ΤΙΤΛΟΣ: Οι Γεωµετρικές Αναλογίες στον Αρχιτεκτονικό Σχεδιασµό. Το MODULOR, µια κριτική-αιρετική προσέγγιση. ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Γεωµετρία, Μορφή, Χώρος ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Παναγιώτης Βασιλάτος, Αρχιτέκτων, Λέκτορας Ε.Μ.Π. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η γεωµετρικοποίηση του χώρου αποτελεί, πιθανόν µια βαθύτερη ανάγκη του ανθρώπου στην προσπάθεια του να οικοδοµήσει «τάξη» και να οικειοποιηθεί την χαοτική φύση. Αντιληπτικά ένα περιβάλλον είναι αναγνωρίσιµο και αποδοτικότερο όταν έχει σχέσεις κανονικότητας, Ο άνθρωπος νοηµατοδοτεί και, κατ επέκταση, αποδίδει σηµασίες στην τυχαιότητα της φύσης µε επιδιωκόµενο σκοπό την υπέρβαση του φόβου του, προσδίδοντας τάξη στο χάος που τον περιβάλλει. Η ανάγκη αυτή βρίσκει πρόσφορο έδαφος και γονιµοποιεί τα έργα του, ειδικότερα αυτά της τέχνης και οπωσδήποτε την ίδια την αρχιτεκτονική, που συνειδητά αποτελεί το διαρκέστερο δηµιούργηµα του µέσα στον χρόνο. Η διαδικασία του «οικοδοµείν» έχει ως προϋπόθεση την ανάλυση και τον σχεδιασµό, και πραγµατώνονται µέσω του Ευκλείδειου αιτήµατος µε τη χρήση «κανόνα και διαβήτη» (εικόνα1) προσοµοιώνοντας την οικοδοµική πράξη και απαιτώντας καρτεσιανές αναφορές για τις χαράξεις, τη λάξευση ή το κτίσιµο, ενώ παράλληλα αντανακλά µια διττή πρακτική, τη νοητική σύλληψη και την απόδοση της µε γεωµετρικά όργανα σε σχέδιο, ως προϋπόθεση της υλοποίησης του αρχιτεκτονικού έργου. ηµιουργούνται έτσι οι προϋποθέσεις για τη µαθηµατική διερεύνηση και την θεωρητικοποίηση των σχέσεων, των σχηµάτων και των µεγεθών, καθώς και της εσωτερικής µεταξύ τους τάξης, θέτοντας κανόνες που ακυρώνουν την τυχαιότητα και αντανακλούν την ανάγκη ύπαρξης αντικειµενικού υπόβαθρου που τεκµηριώνει τις επιλογές του αρχιτέκτονα. Ο προβληµατισµός για µια αισθητική θεώρηση της γεωµετρίας οδήγησε στην σηµαντικότερη και γοητευτικότερη απάντηση, τη «Χρυσή Τοµή», όπου ήδη από την αρχαιότητα έχει διερευνηθεί µε πληρότητα.
Κατά την Αναγέννηση το ζήτηµα βρέθηκε στο επίκεντρο θεωρητικού έργου, τόσο των αρχιτεκτόνων αλλά και του συνόλου των καλλιτεχνών, ενώ στην σύγχρονη περίοδο οι απαιτήσεις του βιοµηχανικού σχεδιασµού και της παραγωγής έθεσαν τις νέες προοπτικές µε την ανάγκη τυποποίησης των προϊόντων της. Στον αιώνα µας σηµαντικά κινήµατα και προσωπικότητες της αρχιτεκτονικής ασχολήθηκαν µε τις γεωµετρικές αναλογίες, ανάµεσα στις οποίες κυρίαρχη θέση καταλαµβάνει η εµβληµατική µορφή του Le Corbusier, µε το θεωρητικό του έργο «Le Modulor», που πραγµατεύεται αυτό ακριβώς το θέµα. Με αφετηρία το Modulor αναπτύσσεται ένας κριτικός προβληµατισµός για την φύση και τα όρια της πρότασης του αρχιτέκτονα και επιχειρείται να προταθεί ένα νέο σύστηµα αναλογιών, το οποίο παράλληλα µε τα αισθητικά θέµατα, να απαντά πληρέστερα στα όρια δυνατότητας χρήσης του στη σύγχρονη δοµική τυποποίηση. ΟΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ. Από τα πρώιµα θεωρητικά κείµενα της αναγέννησης (Palladio, Alberti, Serlio κλπ) (εικόνα 2) µας έχουν παραδοθεί γραπτά τεκµήρια για τη διερεύνηση των αναλογιών στην αρχιτεκτονική και τις σχέσεις όχι µόνο των ρυθµολογικών στοιχείων, αλλά εξετάζουν σε βάθος τις σχέσεις των αρχιτεκτονικών µερών του κτιρίου ως ολότητα. Τούτο το φαινόµενο ανάγεται στην αρχαιότητα µέσω του µοναδικού σωζόµενου εγχειριδίου αρχιτεκτονικής που έφτασε ως τις ηµέρες µας και είναι το έργο του Βιτρούβιου1 «έκα βιβλία περί Αρχιτεκτονικής». Από αυτό το σηµαντικό έργο καλύτερα αποτυπωµένο στη συλλογική συνείδηση είναι το σχέδιο του Leonardo Da Vinci όπου απεικονίζεται, κατά ιδανικό τρόπο το ανθρώπινο σώµα εγγεγραµµένο ταυτόχρονα σε ένα τετράγωνο και έναν κύκλο, ενώ τα επιµέρους συστατικά στοιχεία του σώµατος του υπακούουν κατά τις επιταγές του Βιτρούβιου σε ένα αυστηρό σύστηµα αναλογιών (εικόνα3). Αυτό ακριβώς είναι το σηµείο κλειδί που λειτουργεί ως συνδετικό στοιχείο ανάµεσα στο αρχιτεκτονικό έργο και το ανθρώπινο σώµα, και µάλιστα µέσω της µαθηµατικής διαδικασίας των αναλογιών που οδήγησε στην ανάπτυξη της επιστήµης της ανθρωποµετρίας.
Η ένταξη του ανθρώπινου σώµατος στη λογική του σχεδιασµού (εικόνα 4) ενισχύθηκε αργότερα µε την αυγή της βιοµηχανικής επανάστασης και άρχισε να ενσωµατώνεται στα προϊόντα µαζικής παραγωγής που εξυπηρετούν και στις µηχανές που καλείται να λειτουργήσει ο άνθρωπος. Η ανθρωποµετρία ορίζεται ως η µέτρηση του ανθρωπίνου σώµατος και τα βιο-µηχανικά χαρακτηριστικά του (Adams, 1989), όπου ο όρος «βιο-µηχανικός» αναφέρεται στις µηχανικές ικανότητες του ανθρώπινου µυοσκελετικού συστήµατος. Ιδιαίτερη ανάπτυξη γνώρισε ο επιστηµονικός κλάδος της ανθρωποµετρίας ύστερα από το µέσον του εικοστού αιώνα, κυρίως µετά τους παγκοσµίους πολέµους και στη διάδοση της συνέβαλε βεβαίως η ανάπτυξη του µαθηµατικών κλάδων της στατιστικής και των πιθανοτήτων.
Στον χώρο της τέχνης του εικοστού αιώνα αποτελεί σταθµό το έργο των «πουριστών» 2, όπου ο Οζανφάν και ο Le Corbusier έκαναν ένα κάλεσµα για µια τέχνη καθαρή και άτεγκτη, για µια επιστροφή σε βασικές φόρµες εµπνεόµενες από τις σύγχρονες µηχανές 3 (εικόνα 5). Το αισθητικό πρόβληµα σχεδόν αυτόµατα µετασχηµατίζεται σε γεωµετρικό, όπου το αίτηµα πια στην αρχιτεκτονική και τον σχεδιασµό ανάγεται στις καθορισµένες σχέσεις των επιµέρους στοιχείων µεταξύ τους και τη σχέση που έχουν αυτά µε το όλον. Το µόνο που µένει είναι να προσδιοριστεί το εργαλείο που να ανταποκρίνεται σε αυτό το θεµελιώδες αίτηµα. Γι αυτούς η χρυσή τοµή ήταν το ιδεώδες σχήµα και αυτό αντανακλούνταν στη δουλειά τους. Με αυτό τον τρόπο ο αρµονικός λόγος 4 καθιερώνει ένα συνεπές σύστηµα οπτικών σχέσεων µεταξύ των µερών ενός κτιρίου, καθώς επίσης και µεταξύ των µερών και του όλου 5. Η σχέση αυτή δεν είναι πάντα εµφανώς ορατή, υπάρχει όµως και δίνει το παρόν µέσα από τις αισθήσεις. Η χρυσή τοµή όπως αποκαλείται και συµβολίζεται µε το Ελληνικό γράµµα «φ» µπορεί να προσδιοριστεί υπολογιστικά, όπου αν πάρουµε ένα µοναδιαίο ευθύγραµµο τµήµα, τότε το ιδανικό σηµείο που το χωρίζει σε µέσους και άκρους λόγους είναι ίσο µε 0,618 και που επίσης παρατηρούµε πως είναι ένας άρρητος αριθµός 6. Εκτός όµως από την αριθµητική λύση του προβλήµατος και επειδή στον σχεδιασµό είναι προσφορότερη η γεωµετρική προσέγγιση ιστορικά έχουν προταθεί αρκετές µέθοδοι για την εύρεση της χρυσής τοµής, δύο από τις οποίες εικονίζονται στην εικόνα που ακολουθεί (εικόνα 6).
ΓΙΑ ΤΟ MODULOR Στον χώρο της αρχιτεκτονικής και των εφαρµοσµένων τεχνών το σηµαντικότερο και ευρύτερα διαδεδοµένο έργο στο θέµα της αρµονικής κλίµακας παρατίθεται στο θεωρητικό σύγγραµµα του Le Corbusier για το Modulor7 δηµοσιευµένο το 1948 ή όπως αναγράφεται στην εισαγωγή του βιβλίου ως «δοκίµιο για ένα αρµονικό µέτρο σε ανθρώπινη κλίµακα µε παγκόσµια εφαρµογή στην αρχιτεκτονική και στην µηχανική». Σε αυτό το έργο συνοψίζεται µε ακρίβεια η θεωρητική προσέγγιση για ένα ολοκληρωµένο σύστηµα αναφοράς στην αρχιτεκτονική αλλά και στον βιοµηχανικό σχεδιασµό γενικότερα, όπου τεκµηριωµένα µπορεί να δώσει ικανοποιητικό αισθητικό αποτέλεσµα όπως αυτό αποδεικνύεται στο υλοποιηµένο έργο του αρχιτέκτονα. Στο βιβλίο αναλύεται, κατ αρχάς, το ιστορικό της προσέγγισης και της επιλογής του µέτρου αναφοράς, ενώ αµέσως µετά παραθέτει το γεωµετρικό µοντέλο του προτεινόµενου συστήµατος αναλογιών µαζί µε σκέψεις σε αισθητικές αναζητήσεις. Στο δεύτερο µέρος αναφέρεται σε πρακτικές εφαρµογές του Modulor κυρίως µέσα από το υλοποιηµένο έργο του ιδίου του αρχιτέκτονα. Τέλος, διερευνά ιστορικά παραδείγµατα και την πιθανή αναγωγή του συστήµατος σε αυτά τα κτίρια. Ο ίδιος προτείνει µια γεωµετρική κατασκευή που βασίζεται σε δύο τετράγωνα στα οποία µε γεωµετρική µέθοδο προκύπτει ένα σηµείο που αντιστοιχεί στη χρυσή τοµή (εικόνα7). Η έρευνα για την αναζήτηση του µέτρου ξεκινά το 1945 και επιλέγει ως ύψος του µέσου ανθρώπου και βασικό µέγεθος αναφοράς τα 175 εκατοστά8, ενώ στη συνέχεια και στην προσπάθεια να προσδώσει παγκοσµιότητα στην κλίµακα, συνδέει το µετρικό και το αγγλοσαξονικό σύστηµα µονάδων, ανασκευάζοντας την αρχική εκλογή του βασικού ύψους και την αντικαθιστά µε το µέγεθος των 6 ποδιών. Αυτή την πράξη επιχειρεί να την τεκµηριώσει εκκινώντας από µία υπόθεση εργασίας, για την οποία ο ίδιος γράφει, πως αντί της επιλογής των 175εκ όπου «είναι µάλλον το ύψος ενός Γάλλου, στα Αγγλικά µυθιστορήµατα, οι καθώς πρέπει άνδρες οι αστυνοµικοί για παράδειγµα- έχουν πάντα έξι πόδια ύψος». Έτσι επιλέγει τελικά να εφαρµόσει το πρότυπο των έξι ποδιών όπου στο µετρικό σύστηµα αντιστοιχεί σε 182,88εκ. και για χρηστικούς λόγους το στρογγυλοποιεί στο 1,829µ. Με αυτό το µέγεθος ως σηµείο αναφοράς εκκινεί για να διερευνήσει τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώµατος και οι οποίες φιλοδοξεί να έχουν χρηστική αξία τόσο στις τέχνες και την αρχιτεκτονική, όσο και στη βιοµηχανική τυποποίηση. H βασική επιλογή του µεγέθους των 182,88εκ είναι προφανές ότι δεν ταυτίζεται µε τα δεδοµένα της ανθρωποµετρίας, επιστήµης που γνώρισε αλµατώδη πρόοδο τις µεταπολεµικές δεκαετίες, δηλαδή µετά τη συγγραφή του Modulor. Ενδεικτικά
αναφέρονται οι βασικές διαφορές από τα µέσα ύψη του ανθρώπου9, όπου για τον άνδρα είναι 1.905, 1.775 και 1.640 χιλιοστά, ενώ για τη γυναίκα είναι 1.790, 1.665 και 1.540 χιλιοστά και που αντιστοιχούν στο 97,5%, 50,0% και 2,5% στην καµπύλη κατανοµής ύψους του ενήλικα πληθυσµού (εικόνα 8). Βλέπουµε δηλαδή ότι η απόκλιση από το ύψος του µέσου άνδρα δεν είναι καθόλου αµελητέα και είναι 59 χιλιοστά (ή -2,95%), ενώ η απόκλιση από το µέσο ύψος της γυναίκας είναι 164 χιλιοστά (ή -8,96%). Οι διαφορές αυτές είναι σηµαντικές για να δεχτούµε τον ισχυρισµό ότι το σύστηµα του περιγράφει τον µέσο άνθρωπο. Στη συνέχεια προτείνεται από τον ίδιο και την οµάδα του, µια γεωµετρική κατασκευή που για τον προσδιορισµό της χρυσής τοµής που αποτελεί τον πυρήνα του µοντέλου του και η οποία είναι βασισµένη στη σύνθεση δύο τετραγώνων που παράγονται µε γεωµετρική κατασκευή από ένα πρωτογενές τετράγωνο10. Περαιτέρω διερεύνηση και αριθµητικός υπολογισµός της προτεινόµενης κατασκευής αποδεικνύει πως περιέχει ένα αριθµητικό σφάλµα, 11 και η διαφορά που επισηµάνθηκε είναι 6,2 χιλιοστά στο ένα µέτρο µήκους ή 0,6% ως ποσοστό (εικόνα 9). Αυτή η απόκλιση δεν πέρασε απαρατήρητη από τον ίδιο αλλά και από το κοινό κατά το διάστηµα που ακολούθησε της παρουσίασης του βιβλίου. Στο Modulor-2 που αποτελεί τη συνέχεια της αρχικής έκδοσης και συµπληρώνει το έργο του, ανοίγει ένα διάλογο µε το κοινό, όπου εκεί καταγράφεται αυτή η παρατήρηση,
αλλά και πάλι όµως αντιπαρέρχεται ισχυριζόµενος πως «ευτυχώς αυτό το λάθος είναι µόνο σε θεωρητικό επίπεδο και σε τίποτε δεν θα µπορούσε να δηµιουργήσει προβλήµατα στην πρακτική εφαρµογή του» 12. Ο ίδιος έχει παγιδευτεί ήδη από την φόρµα και αντιστέκεται στην κριτική για εναλλακτικές προσεγγίσεις µε τον απλουστευτικό αφορισµό πως, αντιπροτεινόµενη αυστηρή γεωµετρική εφαρµογή «είναι σωστή, αλλά δεν είναι όµορφη» 13. Όπως αναφέρθηκε η κλίµακα των αριθµών που προτείνεται παραµένει δύσχρηστη εξαιτίας της απεριοδικότητας των αριθµών και όπως είναι φυσικό για πρακτικούς λόγους το επόµενο βήµα είναι να «στρογγυλοποιηθούν» οι όροι της ακολουθίας τουλάχιστον σε δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, ώστε να καταστούν χρηστικοί. Έτσι το µέγεθος των 1,8288µ στρογγυλοποιείται σε 1,83µ, το 1,1302µ σε 1,13µ το 0,6985µ σε 0,70µ. Αυτό όµως δεν είναι τόσο απλό, γιατί θα πρέπει παράλληλα να διατηρήσουν και τη βασική τους ιδιότητα ώστε να ανταποκρίνονται σε σειρές Fibonacci, όπου κάθε τρίτος όρος της ακολουθίας να προκύπτει από το άθροισµα των δύο προηγούµενων όρων. Οι σειρές αριθµών που προκύπτουν στην κλίµακα του Modulor έχουν πλέον δεκαδικό µέρος που παρ όλη την απλούστευση, δύσκολα µπορεί να χαρακτηριστεί εύχρηστο ειδικά στην κατασκευή και αυτό όπως είναι φυσικό γίνεται επίσης αντιληπτό και αντικείµενο κριτικής, αλλά και πάλι αντιµετωπίζεται από τον ίδιο τον αρχιτέκτονα µε το υποθετικό αξίωµα πως το «To Modulor, είναι ένα εργαλείο για εκείνους που δηµιουργούν (εκείνους που συνθέτουν προγραµµατιστές ή σχεδιαστές) και όχι για εκείνους που εκτελούν (οικοδόµοι, µαραγκοί, τεχνίτες, κλπ )» 14. Μια τελική παρατήρηση είναι πως η κλίµακα των αρµονικών αναλογιών είναι από µόνη της ανεπαρκής για να περιλάβει το πλήθος των σχέσεων πέρα από τις αρµονικές αναλογίες. Απουσιάζει η προφανέστερη σχέση, αυτή των γεωµετρικών αναλογιών όπου µπορεί να µας δώσει πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια ενός δεδοµένου µεγέθους, πράγµα που στην αρχιτεκτονική και στις οπτικές τέχνες αλλά και στον βιοµηχανικό σχεδιασµό είναι ευρύτατα διαδεδοµένη και που παράγει επίσης ενδιαφέροντα αισθητικά αποτελέσµατα. ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΕΝΑ ΕΥΡΥΤΕΡΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΣΤΟΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ. Στην παρούσα έρευνα επιχειρείται να προσδιοριστεί ένα διαφορετικό µέγεθος αναφοράς το οποίο να ανταποκρίνεται σε ένα σύστηµα αναλογιών απαλλαγµένο από τα προβλήµατα που αναλύθηκαν και παράλληλα να είναι περισσότερο ευέλικτο στην χρήση του. Ακολούθησαν δοκιµές και πειραµατισµοί σε ένα ευρύ φάσµα αριθµών που θα µπορούσαν να χρησιµεύσουν ως τέτοιο µέτρο. Ανάµεσα σε αρκετούς αριθµούς, καταλληλότερο ως βασικό µέγεθος αποδείχθηκε ότι είναι τα 180 εκατοστά. Στην επιλογή του λαµβάνουµε επίσης υπ όψιν την καθιερωµένη ευρεία χρήση του, τόσο στον βιοµηχανικό τοµέα, όσο και στην αρχιτεκτονική, όπου το µέγεθος των 30 εκατοστών, καθώς επίσης και αυτά των 60 και 120 εκατοστών έχουν ήδη κωδικοποιηθεί στο πεδίο του σχεδιασµού. Πρέπει να σηµειωθεί ότι το µέγεθος αυτό δεν αντιστοιχεί στο ύψος του µέσου ανθρώπου, όπως άλλωστε δεν συνέβαινε και στο Modulor. Αποδεσµεύεται, δηλαδή, το σύστηµα αναφοράς από το ανθρώπινο ύψος και αυτή η απόφαση κρίθηκε απαραίτητη, ακριβώς γιατί δεν πιστεύουµε ότι είναι δυνατόν να απαντηθεί πειστικά το ερωτηµατικό κατά πόσον η γεωµετρία του ανθρώπινου µυοσκελετικού συστήµατος περιγράφεται από µαθηµατικούς τύπους και επίσης λαµβάνοντας επίσης υπόψη ότι οι φυσικές διαστάσεις του ανθρωπίνου σώµατος διαφέρουν µεταξύ των φύλων και µεταβάλλονται τόσο στον γεωγραφικό χώρο, όσο και στο χρόνο. Ο αριθµός που επιλέξαµε (τα 180 εκ.), όπως θα προσπαθήσουµε να δείξουµε στην συνέχεια, έχει µία γοητευτική εσωτερική ισορροπία και βέβαια όχι τυχαία έχει γνωρίσει ευρύτατη χρήση στον σχεδιασµό και την κατασκευή.
Εκκινώντας µε βασικό µέγεθος τα 180 εκατοστά (εικόνα 10), ένα κατά προτίµηση ακέραιο µέγεθος, δηµιουργούµε µια ακολουθία από σειρές αριθµών που προκύπτουν διαδοχικά πολλαπλασιασµένους µε τον αριθµό Φ=0,618 Φτιάχνουµε έτσι στον ακόλουθο πίνακα τιµών τη Σειρά (1). Στη συνέχεια, εκκινώντας από την πρώτη
υποδιαίρεση του και µε τον διπλασιασµό της ( 111,246 x 2 = 222,492 ) προσδιορίζουµε το βασικό µέγεθος της δεύτερης σειράς Σειρά (2) µε βάση την οποία κατασκευάζουµε µια νέα κλίµακα αρµονικών αναλογιών. Το αποτέλεσµα είναι η δηµιουργία δύο ελαττούµενων κλιµάκων άρρητων αριθµών. Στις κλίµακες αυτές οι αριθµοί που προκύπτουν έχουν την βασική ιδιότητα των όρων µιας ακολουθίας Fibonacci όπου, από το άθροισµα δύο διαδοχικών αριθµών προκύπτει ο επόµενος 15 όρος. Είναι προφανές ότι οι άρρητοι αριθµοί εξαιτίας της φύσης τους δεν έχουν την απαιτούµενη χρηστική αξία. Μετά την εκλογή του βασικού µεγέθους των 180εκ επιχειρήθηκε να γίνει η στρογγυλοποίηση του κάθε όρου µε τρόπο τέτοιο ώστε να διατηρηθεί η εσωτερική σχέση των όρων της σειράς και κάθε αριθµός να προκύπτει επίσης από το άθροισµα των δύο προηγούµενων όρων, ώστε να αποτελέσουν και στη συνέχεια µία σειρά Fibonacci. Παράλληλα η επιλογή των µεγεθών έγινε µε τέτοιο τρόπο ώστε να πάρουµε ικανοποιητικές υποδιαιρέσεις ¼, ½, και ¾ του ακέραιου εκατοστού και να είναι εύχρηστοι όχι µόνο στον σχεδιασµό αλλά και στο πεδίο της κατασκευής. Μια ενδιαφέρουσα σύµπτωση επίσης παρατηρείται στο κάτω όριο της των κλιµάκων, όπου ταυτίζεται ο τελευταίος όρος των δύο σειρών και αυτό το µέγεθος είναι 2,5 εκατοστά. Αυτή η ταύτιση των όρων, µας επιτρέπει να µεταβαίνουµε από την Σειρά (1) στην Σειρά (2) µε ευκολία και να κάνουµε ταυτόχρονη χρήση και των δύο κλιµάκων. Επιπλέον το κάτω όριο από καθαρά οικοδοµική άποψη αποτελεί ένα οριακό µέγεθος µε σηµαντική πρακτική κατασκευαστική αξία όπου ουσιαστικά αντιστοιχεί στο ελάχιστο όριο ανάγνωσης διαστάσεων σε σχέδια κλίµακας 1:50. Όµως η αρµονική διαίρεση που περιγράψαµε προηγουµένως, από µόνη της δεν αρκεί να δώσει ένα ικανοποιητικό πλήθος αριθµών για να δικαιολογήσει την δυνατότητα χρήσης της στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό. Παρατηρούµε πως το µέγεθος των 180εκ δίνει ικανοποιητικές υποδιαιρέσεις µε όλη την κλίµακα ακεραίων αριθµών από το 2 έως το 10 µε εξαίρεση το 7. Εποµένως θεωρούµε ότι έχουµε προσδιορίσει έναν αριθµό-εργαλείο ο οποίος δίνει µία τεράστια ποικιλία, τόσο αρµονικών όσο και γεωµετρικών αναλογιών, ενώ η αποδέσµευση του από το ύψος του ανθρώπου είναι, µάλλον, χωρίς σηµασία αφού όπως δείξαµε η παρουσία του ανθρώπου, µόνο συµβολική µπορεί να θεωρηθεί επειδή ακριβώς δεν είναι δυνατόν να ταυτιστεί µε τα στατιστικά ανθρωποµετρικά µεγέθη. Κατ αντιστοιχία µε το Modulor ο αρχιτέκτονας µπορεί να χρησιµοποιήσει οποιουσδήποτε από τους πιο πάνω αριθµούς µε τη βεβαιότητα ότι αποτελούν µία ενότητα και να τους συνδυάσει µε τους υπόλοιπους σε µία τεράστια ποικιλία σχέσεων και ένα παιγνίδι χωρίς τέλος. Επιπλέον είναι σαφές ότι όλα τα νούµερα που έχουν προκύψει διατηρούν την πρακτική κατασκευαστική τους αξία επειδή χρησιµοποιούνται οι εύχρηστες υποδιαιρέσεις (¼, ½, και ¾ του ακέραιου εκατοστού).
ΕΠΙΛΟΓΟΣ Με την παρούσα εργασία διερευνήθηκαν ζητήµατα των αρµονικών αναλογιών στην τέχνη και την αρχιτεκτονική, ενώ ειδικότερα σταθήκαµε στο θεωρητικό έργο του Le Corbusier για το Modulor όπου αυτό το «εργαλείο» και η εφαρµογή του στο αξεπέραστο έργο του αρχιτέκτονα ασκεί µέχρι σήµερα µια πρόδηλη γοητεία και παρόλο που δεν βρήκε συνεχιστές κατέχει εξέχουσα θέση στην αρχιτεκτονική σκέψη. Αυτή ακριβώς η γοητεία στάθηκε το κίνητρο για την ενασχόληση µε το θέµα και έγινε αντικείµενο ενδελεχούς µελέτης. Στην συνέχεια της εργασίας έγινε προσπάθεια κριτικής αποτίµησης του µοντέλου όπου επισηµάνθηκαν θεωρητικά ζητήµατα της φύσης του. Με βάση την ανάλυση και τις παρατηρήσεις προτάθηκε ένα σύστηµα αναλογιών το οποίο πιστεύουµε απαντά πειστικά στα ζητήµατα που τέθηκαν, ενώ παράλληλα επεκτείνεται πέρα από τις αρµονικές και στις γεωµετρικές αναλογίες ως µία ενότητα που είναι ικανή να ανταποκριθεί τις ανάγκες τυποποίησης τόσο της αρχιτεκτονικής όσο και του βιοµηχανικού σχεδιασµού. Οι προσεκτικά επιλεγµένες σειρές αριθµών πιστεύουµε πως παρέχουν πλήθος σχέσεων µε απόλυτη χρηστική αξία και αυτή η προτεινόµενη κλίµακα, πέρα από την θεωρητική φύση της, µπορεί να αποτελέσει ένα εύχρηστο εργαλείο δουλειάς όχι µόνο στο επίπεδο σχεδιασµού, αλλά και της πρακτικής εφαρµογής. Ολοκληρώνοντας την παρούσα εργασία θα ήθελα να κλείσω κριτικά την αποτίµηση του εγχειρήµατος µε τα ίδια τα λόγια του Le Corbusier πως «Τίποτα δεν υπάρχει εκτός απ αυτό που έχουµε βαθιά µέσα µας, και το «Modulor» µόνο νοικοκυρεύει, τίποτα περισσότερο. Και αυτό είναι ήδη πολύ, άλλωστε!» 16.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000. Le Corbusier, MODULOR 2, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000. Ramsey Sleeper, The American Institute of Architecture, Architectural graphic standards, J. Wiley, New York 1989. Francis D. K. Ching, Architecture, Form, space and order, Willey, NY, 1996 Robert Lawlor, Sacred geometry, London: Thames and Hudson, 1982. Χέρµπερτ Ρηντ, Ιστορία της µοντέρνας ζωγραφικής, Υποδοµή, Αθήνα 1977. Mario Livio, ο χρυσός λόγος, Αθήνα: Ενάλιος, 2005. Verner Hoggartt, Αριθµοί Fibonacci και Lucas, Verner Hoggart, µετάφραση Α. και Γ. Φιλίππου, Αθήνα, Gutenberg, 1983. H. E. Huntley, The Divine proportion, a study in mathematical beauty. Dover Publications, N.Y. 1970. Matila Ghyka, the geometry of Art and life, Dover Publications, N.Y. 1977. «Λεξικό των µαθηµατικών», µετάφραση Γ. Παντελίδης -. Κραββαρίτης, Πατάκης, Αθήνα 1997. ΙΑ ΙΚΤΥΑΚΕΣ ΙΕΥΘΥΝΣΕΙΣ http://ergo.human.cornell.edu/dea325notes/anthropometry.html http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/r.knott/fibonacci/ http://msis.jsc.nasa.gov/default.htm NASA Man System Integration Standards, revision B, July 1995. http://www.midcenturia.com/2010/12/amedee-ozenfant-paintings.html http://en.wikipedia.org/wiki/anthropometry
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1 Marcus Vitruvius Pollio, ρωµαίος αρχιτέκτονας και µηχανικός, γεννήθηκε το 80/70 πχ. είναι ο συγγραφέας του De Architectura libri decem αφιερωµένο στον αυτοκράτορα Αύγουστο και που θεωρείται το σηµαντικότερο σωζόµενο βιβλίο για την αρχιτεκτονική από την αρχαιότητα. Άσκησε τεράστια επίδραση στη θεωρητική σκέψη ήδη από την Αναγέννηση. 2 Για τον Πουρισµό και το έργο των Ozenfant και Le Corbusier http://en.wikipedia.org/wiki/purism. 3 Χέρµπερτ Ρηντ, Ιστορία της µοντέρνας ζωγραφικής, Υποδοµή, Αθήνα 1977, σ. 234 4 Με τον όρο Λόγο καλούµε το πηλίκο δύο αριθµών, ο λόγος αναφέρεται στην ποσότητα σύγκρισης δύο οµοειδών πραγµάτων ή δύο οµοειδών µεγεθών, ενώ Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων. Όταν θέλουµε να χωρίσουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα σε άκρο και µέσο λόγο (αρµονικός λόγος), τότε όλο το ευθύγραµµο τµήµα είναι ανάλογο προς το µεγαλύτερο τµήµα, όσο το µεγαλύτερο τµήµα προς το µικρότερο. Υπάρχουν τρία είδη αναλογιών, η αριθµητική (1,2,3,4,...), η γεωµετρική (1,2,4,8,...) και η αρµονική (2,3,6,18,...). 5 Francis D. K. Ching, Architecture, Form, space and order, Willey, NY, 1996, σ. 284 6 Ο ακριβής αριθµητικός προσδιορισµός περιγράφεται ακολούθως: σε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ η εύρεση της χρυσής τοµής εκφράζεται µε τον προσδιορισµό ενός σηµείου Γ για το οποίο ισχύει η αναλογία ΓΒ/ΑΓ=ΑΓ/ΑΒ. Εφόσον θεωρήσουµε το ΑΒ=γ και τα ΑΓ=α, ΓΒ=β, στην συνέχεια έχουµε β/α=α/γ, αλλά επίσης και α+β=γ. Θεωρώντας το ΑΒ=γ=1 και ΓΒ=β=(1-α) προκύπτει β/α=α και (1-α)/α=α, επιλύοντας οδηγούµαστε στην δευτεροβάθµια εξίσωση α 2 +α-1=0, όπου η θετική ρίζα της δευτεροβάθµιας εξίσωσης είναι ο απεριοδικός αριθµός (-1+SQR(5))/2=0,618 που εκφράζει την «χρυσή τοµή» και έχει καθιερωθεί να συµβολίζεται µε το Ελληνικό γράµµα «φ». 7 Le Corbusier, THE MODULOR, πρώτη έκδοση στα γαλλικά 1949, ακολούθησε το συµπληρωµατικό δοκίµιο MODULOR 2 το 1955 όπου συνοψίζεται ο δηµόσιος διάλογος µε παρατηρήσεις και σχολιασµό στα θέµατα που τέθηκαν ήδη από το πρώτο βιβλίο. 8 Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ. 42 κ.ε. 9 Ramsey Sleeper, The American Institute of Architecture, Architectural graphic standards, J. Wiley, New York 1989. σ. 4 κ.ε. 10 Ο.π. σ. 38-39 11 Ακριβής αριθµητικός υπολογισµός της γεωµετρικής κατασκευής που προτείνει ο αρχιτέκτονας αποδεικνύει ότι υπάρχει απόκλιση µεταξύ του µήκους των δύο βασικών συνεχόµενων τετραγώνων και της λοξής βοηθητικής καθέτου. Το σφάλµα είναι 14 χιλιοστά στα 2,26 µέτρα. Πράγµατι είναι αµελητέο και δικαιολογείται από δύο λόγους. Πρώτος λόγος είναι πως η γεωµετρική κατασκευή έγινε σχεδιαστικά και υπό κλίµακα µε τη χρήση ξύλινων γεωµετρικών οργάνων (ταυ και τρίγωνα), άρα ήταν µάλλον απίθανο να εντοπιστεί γραφικά αυτή η ελάχιστη απόκλιση, και ο δεύτερος λόγος είναι πως οι αριθµητικοί υπολογισµοί, ειδικότερα οι τριγωνοµετρικές επιλύσεις, έγιναν πιθανότατα µε την χρήση λογαριθµικού κανόνα, όπου η ακρίβεια είναι περιορισµένη και εξαρτάται από την εµπειρία και τη φυσική δεξιότητα του χρήστη, άρα η αριθµητική διαφορά βρίσκεται µέσα στα πλαίσια της επιτρεπτής ανοχής. Αργότερα κατά την απαλοιφή του δεκαδικού µέρους των αριθµών και την περαιτέρω στρογγυλοποίηση αυτή η απόκλιση δεν είχε πλέον καµία επιρροή στο προτεινόµενο µοντέλο αναλογιών. 12 Le Corbusier, MODULOR 2, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ. 45. 13 Ο.π. σ. 44.
14 Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ. 178 15 Οι αριθµοί Fibonacci είναι όροι µιας ακολουθίας ακέραιων αριθµών στην οποία ο κάθε όρος της, εκτός από τους δύο πρώτους, ισούται µε το άθροισµα των δύο προηγούµενων όρων και συµβολίζονται µε F n. Οι σειρές Fibonacci έχουν άµεση σχέση µε τον «χρυσό λόγο» και το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων της σειράς F (i+1) / F (i) όσο µεγαλύτερο είναι το i, τείνει στον 0,618 Αυτή ακριβώς η ιδιότητα περιέχεται και στις ακολουθίες της χρυσής τοµής. 16 Le Corbusier, THE MODULOR, Birkhauser, Basel, Switzerland 2000, σ. 181