ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜ ΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜ ΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΑΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΕΒΕΖΑ, ΜΑΪΟΣ 2014

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 1.1. Εισαγωγή Στο Πρόβλημα Του Χρονοπρογραμματισμού.....4 1.2. Είδη Του Χρονοπρογραμματισμού...5 1.2.1. Χρονοπρογραμματισμός Έργων..5 1.2.1.1. Σχεδιασμός Παραδοτέων- Οροσήμων.6 1.2.1.2. Σχεδιασμός Αποσύνθεσης Εργασιών..6 1.2.1.3. Σχεδιασμός Χρονικών Εξαρτήσεων 6 1.2.1.4. Ανάλυση Κρίσιμων Διαδρομών...7 1.2.1.5. Σχεδιασμός Ημερολογιακής Εξέλιξης.8 1.2.2. Χρονοπρογραμματισμός Διεργασιών..9 1.2.2.1. Αλγόριθμοι Χρονοπρογραμματισμού Διεργασιών...10 a. Αλγόριθμος Χρονοπρογραμματισμού Με Βάση Τη Σειρά Άφιξης..10 b. Αλγόριθμος Χρονοπρογραμματισμού Εκ Περιτροπής...10 c. Αλγόριθμος Χρονοπρογραμματισμού Με Βάση Την Μικρότερη Διάρκεια Εκτέλεσης...10 d. Αλγόριθμος Χρονοπρογραμματισμού Με Βάση Τον Μικρότερο Εναπομείναντα Χρόνο 10 1.2.3. Χρονοπρογραμματισμός Προσωπικού 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2:ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ.12 2.1. Το Πρόβλημα Του Χρονοπρογραμματισμού Προσωπικού.12 2.2. Πρόβλημα Βελτιστοποίησης..14 2.3. Πρόβλημα Ικανοποίησης Περιορισμών 15 2.3.1. Τύποι Περιορισμών...16 2.4. Πρόβλημα Αντικειμενικότητας..19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ..22 ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 1

3.1. Αντιμετώπιση Προβλήματος Με Γραμμικό Προγραμματισμό..22 3.1.1. Ορισμός Αντικειμενικής Συνάρτησης...24 3.1.2. Ορισμός Περιορισμών 25 3.1.3. Εξέταση Των Προϋποθέσεων.28 3.1.4. Λύση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Με Την Χρήση Η/Υ.29 3.1.4.1. Χρήση Του Excel-Solver.29 3.1.4.2. Χρήση Του What s Best.37 3.2. Αντιμετώπιση Προβλήματος Με Ευρεστικές Τεχνικές... 39 3.2.1. Τοπική Αναζήτηση..39 3.2.2. Προσομοιωμένη Ανόπτηση 41 3.2.3. Taboo Searching..42 3.2.4. Γενετικούς Αλγορίθμους...43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4:ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ.47 4.1. Χρονοπρογραμματισμός Προσωπικού με το Snap Schedule 2013 47 4.1.1. Παράδειγμα 1- Ιατρικό Προσωπικό..51 4.1.2. Παράδειγμα 2- Εστιατόριο 56 4.2. Παρουσίαση Προγραμμάτων Για Χρονοπρογραμματισμό Προσωπικού.61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ..66 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...67 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ-ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1: Πίνακας μερικής και πλήρης απασχόλησης...23 Πίνακας 2: Σύγκριση Φυσικού Συστήματος Με Προβλήματα Βελτιστοποίησης...41 Εικόνα 1: Διάγραμμα PERT... 7 Εικόνα 2: Διάγραμμα PERT- κρίσιμη διαδρομή... 8 Εικόνα 3:Διάγραμμα GANTT... 9 Εικόνα 4: Χρονοπρογραμματισμός διεργασιών... 9 Εικόνα 5:Φύλλο Excel Για Τους Μπάρμαν-Πρωινή Βάρδια....30 Εικόνα 6:Χρήση Του Excel Solver Για Τους Μπάρμαν...31 Εικόνα 7:Αποτελέσματα Του Excel-Solver Για Τους Μπάρμαν Πρωινής Βάρδιας...32 Εικόνα 8: :Φύλλο Excel Για Τους Μπάρμαν-Απογευματινή Βάρδια....33 Εικόνα 9:Αποτελέσματα Του Excel-Solver Για Τους Μπάρμαν Απογευματινής Βάρδιας...34 ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 2

Εικόνα 10:Φύλλο Excel Για Τις Καθαρίστριες...35 Εικόνα 11: Χρήση Του Excel Solver Για Τις Καθαρίστριες...36 Εικόνα 12: Αποτελέσματα Του Excel-Solver Για Τις Καθαρίστριες...37 Εικόνα 13:Οι Δυνατότητες Του What s Best...38 Εικόνα 14: Αποτελέσματα Του What s Best Για Τις Καθαρίστριες...38 Εικόνα 15: Βασικός Γενετικός Αλγόριθμος...44 Εικόνα 16: Δυαδική Κωδικοποίηση Χρωμοσωμάτων...45 Εικόνα 17: Διασταύρωση Χρωμοσωμάτων...45 Εικόνα 18: Μετάλλαξη Χρωμοσωμάτων...46 Εικόνα 19: Καταχώρηση Δεδομένων Στο Πρόβλημα Χρονοπρογραμματισμού...47 Εικόνα 20: Πληροφορίες Για Τις Βάρδιες Που Έχουν Επιλεχθεί...48 Εικόνα 21: Πληροφορίες Για Τις Άδειες Επί Πληρωμής...48 Εικόνα 22: Πληροφορίες Για Τους Εργαζομένους...48 Εικόνα 23: Πληροφορίες Για Τα Διαλλείματα...48 Εικόνα 24: Εισαγωγή Των Δεδομένων Σε Ένα Νέο Αρχείο Του Snap Schedule 2013...48 Εικόνα 25: Διαχείριση Των Βαρδιών- Μοτίβο...49 Εικόνα 26: Σχέδιο Διαχείρισης Χρονοδιαγράμματος...49 Εικόνα 27: Χρονοδιάγραμμα Με Βάση Τις Βάρδιες Ανά Εβδομάδα...50 Εικόνα 28: Χρονοδιάγραμμα Του Εργαζόμενου 3 Σε Ημερολόγιο Ανά Μήνα...50 Εικόνα 29: Πληροφορίες Για Τις 4 Ομάδες Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...51 Εικόνα 30: Πληροφορίες Για Τον Εργαζόμενο Bond Wesley Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού..52 Εικόνα 31: Πληροφορίες Για Τις Βάρδιες Που Έχουν Επιλεχθεί Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...52 Εικόνα 32: Πολιτική Των Βραδινών Βαρδιών Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...53 Εικόνα 33: Διαχείριση Των Βαρδιών- Μοτίβο Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...53 Εικόνα 34: Σχέδιο Διαχείρισης Χρονοδιαγράμματος Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...54 Εικόνα 35: Χρονοδιάγραμμα Του Easton Luis Σε Ημερολόγιο Ανά Εβδομάδα Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...54 Εικόνα 36: Χρονοδιάγραμμα Με Βάση Τους Εργαζόμενους Ανά Εβδομάδα Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...55 Εικόνα 37: Χρονοδιάγραμμα Διαλλειμάτων Στο Πρόβλημα Του Ιατρικού Προσωπικού...55 Εικόνα 38: Πληροφορίες Για Τις 4 Ομάδες Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...56 Εικόνα 39: Πληροφορίες Για Τον Εργαζόμενο Kirkoy Lance Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...57 Εικόνα 40: Πληροφορίες Για Τις Βάρδιες Που Έχουν Επιλεχθεί Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...57 Εικόνα 41: Διαχείριση Των Βαρδιών Βραδινών Γευμάτων- Μοτίβο Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...58 Εικόνα 42: Διαχείριση Των Βαρδιών Απογευματινών Γευμάτων- Μοτίβο Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...58 Εικόνα 43: Σχέδιο Διαχείρισης Χρονοδιαγράμματος Των Βραδινών Γευμάτων Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...59 Εικόνα 44: Σχέδιο Διαχείρισης Χρονοδιαγράμματος Των Απογευματινών Γευμάτων Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...59 Εικόνα 45: Χρονοδιάγραμμα Με Βάση Τις Βάρδιες Ανά Ημέρα Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...60 Εικόνα 46 Χρονοδιάγραμμα Του Εργαζόμενου Kirkoy Lance Σε Ημερολόγιο Ανά Μήνα Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...60 Εικόνα 47: Χρονοδιάγραμμα Διαλλειμάτων Στο Πρόβλημα Του Εστιατορίου...61 ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1:ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. Εισαγωγή Στο Πρόβλημα Του Χρονοπρογραμματισμού Χρονοπρογραμματισμός είναι η διαδικασία ανάθεσης ενός συνόλου από εργασίες στη διάρκεια του χρόνου ώστε να βελτιστοποιείται κάποιο κριτήριο ικανοποιώντας ένα σύνολο από περιορισμούς. Η ικανοποίηση των περιορισμών έχει να κάνει με την ανάθεση κατάλληλων τιμών σε ένα σύνολο από μεταβλητές ώστε να επιτυγχάνεται ένας στόχος. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού όπως ο χρονοπρογραμματισμός μέσων μεταφοράς, ο χρονοπρογραμματισμός σχολικών ιδρυμάτων και ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού που είναι και το θέμα που θα παρουσιάσουμε παρακάτω. Στόχοι του χρονοπρογραμματισμού είναι ο σεβασμός προθεσμιών, η ελαχιστοποίηση χρόνου υλοποίησης, η ελαχιστοποίηση χρόνου ή κόστους των πόρων και η μεγιστοποίηση χρησιμοποίησης πόρων και όλα αυτά στο λιγότερο κόστος. Τα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού αποτελούν προβλήματα συνδυαστικής βελτιστοποίησης καθώς επιδιώκουν την καλύτερη δυνατή λύση. Υπάρχουν προβλήματα βελτιστοποίησης που λαμβάνουν συνεχής τιμές και αλλά που λαμβάνουν διακριτές τιμές. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης που λαμβάνουν διακριτές τιμές ονομάζονται συνδυαστικά και υπάρχουν διάφοροι μέθοδοι επίλυσής τους όπως ο αλγόριθμος εύρεσης του συντομότερο μονοπατιού και οι ευρετικές τεχνικές για προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν με τις επακριβείς μεθόδους. Η βιομηχανία ασχολήθηκε με τον χρονοπρογραμματισμό από τις αρχές του 1900 κυρίως με την εργασία του Henry Gantt ο οποίος έχει μείνει στην ιστορία με τα διαγράμματα Gantt που αποτελούν μια μορφή γραφικής αναπαράστασης ενός χρονοδιαγράμματος. Όμως οι δημοσιεύσεις του χρονοπρογραμματισμού έγιναν πολύ αργότερα, περίπου το 1950, όταν η δημοσίευση του Johnson για τις στρατηγικές της βέλτιστης ακολουθίας εργασιών προκάλεσε μεγάλο ενδιαφέρον για τον χρονοπρογραμματισμό εργασιών. Έπειτα την δεκαετία του 60 εμφανίστηκαν οι τεχνικές του δυναμικού προγραμματισμού και του προγραμματισμού ακεραίων, ενώ την δεκαετία του 80 ακολουθήθηκαν διάφορες κατευθύνσεις με κυρίαρχη αυτή του στοχαστικού χρονοπρογραμματισμού[11][15]. Τα τελευταία χρόνια τα συστήματα χρονοπρογραμματισμού αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι των περισσότερων βιομηχανικών εφαρμογών. ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 4

Η πιστή περιγραφή του προβλήματος με όρους διευκολύνουν την επίλυση του και μας βοηθούν στην κατανόηση του μοντέλου και μετέπειτα της λύσης. Θα ήταν ενδιαφέρον να αναλύσουμε τους όρους που θα χρησιμοποιήσουμε: Αντικείμενα: αναφερόμαστε στα στοιχεία που θέλουμε να προγραμματίσουμε σαν αντικείμενα. Υποθέτουμε ότι κάθε αντικείμενο είναι μια οντότητα και μπορεί να είναι σε ένα μέρος κάθε φορά. Κάθε αντικείμενο πρέπει να έχει μια μοναδική ταυτότητα και ίσως να περιλαμβάνει και άλλα δεδομένα. Για παράδειγμα ένα αντικείμενο μπορεί να είναι ένας υπάλληλος με όλα τα χαρακτηριστικά που τον αφορούν. Εργασία: χρησιμοποιούμε τον όρο εργασία για να αναγνωρίζουμε μια ανάγκη για σύνθεση των αντικειμένων σε μια καλά ορισμένη περίοδο. Μια απλοποιημένη σύνθεση των αντικειμένων πρέπει να γίνεται από έναν συγκεκριμένο αριθμό τύπων των αντικειμένων ενώ στις περίπλοκες συνθέσεις μπορούν να οριστούν ακολουθώντας λογικούς χειρισμούς όπως και, ή, όχι. Δηλαδή μπορούμε να ζητήσουμε 3-4 τύπους ενός αντικειμένου ή 2-3 τύπους αντικειμένων να είναι παρών. Χρονοπίνακας Εργασιών: περιγράφει μια χρονική περίοδο όπου ένα αντικείμενο μπορεί να προγραμματιστεί. Ένας χρονοπίνακας έχει μια καλά οργανωμένη αρχή και τέλος και μπορεί να περιλαμβάνει και άλλες πληροφορίες όπως το κόστος σχετικά με μια δεδομένη περίοδο. Ένας γενικός χρονοπίνακας εργασιών μπορεί να απεικονιστεί και ως σύνολο από επιμέρους χρονοπίνακες εργασιών. Κόστος: το κόστος εξαρτάται από την ανάθεση των αντικειμένων στους χρονοπίνακες εργασιών. Για κάθε ζευγάρι αντικειμένου και ενός χρονοπίνακα εργασιών χρειάζεται να ξέρουμε το κόστος κάθε εργασίας. 1.2. Είδη Του Χρονοπρογραμματισμού 1.2.1. Χρονοπρογραμματισμός Έργων Στόχος του χρονοπρογραμματισμού έργου είναι ο προσδιορισμός της χρονικής διάρκειας των φάσεων, δηλαδή της έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων, και ο προσδιορισμός της χρονικής διάρκειας ολόκληρου έργου. Για τον υπολογισμό των χρονικών περιόδων ενός έργου χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές. Δύο βασικές τεχνικές είναι η μέθοδος Pert και η μέθοδος των κρίσιμων διαδρομών. Αυτές οι δύο μέθοδοι αναλύονται στις δραστηριότητες του χρονοπρογραμματισμού έργου οι οποίες είναι ο σχεδιασμός παραδοτέων-οροσήμων, ο ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 5

σχεδιασμός αποσύνθεσης εργασιών, ο σχεδιασμός χρονικών εξαρτήσεων, η ανάλυση κρίσιμων διαδρομών και τέλος ο σχεδιασμός της ημερολογιακής εξέλιξης. 1.2.1.1.Σχεδιασμός Παραδοτέων- Οροσήμων Παραδοτέα είναι τα παραγόμενα αποτελέσματα τα οποία παραδίδονται στον πελάτη ενώ ορόσημα τα αποτελέσματα που επιτρέπουν την διαπίστωση της προόδου των εργασιών. Ο σχεδιασμός τους γίνεται σύμφωνα με τις συμβατικές υποχρεώσεις και την συνεκτίμηση του διαχειριστικού κόστους και οφέλους. Τα ορόσημα περιλαμβάνουν τα παραδοτέα δεν συμβαίνει όμως και το αντίθετο. Ο σχεδιασμός των οροσήμων πρέπει να είναι συγκεκριμένος και ουσιαστικός και να γίνετε αξιοποίηση τους για αντιμετώπιση των κινδύνων. 1.2.1.2.Σχεδιασμός Αποσύνθεσης Εργασιών Ο σχεδιασμός της αποσύνθεσης εργασιών γίνετε ιεραρχικά και μοιάζει σαν ένα δένδρο που ξεκινάει από όλο το έργο και φτάνει στις επιμέρους εργασίες. Το εύρος των ομάδων εργασίας ξεκινάει ανοδικά από τις μεγαλύτερες ομάδες και συνεχίζει καθοδικά στις μικρότερες ομάδες. Το ίδιο συμβαίνει και με την χρονική διάρκεια των εργασιών όπου ξεκινάει ανοδικά από την μεγαλύτερη διάρκεια και συνεχίζει καθοδικά στην μικρότερη. Το μέγεθος των ομάδων εργασίας πρέπει να είναι λελογισμένο και η χρονική διάρκεια πρέπει να είναι διαχειρίσιμη. 1.2.1.3.Σχεδιασμός Χρονικών Εξαρτήσεων Στον σχεδιασμό χρονικών εξαρτήσεων σχεδιάζεται μια προτιμητέα κλίμακα χρόνου η οποία αποτελείται από μια ελάχιστη συνιστώμενη διάρκεια και από μια μέγιστη συνιστώμενη διάρκεια. Επίσης, ορίζονται κανονισμοί προβλέψεων για αναμενόμενες πιθανού περιεχομένου και απροσδόκητες δυσκολίες συνήθως ανάλογες με την περιπτωσιολογία ή την καινοτομικότητα του έργου. Οι τεχνικές μοντελοποίησης που εμφανίζουν πιθανούς χρόνους ολοκλήρωσης είναι τα διαγράμματα Pert και ο χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας σε ένα διάγραμμα Pert θεωρείται τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί μια β-κατανομή. ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 6

Εικόνα 1: Διάγραμμα PERT 1.2.1.4.Ανάλυση Κρίσιμων Διαδρομών Κρίσιμη διαδρομή σε ένα διάγραμμα Pert είναι η μεγαλύτερη διαδρομή από άποψη χρόνου ολοκλήρωσης που οδηγεί από το ορόσημο έναρξης στο ορόσημο ολοκλήρωσης και η χρονική διάρκεια είναι ίση με τη προσδοκώμενη διάρκεια ολοκλήρωσης. Η μέθοδος της κρίσιμης διαδρομής αφορά τον υπολογισμό του νωρίτερου χρόνου ενός γεγονότος και του αργότερου χρόνου και έπειτα για κάθε γεγονός να υπολογιστεί ο χρόνος ανοχής. Ως κρίσιμα γεγονότα ορίζονται αυτά με χρόνο ανοχής ίσο με 0 όπου η καθυστέρηση έναρξης έχει επιπτώσεις στον χρόνο ολοκλήρωσης. Νωρίτερος χρόνος είναι ο ελάχιστος χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση όλων των δραστηριοτήτων από την αρχή ενός έργου μέχρι ένα συγκεκριμένο γεγονός και υπολογίζεται διασχίζοντας το δίκτυο δραστηριοτήτων από το αρχικό προς το τελικό ορόσημο. Αντίστοιχα αργότερος χρόνος γεγονότος είναι ο μέγιστος χρόνος που απαιτείται για την εκτέλεση των δραστηριοτήτων από την αρχή έως ένα συγκεκριμένο γεγονός χωρίς καθυστέρηση και υπολογίζεται διασχίζοντας το δίκτυο δραστηριοτήτων από το τελικό προς το αρχικό ορόσημο. Ο χρόνος ανοχής των γεγονότων υπολογίζεται με την αφαίρεση των νωρίτερων χρόνων γεγονότων από τους ανώτερους χρόνους γεγονότων. Αφού εντοπίσουμε τα κρίσιμα γεγονότα ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 7

στο διάγραμμα Pert, όπου χρόνος ανοχής δηλαδή είναι 0, μας δίνεται και η κρίσιμη διαδρομή. Η κρίσιμη διαδρομή μπορεί να υπολογιστεί και με βάση τον χρόνο ανοχής των δραστηριοτήτων. Ως κρίσιμες δραστηριότητες ορίζονται αυτές με χρόνο ανοχής ίσο με 0 όπου η καθυστέρηση έναρξης μιας δραστηριότητας έχει επιπτώσεις στον χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Ο χρόνος ανοχής των δραστηριοτήτων υπολογίζεται με την αφαίρεση των νωρίτερων χρόνων των γεγονότων από τους αργότερους χρόνους των δραστηριοτήτων μείων την διάρκεια της ακμής. Η κρίσιμη διαδρομή είναι αυτή που ο χρόνος ανοχής των γεγονότων είναι ίσος με 0 μέσω ακμών όπου ο χρόνος ανοχής των δραστηριοτήτων είναι ίσος με 0. Εικόνα 2: Διάγραμμα PERT- κρίσιμη διαδρομή 1.2.1.5.Σχεδιασμός Ημερολογιακής Εξέλιξης Ο σχεδιασμός της ημερολογιακής εξέλιξης γίνεται με τα διαγράμματα Gantt. Τα διαγράμματα Gantt προγραμματίζουν και παρακολουθούν τις δραστηριότητες και τα ορόσημα ως προς τον απόλυτο ημερολογιακό χρόνο με βάση την ημερομηνία εκκίνησης, την ανάλυση των διαγραμμάτων Pert και τα αποτελέσματα της κρίσιμης διαδρομής. Τα διαγράμματα Gantt πρόκειται για προγραμματισμό δραστηριοτήτων και όχι για εργαλεία ανάλυσης όπως τα διαγράμματα Pert. Ο προγραμματισμός κάθε εργασίας αντιστοιχεί στη χάραξη μιας οριζόντιας ράβδου από την ημερομηνία έναρξης έως την ημερομηνία λήξης της εργασίας. Το μήκος αυτής της ράβδου υποδεικνύει την διάρκεια της αντίστοιχης εργασίας. Η δεύτερη ράβδος αποτελεί την γραμμή προόδου και απεικονίζει το τμήμα της εργασίας που έχει ήδη εκτελεστεί. Η θέση της γραμμής προόδου σε σχέση με τη γραμμή προγραμματισμού υποδείκνυε το ποσοστό ολοκλήρωσης της εργασίας και την υπολειπόμενη διάρκεια μέχρι την αποπεράτωσή της. Η σύγκριση αυτή γίνεται με μία κάθετη γραμμή που υποδηλώνει τη χρονική στιγμή που γίνεται ο έλεγχος προόδου του έργου. Η θέση της γραμμής προόδου σε ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 8

σχέση με την χρονική στιγμή ελέγχου υποδήλωνε την πρόοδο του έργου που υλοποιήθηκε σε σχέση με τον αρχικό προγραμματισμό.[10] Εικόνα 3:Διάγραμμα GANTT 1.2.2. Χρονοπρογραμματισμός Διεργασιών Χρονοπρογραμματισμός διεργασιών είναι η πολιτική με την οποία το λειτουργικό σύστημα αποφασίζει ποια διεργασία θα εκτελεστεί στην επόμενη χρονική στιγμή. Στην πληροφορική χρονοπρογραμματισμός διεργασιών ονομάζεται η δυνατότητα των λειτουργικών συστημάτων να συντονίζει την συνύπαρξη πολλαπλών εκτελούμενων διεργασιών στην μνήμη του υπολογιστή μέσω ενός μηχανισμού που ονομάζεται χρονοπρογραμματιστής. Εικόνα 4: Χρονοπρογραμματισμός διεργασιών Οι απαιτήσεις του χρονοπρογραμματιστή διαφέρουν ανάλογα με την εφαρμογή. Σε συστήματα με πολλαπλούς χρήστες η δουλειά που χρονοπρογραμματιστή είναι πιο απαιτητική από ότι σε συστήματα τύπου batch. Οι απαιτήσεις του χρονοπρογραμματιστή όμως πολλές φορές μπορεί να είναι αντιφατικές, για παράδειγμα η ελαχιστοποίηση του ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 9

χρόνου ολοκλήρωσης δεν σημαίνει και μεγιστοποίηση της διεκπεραιωτικής ικανότητας. Το ίδιο συμβαίνει και με τους στόχους, οι στόχοι του προγραμματιστή αλλάζουν ανάλογα με την εφαρμογή των διεργασιών στο σύστημα αλλά γενικά αποδεκτοί στόχοι είναι: - Η δικαιοσύνη: όλες οι διεργασίες να παίρνουν δίκαιο μερίδιο από την δυνατότητα του επεξεργαστή. - Η εφαρμογή της πολιτικής: πρόκειται για την πολιτική που ακολουθεί το λειτουργικό σύστημα ως αποφάσεις για τις επόμενες διεργασίες. - Ο ισοζυγισμός: όλα τα μέρη του υπολογιστή να χρησιμοποιούνται. 1.2.2.1. Αλγόριθμοι Χρονοπρογραμματισμού Διεργασιών Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι χρονοπρογραμματισμού διεργασιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν, οι συνηθέστεροι είναι ο αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού με βάση τη σειρά άφιξης, ο αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού εκ περιτροπής, ο αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού με βάση την μικρότερη διάρκεια εκτέλεσης και ο αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού με βάση τον μικρότερο εναπομείναντα χρόνο. a. Αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού με βάση τη σειρά άφιξης Ο προγραμματιστής επιλέγει την διεργασία που ήταν περισσότερο χρόνο στην σειρά και την τρέχει μέχρι να τελειώσει. b. Αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού εκ περιτροπής Ο χρονοπρογραμματιστής επιλέγει την πρώτη διεργασία που ήταν περισσότερο χρόνο στην σειρά, από τις διεργασίες που βρίσκονται σε ετοιμότητα, και την εκτελεί μέχρι να τεθεί σε αναστολή. Έπειτα την βάζει στο τέλος και συνεχίζει με την επόμενη μέχρι να τελειώσουν οι διεργασίες που βρίσκονται σε ετοιμότητα.. c. Αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού με βάση την μικρότερη διάρκεια εκτέλεσης Ο χρονοπρογραμματιστής επιλέγει την μικρότερη διεργασία που περιμένει στη σειρά και τη εκτελεί μέχρι να τελειώσει. d. Αλγόριθμος χρονοπρογραμματισμού με βάση τον μικρότερο εναπομείναντα χρόνο Ο χρονοπρογραμματιστής επιλέγει την διεργασία που της έχει μείνει ο λιγότερος χρόνος μέχρι να τελειώσει και άμα φτάσει μικρότερη διεργασία την εναλλάσσει με αυτήν που τρέχει. ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 10

1.2.3. Χρονοπρογραμματισμός Προσωπικού Ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού είναι η διαδικασία της στελέχωσης του προσωπικού σε μια επιχείρηση με δίκαιο τρόπο προς όλους τους εργαζομένους καλύπτοντας κάθε ανάγκη της επιχείρησης. Στόχος του χρονοπρογραμματισμού προσωπικού είναι να ανακαλύψει τα προβλήματα προγραμματισμού και να δημιουργήσει μια βασική δομή στην οποία μπορούν να εφαρμοστούν τα διάφορα συστήματα προγραμματισμού. Κάθε επιχείρηση έχει τις δικές της ανάγκες και επιθυμίες για στελέχωση γι αυτό και ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού παίζει σημαντικό ρόλο σε αυτήν. Ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε οι διαθέσιμοι ανθρώπινοι πόροι να προγραμματιστούν για να επιτυγχάνουν τις διάφορες ανάγκες-προδιαγραφές με δίκαιο τρόπο και στο ελάχιστο κόστος αλλά παράλληλα να εφαρμόζονται οι κανόνες του εργατικού δικαίου και οι άτυποι κανόνες ηθικής και εθιμοτυπίας. Τα αποτελέσματα που μας δίνει ο χρονοπρογραμματισμός του προσωπικού εμφανίζονται στους πίνακες εργασιών όπου μας δίνεται ο ακριβής αριθμός προσωπικού και οι βάρδιες του κάθε εργαζομένου για το χρονικό διάστημα που έχουμε ορίσει να γίνει ο προγραμματισμός. Είναι φοβερά δύσκολο να βρεθούν καλές λύσεις για αυτά τα υψηλά περιορισμένα και πολύπλοκα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού και περισσότερο δύσκολο να οριστούν βέλτιστες λύσεις που να ελαχιστοποιούν το κόστος. Η λύση των προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού προσωπικού ξεκίνησε με την χρήση του μαθηματικού προγραμματισμού συγκεκριμένα του γραμμικού προγραμματισμού που περιλαμβάνουν φύλλα εργασίας και εργαλεία βάσης δεδομένων [θα αναπτυχθούν αναλυτικά στο κεφάλαιο 3.1]. Αργότερα αναπτύχθηκαν δυνατά εργαλεία χρονοπρογραμματισμού ανακαλυπτόμενα από ευρεστικά μαθηματικά μοντέλα και αλγόριθμους [θα αναπτυχθούν αναλυτικά στο κεφάλαιο 3.2]. Τα μοναδικά χαρακτηριστικά κάθε επιχείρησης οδήγησαν στην ανακάλυψη ειδικών μαθηματικών μοντέλων και αλγορίθμων για λύσεις του χρονοπρογραμματισμού προσωπικού και με την σειρά τους οδήγησαν στην ανακάλυψη διάφορων λογισμικών πακέτων χρονοπρογραμματισμού που παρέχουν σημαντικές δυνατότητες βελτιστοποίησης και σχεδιάστηκαν έτσι ώστε να είναι ευρέως εφαρμόσιμα, να παρέχουν στους χρήστες χειροκίνητες διορθωτικές συναρτήσεις και διεξοδική ανταπόκριση και τέλος παρέχουν υποστήριξη για αυτοματοποιημένη σύνθεση χρονοπινάκων. Ένα τέτοιο λογισμικό πακέτο είναι το Snap Schedule 2013 που θα αναπτύξουμε στο κεφάλαιο 4. ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2:ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ 2.1. Το Πρόβλημα Του Χρονοπρογραμματισμού Προσωπικού Ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού είναι ένα σύνθετο και χρονοβόρο πρόβλημα διαχείρισης ανθρώπινου δυναμικού που αντιμετωπίζει κάθε επιχείρηση και ακόμα και σήμερα ο προγραμματισμός γίνεται με μη αυτόματο τρόπο για τις δραστηριότητες που προκύπτουν μετά τον αρχικό προγραμματισμό. Ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού μας προσδιορίζει πότε ένας εργαζόμενος πρέπει να κάνει μία εργασία και σε ποιόν χρόνο όπως επίσης μας προσδιορίζει της ημέρες που δεν θα εργάζεται. Η λύση αυτού του προβλήματος περίπλοκη αφού πρέπει να πληρούνται όλοι οι περιορισμοί που έχουν σχέση με τις απαιτούμενες ανάγκες της επιχείρησης, τον προσδιορισμό των ικανοτήτων των εργαζομένων, τις νομικές ή συμβατικές υποχρεώσεις και τελευταίο τις προτιμήσεις των εργαζομένων, και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιείται το κόστος. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού δεν αφορά μόνο τον προγραμματισμό για ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα αλλά και την αντιμετώπιση διάφορων καταστάσεων που θα προκύψουν κατά την διάρκεια του διαστήματος αυτού. Τα μοναδικά χαρακτηριστικά των διαφορετικών επιχειρήσεων σημαίνει ότι ειδικά μαθηματικά μοντέλα και αλγόριθμοι πρέπει να χρησιμοποιηθούν για να λυθεί το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού προσωπικού σε μία επιχείρηση και ότι οι λύσεις δεν μπορούν να μεταφερθούν ή να εφαρμοστούν σε άλλες επιχειρήσεις λόγο αυτών των μοναδικών χαρακτηριστικών. Η λύση του προβλήματος χρονικού προγραμματισμού είναι βασισμένη στα πληροφοριακά συστήματα λήψης αποφάσεων και είναι απαραίτητη η διαθεσιμότητα και πληροφόρηση των δεδομένων προκειμένου να μπορούν να αξιολογηθούν εναλλακτικά σενάρια και να ληφθούν περίπλοκες αποφάσεις. Αυτό σημαίνει ότι ο υπεύθυνος για τον προγραμματισμό πρέπει να έχει γνώσεις της διοικητικής επιστήμης για την λήψη επιχειρησιακών αποφάσεων. Η διοικητική επιστήμη στοχεύει στη διασύνδεση της αναλυτικής ικανότητας με τις ανθρώπινες διοικητικές ικανότητες και την αντίληψη της τεχνολογίας. Στην διοικητική επιστήμη το σύστημα μιας επιχείρησης απεικονίζεται στον υπολογιστή, αυτό ονομάζεται μοντέλο και ως μοχλό για την λήψη αποτελεσματικών και αποδοτικών αποφάσεων χρησιμοποιούνται τα μοντέλα λήψης αποφάσεων. Άρα ο υπεύθυνος για τον προγραμματισμό πρέπει να έχει νοητικές ικανότητες, ανθρώπινες και διοικητικές ικανότητες και τέλος γνώση, αντίληψη και αξιοποίηση της τεχνολογίας. ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 12

Η διαδικασία της λήψης αποφάσεων είναι πολύπλοκη διαδικασία και ακολουθούνται τα εξής βήματα για την αντιμετώπιση ενός προβλήματος[16]: 1) Εντοπισμός του προβλήματος, 2) Αποτύπωση και ανάλυση του προβλήματος, 3) Διατύπωση των στόχων, 4) Αρχικός σχεδιασμός ή ανασχεδιασμός του συστήματος, 5) Διατύπωση μοντέλου, 6) Επίλυση μοντέλου, 7) Ανάλυση της λύσης, 8) Υλοποίηση της λύσης, 9) Παρακολούθηση και έλεγχος. Αφού εντοπιστεί ένα πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού σε μια επιχείρηση, ο υπεύθυνος πρέπει να είναι σε θέση να αναλύσει το πρόβλημα και να διατυπώσει τους επιδιωκόμενους στόχους. Έπειτα σχεδιάζεται ή ανασχεδιάζεται (σε περίπτωση που έχει εμφανιστεί ένα πρόβλημα μετά τον αρχικό προγραμματισμό) το σύστημα και διατυπώνεται το μοντέλο. Κατά την διατύπωση του μοντέλου εμφανίζονται τα βασικά προβλήματα του χρονοπρογραμματισμού προσωπικού. Τα βασικά προβλήματα που αντιμετωπίζει ο χρονοπρογραμματισμός προσωπικού είναι προβλήματα βελτιστοποίησης, προβλήματα ικανοποίησης περιορισμών και τέλος προβλήματα αντικειμενικότητας. Αφού εντοπιστούν και προσδιοριστούν τα βασικά αυτά προβλήματα, ο υπεύθυνος για τον χρονοπρογραμματισμό προσωπικού έχει να αντιμετωπίσει και πρακτικά προβλήματα που εμφανίζονται κατά την επίλυση του μοντέλου. Το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού προσωπικού αποτελεί πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης και σε περίπλοκα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού υπάρχει έλλειψη αποδοτικών αλγορίθμων καθώς το πλήθος των πιθανών λύσεων είναι μεγάλο και δεν μπορούν να δώσουν λύση εντός των αποδεκτών χρονικών ορίων. Λόγω της πολυπλοκότητας δημιουργούνται προβλήματα στην μοντελοποίηση του προβλήματος όπως επίσης και στην λύση των μοντέλων που θα προκύψουν κατά την μοντελοποίηση. Ένα ακόμα πρακτικό πρόβλημα που έχει να αντιμετωπίσει είναι η έλλειψη χρόνου αφού η αντιμετώπιση των προβλημάτων πρέπει να γίνεται εντός χρονικών περιορισμών ιδιαίτερα σε περιπτώσεις επαναπρογραμματισμού όπου πρέπει να παραχθούν αποτελέσματα σε διάφορες χρονικές στιγμές. Αφού λυθούν τα πρακτικά προβλήματα ο υπεύθυνος έχει στα χέρια του την λύση και πρέπει να έχει την ικανότητα να την αναλύσει και τέλος να την υλοποιήσει. Αυτό σημαίνει ότι αναλύει αν η λύση ισχύει για ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 13

τις παραμέτρους που οριστήκανε κατά την διατύπωση του μοντέλου και αν η λύση είναι εφαρμόσιμη χωρίς να παρουσιάζονται δυσκολίες. Η λύση που έχει επιλεχθεί είναι κατάλληλη μόνο σε συνθήκες βεβαιότητας, δηλαδή μόνο σε περιπτώσεις που η απόφαση δεν επηρεάζεται από άλλους παράγοντες. Σε συνθήκες αβεβαιότητας η θεωρία των αποφάσεων βοηθάει στην κατανόηση σύνθετων προβλημάτων και στην ανάλυση εναλλακτικών αποφάσεων ώστε να επιλεγεί η πλέον κατάλληλη λύση. Ανάλογα με τις προτιμήσεις του υπεύθυνου σχετικά με την έκθεση σε κίνδυνο της επιχείρησης και το ενδεχόμενο κέρδος η απόφαση μπορεί να διαφέρει έτσι έχουν αναπτυχθεί ορισμένα κριτήρια όπως κριτήριο μεγιστοποίησης της απόδοσης, κριτήριο ελαχιστοποίησης της ζημιάς, κριτήριο μεγιστοποίησης του κέρδους, κριτήριο ελαχιστοποίησης του κόστους ευκαιρίας, κριτήριο υπεροχής ή κριτήριο Laplace που παίρνονται ανάλογα με το θέμα του προβλήματος. Εδώ εμφανίζεται η έννοια της χρησιμότητας δηλαδή το μέτρο ικανοποίησης του υπευθύνου από τους αρχικούς στόχους. Η χρησιμότητα επιτρέπει την σύγκριση της αξίας διαφορετικών αποφάσεων και διαφέρει από υπεύθυνο σε υπεύθυνο ανάλογα με την δική του προδιάθεση. 2.2. Πρόβλημα Βελτιστοποίησης Το πρόβλημα βελτιστοποίησης διατυπώνεται σαν πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης, μιας μεταβλητής ή πολλών μεταβλητών, δηλαδή είναι ένα πρόβλημα για το οποίο ζητείται η καλύτερη δυνατή λύση[17]. Τα προβλήματα βελτιστοποίησης χωρίζονται σε συνεχή και συνδυαστικά. Συνεχή είναι αυτά που οι μεταβλητές απόφασης παίρνουν συνεχείς τιμές και διακριτά αυτά που οι μεταβλητές απόφασης παίρνουν διακριτές τιμές. Τα συνεχή προβλήματα χωρίζονται σε γραμμικά όπου η επίλυσή τους γίνεται με τον γραμμικό προγραμματισμό και σε μη γραμμικά όπου η επίλυσή τους γίνεται με ευρετικές τεχνικές. Το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού προσωπικού αποτελείται από πολλά επιμέρους προβλήματα που αντιμετωπίζονται σε συνδυασμό και η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης μπορεί να γίνει μέσω ενδιάμεσων λύσεων γι αυτό και αποτελεί πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Ένα πρόβλημα συνδυαστικής βελτιστοποίησης μπορεί να οριστεί ως εξής: mmmmmm cc jj : SS FF, NN = {11, 22,, nn} SS NN jj SS Όπου: ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 14

N: πεπερασμένο σύνολο, j: στοιχείο του συνόλου, cc jj : βάρη συσχετιζόμενα με κάθε στοιχείο του συνόλου, F: σύνολο των εφικτών υποσυνόλων του N, S: υποσύνολο του F όπου το άθροισμα cc jj είναι ελάχιστο, και ζητείται η εύρεση του υποσυνόλου S F για το οποίο το άθροισμα των βαρών των στοιχείων του είναι ελάχιστο[9]. 2.3. Πρόβλημα Ικανοποίησης Περιορισμών Σε κάθε πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού οι περιορισμοί πρέπει να διατυπώνονται με ακρίβεια, συντομία και πληρότητα. Είναι σημαντικό κατά την λύση του προβλήματος να συμπεριληφθούν μόνο οι άμεσα σχετικοί περιορισμοί και αυτοί να εκφραστούν με συντομία και ακρίβεια. Είναι βασικό να περιγράψουμε και να προσδιορίσουμε τα δεδομένα που είναι βασικά για τον προγραμματισμό ενός προβλήματος χρονοπρογραμματισμού προσωπικού και που βοηθάνε να περιγράψουμε τους περιορισμούς και έπειτα την χρησιμότητα της αντικειμενικότητας. Αυτά τα δεδομένα είναι τα ανεξάρτητα μέλη του προβλήματος και οι μεταβλητές απόφασης. Είναι σημαντικό να αναγνωριστούν τα ανεξάρτητα μέλη του προβλήματος. Σε ένα πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού ίσως κάποια μέρη να αντιμετωπίζονται ανεξάρτητα από κάποια άλλα. Μπορεί να μοιάζει ασήμαντο αλλά είναι πολύ σημαντικό γιατί χρησιμοποιώντας τα ανεξάρτητα μέρη μπορεί να μειωθεί σε μεγάλο βαθμό το μέγεθος του προβλήματος. Ίσως είναι ακόμα καλύτερο να διαχωριστεί το πρόβλημα σε επιμέρους ομάδες και αυτές οι ομάδες να προγραμματιστούν ανεξάρτητα ακόμα κι αν δεν είναι ανεξάρτητες με την πρώτη ματιά. Η λύση του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού είναι η ανάθεση του κάθε αντικειμένου σε διαφορετικούς χρονοπίνακες εργασιών. Η λύση μπορεί να απεικονιστεί ως μια μία λύση από ένα σύνολο δυαδικών μεταβλητών που παίρνει τιμές 1 και 0[2]. xx ssss 11, αααα ττττ ααααααααααααίμμμμμμμμ ss εείνννννν ααααααααααααααααένννν σσσσσσσσ χχχχχχχχχχχχίνννννννν εεεεεεεεεεεεώνν bb = 00, σσσσ κκάθθθθ άλλλλλλ ππππππίππππππππππ Όπου ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 15

x: σημαίνει το σύνολο όλων των μεταβλητών απόφασης, s: ένα αντικείμενο, b: ένας χρονοπίνακας εργασιών. Αν η λύση είναι 1 τότε όλες οι μεταβλητές απόφασης έχουν ανατεθεί και το x σημαίνει μια ολόκληρη λύση. Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις η λύση είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι οι μεταβλητές απόφασης δεν μπορούν να προγραμματιστούν για κάθε χρονοπίνακα εργασιών. Για παράδειγμα, έστω ότι ο χρονοπίνακας εργασιών bb 1 πρόκειται για βραδινό ωράριο 12-6 πμ και το αντικείμενο ss 1 μπορεί να προγραμματιστεί μόνο πρωινές ώρες ενώ το αντικείμενο ss 2 όλες τις ώρες τότε έχουμε δύο μεταβλητές απόφασης (xx bb1 ss 1, xx bb 1 ss 2 ) και η λύση είναι (0,1) αφού το αντικείμενο ss 1 μπορεί να προγραμματιστεί μόνο πρωινές ώρες. Υπάρχουν διάφοροι τύποι περιορισμών και είναι σημαντικό να προσδιοριστούν αυτοί που εμφανίζονται στα προβλήματα χρονοπρογραμματισμού προσωπικού. 2.3.1. Τύποι Περιορισμών Υπάρχουν διάφοροι τύποι περιορισμών που θα προκύψουν κατά την επίλυση των προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού προσωπικού και ο προσδιορισμός τους βοηθάει στην αναγνώριση και στην διατύπωσή τους. - Σκληροί περιορισμοί Οι σκληροί περιορισμοί είναι περιορισμοί οι οποίοι δεν μπορούν να παραβιαστούνε αφού για παράδειγμα ένας υπάλληλος δεν μπορεί να βρίσκετε σε δύο μέρη ταυτόχρονα. Ένας σκληρός περιορισμός μπορεί να διατυπωθεί ως εξής[2]: xx ssss 11, BB bb BB Όπου: s: ένα αντικείμενο, b: ένας χρονοπίνακας εργασιών, BB : το σύνολο των χρονοπινάκων εργασιών που συμπίπτουν οι χρόνοι. Η ανισότητα μας δείχνει ότι το πολύ ένας από τους χρονοπίνακες στους οποίους συμπίπτουν οι χρόνοι μπορεί να επιλεγεί μέχρι η μεταβλητή xx ssss να πάρει τιμές μόνο 0 ή 1. ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 16

- Ήπιοι περιορισμοί Οι ήπιοι περιορισμοί μπορούν να παραβιαστούν και η λύση να παραμείνει αποδεκτή. Το πόσο μπορούν να παραβιαστούν οι ήπιοι περιορισμοί πρέπει να είναι γνωστό γι αυτό σε έναν ήπιο περιορισμό ορίζουμε μια βέλτιστη τιμή και το φάσμα τον αποδεκτών τιμών. Ένας συνηθισμένος τρόπος διαχείρισης των ήπιων περιορισμών είναι να συσχετίσουμε μια ποινή εργασίας για κάθε ήπιο περιορισμό. Ένας ήπιος περιορισμός μπορεί να διατυπωθεί ως εξής[2]: ff cc (xx) < mm cc Όπου: c: είναι ένας ήπιος περιορισμός, ff cc : μια ποινή εργασίας για έναν ήπιο περιορισμό, ff cc (x): η ποινή εργασίας από τον ήπιο περιορισμό εφαρμοσμένο για την λύση x, mm cc : είναι η αφετηρία για την ανώτερη επιτρεπόμενη ποινή. Στόχος είναι να βρεθεί η λύση του x ώστε να ικανοποιείται η ff cc (x) για κάθε ήπιο περιορισμό και η ff cc (x) να είναι όσο μικρότερη γίνετε. Ο ff cc είναι ίσος με 0 αν ο ήπιος περιορισμός είναι τέλεια τοποθετημένος σε έναν χρονοπίνακα εργασιών ενώ σε άλλη περίπτωση αυξάνετε στον βαθμό που έχει παραβιαστεί ο περιορισμός. - Περιορισμοί ακολουθίας Είναι πολύ χρήσιμο να επιβληθεί μια ακολουθία περιορισμών στους πίνακες χρονικών περιορισμών. Υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις που μια εργασία από ένα αντικείμενο δεν μπορεί να ακολουθηθεί από μία άλλη, όπως στις περιπτώσεις των βραδινών βαρδιών που δεν μπορούν να ακολουθηθούν από πρωινές βάρδιες για ένα αντικείμενο. Οι περιορισμοί ακολουθίας μπορούν να διατυπωθούν ως εξής[2]: xx ssss xx ssss, bb, ss bb TT bb Όπου: b: ένας χρονοπίνακας εργασιών, b : ο αντίθετος χρονοπίνακας εργασιών του b, T b : το σύνολο των χρονοπινάκων εργασιών που μπορούνε να προγραμματιστούνε μετά τον χρονοπίνακα εργασιών b. ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 17

Για κάθε πίνακα εργασιών ορίζετε ένα σύνολο από δυνατούς χρονοπίνακες εργασιών που μπορούν τους ακολουθήσουν. Η ανισότητα σημαίνει ότι αν ένα αντικείμενο είναι τοποθετημένο σε έναν χρονοπίνακα εργασιών b, οπότε x sb είναι ίσο με 1, τότε τουλάχιστον ένας από τους χρονοπίνακες εργασιών που μπορούνε να προγραμματιστούνε μετά τον χρονοπίνακα εργασιών b πρέπει να είναι έχει ανατεθεί για το αντικείμενο αυτό. Τότε το σύνολο θα είναι καλύτερο που γίνετε ή ίσο με 1. Όπως διακρίνετε οι περιορισμοί ακολουθίας είναι σκληροί περιορισμοί. - Αθροιστικοί περιορισμοί Αυτοί οι περιορισμοί είναι πολύ γενικοί και ελαστικοί. Η κύρια ιδέα είναι να αθροιστούνε διάφορα πράγματα σε διάφορα χρονικά φάσματα. Το αποτέλεσμα του αθροίσματος πρέπει να δίνει ένα φάσμα που να είναι βέλτιστο ή αποδεκτό. Οι αθροιστικοί περιορισμοί είναι ήπιοι περιορισμοί και μπορούν να διατυπωθούν ως ήπιοι περιορισμοί ορίζοντας μια κατάλληλη ff cc [2]. - Περιορισμοί εργασίας Είναι ο πιο άμεσος περιορισμός. Φυσικά η εργασία πρέπει να ολοκληρωθεί αφού αυτός είναι ο σκοπός του προγραμματισμού. Υπάρχουν περιπτώσεις που οι περιορισμοί εργασίας ανήκουν στους ήπιους περιορισμούς και περιπτώσεις που ανήκουν στους σκληρούς περιορισμούς. Η διατύπωση των περιορισμών εργασίας εξαρτάται από το πόσο αναγκαίο είναι να οριστεί μια εργασία[2]. Οι περιορισμοί εργασίας μπορούν να διατυπωθούν ως εξής: nn mmmmmm xx ssss nn mmmmmm ss SS,bb BB όπου: s: ένα αντικείμενο, S: το σύνολο των δυνατών αντικειμένων, b: ένας χρονοπίνακας εργασιών, B: το σύνολο των χρονοπινάκων εργασιών που μπορούνε να χρησιμοποιηθούνε για μια εργασία και καλύπτουν εξ ολοκλήρου την χρονική περίοδο της εργασίας, n min : τον ελάχιστο αριθμό των παρόντων αντικειμένων, n max : τον μέγιστο αριθμό των παρόντων αντικειμένων. - Περιορισμοί ασυμβατότητας Οι περιορισμοί ασυμβατότητας χρησιμεύουν στο να απαγορεύουν σε δυο ασυμβίβαστα αντικείμενα να ανατεθούν στον ίδιο χρονοπίνακα εργασιών. Οι ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 18

περιορισμοί ασυμβατότητας είναι σκληροί περιορισμοί και μπορούν να διατυπωθούν ως εξής[2]: xx ssss 1 II JJ, bb ss II Όπου: s: ένα αντικείμενο, I: το σύνολο των αμοιβαίων ασυμβίβαστων αντικειμένων, J: το σύνολο των ασυμβίβαστων συνόλων I των αντικειμένων. - Τοπικοί περιορισμοί Οι τοπικοί περιορισμοί είναι περιορισμοί για των οποίων η επιβεβαίωση δεν είναι αναγκαία η ευρύτερη γνώση της λύσης. Μπορούν να επιβεβαιωθούν με αναφορά σε μια μικρή μερίδα του χρονοπρογραμματισμού και είναι εύκολο να εξακριβωθούν. Οι περιορισμοί ακολουθίας και οι περιορισμοί ασυμβατότητας είναι παραδείγματα τοπικών περιορισμών[2]. - Γενικοί περιορισμοί Οι γενικοί περιορισμοί είναι περιορισμοί που απαιτούν ευρύς γνώση της λύσης. Με άλλα λόγια, πριν ελεγχθεί αν ένας περιορισμός είναι αποδεκτός χρειάζεται η γνώση μιας μεγάλης μερίδας της λύσης. Οι περιορισμοί εργασίας με τν πρώτη ματιά είναι τοπικοί περιορισμοί όμως είναι και γενικοί περιορισμοί με την έννοια ότι απαιτούν έναν προγραμματισμό που να καλύπτει όλους τους υπαλλήλους για την περίοδο των αναγκών της εργασίας. Επίσης, οι αθροιστικοί περιορισμοί είναι περισσότερο γενικοί περιορισμοί[2]. - Ενδογενείς και εξωγενείς περιορισμοί Οι ενδογενείς περιορισμοί δίνονται από την φύση των αντικειμένων που θα προγραμματιστούνε, ενώ εξωγενείς αυτοί που επιβάλλονται από εξωτερικούς παράγοντες όπως οι νόμοι και οι κανονισμοί. Οι ενδογενείς περιορισμοί είναι συνήθως σκληροί περιορισμοί ενώ οι εξωγενείς περιορισμοί τείνουν να γίνουν ήπιοι περιορισμοί[2]. 2.4. Πρόβλημα Αντικειμενικότητας Σε ένα πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού όλες οι συναρτήσεις πρέπει να είναι αντικειμενικές. Μια αντικειμενική συνάρτηση μετράει την ποιότητα της λύσης και οδηγεί τον υπεύθυνο για την βελτιστοποίηση στην επιλογή της καλύτερης λύσης. Η αντικειμενική ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ 19