η διασπορά των ετησίων αποδόσεων. Ο πιο κοινός τρόπος αντιµετώπισης του προβλήµατος ύπαρξης δύο αντικειµενικών συναρτήσεων

216 Κεφάλαιο 9 είναι ο καθορισµός µιας ελάχιστης επιθυµητής απόδοσης και στη συνέχεια η ελαχιστοποίηση της διασποράς των αποδόσεων. Στη γενική περίπτωση n µετοχών, η αναµενόµενη απόδοση και η διασπορά του χαρτοφυλακίου ορίζονται ως: n ( ) ( ) E P E X w = i i i= 1 n n 1 n 2 2 2 = i i + ij i j i= 1 i= 1 j= i+ 1 σ σ w 2 σ ww (9.10) (9.11) όπου wi είναι το ποσοστό επένδυσης στη µετοχή i (µεταβλητές απόφασης), 2 E( X i ) είναι η αναµενόµενη απόδοση της µετοχής i, σ i είναι η διασπορά της µετοχής i (υπολογίζεται µε τη συνάρτηση VAR) και σij είναι η συνδιασπορά των µετοχών i και j (υπολογίζεται µε τη συνάρτηση COVAR). Είναι φανερό από τη σχέση (9.11) ότι η αντικειµενική συνάρτηση είναι µηγραµµική. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, καταστρώνεται το µοντέλο του σχήµατος 9.12 (αρχείο PORTOFOLIO.XLS), το οποίο αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία: εδοµένα εισόδου. Στην περιοχή B6:D15 εισάγονται οι ετήσιες αποδόσεις των τριών µετοχών και στο κελί D24 η ελάχιστη επιθυµητή µέση απόδοση. Ποσοστά επένδυσης. Εισάγονται τυχαίες τιµές για τις µεταβλητές σχεδιασµού στα κελιά B20:D20. Επίσης, στο κελί Ε20 υπολογίζεται το άθροισµα των ποσοστών ως: =SUM(B20:D20) Πίνακας διασποράς. Στο κελί G6 εισάγεται ο τύπος: =VAR(B$6:B$15) και αντιγράφεται στα κελιά H7 και Ι8. Στο κελί G7 εισάγεται ο τύπος: =COVAR($B$6:$B$15;$C$6:$C$15) και αντιγράφεται στο κελί H6. Στο κελί G8 εισάγεται ο τύπος: =COVAR($B$6:$B$15;$D$6:$D$15)

Τεχνικές αριστοποίησης 217 Σχήµα 9.12 Το µοντέλο του προβλήµατος διαχείρισης χαρτοφυλακίου. και αντιγράφεται στο κελί Ι6. Τέλος, στο κελί Η8 εισάγεται ο τύπος: =COVAR($C$6:$C$15;$D$6:$D$15) και αντιγράφεται στο κελί Ι7. Αναµενόµενη απόδοση χαρτοφυλακίου. Υπολογίζεται στο κελί Β24 µε τον τύπο: =SUMPRODUCT(B20:D20;B16:D16) ιασπορά και τυπική απόκλιση χαρτοφυλακίου. Η διασπορά υπολογίζεται στο κελί C27 µε τον τύπο: =SUMPRODUCT(MMULT(B20:D20;G6:I8);B20:D20) ενώ η τυπική απόκλιση στο κελί C28 ως: =SQRT(C27) Η συνάρτηση MMULT περιγράφεται παρακάτω.

218 Κεφάλαιο 9 Στη συνέχεια ενεργοποιείται ο Solver και εισάγονται οι πληροφορίες που φαίνονται στο σχήµα 9.13. Ο πρώτος περιορισµός (Β24>=D24) αφορά στην ικανοποίηση της ελάχιστα αποδεκτής αναµενόµενης απόδοσης, ενώ ο δεύτερος (E20=1) επιβάλλει τα ποσοστά επένδυσης να αθροίζονται στο 100%. Προσοχή δίνεται ώστε να µην είναι ενεργοποιηµένη η επιλογή Assume Linear Model ενώ ενεργοποιείται η επιλογή Assume Non-Negative. Σχήµα 9.13 Το πλαίσιο διαλόγου του Solver για το πρόβληµα αριστοποίησης χαρτοφυλακίου. Τα αποτελέσµατα της αριστοποίησης είναι αυτά που παρουσιάστηκαν στο σχήµα 9.12. Συγκεκριµένα, η βέλτιστη απόφαση είναι η επένδυση του 24,6% των χρηµάτων στη µετοχή 1, του 73,7% στη µετοχή 2 και του 1,7% στη µετοχή 3. Στην περίπτωση αυτή επιτυγχάνεται αναµενόµενη απόδοση ίση µε 12% και διασπορά ίση µε 0,001412 (τυπική απόκλιση ίση µε 3,76%). ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ MMULT Η συνάρτηση MMULT είναι µια διανυσµατική συνάρτηση η οποία υπολογίζει το γινόµενο δύο πινάκων. Η σύνταξή της είναι η ακόλουθη: = MMULT(range1;range2) όπου range1, range2 είναι οι περιοχές κελιών οι οποίες περιέχουν τις τιµές των πινάκων. Ο αριθµός των στηλών του πίνακα range1 πρέπει να είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του πίνακα range2. Το αποτέλεσµα της συνάρτησης είναι ένας πίνακας µε αριθµό γραµµών όσο και ο range1 και αριθµό στηλών όσο και ο range2.

Τεχνικές αριστοποίησης 219 Βιβλιογραφία Albright, S.C., Winston, W.L, and Zappe, C. (1999) Data Analysis & Decision Making with Microsoft Excel, Duxbury Press, USA. Barlow, F.G. (1999) Excel Models for Business and Operations Management, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Gottfried, B.S (1998) Spreadsheet Tools for Engineers, McGraw-Hill, Singapore. Monks, J.G. (1987) Operations Management, Mc-Graw Hill, USA. Orvis, J.W. (1996) Excel for Scientists and Engineers, Sybex, USA. Williams, H.P. (1999) Model Building in Mathematical Programming, John Wiley & Sons, Chichester, Sussex. Οικονόµου, Γ.Σ., και Γεωργίου, Α.Κ. (1999) Ποσοτική Ανάλυση για τη Λήψη ιοικητικών Αποφάσεων, Εκδόσεις Ευγ. Μπένου, Αθήνα. Πραστάκος, Γ. (2000) ιοικητική Επιστήµη: Λήψη Επιχειρηµατικών Αποφάσεων στην Κοινωνία της Πληροφορίας, Εκδόσεις Αθαν. Σταµούλης, Αθήνα. Σίσκος, Γ. (1998) Γραµµικός Προγραµµατισµός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα.