Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Ἰουλία Δυοβουνιώτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Γραµµικά Συστήµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Γραµµικά Συστήµατα Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Επίλυση Συστήµατος µε τον Αντίστροφο 3 3 Επίλυση Συστήµατος Μέθοδος Gauss-Jordan 4 4 Επίλυση Συστήµατος µε Ορίζουσες Μέθοδος Cramer 4 5 Επίλυση µε Αντικατάσταση 4

3 Κ. Κυρίτσης 3 Γραµµικά Συστήµατα 1 Ορισµός Το σύστηµα των m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους x 1, x 2,..., x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... =... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (1) λέγεται γραµµικό σύστηµα. Αν ορίσουµε τους πίνακες a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n , (2) a m1 a m2... a mn το σύστηµα µπορεί να γραφεί σε πινακική µορφή x 1 X = x 2..., (3) x n b 1 B = b 2..., (4) b m AX = B. (5) Αν B = 0, το σύστηµα λέγεται οµογενές. Ο πίνακας A λέγεται πίνακας του συστήµατος. Επίσης ορίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα M a 11 a a 1n b 1 M = a 21 a a 2n b (6) a m1 a m2... a mn b m 2 Επίλυση Συστήµατος µε τον Αντίστροφο Για τετραγωνικά συστήµατα, αν ο πίνακας A αντιστρέφεται, τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση X = A 1 B.

4 Κ. Κυρίτσης 4 Γραµµικά Συστήµατα 3 Επίλυση Συστήµατος Μέθοδος Gauss-Jordan Εκτελούµε πράξεις γραµµών στον M προσπαθώντας να τον ϕέρουµε στη µορ- ϕή M = (I n C). Σ αυτή την περίπτωση η λύση του συστήµατος είναι X = C. Αν το σύστηµα είναι τετραγωνικό, τότε ο I n είναι ο πίνακας µονάδα n n. Αν δεν είναι τετραγωνικό ο πίνακας I n παριστάνει την κλιµακωτή µορφή του A. 4 Επίλυση Συστήµατος µε Ορίζουσες Μέθοδος Cramer Ορίζουµε να είναι D = det A και D i = det A i, όπου A i ο πίνακας που προκύπτει από τον A αν αντικατασταθεί η i στήλη µε τον πίνακα B. Αν είναι D 0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την x i = D i D. 5 Επίλυση µε Αντικατάσταση Λύνουµε κάποια εξίσωση ώς προς µια µεταβλητή και αντικαθιστούµε στις υπόλοιπες. Επαναλαµβάνουµε έως ότου µείνει µια εξίσωση µε έναν µόνο άγνωστο.

5 Κ. Κυρίτσης 5 Γραµµικά Συστήµατα ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

6 Κ. Κυρίτσης 6 Γραµµικά Συστήµατα Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

7 Κ. Κυρίτσης 7 Γραµµικά Συστήµατα Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Σχετικά έγγραφα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ορίζουσες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ο- ϱιζουσών και των εφαρµογών