Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Aν φ η γωνία των μη μηδενικών διανυσμάτων α,β, αβ τότε ισχύει ότι: συνφ. Σ Λ α β β. ΓΑ ΒΟ ΓΒ ΟΑ. Σ Λ γ. Αν α, β μη μηδενικά διανύσματα και προβα β β, τότε α β. Σ Λ δ. Αν α 5 και β τότε αβ 3. Σ Λ ε. Αν α =( 3, ), τότε το α είναι παράλληλο στην ευθεία x+3y=1. Σ Λ ( μονάδες ανά ερώτημα) Γ. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε την σωστή απάντηση δικαιολογώντας την απάντησή σας. 1. Αν ισχύει η σχέση: 3ΑΚ ΛΓ ΛΑ 3ΒΚ ΛΑ, τότε: α. τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, β. τα σημεία Α και Β ταυτίζονται γ. AB ΚΒ δ. ΛΚ ΑΓ (4 μονάδες). Aν το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά ΑΒ=ΒΓ=ΑΓ=, τότε το ΒΓ ΓΑ ισούται με: α. 4 β. γ. 3 δ.0 (4 μονάδες)
Θέμα Δίνεται η εξίσωση (x y 5) λ (x y) 0 (1). Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία γραμμή για κάθε τιμή του λr και στη συνέχεια να βρείτε τις συντεταγμένες του σταθερού σημείου Α από το οποίο διέρχονται οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1). (6 μονάδες) Β. Ποια από τις παραπάνω ευθείες (ε 3 ) είναι κάθετη στην ε 1 :x y=0; (3 μονάδες) Γ. Αν Β το σημείο στο οποίο η ευθεία ε : y= x+1 τέμνει τον άξονα y y, να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Β ως προς την ευθεία του ερωτήματος Β (ε 3 : x+y=5). Δ. Αν Γ το σημείο τομής των ευθειών ε και ε 3, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η υπερβολή με εστίες στον y y και εμβαδού ορθογωνίου 4 βάσης ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, έχει εξίσωση C: y α x α. (4 μονάδες) β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω υπερβολής στο σημείο της Α(1, 5). (5 μονάδες) Θέμα 3 Δίνεται η εξίσωση x +y κx+6y+9=0 (1) και η ευθεία δ: β x α y50. π Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, ισχύει ότι β α και(α,β), 3 τότε να βρείτε: Α. την προβολή u, του β πάνω στο α. (4 μονάδες) Β. την τιμή του κr, για την οποία η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο, με κέντρο στο τέταρτο τεταρτημόριο και ακτίνα ρ= β. u Γ. (για κ=4) α. τις εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται στον κύκλο από το σημείο Μ(4, 7). β. την μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εσωτερικό γινόμενο αβ, αν η ευθεία (δ) δεν έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο.
Θέμα 4 Α. Nα βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (C) ο οποίος είναι ομόκεντρος με τον κύκλο (C 1 ): x + y 6x 8y + 4 = 0 και εφάπτεται στην ευθεία (ε): 3x + 4y + 5 =0. B. Έστω Α και Β τα σημεία που τέμνει η ευθεία ε :y x 10=0 τον κύκλο C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με του κύκλου C του Α ερωτήματος. Να αποδείξετε ότι το μήκος της χορδής ΑΒ ισούται με 8. Γ. Έστω η έλλειψη με μικρό άξονα στον y y και ίσο με την ακτίνα του κύκλου C. Αν ο μεγάλος άξονας της έλλειψης ισούται με το μήκος της χορδής ΑΒ, να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης η οποία έχει για μέσο το σημείο Μ(,1). (9 μονάδες) Καλή Επιτυχία στις Εξετάσεις!!!
Θέμα 1 Απαντήσεις Διαγωνίσματος Λύση Α. σχολικό σελ. 4 αβ Β. α Λ συνφ β Σ γ Σ δ Λ αβ α β ε Σ α β Γ. 1. 3ΑΚ 3ΒΚ ΛΓ ΛΑ 03(ΑΚ ΒΚ) (ΛΑ ΛΓ) 0 3ΑΒ ΓΑ 0 ΑΒ ΓΑ. Άρα το α. 3. Α Α ο ΒΓ ΓΑ ΒΓ ΒΔ ΒΓ ΒΔ συν10 Δ 1 Β Γ Β Γ Άρα το β. Θέμα Λύση
Α. (x y 5) λ (x y) 0 (λ )x (1 λ)y5 0 (1) 1-λ=0λ= 1 και λ+=0λ=. Αφού δεν υπάρχει τιμή του λ που να μηδενίζει ταυτόχρονα τους συντελεστές της εξίσωσης, η (1) παριστάνει ευθεία. x y 5 0 x y 5 0 y 1 Άρα διέρχονται από το Α(,1) xy0 x4y0 x Β. ε 1 :x y=0λ 1 = 1 λ ε3 ε1 λ3λ1 1 λ3 λ3 0 1 λ Άρα η (1) ε 3 : x+y 5=0 Γ. ε : y= x+1. Για x=0, y=1. Άρα η ε τέμνει τον y y στο Β(0,1). Θα βρούμε το σημείο Μ στο οποίο τέμνει την ε 3 η ευθεία ε η οποία διέρχεται από το Β και είναι κάθετη στην ε 3. 1 εε3 λε λ3 1 λε. 1 ε :y1 (x0) xy 0 Το Μ είναι το σημείο τομής των ε και ε 3. 9 y xy5 xy5 5 8 9 M, x y x 4y 4 8 5 5 x 5 Αν Δ(x o,y o ) το συμμετρικό του Β, το Μ θα είναι το μέσο του ΒΔ. Άρα xo 0 8 16 yo 1 9 13 xo και yo. Δηλαδή 5 5 5 5 16 13 Δ, 5 5. Δ. α. Θα βρούμε τις συντεταγμένες του Γ. x y 5 x 4 Άρα Γ(4, 3) xy1 y3 και ΑΒ (,0), ΑΓ (, 4) 1 1 0 1 ΑΒΓ det ΑΒ, ΑΓ 80 4τ.μ 4 y x Εμβαδόν ορθογωνίου βάσης της υπερβολής 1 (με εστίες στον y y) Ε=(α) (β) α β (α) (β)=4αβ=1β 1 α y x y x y 4 1 1 α x 1C:y α x α. α β α 1 α α
β. Οι συντεταγμένες του σημείου Α επαληθεύουν την C 4 4 4 ( 5) α 1 α 0 α α α α 0 0 (α 5)(α 4) 0 α 50 αδύνατη ή α 4 α α (το απορρίπτεται) Άρα C: y 16x 4 και ε: yy 1 16xx 1 =4 5y 16x=4. Θέμα 3 Λύση Α. προββ u κα α π 1 αβαπροβ βακα κ α α β συν κ α α κ α κ 1 α 3 Άρα u α. Β. Πρέπει Α Β 4Γ 0 κ 36 36 0 κ 0 κ 0 Α Β 4Γ ρ κ 4 κ 4 Α Β λ το κέντρο του κύκλου θα είναι το Κ, δηλαδή Κ, 3 για κ= 4, Κ(, 3) ανήκει στο 3 ο τεταρτημόριο (άρα κ= 4 απορρίπτεται) για κ=4, Κ(, 3) ανήκει στο 4 ο τεταρτημόριο Άρα κ=4. Γ. α. Για κ=4 ο κύκλος έχει εξίσωση C: x +y 4x+6y+9=0, με κέντρο Κ(, 3) και ρ=. Η εφαπτομένη του κύκλου που άγεται από το Μ(4, 7), θα έχει μορφή ε: y+7=λ(x 4) λx y 4λ 7=0 ή x=4 Η ευθεία ζ: x=4 είναι δεκτή αφού d(κ,ζ)=ρ λ 34λ 7 Πρέπει d(κ,ε)=ρ λ 4 λ 1 λ 1 3 λ λ 1 (λ ) λ 1 λ 4λ 4 λ 1 λ 4 3 οι ζητούμενες εφαπτομένες έχουν εξίσωση x=4 και x y 4 0 3x 4y 16 0 4 β. Αφού η ευθεία (δ) δεν έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο, τότε: β 3 α 5 β α α 5 α 5 d(k,δ) ρ β α 5 α 5 α 5 α () 51 () π 1 5 5(1 4 5) αβ αβσυν α α αβ αβ 3 51 361
Άρα η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εσωτερικό γινόμενο α β 5(1 4 5) είναι η. 361 Θέμα 4 Λύση Α Β Κ,, Κ (3, 4) και αφού οι κύκλοι είναι ομόκεντροι Κ(3,4) Θα βρούμε την ακτίνα ρ. Ο κύκλος εφάπτεται στην (ε). 33 44 5 30 Άρα ρ d(k,ε) 6. 916 5 C: (x 3) +(y 4) =36 Α. 1 1 B. Αν Μ το μέσο της χορδής ΚΛ, τότε: 10 10 (OM) d(o,ε 3) και (OA) ρ 6 41 5 ο Το τρίγωνο OAM είναι ορθογώνιο αφού Μ 90. Άρα 100 5 (MA) (OA) (OM) 36 16 4. Άρα (ΑΒ) (ΑΜ) 8
Γ. β=ρβ=6β=3 και α=(αβ)=8α=4 x y Άρα η εξίσωση της έλλειψης θα είναι η 1 9x 16y 144 16 9 Έστω Κ(x 1,y 1 ) και Λ(x,y ) τα άκρα της ζητούμενης χορδής ΚΛ. x1x y1y Τότε και 1 x1x 4(1) και y1y () Οι συντεταγμένες των Κ, Λ επαληθεύουν την εξίσωση της έλλειψης, άρα: αφαιρώ κατά μέλη 9x1 16y1 144 9(x 1 x ) 16(y1 y ) 0 9x 16y 144 9(x x )(x x ) 16(y y )(y y ) 0 36(x x ) 3(y y ) 0 1 1 1 1 1 1 () y y1 36 9 x x 3 8 1 Άρα λ ΚΛ = 9 και αφού η χορδή διέρχεται από το σημείο Μ(,1) 8 (ΚΛ): y 1= 9 (x ) 9x+8y 6=0 8 (1)