Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην ϑεωρία των γραµµικών µετασχηµατισµών µεταξύ διανυσµατικών χώρων. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Kernel και Image 3 3 Πίνακας Γραµµικού Μετασχηµατισµού 3 4 Αλλαγή Βάσης 4
Κ. Κυρίτσης 3 Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί 1 Ορισµός Εστω V, U διανυσµατικοί χώροι πάνω στο σώµα K. Η απεικόνιση T : V U ϑα λέγεται γραµµικός µετασχηµατισµός αν v, v V και λ, µ K είναι T(λv + µv ) = λt(v) + µt(v ). (1) Το V λέγεται πεδίο ορισµού. Το U λέγεται σύνολο ή πεδίο τερµατισµού. Το σύνολο των τιµών λέγεται πεδίο τιµών, ImT. Εν γένει ImT U. Αν ImT = U ο µετασχηµατισµός λέγεται επί. Αν v, v V µε v v είναι T(v) T(v ), ο µετασχηµατισµός ϑα λέγεται ένα-προς-ένα. Ισοδύναµα ο µετασχηµατισµός είναι ένα-προς-ένα αν T(v 1 ) = T(v 2 ) v 1 = v 2, v 1, v 2 V. (2) Αµφιµονοσήµαντη ϑα λέγεται η απεικόνιση που είναι ένα προς ένα και επί. Σ αυτή την περίπτωση ορίζεται ο αντίστροφος µετασχηµατισµός T 1 : U V µε την ιδιότητα T T 1 = id U και T 1 T = id V. id V είναι ο ταυτοτικός µετασχηµατισµός στον χώρο V. Ισοµορφισµός λέγεται ο µετασχηµατισµός που είναι γραµµικός και αµ- ϕιµονοσήµαντος. 2 Kernel και Image Ο πυρήνας ορίζεται να είναι kert = {v V : T(v) = 0}. Η εικόνα ή αλλιώς πεδίο τιµών είναι ImT = {u U : v V τέτοιο ώστε u = T(v)}. Ισχύει ότι dim V = dim kert + dim ImT, µε την προϋπόθεση ότι dim V = dim U. 3 Πίνακας Γραµµικού Μετασχηµατισµού Εστω ο µετασχηµατισµός T : V U, B V = {v i } µια ϐάση του V και B U = {u j } µια ϐάση του U. Σ αυτή την περίπτωση γράφουµε T(v i ) = j a ij u j. (3) Ο πίνακας A = (a ij ) T λέγεται πίνακας του µετασχηµατισµού.
Κ. Κυρίτσης 4 Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί 4 Αλλαγή Βάσης Εστω B = {v i } και B = {u i } ϐάσεις του χώρου V. Τότε είναι u i = n a ij v j. (4) j=1 Ο πίνακαςς A = (a ij ) T είναι ο πίνακας αλλαγής ϐάσης, που µας πάει από την παλιά B στην καινούργια B. Ο πίνακας που µας πάει από την B στην B είναι ο A 1.
Κ. Κυρίτσης 5 Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 6 Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 7 Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ