Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Transcript

1 Κατανομές Απώλειας Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Απαγορεύεται η αναδημοσίευση, η αναπαραγωγή, ολική ή περιληπτική του περιεχομένου αυτού με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς προηγούμενη γραπτή άδεια του ιδιοκτήτη (Νόμος 11/1993 και κανόνες Διεθνούς Δικαίου που ισχύουν στην Ελλάδα). Το φυλλάδιο διατίθεται ΔΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εμπορική εκμετάλλευση από οποιονδήποτε. Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 1/14

2 Πρόγραμμα Προετοιμασίας Τμημάτων Έναρξη Λήξη (το αργότερο) Καθημερινή επικοινωνία 10πμ 8μμ στο ,1, Για το πρόγραμμα επικοινωνήστε με τη Γραμματεία. Για πληροφορίες σχετικές του περιεχομένου του μαθήματος επικοινωνήστε καθημερινά 10πμ μμ στο ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. Εισαγωγή, Περιγραφή ζημιάς, Εκτιμητές παραμέτρων κατανομών ζημιάς. Κατανομές Εκθετική, Pareto, Weibull 3. Βayesian Εκτιμήτριες 4. Πρόβλημα Ουράς, Λογαριθμικές κατανομές 5. Ασφάλιση υπερβάλλοντος ποσού ζημιάς 6. Αντασφάλιση Υπερβάλλοντος ποσού ζημιάς 7. Συνδυασμός ασφάλισης, αντασφάλισης, αναλογικής κράτησης ποσού ζημιάς 8. Επανάληψη (την τελευταία εβδομάδα προ εξέτασης του μαθήματος) Ο Διδάσκων του μαθήματος Δρ. Σωκράτης Σκλάβος Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : /14

3 Μέθοδος Δειγματικών Ροπών Αν η κατανομή χαρακτηρίζεται από μια παράμετρο, τότε χρησιμοποιούμε τη ροπή 1 ης τάξεως E( ) = για την εκτίμηση αυτής. Αν η κατανομή χαρακτηρίζεται από μια επιπλέον μια παράμετρο, τότε χρησιμοποιούμε τη ροπή ης τάξεως επιπλέον, ώστε s E( ) ( E( )) αποτελέσει την επιπλέον εξίσωση. Χρήσιμα Λήμματα i= 1... n U n = 0 x = 0 x = 0 P( = x ) = 1 f ( x) dx = 1 n n n k n k ( a + b) = a b Διωvυμικό ανάπτυγμα του Newton k = 0 k i= k n x = e n! x k i x x =, x < 1 1 x x x θ x x θ i θ =, θ < 1 (1 θ ) θ (1 + θ ) = 3, θ < 1 (1 θ ) Γ ( a + 1) = aγ ( a), a > 0 a 1 t t e dt = Γ( a ), Γ (1) = 1, Γ (1/ ) = π 0 Γ ( v + 1) = v!, v N = να Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 3/14

4 Εκτιμητής Μεγίστης Πιθανοφάνειας ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω = ( 1,..., n ) τ.δ.α.ι.τ.μ. από κατανομή με παράμετρο θ Θ. Η ˆ θ = ˆ θ ( x ) είναι Εκτιμητής Μεγίστης Πιθανοφάνειας του θ Θ αν και μόνο αν μεγιστοποιεί την συνάρτηση συμβολ. } f ( x; θ ) = L( θ / x ). Βασική Πρόταση. Αν ˆ θ = ˆ θ ( x ) είναι Εκτιμητής Μεγίστης Πιθανοφάνειας του θ Θ, τότε και η g ( ˆ θ ) είναι Εκτιμητής Μεγίστης Πιθανοφάνειας του g ( θ ).Η μεγιστοποίηση βαθμωτής συνάρτησης συντελείται μέσα από τα ακόλουθα στάδια για συναρτήσεις μεταβλητών (Απειροστικός Λογισμός ): L Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου = 0, i = 1,. ˆ θ i Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου (για συναρτήσεις μεταβλητών) ˆ θ L i < 0, i = 1, & H = L L ˆ θ ˆ θ ˆ θ 1 1 L L ˆ θ ˆ θ ˆ θ 1 >0 Παρατήρηση 1. Ακολούθως του θεωρήματος Taylor, ισχύει ότι L L = ˆ θ ˆ θ ˆ θ ˆ θ 1 1 για τις περιπτώσεις που εξετάζουμε στην στατιστική (και στον αναλογισμό). Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 4/14

5 Παρατήρηση: Εφαρμόζουμε το κριτήριο της ης παραγώγου στο σημείο που προέκυψε από την εξίσωση της 1 ης παραγώγου. Παρατήρηση. Αν πρόκειται για συνάρτηση μιας (1) μεταβλητής, τότε τα κριτήρια είναι dl 0, dθ ˆ = d L < dθ ˆ 0 Χρήση λογαριθμικής συνάρτησης. Αν η f ( x ; θ ) μεγιστοποιείται στο ˆ θ, τότε και η ln f ( x ; θ ) μεγιστοποιείται επίσης στο ˆ θ.αυτό χρησιμοποιείται ευρέως όταν η συνάρτηση πιθανοφάνειας περιέχει εκθετικές ποσότητες. b bln a b b Χρήσιμα Βήματα. ( ) d b d ( ) a > 0, a = e ln a = bln a, a, c > 0, a c ln a c = b ln a d ln c Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 5/14

6 Έλεγχος Καλής Προσαρμογής n = μέγεθος δείγματος, k = πλήθος τάξεων, m = πλήθος παραμέτρων της κατανομής υπόθεσης O Παρατηρηθέν συχνότητα τάξης, E Αναμενόμενη συχνότητα τάξης, αν για παράδειγμα η κατανομή είναι, συνεχής διακριτή [ a, b ) O E = n P r ( a < b ) x O E = n P r ( = x ) = k ( O ) E ~ k m 1 = 1 E H o : ~ Κατανομή Υπόθεσης Δεχόμαστε την H ~ o k m 1, a Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 6/14

7 Εκθετική ~ Exp ( λ), λ x λ x f ( x) = λ e, x > 0 F ( x) = 1 e, 1 1 E( ) =, a > 1, V( ) =, M ( t ) = λ λ λ ~ Gamma ( a, λ ), a λ x a 1 λ e x f ( x) =, x > 0 Γ ( a ) a a λ E( ) =, V( ) =, M ( ) t = λ λ λ t λ t Γάμμα a ~ Pareto( a, δ ), a a a δ δ = a + 1 = f ( x), F ( x ) 1, ( x + δ ) δ + x Pareto δ a δ E( ) =, a > 1, V( ) =, a > a 1 ( a 1) ( a ) Η ροπογεννήτρια της Pareto δεν υπάρχει. Κατασκευή Pareto / Λ = λ ~ E ( λ ) ~ Pareto( a, δ ) Λ ~ Gamma ( a, δ ) Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 7/14

8 ~Weibull(c,γ) Weibull f x c x e x F x e γ γ γ 1 cx cx ( ) = γ, > 0, ( ) = 1, 1 γ 1 E( ) = c Γ 1 + γ Περιθώρια Συνάρτηση Μεμιγμένης Κατανομής Χ με μεικτική Λ f ( x) = f ( x/ λ) f ( λ) d λ λ / Λ Λ ( ( )) ( ( )) ( ( )) E( ) = E E / Λ Var ( ) = Var E / Λ + E Var / Λ f ( λ / x ) = Λ / 1443 a posteriori λ a priori } f ( x/ λ) f ( λ ) / Λ f ( x/ λ) f ( λ) d λ / Λ Λ Λ Πρόβλημα Βαρύτερης Ουράς lim x c R,ανάλογες ουρές f ( x ) = 0, η Υ έχει βαρύτερη ουρά fy ( x ) +,η Χ έχει βαρύτερη ουρά Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 8/14

9 1 Y = e, Y ~ Log, fy ( t) = f (ln t ) t Χ, Log ( ) k E( Y ) = M ( k), Var ( Y) = M () M (1) Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 9/14

10 Αντασφάλιση Υπερβάλλοντος ποσού με όριο M τ.μ. Χ, Συνολική ζημιά τ.μ. Υ, Ζημιά Πρωτασφαλιστή τ.μ. Ζ, Ζημιά αντασφαλιστή Ζ=Χ+Υ 0 ( ) E( ) = 1 F ( x) dx a 0 ( ) E( a) = 1 F ( x) dx E( b) E( a) = 1 F ( x) dx b { ( ) a < b a Ζημιά Πρωτασφαλιστή, M Y =, ~ Y = M, M, > M F ( t), t M f ( t), t M FY ( t) =, fy ( t ) = 1, t > M Pr ( t > M), t > M f ( t), t M fy ( t ) = Pr ( t > M), t > M M E( Y) = x f ( x) dx+ M P ( M ), 0 r M ty tm M ( t) = e f ( y) dy + e Pr( M ) Y 0 Λογοκριμένο δείγμα του πρωτασφαλιστή, x1,..., xn, M 1443,..., M k Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 10/14

11 όπου x1, x,..., x n είναι τιμές δείγματος μικρότερες από Μ. Η πιθανοφάνεια είναι Χ 1 Χ Χ { } f ( x; θ ) = f ( x ; θ ) f ( x ; θ )... f ( x ; θ ) Pr( > M ) k n Ζημιά Αντασφαλιστή 0, M Z =, M, > M F ( t ) = Z F ( M + t) F ( M ) 1 F ( M ) f ( M + t ) fz ( t ) = 1 F ( M ) E( Z) = ( x M ) f ( x) dx = E( ) E( Y ), M Λογοκριμένο δείγμα του αντασφαλιστή 1 M,..., n M f ( x ; ) f ( x + Μ ; θ ) f ( x + Μ ; θ )... f ( x + Μ ; θ ) Χ 1 Χ Χ θ = n ( 1 F ( M )) n Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 11/14

12 Αναλογική Κράτηση Ζημιών 1 t Y = { a,0 < a < 1}, fy ( t) = f ( ), MY( t) = M ( at ) a a 1 t Z = (1 a), fz ( t) = f ( ), M Z ( t) = M ((1 a) t ) 1 a 1 a Ασφάλιση Υπερβάλλοντος ποσού με όριο κράτησης d και όριο αποζημίωσης u 0, d Y = d, d < < u, u d, u 0, y 0 F ( y + d ) F ( d ) FY ( y) =,0 < y < u d 1 F ( d ) 1, y u d f ( y + d ),0 y < u d 1 F ( d ) fy ( y ) =, 1 F ( u ), y u d 1 F ( d ) Αναμενόμενη τιμή αποζημίωσης ανά αποζημίωση E ( Y/ d ) > = E( u) E( d ) F 1 ( d ) Μέσο Υπερβάλλον ποσό (αναμενόμενη αποζημίωση όταν η ζημιά > d) e ( d ) = E ( Y / > d ) u Λόγος απαλοιφής ζημιάς E( d ) LER ( d ) = E( ) Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 1/14

13 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Μαθήματα για : Πανεπιστήμιο Πειραιώς Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήμιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς, Σεμινάρια για Διαγωνισμούς Δημοσίου Προετοιμασία για : Εθνική Σχολή Δημόσιας Διοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονομικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο Δικαιοσύνης Διαγωνισμός Εκπαιδευτικών Διαγωνισμός Ευρύτερου Δημόσιου Τομέα Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Επίσημο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 13/14

14 Εξειδικευμένα Σεμινάρια Στατιστικά Προγράμματα (SPSS, StatView, ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφημένη Λογιστική Γλώσσες Προγραμματισμού (C, C++, Java, Php, ) Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρημένο Επίπεδο Εξειδικευμένο Επίπεδο Πιστοποιημένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιημένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα μας και ενημερωθείτε για τα προγράμματά μας. Διευθυντής Εκπαίδευσης Δρ. Χόντας Στυλιανός Διδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ Τηλ.: , , , Fax : URL : info@vitali.gr Σελίδα : 14/14