Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών
Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα Κεφάλαια έχουµε ορίσει την έννοια του πίνακα, η οποία οργανώνει µε εποπτικό τρόπο αρκετές πληροφορίες, και έχουµε αναπτύξει την ϑεωρία των γραµµικών απεικονίσεων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την σχέση µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ενός σώµατος K και πινάκων µε στοιχεία από το K Θα δούµε ιδιαίτερα ότι σ αυτό το πλαίσιο η ϑεωρία πινάκων και γραµ- µικών απεικονίσεων είναι ουσιαστικά ισοδύναµη Η χρήση των γραµµικών απεικονίσεων είναι περισσότερο κατάλληλη για εξαγωγή ϑεωρητικών αποτελεσµάτων, και η χρήση πινάκων είναι περισσότερο κατάλληλη για υπολογισµούς και προσφέρει ικανοποιητικότερη εποπτεία 71 Βασικές Ιδιότητες Πινάκων Στην παρούσα ενότητα, αφού υπενθυµίσουµε την έννοια ενός πίνακα, ϑα µελετήσουµε ϐασικές ιδιότητες πινάκων Από τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε ένα σώµα K Υπενθυµίζουµε ότι αν m, n N είναι δύο ϕυσικοί αριθµοί, τότε ένας m n πίνακας A µε στοιχεία από το σώµα K, είναι µια διάταξη m n αριθµών από 161
162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ το σώµα K της µορφής : a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Στήλες Για κάθε j = 1, 2,, n, η j-στήλη του πίνακα A είναι η ακόλουθη διάταξη m αριθµών : a 1j a 2j A j := a ij a mj Ετσι ο m n πίνακας A αποτελείται από n στήλες A 1, A 2,, A n κάθε µία από τις οποίες αποτελείται απο m αριθµούς Γραµµές Για κάθε i = 1, 2,, m, η j-γραµµή του πίνακα A είναι η ακόλουθη διάταξη m αριθµών : A i := ( a i1 a i2 a ij a in ) Ετσι ο m n πίνακας A αποτελείται από m γραµµες A 1, A 2,, A m κάθε µία από τις οποίες αποτελείται απο n αριθµούς Παρατηρούµε ότι το στοιχείο a ij του πίνακα A ϐρίσκεται στην τοµή της i- γραµµής µε την j-στήλη Ετσι ορίζουµε το στοιχείο a ij να είναι το στοιχείο του πίνακα στην ij-ϑέση Συµβολισµός 711 Χάριν συντοµίας ένας m n πίνακας A όπως παραπάνω ϑα συµβολίζεται ως εξής : A = (a ij ) Συµβολίζουµε µε M m n (K) το σύνολο των m n-πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K: M m n (K) = { A = (a ij ) a ij K, i = 1, 2, m, j = 1, 2,, n } Υπενθυµίζουµε ότι στο σύνολο M m n (K) έχουµε ορίσει τις ακόλουθες πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού :
71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 163 1 Πρόσθεση: Αν A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K), τότε A + B είναι ο m n-πίνακας (a ij + b ij ) Σχηµατικά : a 11 a 1j a 1n b 11 b 1j b 1n a 21 a 2j a 2n b 21 b 2j b 2n A+B = a i1 a ij a in + b i1 b ij b in a m1 a mj a mn b m1 b mj b mn a 11 + b 11 a 1j + b ij a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 2j + b 2j a 2n + b 2n = a i1 + b i1 a ij + b ij a in + b in a m1 + b m1 a mj + b mj a mn + b mn 2 Βαθµωτός Πολλαπλασιασµός: Αν A = (a ij ) M m n (K), και k K, τότε k A είναι ο m n-πίνακας (ka ij ) Σχηµατικά : a 11 a 1j a 1n ka 11 ka 1j ka 1n a 21 a 2j a 2n ka 21 ka 2j ka 2n k A = k a i1 a ij a in = ka i1 ka ij ka in a m1 a mj a mn ka m1 ka mj ka mn Πρόταση 711 Το σύνολο M m n (K) των m n-πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις πρόσθεσης και ϐαθµωτού πολλαπλασιασµού, είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το K Το µηδενικό διάνυσµα του M m n (K) είναι ο m n-πίνακας 0 όλα τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα µε 0: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0
164 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Το αντίθετο διάνυσµα του m n-πίνακα A = (a ij ) είναι ο m n-πίνακας A = ( a ij ): a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Βλέπε το Πόρισµα ;; Θεωρούµε τους m n το πλήθος πίνακες E ij, 1 i m, 1 j n, όπου ο πίνακας E ij έχει στην (i, j)-ϑέση 1 και παντού αλλού 0 ηλαδή : 0 0 0 0 E ij = 0 0 1 0 0 0 0 0 όπου το 1 εµφανίζεται στην τοµή της j-στήλης µε την i-γραµµή Πρόταση 712 Το σύνολο των m n πινάκων B := {E ij 1 i m, 1 j n} είναι µια ϐάση του διανυσµατυικού χώρου M m n (K) Εποµένως dim K M m n (K) = m n Οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις πινάκων ϑα είναι πολύ σηµαντικές για τα επόµενα : Ορισµός 713 Εστω K ένα σώµα και έστω n, m 1
71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 165 1 Ο χώρος στηλών µε m στοιχεία από το σώµα K ορίζεται να είναι το σύνολο M m 1 (K) και συµβολίζεται µε Σ m (K): Σ m (K) := { x 1 x 2 x i x m x i K, 1 i m} 2 Ο χώρος γραµµών µε n στοιχεία από το σώµα K ορίζεται να είναι το σύνολο M 1 n (K) και συµβολίζεται µε Γ n (K): Γ n (K) := ( x 1 x 2 x j x n ) xj K, 1 j n} Η επόµενη παρατήρηση προκύπτει άµεσα από τους ορισµούς : Παρατήρηση 714 1 Ο χώρος στηλών Σ m (K)είναι ισόµορφος µε τον διανυσµατικό χώρο K m µέσω του ισοµορφισµού f : K m Σ m (K), x = (x 1, x 2,, x m ) f ( x 1 x 2 x j x n ) 2 Ο χώρος γραµµών Γ n (K) είναι ισόµορφος µε τον διανυσµατικό χώρο K n µέσω του ισοµορφισµού g : K n Γ n (K), ( x1 x 2 x j x n ) g (x1, x 2,, x n ) ιαµέσου των ισοµορφισµών f και g συνήθως ταυτίζουµε τους διανυσµατικούς χώρους Σ m (K) και Γ n (K) µε τους διανυσµατικούς χώρους K m και K n αντίστοιχα Θα δούµε τώρα ότι σε µερικές περιπτώσεις µπορούµε να ορίσουµε µια άλλη σηµαντική πράξη µεταξύ πινάκων η οποία καλείται πολλαπλασιασµός ή γινόµενο πινάκων Πολλαπλασιασµός Πινάκων: Εστω A M m n (K) και B M n r (K) Τότε ορίζουµε το γινόµενο του m n πίνακα A µε τον n r πίνακα B να είναι ο m r πίνακας A B του οποίοι το στοιχείο στην (i, j)-ϑέση είναι : c ij := a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = n a ik b kj k=1
166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Ενας εύκολος τρόπος αποµνηµόνευσης του γινοµένου πινάκων είναι ο εξής Το στοιχείο c ij στην (i, j)-ϑέση, όπου 1 i m και 1 j r, του πίνακα A B προκύπτει από τον ακόλουθο «πολλαπλασιασµό» της i-γραµµής A i του πίνακα A µε την j-στήλη B j του πίνακα B: c ij := A i B j = ( ) a i1 a i2 a ij a in = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj b 1j b 2j b ij b nj = Παρατήρηση 715 Το γινόµενο A B δύο πινάκων ορίζεται αν-ν ο αριθµός των στηλών του A είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του B Ετσι αν A M m n (K) και B M k r (K), τότε το γινόµενο A B ορίζεται αν-ν n = k Παρόµοια το γινόµενο B A ορίζεται αν-ν r = m Εποµένως τα γινόµενα πινάκων A B και B A ορίζονται αν-ν m = n = r = k, δηλαδη αν-ν οι πίνακες A και B είναι τετραγωνικοί ίδιας τάξης Υπενθυµίζουµε ότι το σύµβολο του Kronecker δ ij ορίζεται ως εξής : { } 1 : αν i = j δ ij = 0 : αν i j Παράδειγµα 712 Για κάθε i, j = 1, 2,, n, ϑεωρούµε τους τετραγωνικούς πίνακες E ij = (δ ij ) M n n (K) Τότε : Παράδειγµα 713 E ij E kr = δ jk E ir Πρόχειρη οκιµασία Παρατήρηση 716 Αν A και B είναι δύο πίνακες έτσι ώστε τα γινόµενα A B και B A ορίζονται, τότε δεν είναι απαραίτητο να ισχύει ότι : A B = B A Για παράδειγµα έστω οι 2 2 πίνακες πραγµαικών αριθµών : Τότε : A = A B = ( 0 1 0 0 ( 1 0 0 0 ), B = ) ( 0 0 0 1 ( 0 0 1 0 ) ) = B A
71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 167 Η ακόλουθη πρόταση περιγράφει τις ϐασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασµού πινάκων και πως αυτή συµπεριφέρεται ως προς την πρόσθεση και τον ϐαθµωτό πολλαπλασιασµό πινάκων Πρόταση 717 Εστω A, B και C τρείς πίνακες µε στοιχεία από το σώµα K, και k K 1 Αν τα γινόµενα πινάκων A B και B C ορίζονται, τότε ορίζονται και τα γινόµενα πινάκων A (B C) και (A B) C και µάλιστα : A (B C) = (A B) C 2 Αν τα γινόµενα πινάκων A B και A C ορίζονται, τότε ορίζεται και το γινόµενο πινάκων A (B + C) και µάλιστα : A (B + C) = A B + A C 3 Αν τα γινόµενα πινάκων A C και B C ορίζονται, τότε ορίζεται και το γινόµενο πινάκων (A + B) C και µάλιστα : (A + B) C = A C + B C 4 Αν το γινόµενο πινάκων A B ορίζεται, τότε ορίζονται και τα γινόµενα πινάκων (ka) B, και A (kb) και µάλιστα : k(a B) = (ka) B = A (kb) Υπενθυµίζουµε ότι, n 1, ο µοναδιαίος n n πίνακας µε στοιχεία από το K είναι ο πίνακας : 1 0 0 0 0 1 0 0 I n = 0 0 1 0 0 0 0 1 Η επόµενη πρόταση περιγράφει σηµαντικές ιδιότητες του µοναδιαίου πίνακα
168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Πρόταση 718 Εστω A M m n (K) και και B M n k (K), δύο πίνακες Τότε : A I n = A και I n B = B Ιδιαίτερα C I n = C = I n C, για κάθε τετραγωνικό n n πίνακα C M n n (K) Ορισµός 719 Ενας πίνακας A M n n (K) καλείται αντιστρέψιµος αν υπάρχει πίνακας B M n n (K), έτσι ώστε να ισχύει : A B = I n = B A Τότε ο πίνακας B καλείται αντίστροφος του A και συµβολίζεται µε A 1 Πρόταση 7110 1 Εστω A M n n (K) ένας αντιστρέψιµος πίνακας Τότε ο αντίστροφος του είναι µοναδικός και είναι επίσης αντιστρέψιµος µε αντίστροφο τον πίνακα A: (A 1 ) 1 = A 2 Εστω A, B M n n (K) δύο αντιστρέψιµοι πίνακες Τότε ο πίνακας A B είναι αντιστρέψιµος και ισχυει : (A B) 1 = B 1 A 1 Πρόχειρη οκιµασία ( ) a b Εστω A = M c d 2 2 (K) Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος αν-ν ad bc 0 Αν αυτό ισχύει να δείξετε ότι : A 1 = ( d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc Συµβολισµός 714 Εστω A M n n (K) ένας τετραγωνικός n n πίνακας Τότε ορίζεται το γινόµενο A A, και εποµένως, σύφωνα µε την Πρόταση 717, ορίζονται και το γινόµενο A A A A (k ϕορές, k 1), ο οποίος συµβολίζεται µε A k Προφανώς ϑα έχουµε A k A r = A k+r Πρόχειρη οκιµασία )
71 ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ 169 Να δείξετε ότι αν A = ( λ 1 0 λ ), τότε : ( A n λ n nλ = n 1 0 λ n ) Πρόχειρη οκιµασία Να δείξετε ότι αν A είναι ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας, τότε για κάθε k 1 ο πίνακας A k είναι αντιστρέψιµος Ποιός είναι ο αντίστροφος του A k ; Θα δούµε τώρα µια κατασκευή η οποία, δοθέντος ενός m n πίνακα, µας ορίζει έναν n m πίνακα Ορισµός 7111 Εστω a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = (a ij ) = a i1 a i2 a ij a in M m n (K) a m1 a m2 a mj a mn ένας m n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Ο ανάστροφος του A ορίζεται να είναι ο n m πίνακας t A του οποίου οι γραµµές είναι οι στήλες του πίνακα A και οι στήλες του είναι οι γραµµές του πίνακα A: a 11 a 21 a i1 a m1 a 12 a 22 a i2 a m2 t A := (a ji ) = a 1j a j2 a ji a mj M n m (K) a 1n a n2 a in a nm Η επόµενη πρόταση περιγράφει τις κυριότερες ιδιότητες της µετάβασης από έναν πίνακα στον ανάστροφο του Πρόταση 7112 Εστω A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K) δύο m n πίνακες και C = (c ij ) M n r (K) ένας n r πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Τότε για κάθε στοιχείο k mbk, ισχύουν τα εξής : 1 t (A + B) = t A + t B
170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ 2 t (ka) = k t A 3 t (A C) = t = t C ta 4 t ( t A) = A 5 Αν D = (d ij ) M n n (K) είναι ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας, τότε και ο ανάστροφος του t D είναι αντιστρέψιµος και ισχύει : ( t D) 1 = t (D 1 ) Η παραπάνω πρόταση έχει την ακόλουθη άµεση συνέπεια : Πόρισµα 7113 Η απεικόνιση φ : M m n (K) M n m (K), A φ(a) = t A είναι ένας ισοµορφισµός µε αντίστροφη την απεικόνιση ψ : M n m (K) M m n (K), A φ(a) = t A Επιπλέον αν m = n (οπότε οι εµπλεκόµενοι πίνακες είναι τετραγωνικοί και φ = ψ), τότε η απεικόνιση φ στέλνει αντιστρέψιµους πίνακες σε αντιστρέψιµους πίνακες και ισχύει : φ 2 = Id Mn n (K) 72 Ο Πίνακας µιας Γραµµικής Απεικόνισης Στην παρούσα ενότητα ϑα αντιστοιχίσουµε σε κάθε γραµµική απεικόνιση µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης έναν πίνακα ο οποίος εµπεριέχει όλες τις ιδιότητες της γραµµικής απεικόνισης Επιπρόσθετα ϑα δείξουµε ότι αυτή η αντιστοιχία είναι 1-1 και επί Από τώρα και στο εξής ϑεωρούµε δύο διανυσµατικούς χώρους E και F υπεράνω του σώµατος K, και µια γραµµική απεικόνιση Επιπρόσθετα υποθέτουµε ότι : f : E F 1 dim K E = n και έστω B E = { e 1, e 2,, e n } µια ϐάση του E 2 dim K F = m και έστω B F = { ε 1, ε 2,, ε m } µια ϐάση του F
72 Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ 171 Θεωρούµε τις εικόνες f( e i ), 1 i n, των διανυσµάτων της ϐάσης B E δια- µέσου της απεικόνισης f Επειδή τα διανύσµατα f( e i ), 1 i n ανήκουν στον διανυσµατικό χώρο F και το σύνολο B F = { ε 1, ε 2,, ε m } µια ϐάση του F, έπεται ότι κάθε ένα από τα f( e i ) ϑα γράφεται µοναδικά ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσης B F Εποµένως ϑα έχουµε τις ακόλουθες σχέσεις : f( e 1 ) = a 11 ɛ 1 + a 21 ɛ 2 + + a i1 ɛ i + + a m1 ɛ m f( e 2 ) = a 12 ɛ 1 + a 22 ɛ 2 + + a i2 ɛ i + a m2 ɛ m f( e j ) = a 1j ɛ 1 + a 2j ɛ 2 + + a ij ɛ i + + a mj ɛ m f( e n ) = a 1n ɛ 1 + a 2n ɛ 2 + + a in ɛ i + + a mn ɛ m Οι παραπάνω σχέσεις γράφονται συνεπτυγµένα ως εξής : j = 1, 2,, m : f( e j ) = m a ij ɛ i i=1 ( ) Ορισµός 721 Ο πίνακας της f : E F ως προς τις ϐάσεις B E και B F των E και F αντίστοιχα, ορίζεται να είναι ο m n πίνακας στοιχείων του K: a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n M BE,B F (f) := a i1 a i2 a ij a in ( ) a m1 a m2 a mj a mn Αν E = F και επιλέξουµε B := B E = B F, τότε ο πίνακας της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F καλείται ο πίνακας της f ως προς την ϐάση B και συµβολίζεται ως M B (f) Παρατήρηση 722 1 j = 1, 2,, m, η j-στήλη του πίνακα M BE,B F (f) αποτελείται από τους συντελεστές του διανύσµατος f( e j ) όταν αυτό εκφρασθεί ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσης B F του F 2 Η διαδικασία την οποία ακολουθούµε για να σχηµατίσουµε τον πίνακα µιας γραµµικής απεικόνισης f : E F ως προς τις ϐάσεις B E = {} και B F των E και F αντίστοιχα, είναι ο εξής : εφαρµόζουµε την f σε κάθε διάνυσµα
172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ e j της ϐάσης B E και ακολούθως εκφράζουµε το διάνυσµα f( e j ) ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων της ϐάσης B F του F τότε οι συνιστώσες του f( e j ) αποτελούν την j-στήλη του πίνακα M BE,B F (f) 3 Ο Πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης f : E F είναι τετραγωνικός αν-ν dim K E = dim K F 4 Οπως είναι ϕανερό από τον ορισµό ο πίνακας της f εξαρτάται από τις ϐάσεις τις οποίες επιλέγουµε Για παράδειγµα έστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, και έστω B 1, B 2 δύο ϐάσεις του E Τότε µπορούµε να σχηµατίσουµε τους πίνακες M B1,B 2 (f), M B2,B 1 (f), M B1,B 1 (f), και M B2,B 2 (f) Γενικά οι παραπάνω πίνακες είναι διαφορετικοί Παράδειγµα 721 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K µε dim K E = n, και έστω k K Θεωρούµε την γραµµική απεικόνιση (οµοθεσία µε λόγο k): f k : E E, x f k ( x) = k x Αν B είναι µια τυχούσα ϐάση του E, τότε : k 0 0 0 k 0 M B,B (f k ) = 0 0 k Θέτοντας k = 0, έχουµε ότι f 0 = 0 είναι η µηδενική γραµµική απεικόνιση, και άρα ο πίνακας της µηδενικής γραµµικής απεικόνισης 0 : E E ως προς τυχούσα ϐάση B του E είναι ο µηδενικός n n πίνακας Επιλέγοντας k = 1, έχουµε ότι f 1 = Id E είναι η ταυτοτική γραµµική απεικόνιση, και άρα ο πίνακας της ταυτοτικής γραµµικής απεικόνισης Id E : E E ως προς τυχούσα ϐάση B του E είναι ο µοναδιαίος n n πίνακας I n Παράδειγµα 722 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x, x + y, 0) Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B 1 := { e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)} B 2 := { ε 1 = (1, 1, 0), ε 2 = (0, 1, 1), ε 3 = (1, 1, 1)} Τότε : M B1,B 1 (f) = 1 0 0 1 1 0 0 0 0, M B1,B 2 = 2 1 2 1 1 1 1 1 1
72 Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΙΑΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ 173 Πραγµατικά : M B2,B 2 (f) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0, M B2,B 1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Παράδειγµα 723 Εστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 2, (x, y, z) f(x, y, z) = (2x + y, y z) Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις των R 3 και R 2 : B 1 := { e 1 = (1, 0, 1), e 2 = ( 1, 1, 0), e 3 = (0, 1, 2)} B 2 := { ε 1 = (1, 0), ε 2 = (0, 1)} Τότε : Πραγµατικά : M B1,B 2 (f) = ( 2 1 1 1 1 1 ) Το ακόλουθο ϐασικό ϑεώρηµα αναλύει την σχέση µεταξύ γραµµικών απεικονίσεων και πινάκων και είναι ϑεµελιώδες στην Γραµµική Άλγεβρα Θεώρηµα 723 Εστω E και F δύο διανυσµατικοί χώροι υπεράνω του σώµατος K και έστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση Υποθέτουµε ότι dim K E = n και dim K F = m, και σταθεροποιούµε µια ϐάση B E του E και B F µια ϐάση του F Θεωρούµε τον διανυσµατικό χώρο Hom K (E, F) των γραµµικών απεικονίσεων f : E F, και τον διανυσµατικό χώρο M m n (K) των m n πινάκων µε στοιχεία από το σώµα K Τότε η απεικόνιση M η οποία στέλνει την γραµµική απεικόνιση f στον πίνακα της M BE,B F (f) ως προς τις ϐάσεις B E και B F των E και F αντίστοιχα, είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων : M : Hom K (E, F) = M m n (K), f M(f) := M BE,B F (f) Η ακόλουθη πρόταση µας δίνει πως από πίνακες µεταβαίνουµε σε γραµ- µικές απεικονίσεις, χωρίς να γνωρίζουµε εκ των προτέρων ότι µας έχουν δοθεί κάποιοι συγκεκριµένοι διανυσµατικοί χώροι Πρόταση 724 Εστω A = (a ij ) M m n (K) ένας m n πίνακας µε στοιχεία από το σώµα K Τότε η απεικόνιση : f A : Σ n (K) Σ m (K)
174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ η οποία ορίζεται ως εξής f A ( X) := A X, δηλαδή : x 1 a 11 a 12 a 1j a 1n x 2 a 21 a 22 a 2j a 2n X = f A x i a i1 a i2 a ij a in x n a m1 a m2 a mj a mn είναι µια γραµµική απεικόνιση και ο πίνακας της ως προς τις κανονικές ϐάσεις B Σn(K) και B Σn(K) των διανυσµατικών χώρων Σ n (K) και Σ m (K) είναι ο A: M BΣn(K),B Σn(K) (f A ) = A x 1 x 2 x i x n Ασκηση 724 Να δείξετε ότι η απεικόνιση : G : M m n (K) Hom K (Σ n (K), Σ m (K), A G(A) := f A είναι ένας ισοµορφισµός διανυσµατικών χώρων Παράδειγµα 725 Θα δείξουµε τώρα ότι ο ισοµορφισµός του Θεωρήµατος 723 στέλνει την σύνθεση γραµµικών απεικονίσεων µεταξύ διανυσµατικών χώρων στο γινόµενο των πινάκων τους ως προς κάποιες επιλεγµένες ϐάσεις των χώρων Θεώρηµα 725 Εστω E, F και G τρεις διανυσµατικοί χώροι υπεράνω του σώµατος K και έστω f g E F G δύο γραµµικές απεικονίσεις Υποθέτουµε ότι dim K E = n, dim K F = m, και dim K G = r, και σταθεροποιούµε µια ϐάση B E του E, µια ϐάση B F του F, και µια ϐάση B G του G Τότε ο πίνακας της σύνθεσης g f : E G ως προς τις ϐάσεις B E και B G των E και G είναι το γινόµενο των πινάκων των γραµµικών απεικονίσεων f και g ως προς τι ϐάσεις B E και B F, και B F και B G αντίστοιχα : M BE,B G (g f) = M BF,B G (g) M BE,B F (f)
73 ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ 175 73 Αλλαγή Βάσης και Συνιστωσών Στην παρούσα ενότητα ϑα δούµε έναν τρόπο ο οποίος µας επιτρέπει να πε- ϱάσουµε από µια ϐάση ενός διανυσµατικού χώρου σε µια άλλη ϐάση του ίδιου χώρου Επίσης ϑα δούµε πως αλλάζουν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος όταν αλλάξουµε ϐάση, και πως αλλάζει ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης όταν αλλάξουµε ϐάσεις στους διανυσµατικούς χώρους στους οποίους είναι ορισµένη η γραµµική απεικόνιση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K Εστω ότι dim K E = n και έστω B := { e 1, e 2,, e n } B := { ε 1, ε 2,, ε n } δύο τυχούσες ϐάσεις του E Τότε κάθε διάνυσµα της ϐάσης B γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµ- µικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσεις B: ε 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + + a n1 e n ε 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + + a n2 e n ε n = a 1n e 1 + a 2n e 2 + + a nn e n ή περισσοτερο αναλυτικά : j = 1, 2,, n : ε j = n a ij e i i=1 Ορισµός 731 Ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B ορί- Ϲεται να είναι ο τετραγωνικός n n πίνακας : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n M B,B := a n1 a n2 a nn Παρόµοια κάθε διάνυσµα της ϐάσης B γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων της ϐάσεις B : e 1 = b 11 ε 1 + b 21 ε 2 + + b n1 ε n
176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ή περισσοτερο αναλυτικά : e 2 = b 12 ε 1 + b 22 ε 2 + + b n2 ε n e n = b 1n ε 1 + b 2n ε 2 + + b nn ε n i = 1, 2,, n : e j = n b ki ε k Ορισµός 732 Ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B ορί- Ϲεται να είναι ο τετραγωνικός n n πίνακας : b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n M B,B := b n1 b n2 b nn k=1 Παράδειγµα 731 Εστω οι ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B = { e 1 = (2, 0, 0), e 2 = ( 3, 1, 0), e 3 = (0, 2, 1 2 } B = { ε 1 = (1, 1, 0), ε 2 = (1, 0, 1), ε 3 = (0, 1, 2} Τότε ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B είναι ο εξής : 13 2 2 27 2 M B,B = 1 4 9 0 2 4 Πρόχειρη οκιµασία Να ϐρεθεί ο πίνακας µετάβασης M B,B για τις ϐάσεις του παραπάνω παραδείγµατος Παράδειγµα 732 Θεωρούµε την κανονική ϐάση B = { e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0),, e n = (0, 0,, 1)} του διανυσµατικού χώρου K n Θεωρούµε επίσης µια διαφορετική τυχούσα ϐάση B = { ε 1 = (a 11, a 21,, a n1 ), ε 2 = (a 12, a 22,, a n2 ),, ε n = (a 1n, a 2n,, a nn )}
73 ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ 177 του K n Τότε ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση την κανονική ϐάση B στην τυχούσα ϐάση B είναι ο n n που προκύπτει αν µετατρέψουµε τα διανύσµατα ε i σε στήλες : a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n M B,B := a n1 a n2 a nn Είναι εύλογο να αναρωτηθούµε τι σχέση έχουν οι πίνακες µετάβασης µεταξύ δύο ϐάσεων ενός διανυσµατικού χώρου Την απάντηση την δίνει το ακόλουθο ϑεώρηµα Θεώρηµα 733 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K, και έστω B := { e 1, e 2,, e n } B := { ε 1, ε 2,, ε n } δύο τυχούσες ϐάσεις του E Τότε ο πίνακας µετάβασης M B,B από την ϐάση B στην ϐάση B είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφος του είναι ο πίνακας µετάβασης M B,B από την ϐάση B στην ϐάση B: M B,B = M 1 B,B Εστω, όπως και πριν, E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και έστω B := { e 1, e 2,, e n } B := { ε 1, ε 2,, ε n } δύο ϐάσεις του E Τότε κάθε διάνυσµα x E γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων των ϐάσεων B και B : x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n = x = x 1 ε 1 + x 2 ε 2 + + x n ε n = n x i e i i=1 n x i ε i i=1
178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Θεωρούµε τα διανύσµατα στήλες : x 1 x 2 X = x i x n X = x 1 x 2 x i x n (71) τα οποία καλούνται τα διανύσµατα-στήλες των συνιστωσών του x ως προς τις ϐάσεις B και B Η επόµενη πρόταση περιγράφει πως αλλάζουν οι συνιστώσες του διανύσµατος x ως προς τις ϐάσεις B και B Πρόταση 734 Ισχύοουν οι ακόλουθες σχέσεις : X = M B,B X = M 1 B,B X και X = MB,B X = M 1 B,B X Περισσότερο αναλυτικά : k = 1, 2, n : x k = n n a ki x i x k = b ki x i i=1 i=1 όπου : M B,B = (a ij ) και M B,B = (b ij ) 74 Ισοδύναµοι και Οµοιοι Πίνακες Στην παρούσα ενότητα ϑα µελετήσουµε πως αλλάζει ο πίνακας µιας γραµµικής απεικόνισης όταν αλλάξουµε ϐάσεις Από τώρα και στο εξής υποθέτουµε ότι µας έχουν δοθεί τα ακόλουθα : 1 E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K µε dim K E = n, και έστω B E και B E δύο ϐάσεις του : B E := { e 1, e 2,, e n }, B E := { e 1, e 2,, e n} 2 F είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K µε dim K F = m, και έστω B F και B F δύο ϐάσεις του : B F := { ε 1, ε 2,, ε m }, B F := { ε 1, ε 2,, ε m},
74 ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 179 3 f : E F είναι µια γραµµική απεικόνιση Συµβολίζουµε µε : 4 A = M BE,B F (f) τον πίνακα της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F των E και F: A = (a ij ) := M BE,B F M m n (K) 5 A = M B E,B (f) τον πίνακα της f ως προς τις ϐάσεις B F E και B F των E και F: A = (a ij) := M B E,B M m n(k) F 6 P = M BE,B E τον πίνακα µετάβασης από την ϐάση B E στην ϐάση B E : P = (p ij ) := M BE,B E M n n(k) Τότε από το Θεώρηµα 733 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B E στην ϐάση B E είναι ο P 1, δηλαδή : P 1 = M B E,B E 7 Q = M BF,B F τον πίνακα µετάβασης από την ϐάση B F στην ϐάση B F : Q = (q ij ) := M BF,B F M m m(k) Τότε από το Θεώρηµα 733 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B F στην ϐάση B F είναι ο Q 1, δηλαδή : Q 1 = M B F,B F Σκοπός µας είναι να δείξουµε ότι A = Q 1 A P χρειαζόµαστε κάποια προεργασία Γι αυτό το σκοπό Εστω x E ένα τυχόν διάνυσµα του E, το οποίο το εκφράζουµε ως γραµ- µικό συνδυασµό των διανυσµάτων των ϐάσεων B E και B E : x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n = x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + + x n e n = n x i e i (72) i=1 n x i e i (73) Συµβολίζουµε µε X και X τα διανύσµατα-στήλες των συνιστωσών του x ως προς τις ϐάσεις B E και B E όπως στην σχέση?? Τότε από την Πρόταση 734, έχουµε τις σχέσεις : i=1 X = P X, X = P 1 X (74)
180 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Εφαρµόζουµε την γραµµική απεικόνιση f στο διάνυσµα x και έστω y = f( x) Εν συνεχεία εκφράζουµε το y ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων των ϐάσεων B F και B F : f( x) = y = y 1 ε 1 + y 2 ε 2 + + y n ε m = f( x) = y = y 1 ε 1 + y 2 ε 2 + + y n ε n = m x i ε i (75) i=1 m x i ε i (76) i=1 Συµβολίζουµε µε Y και Y τα διανύσµατα-στήλες των συνιστωσών του y = f( x) ως προς τις ϐάσεις B F και B F όπως στην σχέση?? Τότε από την Πρόταση 734, έχουµε τις σχέσεις : Y = Q Y, Y = Q 1 Y (77) Λήµµα 741 Τα διάνυσµατα-στήλες X και Y των συνιστωσών των διανυσµάτων x και y = f( x) ως προς τις ϐάσεις B E και B F τν E και F αντίστοιχα, συνδέονται µε τον ακόλουθο τύπο : Y = A X (78) ή περισσότερο αναλυτικά : m i = 1, 2,, m : y i = a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = a ij x j (79) j=1 Θεώρηµα 742 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ διανυσµατικών υπεράνω ενός σώµατος K Επιλέγουµε δύο τυχούσες ϐάσεις B E και B E του E, και δύο τυχούσες ϐάσεις B F και B F του F Εστω A ο πίνακας της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F και έστω A ο πίνακας της f ως προς τις ϐάσεις B E και B F Τέλος έστω P ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B E στην ϐάση B E του E, και έστω Q ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B F στην ϐάση B F του F Τότε ισχύει ο ακόλουθος τύπος : A = Q 1 A P
74 ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 181 Το Θεώρηµα 742 µας οδηγεί στον ακόλουθο ορισµό Ορισµός 743 Εστω A, A M m n (K) δύο m n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Οι πίνακες A και A καλούνται ισοδύναµοι αν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας P M n n (K) και ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας Q M m m (K), έτσι ώστε : A = Q 1 A P Θεώρηµα 744 ύο πίνακες A, A M m n (K) είναι ισοδύναµοι αν-ν είναι πίνακες µιας γραµµικής απεικόνισης f : E F, όπου dim K E = n και dim K F = m, ως προς διαφορετικές ϐάσεις των E και F Υποθέτουµε τώρα ότι E = F και ϑέτουµε B E = B F και B E = B F, στα παραπάνω δεδοµένα Εποµένως έχουµε µια γραµµική απεικόνιση f : E E και δύο ϐάσεις του E: B E := { e 1, e 2,, e n }, B E := { e 1, e 2,, e n} Οπως προηγουµένως, έστω A = M B,B (f) ο πίνακας της f στην ϐάση B και A = M B,B (f) ο πίνακας της f στην ϐάση B Επίσης έστω P = M B,B ο πίνακας µετάβασης από την ϐάση B στην ϐάση B Τότε, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 733, ο πίνακας µετάβασης Q = M B,B από την ϐάση B στην ϐάση B είναι Q = P 1 Εποµένως, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 742, ϑα έχουµε A = P 1 A P Αυτή η σχέση τετραγωνικών πινάκων µας οδηγεί στον ακόλουθο ορισµό Ορισµός 745 Εστω A, A M m n (K) δύο τετραγωνικοί n n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Οι πίνακες A και A καλούνται όµοιοι αν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος n n πίνακας P M n n (K)έτσι ώστε : A = P 1 A P Η παρπάνω ανάλυση µας οδηγεί στο ακόλουθο ϐασικό Θεώρηµα, το οποίο είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήµατος 744 Θεώρηµα 746 ύο τετραγωνικοί πίνακες A, A M n n (K) είναι όµοιοι αν-ν είναι πίνακες µιας γραµµικής απεικόνισης f : E E, όπου dim K E = n, ως προς διαφορετικές ϐάσεις του E
182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ Παράδειγµα 741 Εστω f : R 3 R 3 η γραµµική απεικόνιση η οποία ορίζεται ως εξής : f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x, x + y, 0) Θεωρούµε τις ακόλουθες ϐάσεις του R 3 : B 1 := { e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)} όπως στο Παράδειγµα 722 B 2 := { e 1 = (1, 1, 0), e 2 = (0, 1, 1), e 3 = (1, 1, 1)} Στο σύνολο M m n (K) ορίζουµε µια σχέση ως εξής : A, B M m n (K) : A B οι πίνακες A, B είναι ισοδύναµοι δηλαδή : A B αν-ν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P M n n (K) και ένας αντιστρέψιµος m m πίνακας Q M m m (K), έτσι ώστε : B = Q 1 A P Πρόταση 747 Η σχέση m n είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M m n (K) των m n πινάκων Περιοριζόµενοι σε τετραγωνικούς n n πίνακες έχουµε ανάλογα τον ακόλουθο ορισµό και την ακόλουθη πρόταση Στο σύνολο M n n (K) ορίζουµε µια σχέση n n ως εξής : A, B M m n (K) : A n n B οι πίνακες A, B είναι όµοιοι δηλαδή : A n n B αν-ν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P M n n (K) έτσι ώστε : B = P 1 A P Πρόταση 748 Η σχέση οµοιότητας n n είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M n n (K) των n n πινάκων
74 ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΙ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ 183 Σύµφωνα µε τις Προτάσεις 747 και 748 η σχέση m n διαµερίζει το σύνολο M m n (K) σε κλάσεις ισοδυναµίας (ισοδύναµων πινάκων), και η σχέση n n διαµερίζει το σύνολο M n n (K) σε κλάσεις ισοδυναµίας (όµοιων πινάκων) ύο από τους ϐασικότερους σκοπούς της Γραµµικής Άλγεβρας είναι : (α) η εύρεση των πλέον απλών αντιπροσώπων σε κάθε κλάση ισοδυναµίας ή οµοιότητας, και (β) η εύρεση ιδιοτήτων πινάκων οι οποίες ισχύουν για κάθε πίνακα ο οποίος ανήκει σε µια δεδοµένη κλάση ισοδυναµίας η οµοιότητας Στα επόµενα Κεφάλαια ϑα δούµε κάποιες από αυτές τις ιδιότητες
184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΙΝΑΚΕ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΕ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης «Γραμμική Άλγεβρα Ι» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourseuoigr/course/viewphp?id=1225 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/