Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Νέφθυς Τοκατλίδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Συνδυαστική ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην Συνδυαστική. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr i

2 Κ. Κυρίτσης ii Συνδυαστική Περιεχόµενα 1 Αρχές Αρχή του Αθροίσµατος Αρχή του Γινοµένου Το Παραγοντικό 1 3 υωνυµικός Συντελεστής 1 4 Μεταθέσεις Απλές Με Επαναλήψεις Συνδυασµοί Απλοί Με επαναλήψεις Αρχή του Περιστερώνα 3 7 Αρχή Εγκλεισµού Αποκλεισµού 3 8 ιατάξεις 3 9 Τύπος του Stirling 4

3 Κ. Κυρίτσης 1 Συνδυαστική 1 Αρχές Η συνδυαστική δεν είναι παρά ένας προχωρηµένος τρόπος αρίθµησης πραγ- µάτων όταν το πλήθος τους είναι µεγάλο και η απευθεία αρίθµηση µη πρακτική. ύο είναι οι ϐασικές αρχές στις οποίες ϐασίζεται. 1.1 Αρχή του Αθροίσµατος Αν το γεγονός E 1 µπορεί να γίνει µε n τρόπους, το γεγονός E 2 µε m τρόπους και τα δύο γεγονότα δεν µπορούν να γίνουν ανεξάρτητα (µε την έννοια ότι ϑα γίνει µόνο το E 1 ή µόνο το E 2 ), τότε το E 1 ή το E 2 µπορεί να γίνει µε n + m τρόπους. 1.2 Αρχή του Γινοµένου Αν το γεγονός E 1 µπορεί να γίνει µε n τρόπους και το ανεξάρτητο γεγονός E 2 µε m τρόπους, τότε ο συνδυασµός των δύο γεγονότων µπορεί να γίνει µε n m τρόπους. 2 Το Παραγοντικό Το παραγοντικό ενός ϑετικού ακεραίου n συµβολίζεται n! και ορίζεται να είναι { 1, n = 0, n! = (1) n (n 1)!, n 1. 3 υωνυµικός Συντελεστής Ορίζεται να είναι ( n = m) n! m!(n m)!. (2) Ισχύει ότι ( ) n ( n =. (3) n m m) Επιπλέον αν k n + m τότε ( ) n + m = k k i=0 ( )( ) n m. (4) k k i Η παραπάνω σχέση είναι γνωστή σαν ταυτότητα Cauchy.

4 Κ. Κυρίτσης 2 Συνδυαστική Εµφανίζεται στο διωνυµικό ανάπτυγµα, το οποίο είναι n ( n (α + β) n = α k) n k β k. (5) 4 Μεταθέσεις 4.1 Απλές k=0 Η τοποθέτηση n αντικειµένων σε r ϑέσεις λέγεται r-µετάθεση ή διάταξη των n ανά r. Συµβολίζεται µε P(n, r) ή (n) r και είναι P(n, r) = (n) r = n(n 1)(n 2) (n (r 1)) = n! (n r)!. (6) Η τοποθέτηση n αντικειµένων σε µια σειρά ή ισοδύναµα σε n ϑέσεις λέγεται απλά µετάθεση. Ισχύει ότι P(n, n) = n!. Αν τα n αντικείµενα πρέπει να τοποθετηθούνε σε κύκλο τότε οι µεταθέσεις τους είναι (n 1)!. 4.2 Με Επαναλήψεις Η τοποθέτηση n στοιχείων σε r ϑέσεις, όπου κάθε στοιχείο µπορεί να χρησι- µοποιηθεί όσες ϕορές ϑέλουµε (επανάληψη) είναι n r. (7) Πιο γενικά, η τοποθέτηση n αντικειµένων σε n ϑέσεις εκ των οποίων n 1 είναι ίδια, n 2 είναι ίδια,..., n r είναι ίδια, τότε είναι 5 Συνδυασµοί 5.1 Απλοί P(n; n 1, n 2,...,n r ) = n! n 1!n 2! n r!. (8) Εδώ µας ενδιαφέρει η εκλογή r αντικειµένων από ένα πλήθος n, n r. εν µας απασχολεί η σειρά µε την οποία ϑα γίνει η εκλογή. Για τους συνδυασµούς έχουµε ότι ( n ) C(n, r) =. (9) r Ισχύει ότι C(n, r) = P(n, r). (10) r!

5 Κ. Κυρίτσης 3 Συνδυαστική 5.2 Με επαναλήψεις Προκεται για τους συνδιασµούς n αντικειµένων σε r ϑέσεις, µόνο που τώρα επιτρέπεται η πολλαπλή χρήση κάποιου. Το πλήθος τους είναι [ ] ( ) n n + r 1 =. (11) r r 6 Αρχή του Περιστερώνα Η αρχή του περιστερώνα είναι ότι αν έχουµε n ϑέσεις για n + 1 αντικείµενα τότε σε τουλάχιστον µία ϑέση ϑα έχουµε τουλάχιστον ένα αντικείµενο. Μαζί της είναι και η γενικευµένη αρχή του περιστερώνα. Αν έχουµε n ϑέσεις για kn + 1 αντικείµενα τότε σε τουλάχιστον µία ϑέση ϑα έχουµε τουλάχιστον k + 1 αντικείµενα. 7 Αρχή Εγκλεισµού Αποκλεισµού Η αρχή εγκλεισµού αποκλεισµού είναι ότι για πεπερασµένα σύνολα A, B, ξένα µεταξύ τους 1, είναι Ποιο γενικά είναι 8 ιατάξεις n(a B) = n(a) + n(b). (12) n(a B) = n(a) + n(b) n(a B). (13) Εστω ότι το σύνολο A έχει n στοιχεία και έστω n 1, n 2,...,n r ϑετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε n 1 + n n r = n. Τότε υπάρχουν n! n 1!n 2! n r! (14) διατεταγµένες διατάξεις του A της µορφής [A 1, A 2,...,A r ] τέτοιες ώστε κάθε A i να έχει n i στοιχεία. Στην περίπτωση που δεν µας ενδιαφέρει η σειρά, διαιρούµε το παραπάνω µε k!, όπου k το πλήθος των συνόλων µε τα ίδια στοιχεία. 1 Ξένα σύνολα σηµαίνει A B =.

6 Κ. Κυρίτσης 4 Συνδυαστική 9 Τύπος του Stirling Για µεγάλα n, είναι n! 2πnn n e n. (15) Ποιο σωστά είναι lim n 2πnn n e n = n!. (16)

7 Κ. Κυρίτσης 5 Συνδυαστική ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

8 Κ. Κυρίτσης 6 Συνδυαστική Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

9 Κ. Κυρίτσης 7 Συνδυαστική Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Σχετικά έγγραφα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Γραµµικά Συστήµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συστηµάτων γραµµικών