Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ"

Ἀστάρτη Ζυγομαλάς
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των διανυσµατικών χώρων εφοδιασµένων µε εσωτερικό γινόµενο. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των διανυσµατικών χώρων

2 Κ. Κυρίτσης 2 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου Περιεχόµενα 1 Ορισµός 3 2 Norm (Μέτρο) ιανύσµατος 3 3 Μοναδιαίο ιάνυσµα 3 4 Παραδείγµατα K n M n,m C[a, b] Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4 6 Γωνία Μεταξύ ιανυσµάτων 4 7 Ορθογωνιότητα 4 8 Ορθογώνιο Συµπλήρωµα 4 9 Ορθογώνια, Ορθοµοναδιαία Σύνολα ιανυσµάτων 4 10 Εξωτερικό Γινόµενο 5

3 Κ. Κυρίτσης 3 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου 1 Ορισµός Εστω V διανυσµατικός χώρος στο σώµα K. Ορίζουµε µια καινούργια πράξη που ϑα την ονοµάσουµε εσωτερικό γινόµενο,, : V V K έτσι ώστε v, u K και µε τις εξής ιδιότητες, v, u 1, u 2 V και λ, µ K v, λu 1 + µu 2 = λ v, u 1 + µ v, u 2. v, u = u, v. v, v 0 1. Επιπλέον v, v = 0 εάν και µόνο αν v = 0. 2 Norm (Μέτρο) ιανύσµατος Ορίζεται σε χώρους εσωτερικού γινοµένου και είναι 3 Μοναδιαίο ιάνυσµα v = v, v. (1) Λέγεται το διάνυσµα που έχει µέτρο µονάδα. Για το τυχόν διάνυσµα v, το έχει πάντα µέτρο µονάδα. 4 Παραδείγµατα ˆv = v v 4.1 K n Για διανύσµατα γραµµένα σε πίνακα γραµµή, v = (x 1, x 2,...) είναι v, v = x x Μερικές ϕορές αυτό το αξίωµα παραλείπεται.

v, λu 1 + µu 2 = λ v, u 1 + µ v, u 2. v, u = u, v. v, v 0 1. Επιπλέον v, v = 0 εάν και µόνο αν v = 0.

4 Κ. Κυρίτσης 4 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου 4.2 M n,m Εδώ είναι A, B = tr(b T A). 4.3 C[a, b] b Εδώ είναι f(x), g(x) = a f(x)g(x)dx. 5 Ανισότητα Cauchy-Schwarz ή 6 Γωνία Μεταξύ ιανυσµάτων Ορίζεται να είναι 7 Ορθογωνιότητα v, u 2 u, u v, v (2) u, v u v. (3) u, v cosθ = u v ύο διανύσµατα είναι κάθετα όταν θ = 0. Αυτό είναι ισοδύναµο µε το u, v = 0. 8 Ορθογώνιο Συµπλήρωµα Εστω S V και V διανυσµατικός χώρος εσωτερικού γινοµένου. Το ορθογώνιο συµπλήρωµα του S ορίζεται να είναι S = {v V : v, u = 0 u S}. 9 Ορθογώνια, Ορθοµοναδιαία Σύνολα ιανυσµάτων Εστω τα διανύσµατα {v i }. Αν είναι v i, v j = { 0, i = j 0, i j (4) (5)

(3) u, v cosθ = u v ύο διανύσµατα είναι κάθετα όταν θ = 0. Αυτό είναι ισοδύναµο µε το u, v = 0.

5 Κ. Κυρίτσης 5 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ϑα λέµε ότι είναι ορθογώνια. Αν είναι { 1, i = j v i, v j = 0, i j = δ ij (6) ϑα λέµε ότι είναι ορθοµοναδιαία. Αντίστοιχα ϑα λέµε ότι µια ϐάση είναι ορθογώνια ή ορθοµοναδιαία. εδοµένης µιας ϐάσης, µε την µέθοδο Gram-Schmidt µπορούµε να κατασκευάασουµε µια ορθογώνια και κατόπιν να την κάνουµε ορθοµοναδιαία. Η ϐάση {e i = (0, 0,..., 1,...,0}) µε το 1 στην i ϑέση λέγεται κανονική ή συνήθης ϐάση ή Καρτεσιανή. 10 Εξωτερικό Γινόµενο Ορίζεται µόνο για διανύσµατα του R 3. Για τα u = (u x, u y, u z ) και v = (v x, v y, v z ) είναι i j k u v = u x u y u z v x v y v z. Για το µέτρο ισχύει u v = u v sinθ. Σαν διάνυσµα είναι κάθετο στο επίπεδο των u,v.

εδοµένης µιας ϐάσης, µε την µέθοδο Gram-Schmidt µπορούµε να κατασκευάασουµε µια ορθογώνια και κατόπιν να την κάνουµε ορθοµοναδιαία. Η ϐάση {e i = (0, 0,..., 1,.

6 Κ. Κυρίτσης 6 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς.

7 Κ. Κυρίτσης 7 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,.

8 Κ. Κυρίτσης 8 Χώροι Εσωτερικού Γινοµένου Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ

Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.

Σχετικά έγγραφα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύντοµη εισαγωγή στην ϑεωρία των γραµµικών