Αντιμετώπιση προβλημάτων που αλλάζουν την τους κατάσταση, εξαιτίας εξωτερικών ροπών Σ' ένα πρόβλημα, παρατηρώ αλλαγή στη κατάσταση ενός στερεού (ή συστήματος στερεών), καθώς αυτό δέχεται εξωτερικές ροπές. Θα έχω στο νου μου τρείς (3) τρόπους για να τ' αντιμετωπίσω : 1. Τη "δυναμική προσέγγιση" και τους τύπους της Ομαλά Μεταβαλλόμενης Μεταφορικής και Στροφικής Κίνησης.. Την "Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας" (Α.Δ.Μ.Ε). 3. Το "Θεώρημα Έργου - Ενέργειας" (Θ.Ε-Ε). Αναλυτικά 1. Δυναμική προσέγγιση Εφαρμόζω τους θεμελιώδεις νόμους της μεταφορικής και της ς κίνησης, καθώς και τους τύπους της ομαλά μεταβαλλόμενης μεταφορικής και ς κίνησης (ομαλά μεταβαλλόμενης σύνθετης κίνησης - κύλισης). Θεμελιώδης νόμος της ς κίνησης : Στ=Ια όπου Ι είναι η ροπή αδράνειας γύρω από τον πραγματικό άξονα περιστροφής του και Στ το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών περί τον ίδιο άξονα ( προσοχή σ' αυτό, ίσως χρειαστεί το θεώρημα του Steiner). ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ! Θετική λαμβάνεται η ροπή της δύναμης που το υποβοηθά στην περιστροφή του, άσχετα μ' αυτά που γνωρίζαμε για τα πρόσημα των ροπών. Αρνητική, εκείνη που το δυσκολεύει! Θεμελιώδης νόμος της μεταφορικής κίνησης : ΣF=Mα όπου ΣF είναι η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το σώμα πάνω σε οποιοδήποτε σημείο του, στη διεύθυνση μεταφοράς του μόνο (ίσως δηλαδή χρειαστεί η ανάλυση των "λοξών" δυνάμεων). ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ! Θετική λαμβάνεται κάθε δύναμη με τη φορά της κίνησης (όχι με τη φορά της συνισταμένης!). Κάποιες περιπτώσεις εφαρμογής, είναι οι σύνθετες κινήσεις όπως F σύστημα στερεών που άλλα μεταφέρονται, άλλα περιστρέφονται Σ Σ 1 στερεό εκτελεί ταυτόχρονα περιστροφή και μεταφορά έτσι που ο άξονας περιστροφής του να είναι άξονας συμμετρίας, να περνά από το c.m του και να μεταφέρεται ελεύθερα, παράλληλα στον εαυτό του υ (o) Κώστας Δακανάλης - Ηράκλειο Κρήτης (1964@msn.com)
. Η Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε) Η Α.Δ.Μ.Ε ισχύει για μονωμένα συστήματα, δηλαδή ΤΙ ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ : a. Ν' ασκείται ΔΙΑΡΚΗΣ εξωτερική δύναμη (μη διατηρητική δηλαδή), που να προκαλεί (ή όχι) ροπή. b. Ν' ασκείται τριβή ή αντίσταση. Εξαίρεση αποτελούν : Το βάρος (είναι διατηρητική δύναμη). Η στατική τριβή (δεν εκτελεί έργο). Η κάθετη αντίδραση (δεν εκτελεί έργο). Κάθε εσωτερική δύναμη. ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ : Λόγω της ς δυναμικής ενέργειας U β =Mgh, πρέπει να υπάρχει υ- ψομετρική μετατόπιση του κέντρου μάζας (το c.m πρέπει να χάνει ή να κερδίζει ύψος) και να αναφέρεται υποχρεωτικά (σαν δοσμένη ή ζητούμενη) αυτή η υψομετρική μετατόπιση h στο πρόβλημα. ΤΙ ΔΕΝ ΠΕΙΡΑΖΕΙ : Αν δοθεί αρχική ταχύτητα(*). (*) ΣΗΜΕΙΩΣΗ : Τι είναι αυτό που δεν καταλαβαίνουν οι μαθητές για την αρχική ταχύτητα υ o ή ω o : Όταν σουτάρω μια μπάλα, της δίνω αρχική ταχύτητα. Δεν σημειώνω δηλαδή την "κλωτσιά" σαν δύναμη στο σώμα, διότι δεν τη δέχεται ΔΙΑΡΚΩΣ! Για να σημειωθεί σαν δύναμη, πρέπει το πόδι μου να κολλήσει στην μπάλα και να μπουν μαζί γκολ (σοκαριστικό για να το θυμάστε!!) ΤΡΟΠΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ Α.Δ.Μ.Ε : Διαλέγω δυο σχετικές θέσεις 1 και του συστήματος (συνήθως είναι η γη το δεύτερο μέλος του) και την εφαρμόζω ως εξής : E = E () U + K (1) + K (1) = U () + K () + K () (1) μηχανική μηχανική (1) Για τον υπολογισμό της U ς θα επιλέγω μια οριζόντια επιφάνεια (μηδενικής δυναμικής ενέργειας). Από 'κεί, μέχρι το κέντρο μάζας (c.m) του σώματος, μετρώ τα υψόμετρα των θέσεων 1 και. Για τον υπολογισμό της K ς χρησιμοποιώ τον τύπο K ς = 1 Ιω, όπου Ι η ροπή αδράνειας γύρω από τον πραγματικό άξονα περιστροφής του στερεού. Για τον υπολογισμό της K μεταφορικής χρησιμοποιώ τον τύπο K μεταφορικής = 1 M υ, με την () προϋπόθεση το στερεό να μεταφέρεται ολόκληρο (δεν μας αρκεί η μεταφορά μόνο του c.m). Συνήθως, χρησιμοποιούνται κι οι σχέσεις υ =ω και α =α. Κάποιες από τις περιπτώσεις εφαρμογής της Α.Δ.Μ.Ε είναι οι περιστροφές ράβδων περί σταθερό άξονα οι σύνθετες κινήσεις όπως στερεό που εκτελεί ταυτόχρονα περιστροφή και μεταφορά έτσι που ο άξονας περιστροφής του να είναι άξονας συμμετρίας, να περνά από το c.m του και να μεταφέρεται ελεύθερα, παράλληλα στον εαυτό του υ (o) Κώστας Δακανάλης - Ηράκλειο Κρήτης (1964@msn.com)
3. Θεώρημα Έργου - Ενέργειας, (Θ.Ε-Ε) "Η μεταβολή της περις κινητικής ενέργειας ενός στερεού, ισούται με το άθροισμα των έρ των ροπών (ή των δυνάμεων που προκάλεσαν τις ροπές)." Δηλαδή : ΔK περ =ΣW 1 Iω 1 I ω = ΣW. ο Αν η ροπή τ που προκαλεί η δύναμη είναι σταθερή (όχι απαραίτητα η ίδια η δύναμη), τότε το έργο της είναι W=τθ, όπου θ η επίκεντρη ία στροφής μετρημένη σε ra. Το Θ.Ε-Ε, δεν το συνιστώ για τη σύνθετη κίνηση ενός στερεού σώματος. Το Θ.Ε-Ε ισχύει για κάθε είδους δυνάμεις (άγνωστες, γνωστές, σταθερές ή όχι, συντηρητικές ή όχι ). Εφαρμόζεται όταν βλέπω πως κατά τη διάρκεια ενός δρομολογίου του, ένα σώμα μεταβάλλει το μέτρο της ταχύτητάς του. Μερικές περιπτώσεις εφαρμογής του Θ.Ε-Ε είναι ένα στερεό να στρέφεται εξαιτίας και του βάρους του w, ή μόνο του βάρους του το οποίο - αν και σταθερή δύναμη - δεν προκαλεί σταθερή ροπή. Συνεπώς δεν εφαρμόζεται ο τύπος W W =τθ. Είναι οι περιπτώσεις εκείνες, που ο άξονας περιστροφής δεν διέρχεται από το c.m του στερεού. Τότε, ΔΚ περ =ΣW 1 Iω 1 I ω = ΣW. Το έργο W w του βάρους ενός σώματος, υπολογίζεται ως εξής : ο F Α F Γ C Πολλαπλασιάζω το βάρος Mg, επί την υψομετρική διαφορά h των δυο θέσεων του c.m του (δηλαδή W W =Mgh), με το πρόσημο "" να χρησιμοποιείται αν το c.m κινείται ανοδικά. A F σταθερών ροπών, όχι εξαιτίας του βάρους του w. Τότε, ΔΚ περ =ΣW 1 Iω 1 I ω = Στθ. Ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το c.m του (άρα το βάρος w που συναντά τον άξονα, δεν του προκαλεί ροπή). ο F F 1 w σταθερών ροπών, όχι εξαιτίας του βάρους του w. Τότε, ΔΚ περ =ΣW 1 Iω 1 I ω = Στθ. Ο άξονας περιστροφής δεν διέρχεται από το c.m του, όμως αυτό ε- κτελεί κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο (οπότε το βάρος σαν παράλληλο στον άξονα, δεν του προκαλεί ροπή). ο F w F 1 Κώστας Δακανάλης - Ηράκλειο Κρήτης (1964@msn.com)
Τί χρησιμοποιούν και τί υπολογίζουν οι τρείς τρόποι αντιμετώπισης των προβλημάτων ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ Εφαρμόζονται συνήθως σε σύνθετες κινήσεις όπως π.χ οι κυλίσεις, ΔΕΝ εφαρμόζονται σε ΜΗ ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις Χρησιμοποιούν ΤΟΥΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΝΟΜΟΥΣ ΤΗΣ περις κίνησης : Στ=Ια = L t. μεταφορικής κίνησης : ΣF=mα = p t. Υπολογίζουν o Δυνάμεις (όπως στατική τριβή T στ, τάση νήματος Τ ) o Επιταχύνσεις (μεταφορική α & ιακή α ) o Στιγμιαία ισχύ (Ρ=τω) ΤΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΤΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ, ΟΠΩΣ ΤΗΣ Ομαλά Μεταβαλλόμενης Μεταφορικής Κίνησης υ υ α t S υ t α t (o) 1 (ο) (o) υ =υ α S o Ταχύτητες αρχικές ή όχι (μεταφορική υ & ιακή ω) Ομαλά Μεταβαλλόμενης Στροφικής Κίνησης ω=ω ο α t θ=ω ο t 1 α t o Επιταχύνσεις (μεταφορική α & ιακή α ) Κινητικές ενέργειες (K μετ = 1 m υ & K περ = 1 Iω ) Ορμή και στροφορμή (p=mυ & L=Iω) Ροπές και δυνάμεις (Στ=Ια & ΣF=mα ) ΤΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΥΝ ΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΓΩΝΙΑΚΑ ΜΕΓΕΘΗ (στις συνθέτες κινήσεις) υ =ω α =α S=θ o Επίκεντρη ία στροφής και πλήθος στροφών (θ & n) o Χρόνο (t ή ) Α.Δ.Μ.Ε U βαρ(1) +K περ(1) +K μετ(1) = U βαρ() +K περ() +K μετ() Εφαρμόζεται συνήθως στα μονωμένα συστήματα που υπάρχει υψομετρική μετατόπιση του c.m Χρησιμοποιεί Δυναμική () ενέργεια (U β =mgh) Κινητικές ενέργειες (Κ μετ = 1 m υ και Κ περ = 1 Ιω ) Υπολογίζει o Υψομετρικές μετατοπίσεις h (του c.m) o Ταχύτητες αρχικές ή όχι (μεταφορική υ & ιακή ω) Ορμή και στροφορμή (p=mυ & L=Iω) o Γραμμική ταχύτητα όσων σημείων εκτελούν κυκλική κίνηση (υ=ωr) Θ.Ε-Ε ΔK περ =ΣW Προτιμάμε να το εφαρμόζουμε συνήθως στις περιστροφικές ΜΟΝΟ κινήσεις στερεών, περί σταθερό άξονα Χρησιμοποιεί Περι κινητική ενέργεια (Κ περ = 1 Ιω ) Έργα δυνάμεων (όπως π.χ το W W =mgh) Υπολογίζει o Γωνιακή ταχύτητα ω (αρχική ή όχι) Στροφορμή L=Iω o Γραμμική ταχύτητα όσων σημείων εκτελούν κυκλική κίνηση (υ=ωr) o Στιγμιαία και μέση ισχύ (Ρ=τω και P W ) Έργα ΣΤΑΘΕΡΩΝ ροπών (W=τθ) o Έργα δυνάμεων ή σταθερών ροπών o Επίκεντρη ία στροφής και πλήθος στροφών (θ & n) Κώστας Δακανάλης - Ηράκλειο Κρήτης (1964@msn.com)
Γραμμική ταχύτητα (υλικού σημείου που διαγράφει κυκλική τροχιά, εκτελώντας μεταφορική κίνηση). Ροπή μιας δύναμης. F τ=f υ= S t Γωνιακή ταχύτητα (υλικού σημείου ή στερεού σώματος). ω t υ επιταχυνόμενη κίνηση επιβραδυνόμενη κίνηση ω= θ t α = ω t Σχέση γραμμικής - ιακής ταχύτητας υλικού σημείου που διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας r, κάθε στιγμή. Ομαλά μεταβαλλόμενη κύλιση στερεού, ακτίνας. Δυ α = ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ο =σταθ. υ =υ (ο) α t S=υ (ο) t 1 α t r r υ S t+t O θ t υ υ = υ (o) t+t Γωνιακή επιτάχυνση (υλικού σημείου ή στερεού). ω α α ω o, α α υ (o) S +α S υ=ωr ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ α = Δω =σταθ. ω=ω ο α t θ=ω ο t 1 α t ΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΩΝ - ΓΩΝΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ α =α υ =ω S=θ ω υ ω, α α υ τ Ο Ροπή ζεύγους (παραλλήλων) δυνάμεων. F F Συνθήκη ισορροπίας στερεού σώματος. ο μοχλοβραχίονας δύναμης (απόσταση άξονα - φορέα F ) τ=f ο μοχλοβραχίονας ζεύγους (απόσταση δυνάμεων) Μη περι κίνηση : Στ=0 (γύρω από τυχαίο άξονα). Μη μεταφορική κίνηση : ΣF =0 ΣFΧ 0. ΣFΨ 0 Ροπή αδράνειας, περί άξονα περιστροφής. Ι = m 1 r 1 +m r + I= mi ri Θεώρημα των παραλλήλων αξόνων του Steiner, τους ο- ποίους χωρίζει απόσταση. Θεμελιώδης νόμος ς κίνησης. F 1 Στ Στ c.m α Α Ο F Ι (Ο) =Ι +M Μ=μάζα στερεού Στ=Ια Η σχέση υ =ω ισχύει : Για κάθε υλικό σημείο, αρκεί και μόνο να διαγράφει κυκλική τροχιά. Για κάθε στερεό ακτίνας που κυλίεται, άσχετα αν το c.m του επιταχύνεται ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Για τροχαλία ακτίνας, που περιστρέφεται με την βοήθεια τυλιγμένου σχοινιού. (Αντίστροφος) θεμελιώδης νόμος ς κίνησης. είτε ω 0 (αν ωο 0) Όταν Στ=0 α =0 είτε ω ct (αν ωο 0) To "" πρόσημο στις πιο πάνω σχέσεις, ισχύει στην επιβραδυνόμενη κίνησή του. Κώστας Δακανάλης - Ηράκλειο Κρήτης (1964@msn.com)
Στροφορμή υλικού σημείου. ω L p r υ m Στροφορμή στερεού σώματος. ω L Στροφορμή συστήματος. L=pr L=mυr L=mωr L=Iω L=Iω L oλ = L 1 + L L oλ =L 1 +L (αν L 1 L ) L oλ =L 1 L (αν L 1 L ) L oλ = L L (αν L 1 L ) 1 Μέση ισχύς, σε χρονική διάκεια. Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε) U + K (1) + K (1) = U () + K () + K () (1) P = W Θεώρημα Έργου - Ενέργειας (Θ.Ε-Ε) στη κίνηση στερεού. Ν F w Κύλιση στερεού μάζας Μ, μ' ακτίνα. M Ν υ L ω α ΔK περ =ΣW 1 Iω 1 I ω ο =ΣW Τ στ Γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της ς κίνησης. α Στ= L t φ w Η διατήρηση της στροφορμής. Όταν Στ εξ =0 L (πρό) ολ = L (μετά) ολ Ι πρό ω πρό =Ι μετά ω μετά. ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Κινητική ενέργεια, λόγω περιστροφής. Κ ΠΕΡ = 1 Ιω ΣF=Mα Δυ α = =σταθερή Στ=Iα α = Δω =σταθερή υ =υ (ο) α t ω=ω ο α t Έργο δύναμης, η οποία (δύναμη) προκαλεί ΣΤΑΘΕΡΗ ροπή τ=f. υ = ΔS ω= Δθ W=τθ S=υ (ο) t 1 α t θ=ω ο t 1 α t Στιγμιαία ισχύς. Ρ=τω p=mυ ΣF= Δp L=Iω Στ εξ = ΔL Κ μετ = 1 M υ Κ περ = 1 Ιω ΣΥΝΔΕΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΩΝ - ΓΩΝΙΑΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ α =α υ =ω S=θ Κώστας Δακανάλης - Ηράκλειο Κρήτης (1964@msn.com)