ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια

Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε αν τα σηµεία Α( 1, ) και B( 4,1 ) ανήκουν στη γραµµή c µε εξίσωση x + y y 0 Το σηµείο Α( 1, ) θα ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν: 1+ 0 1 0 άτοπο. Α 1, δεν ανήκει Άρα το σηµείο στη γραµµή c, δηλαδή Α( 1,) œ c. Γνωρίζουµε ότι: ΣΧΟΛΙΟ ένα σηµείο Mx ( 0,y 0) ανήκει στη γραµ- µή c µε εξίσωση φ ( x,y) 0, αν, και µόνο αν, ισχύει φ ( x 0,y0) 0. (δηλαδή αν, και µόνο αν, οι συντεταγµένες του σηµείου Μ ικανοποιούν την εξίσωση της γραµµής c). Όµοια το σηµείο B( 4,1 ) ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν: 4+ 1 1 0 0 0 που ισχύει. Άρα το σηµείο B( 4,1 ) ανήκει στη γραµµή c, δηλαδή B( 4,1) Œ c. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια η Κατηγορία : Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας και Γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: i) ω π ii) ω π iii) ω π iv) ω 0 i) λ εφ π ii) λ εφ π iii) εν ορίζεται iv) λ εφ0 0 ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι αν ω π π, τότε λ εφω 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε που έχει συντελεστή διεύθυνσης: i) λ ii) λ iii) λ iv) λ 1 i) λ εφω ω π ii) λ εφω ω π π π iii) λ εφω ω π 6 iv) λ 1 εφω 1 ω π 4 ΣΧΟΛΙΟ Για τη γωνία ω που σχη- µατίζει µια ευθεία ε µε τον άξονα χχ, γνωρίζουµε ότι είναι πάντοτε: 0 ω< π. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

4 Φροντιστήρια 1.4 Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης και τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία: i) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα a ( 6, 1). β,0. ii) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα 1, 6 6 άρα ω π π 5π 6 6 ii) λ 0 ε λ 0, άρα ω 0 β i) λε λ α ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι: όταν µια ευθεία ε και ένα διάνυσµα δ (x,y), x π 0, είναι παράλληλα, τότε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: λ y ε λδ x. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 5 η Κατηγορία : Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας από δυο γνωστά σημεία της 1.5 *Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης: i) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σηµεία Α( 1,4) και Β(1,6) ii) Της ευθείας, η οποία τέµνει τους άξονες στα σηµεία Γ( 1,0) και (0,). i) 6 4 Eίναι: λαβ 1 1 ( 1) ii) 0 Eίναι: λγ 0 ( 1) 1 ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι: Αν A ( x 1,y 1), ( ) µε x πx, τότε 1 y λ x - y 1 -x 1. B x,y, 4η Κατηγορία : Συνθήκες Παραλληλίας και Καθετότητας Ευθειών 1.6 ίνονται τα σηµεία Γ( 1,0) και (0,). Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι i) παράλληλη στη Γ ii) κάθετη στη Γ. i) Είναι λγ 0. 0 ( 1) Η ευθεία ε είναι παράλληλη στη Γ, µόνο όταν λε λγ. ΣΧΟΛΙΟ Αν ε 1, ε είναι δύο ευθείες µε συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ, τότε: ii) Η ευθεία ε είναι κάθετη στη Γ, µόνο ε 1 // ε <> λ1 λ και όταν λε λγ 1 λ 1 1 ε λ. ε1 ^ ε <> λ1 λ-1 Γ Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

6 Φροντιστήρια 5η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας 1.7 Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 4, 1) και i) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. ii) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 0. iii) δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. i) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται ii) από το σηµείο Α( 4, 1) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, είναι: y 1 x 4 y + 1 ( x+ 4) y x 1 Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 4, 1) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 0, είναι: y 1 0 x 4 y 1 ΣΧΟΛΙΟ Αν έχουµε το σηµείο A ( x 1,y 1) τότε: Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, είναι: y - y λ χ -x. 1 1 Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, είναι: x x 1 iii) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 4, 1) και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, είναι: x 4 Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 7 6η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας που διέρχεται από δυο γνωστά σημεία 1.8 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: i) Α(,) και Β(4, ) ii) Α( 1, 5) και Β(4, 5) iii) Α(,7) και Β(, 4) i) Είναι λ ΑΒ 5, άρα 4 6 η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: y 5 ( x ( ) ) 6 y 5x+ 4 6 5 5 ii) Είναι λαβ 0, άρα 4 1 η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: ( ) y 0 x y ΣΧΟΛΙΟ Αν έχουµε τα σηµεία A ( x 1,y 1) και B ( x,y ), τότε: Αν x πx, τότε 1 λ ΑΒ y - y1 και η x -x 1 εξίσωση της ΑΒ είναι - ( - ) y y λ χ x. 1 1 1 Αν x x, τότε η ΑΒ δεν έχει συντελεστή διευθύνσεως γιατί ΑΒ ^ xx. Η εξίσωση της ΑΒ είναι x x 1 iii) Η ΑΒ δεν έχει συντελεστή διεύθυσνης, γιατί τα σηµεία Α και Β έχουν την ίδια τετµηµένη: x1 x. Άρα η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: x. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

8 Φροντιστήρια 7η Κατηγορία : Κοινά σημεία δύο ή περισσοτέρων ευθειών 1.9 Να βρείτε το κοινό σηµείο των ευθειών µε εξισώσεις y x και y x + 8 Λύνουµε το σύστηµα: y x y x+ 8 x x+ 8 y x+ 8 5x 10 y x+ 8 x y + 8 x y 4 Για να βρούµε το κοινό σηµείο δυο ευθειών, λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους. Αν βέβαια το σύστηµα αυτό είναι αδύνατο, τότε οι δυο αυτές ευθείες δεν έχουν κοινά σηµεία (δηλ. είναι παράλληλες) ενώ αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, τότε οι ευθείες αυτές ταυτίζονται.. Άρα το κοινό σηµείο των ευθειών αυτών, είναι το σηµείο Μ (,4 ) Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 9 8η Κατηγορία : Τρείς ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο 1.10 Να αποδείξετε ότι οι ευθείες µε εξισώσεις y 5x + 8, y x + 6 και y x + 1 διέρχονται από το ίδιο σηµείο του οποίου να βρείτε τις συντεταγµένες y 5x + 8 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε το y x + 6 σηµείο Α( - 1,) που είναι το σηµείο τοµής των δυο πρώτων ευθειών. Το σηµείο αυτό όµως ανήκει και στην τρίτη ευθεία µε εξίσωση y x + 1 γιατί ισχύει ( 1) + 1. Εποµένως και οι τρείς ευθείες διέρχονται από το σηµείο Α( - 1,). Για να αποδείξουµε ότι τρείς ευθείες διέρχονται (και οι τρείς) από το ίδιο σηµείο, αρκεί να αποδείξουµε ότι το ση- µείο τοµής των δύο πρώτων ανήκει και στην τρίτη. 1.11 *Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Μ,1 και τέµνει τις ευθείες y x+ 1 και y - x+ 1 στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ. Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ(,1) είναι: η κατακόρυφη µε εξίσωση x και οι µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις της µορφής y- 1 λ x-, λœ. Όταν σε µια άσκηση, θέλουµε να εξετάσουµε ΟΛΕΣ τις ευθείες που διέρχονται από κάποιο σηµείο Μχ,y 0 0, πρέπει να εξετάσουµε χωριστά: την κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση x χ 0 (που δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης) και τις µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις της µορφής - ( - ) y y λ x χ, λ Œ 0 0 Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

10 Φροντιστήρια Εξετάζουµε πρώτα αν η ευθεία x, είναι λύση του προβλήµατος: Εύκολα βρίσκουµε ότι η ευθεία x τέµνει την y x+ 1 στο σηµείο Β(,) και την y - x+ 1 στο σηµείο Γ(, - 1). Άρα το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ έχει µέσο το σηµείο µε συντεταγµένες + (-1), + δηλαδή συντεταγµένες του σηµείου Μ. Άρα, η κατακόρυφη x είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες.,1, που είναι οι Εξετάζουµε τώρα αν υπάρχει τιµή του λœ, ώστε η ευθεία y- 1 λ ( x- ) να είναι επίσης λύση του προβλήµατος. y- 1 λ x- µε την y x+ 1, λύνουµε το Για το σηµείο τοµής Β της Ïy- 1 λ x- Ïx+ 1-1 λx-λ σύστηµα: Ì Ì Ó y x+ 1 Ó y x+ 1 Ïλ λx-x Ì Ó y x+ 1 Ï( λ- 1x ) λ λπ1 Ïx λ Ï x λ Ì λ-1 λ-1 Ì Ì. Ó y x+ 1 Óy x+ 1 λ λ λ 1 λ 1 y + 1 + - - Ó λ-1 λ-1 λ -1 Άρα Β λ λ 1 (, λ-1 λ- - 1 ), µε τον περιορισµό βέβαια λ π 1. (Αν λ 1 το σύστηµα είναι αδύνατο, οπότε οι ευθείες δεν τέµνονται). y- 1 λ x- µε την y - x+ 1, λύνουµε το Για το σηµείο τοµής Γ της Ïy- 1 λ x- σύστηµα: Ì Γ λ, 1-λ Ó y - x+ 1 λ+ 1 λ + 1, λ π- 1. Το σηµείο Μ(,1) θα είναι µέσο του ΒΓ, αν και µόνο αν λ λ και όµοια βρίσκουµε Ï1 + Ï λ + λ 4 λ - 1 λ+ 1 λ- 1 λ + 1 Ì και Ì και 1 λ -1 1-λ Ó ( + ) 1 λ -1 1-λ λ- 1 λ+ 1 + Ó λ- 1 λ+ 1 Ï λ( λ+ 1) + λλ ( - 1) 4( λ+ 1)( λ -1) Ì και. ( λ- 1)( λ+ 1) + ( 1-λ)( λ- 1) ( λ+ 1)( λ -1) Ó Οι εξισώσεις όµως αυτές δεν συναληθεύουν για καµία τιµή του λ, αφού η πρώτη γράφεται λ + λ + λ - λ 4 λ - 4 0-4 (αδύνατη). Έτσι η µόνη λύση του προβλήµατός µας, είναι η κατακόρυφη ευθεία x. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 11 9η Κατηγορία : Κοινά σημεία μιας ευθείας με τους άξονες 1.1 Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής της ευθείας ε µε εξίσωση y x 5 µε τους άξονες x x και y y. Για τον άξονα x x : Λύνουµε το σύστηµα y x 5 5 y 0 x. y 0 Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα στο σηµείο A 5 (,0) x x. Για τον άξονα yy : Λύνουµε το σύ- x 0 στηµα y x 5 x 0 y 5. Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα yy B 0, - 5. στο σηµείο Για τους άξονες xx και y y γνωρίζουµε ότι: Ο xx έχει εξίσωση y 0 Ο y y έχει εξίσωση x 0. Εποµένως για να βρούµε τα σηµεία τοµής µιας ευθείας ε µε τους άξονες, για τον άξονα xx: θέτουµε y 0 στην εξίσωση της ευθείας. για τον άξονα y y: θέτουµε x 0 στην εξίσωση της ευθείας. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

1 Φροντιστήρια 10η Κατηγορία : Συνευθειακά Σημεία 1.1 *Να δείξετε ότι τα σηµεία Α(1, 1), Β(,0) και Γ( 1, ) είναι συνευθειακά. 1 ος 0 -(-1) τρόπος:έχουµε λab 1 και -1 --(-1) λaγ 1. Εποµένως, λab λaγ, -1-1 οπότε οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α- ποδείξουµε ότι οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες, δηλαδή λ λ ΑΒ AΓ (υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι ορίζονται οι συντελεστές διευθύνσεως) ος τρόπος: Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης 0 -(-1) λab 1 και αφού διέρχεται από -1 το σηµείο Β(,0) έχει εξίσωση y- 0 1x ( - ) y x-. Το σηµείο Γ( 1, ) ανήκει στην ευθεία αυτή, γιατί - -1-. Εποµένως, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α- ποδείξουµε ότι το ένα από τα τρία αυτά σηµεία (π.χ. το Γ) ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα άλλα δυο σηµεία Α και Β. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 1 1.14 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(α 1,α + 1), Β(β +,4 β + 9) και Γ( γ,9 γ ) είναι συνευθειακά για κάθε τιµή των α,β,γ. Έχουµε ΑΒ και ΑΓ ( β + ( α 1,4β ) + 9 ( α + 1) ) ( β α+ 4,4β α + 8) ( β α+ 4,( β α + 4) ) ( β α+ 4) ( 1,), άρα ΑΒ // ( 1, ). ( γ ( α 1,9 ) γ ( α + 1) ) ( γ α + 4, γ α + 8) γ α + 4,( γ α + 4) ( γ α + 4) ( 1,), άρα ΑΓ // ( 1,) Εποµένως, τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ είναι και τα δυο παράλληλα προς το διάνυσµα ( 1, ), οπότε είναι και µεταξύ τους παράλληλα.. Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να αποδείξου- µε ότι τα διανύσµατα AB και AΓ είναι παράλληλα, δηλαδή ότι det ( AB,AΓ ) 0 (ο τρόπος αυτός εφαρµόζεται και στην περίπτωση που δεν ορίζονται οι συντελεστές διευθύνσεως των διανυσµάτων) Άρα οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

14 Φροντιστήρια 11η Κατηγορία : Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 1.15 Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των παρακάτω ευθειών: i) ε 1 :x y 5 0 ii) ε : x y 5 iii) ε 1 :x+ 4y 0 iv) ε 4 i) Είναι A και B-π 0, οπότε λ - Α -. Β - ii) Είναι A- και B π 0, οπότε λ - Α - -. Β iii) Είναι A και B 4π 0, οπότε λ - Α - - 1. Β 4 iv) Είναι A και B 0 οπότε δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης (είναι κάθετη στον άξονα x x ). Γνωρίζουµε ότι η ευθεία µε εξίσωση Ax+ By + Γ 0: Αν B π0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ- Β Α. Αν B 0 είναι κάθετη στον άξονα xx και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. 1.16 Για ποιες τιµές του λ παριστάνει ευθεία η εξίσωση λ 4 x λ 4 λ 4 y + λ λ 0 (1); Η εξίσωση (1) ΕΝ παριστάνει ευθεία µόνο όταν ισχύουν και οι δυο παρακάτω σχέσεις: λ 4 0 λ ή λ και και. λ 4λ 4 0 λ ή λ ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι η εξίσωση Ax+ By + Γ 0 ΕΝ παριστάνει ευθεία µόνο όταν A 0 και B 0. Παρατηρούµε ότι για λ ισχύουν και οι δυο παραπάνω σχέσεις, οπότε για την τιµή αυτή του λ, η δοσµένη εξίσωση, δεν παριστάνει ευθεία. Εποµένως για κάθε λœ -{} η (1) παριστάνει ευθεία. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 15 1η Κατηγορία : Ζεύγη Ευθειών 1.17 *Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Έχουµε: x + 4xy + 4 y - 1 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; x 4xy 4 y 1 0 + + - x + y - 1 0 ( x + y - 1x )( + y + 1) 0 x + y - 1 0 ή x + y + 1 0 Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο παράλληλες µεταξύ τους ευθείες. 1.18 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + xy - y + x+ y 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; Η εξίσωση x + xy - y + x+ y 0 γράφεται ισοδύναµα x + ( y + 1x ) + (- y + y) 0 και θεωρούµενη ως εξίσωση β βαθµού ως προς τον άγνωστο x, έχει διακρίνουσα β - 4αγ ( y + 1-4 - y + y) 9 y + 6 y + 1+ 16y - 16 y 5y - 10 y + 1 ( 5 y -1) 0 ( y 1) ( 5y 1) - + ± - οπότε x -( y + 1) ± ( 5y -1) x 4 -y - 1+ 5y -1 -y -1-5y + 1 x ή x 4 4 y - y -1-8y x ή x - y 4 4 x- y + 1 0 ή x + y 0 Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο κάθετες µεταξύ τους ευθείες. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

16 Φροντιστήρια 1η Κατηγορία : Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία 1.19 ίνεται η ευθεία ε µε εξίσωση x- y+ 5 0. Να βρεθούν τρία διανύσµατα παράλληλα και τρία διανύσµατα κάθετα στην ευθεία ε. Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ-. - Εποµένως κάθε διάνυσµα παράλληλο προς την ε θα έχει επίσης συντελεστή διεύθυνσης. Τέτοια διανύσµατα είναι: α,, β ( 4,6) και γ- ( 8, -1). Επίσης κάθε διάνυσµα κάθετο στην ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης -. δ, - ε-9,6 ζ 00, -00. Τέτοια διανύσµατα είναι:, και Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 17 14η Κατηγορία : Γωνία δυο Ευθειών 1.0 Na βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε 1 : x y 5 0 και ε : x y + 1 0 Η ευθεία ε 1 : x y 5 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 1 - - δ,. διάνυσµα 1, οπότε είναι παράλληλη στο Όµοια η ευθεία ε : x y + 1 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ - - δ 1,., οπότε είναι παράλληλη στο διάνυσµα Για να προσδιορίσουµε το συνηµίτονο της γωνίας δυο ευθειών, θεωρούµε δυο διανύσµατα παράλληλα µε τις ευθείες αυτές και προσδιορίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας των δυο αυτών διανυσµάτων. Υπολογίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας φ των διανυσµάτων δ 1 και δ : δ1 δ 1 + συνφ δ 1 δ + 1 + 6 6. 1 4 4 ο Εποµένως φ 0. Η γωνία αυτή των διανυσµάτων δ 1 και δ είναι ίση µε την ο- ξεία γωνία των ευθειών ε 1 και ε. φ φ δ ε δ 1 ε 1 Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

18 Φροντιστήρια 15η Κατηγορία : Γεωμετρικοί Τόποι 1.1 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ( λ+ 1,λ + ), λ. Έστω Μ ( x,y ), τυχαίο σηµείο του γεω- µετρικού τόπου. x λ + 1 Τότε είναι: y λ + και απαλείφοντας τον αριθµό λ από τις δυο αυτές εξισώσεις, έχουµε: λ x 1 y x ( 1) + λ x 1 y x 1. Για να προσδιορίσουµε το γεωµετρικό τόπο ενός µεταβλητού σηµείου Μ, θεωρούµε τυχαίο σηµείο Μ( x,y ) του ζητούµενου γεωµετρικού τόπου και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε την εξίσωση που ικανοποιούν οι συντεταγµένες x και y του ση- µείου Μ. ηλαδή οι συντεταγµένες του τυχαίου σηµείου Μ ( x,y ) του γεωµετρικού τόπου ικανοποιούν την εξίσωση y x- 1. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία µε εξίσωση y x- 1. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 19 16η Κατηγορία : Απόσταση σημείου από Ευθεία 1. Να βρεθούν οι αποστάσεις του σηµείου Ρ(,) από τις ευθείες µε εξισώσεις ε 1 : 5x + 1y 0 και ε : y x 5. Η απόσταση του σηµείου Ρ(,) από την ευθεία ε 1 : 5x+ 1y 0 είναι: 5 - + 1 - dp,ε ( 1) 5 + 1-10+ 6-5 + 144 169 1 Γνωρίζουµε ότι η απόσταση του σηµείου Mx ( 0,y 0) από την ευθεία ε : Ax+ By + Γ 0 είναι d( M,ε) Ax + By + Γ 0 0 A + B Η εξίσωση της ευθείας ε : y x 5 γράφεται ισοδύναµα y x 15 x y 15 0 και η απόσταση του σηµείου Ρ(,) από την ευθεία αυτή είναι: dp,ε - - -15 +- -4-9-15 1-8 1 8 1 8 1 1 Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

0 Φροντιστήρια 17η Κατηγορία : Απόσταση δυο Παραλλήλων Ευθειών 1. Να βρεθεί η απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε 1 : 4x y + 7 0 και ε :4x y + 5 0. Βρίσκουµε πρώτα ένα τυχαίο σηµείο της ε 1 : Για x 0, από την εξίσωση ε 1 : 4x y + 7 0 βρίσκουµε ότι y + 7 0 y 7. Α 0, 7 ανήκει στην ε 1. Άρα, το σηµείο Η απόσταση των ε 1 και ε είναι ίση µε την απόσταση του σηµείου Α 7 ( 0, ) της ε 1 Για να υπολογίσουµε την απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών ε 1 και ε, βρίσκουµε πρώτα ένα σηµείο Α της ευθείας ε 1 και υπολογίζουµε την απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία ε. ηλαδή: d ε,ε d A,ε. 1 από την ευθεία ε :4x y + 5 0. ηλαδή: da,ε d ε,ε 1 40 - + 5 4 +- 7-7+ 5 16+ 9-5. 5 Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 1 18η Κατηγορία : Εμβαδόν Τριγώνου 1.4 Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές Α(,7), Β(, 8) Γ ( 1,5). Έχουµε ΑΒ ( -( -),-8-7) ( 5, -15) και ΑΓ - ( 1-- ( ),5-7) ( 1, -). Άρα 1 det ΑΒ, ΑΓ ABΓ 1 5-15 1-1 5 - - 1-15 1-10 + 15 1 5 5 τετραγωνικές µονάδες. Για το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ µε Α( x,y 1 1), B ( x,y ) και ( ) και Γ x,y, προσδιορίζουµε πρώτα τις συντεταγµένες δυο οποιωνδήποτε διανυσµάτων που ορίζονται από αυτά τα τρία σηµεία: π.χ. ΑB ( x -x 1,y -y 1) και ΑΓ x -x,y -y. 1 1 Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τον τύπο: 1 ( AΒΓ ) det ( AB,AΓ ) 1 x -x y -y x -x y -y 1 1 1 1 Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 19η Κατηγορία : Διχοτόμοι των γωνιών δυο τεμνομένων ευθειών 1.5 *Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ε 1 : x 4y + 1 0 και ε :5x + 1y + 4 0. Ένα σηµείο M( x, y ) ανήκει σε µια από τις διχοτόµους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες ε 1 : x 4y + 1 0 και ε :5x+ 1y + 4 0, αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: dmε (, 1) dmε (, ) x - 4 y + 1 5x+ 1y + 4 +- ( 4) 5 + 1 x- 4y + 1 5x+ 1y + 4 5 1 Ï1( x - 4 y + 1) 5( 5x+ 1y + 4) Ì ή Ó1( x - 4 y + 1) - 5( 5x+ 1y + 4) Οι διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν δυο τεµνόµενες ευθείες ε 1 και ε, είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες ε 1 και ε. ε 1 ηλαδή d( M,ε ) dm,ε M 1 M 1 4 ε Ï9x- 5y + 1) 5x+ 60y + 0 Ì ή Ó9x- 5y + 1-5x -60 y -0 Ïx-16 y - 1 0 Ì ή. Ó64 x + 8 y + 0 Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόµων είναι οι: x-16y - 1 0 και 64x+ 8y + 0. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 0η Κατηγορία : Μεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών 1.6 Να βρεθεί η εξίσωση της µεσοπαραλλήλου των ευθειών ε 1 : x 5y + 1 0 και ε :x 5y + 6 0. Ένα σηµείο M( x, y ) ανήκει στη µεσοπαράλληλη των ευθειών ε 1 : x 5y + 1 0 και ε :x 5y + 6 0, αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: dmε, dmε, 1 x- 5y + 1 x - 5 y + 6 +- ( 5) +- ( 5) Ï x- 5y + 1 x- 5 y + 6 Ì ή x- 5y + 1-( x- 5y + 6) Ó Ï1 6 ( αδύνατη) Ì ή Ó6x- 10y + 18 0 x - 5 y + 9 0 Η µεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών ε 1 και ε, είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες ε 1 και ε. ε 1 ηλαδή d( M,ε ) dm,ε ε ε 1 M Άρα η µεσοπαράλληλη των ευθειών ε 1 και ε έχει εξίσωση x - 5 y + 9 0. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

4 Φροντιστήρια 1η Κατηγορία : Συμμετρικό σημείου ως προς ευθεία 1.7 ίνονται η ευθεία ε µε εξίσωση y 1 x+ 1 και το σηµείο A(,1 ). Να βρεθούν οι συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου Α ως προς την ευθεία ε. Αν A(µ,ν ) είναι το συµµετρικό του Α ως προς την ε, τότε το µέσον Μ του AA ανήκει στην ε µε εξίσωση y 1 x+ 1 (άρα οι συντεταγµένες του Μ ικανοποιούν την εξίσωση της ε) και το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης των ε και AA είναι -1, αφού ε^ AA. Οι συντεταγµένες του µέσου Μ είναι ʵ + ν + 1ˆ, Ë y Ο Α (µ,ν) Μ ε Α(, 1) και ο συντελεστής διεύθυνσης Ïν + 1 1 µ + 1 του AA είναι ν - 1 +. Έτσι έχουµε το σύστηµα Ì µ - 1 ν 1, το οποίο µετά - -1 Ó µ - ϵ - ν -4 την εκτέλεση των πράξεων γράφεται Ì Óµ + ν 5. 6 1 Από τη λύση του συστήµατος αυτού βρίσκουµε µ και ν. 5 5 61 Εποµένως, το συµµετρικό σηµείο του Α ως προς την ε είναι το A Ê ˆ, Ë 5 5. x Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

Φροντιστήρια 5 η Κατηγορία : Οικογένειες Ευθειών 1.8 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της µορφής Απόδειξη: λ + λ+ x+ λ - λ+ 1 y + λ+ 1 0, λœ διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Για να παριστάνει η εξίσωση λ + λ+ x+ λ - λ+ 1 y + λ+ 1 0 (1) ευθεία γραµµή, για τις διάφορες τιµές του α, πρέπει να αρκεί οι συντελεστές των x και y δηλαδή οι παραστάσεις λ + λ+ και λ - λ + 1, να µην είναι ταυτόχρονα µηδέν. Αυτό συµβαίνει, αφού ο συντελεστής του x δεν µηδενίζεται για καµία πραγµατική τιµή του α (έχει διακρίνουσα - < 0). Θεωρούµε τώρα δυο οποιεσδήποτε από τις ευθείες που έχουν εξίσωση της µορφής (1). Γιαυτό θεωρούµε δύο τιµές της παραµέτρου λ (έστω λ 0 και λ 1 ) και λύνουµε το σύστη- µα των εξισώσεων των ευθειών που προκύπτουν για να βρούµε το σηµείο Ïx+ y + 1 0 (-) τοµής τους: Ì Ó6x+ y + 4 0 Ïx+ y + 1 0 Ì Ó x+ 0 Ïy - Ì Óx -1. Το σύστηµα των εξισώσεων αυτών έ- χει µοναδική λύση την ( x,y) - ( 1,). Άρα οι δυο αυτές ευθείες τέµνονται στο σηµείο A( - 1,). είχνουµε τώρα, ότι όλες οι ευθείες που έχουν εξίσωση της µορφής (1) (δηλαδή για κάθε λœ ) διέρχονται από το σηµείο Α. Έστω ότι έχουµε µια οικογένεια ευθειών, η εξίσωση των οποίων εκφράζεται συναρτήσει ενός µεταβλητού αριθµού λ (παράµετρος). Για να αποδείξουµε ότι όλες οι ευθείες µιάς οικογένειας, διέρχονται από το ίδιο σηµείο: Θεωρούµε δυο οποιεσδήποτε ευθείες ε 1 και ε από τις ευθείες της οικογένειας. Αυτό γίνεται δίνοντας δυο τυχαίες τιµές στην παράµετρο λ. Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των δυο αυτών ευθειών και προσδιορίζουµε τις συντεταγµένες ( x 0,y0) του σηµείου τοµής τους M. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

6 Φροντιστήρια Πράγµατι, η εξίσωση (1) επαληθεύεται από τις συντεταγµένες του σηµείου Α, αφού ισχύει: ( λ + λ + )(- 1 ) + ( λ - λ + 1 ) + ( λ + 1 ) -λ -λ- + λ - λ+ + λ+ 1 0. Άρα, όλες οι ευθείες της οικογένειας A- 1,. (1) διέρχονται από το Αποδεικνύουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το σηµείο Μ, δηλαδή ότι η εξίσωση των ευθειών της οικογένειας επαληθεύεται για κάθε αριθµό λ, από τις συντεταγµένες ( x 0,y0) του σηµείου Μ. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου