3. Ανταγωνισμός ως προς τις Τιμές: Το Υπόδειγμα ertrand - To υπόδειγμα Cournot υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος, ενώ στην πραγματικότητα οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται συνήθως ως προς τις τιμές (δηλαδή η στρατηγικήπουεπιλέγεικάθεεπιχείρησηείναιητιμήστηνοποία θα πουλήσει το προϊόν της). - Στη βραχυχρόνια περίοδο, οι επιχειρήσεις δεν μπορούν εύκολα να μεταβάλλουν την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος (διότι η παραγωγική δυναμικότητα παραμένει σταθερή ή/και η αύξηση της παραγωγής προϋποθέτει την εκπαίδευση των εργατών, η οποία απαιτεί χρόνο) και, επομένως, η μόνηδιαθέσιμηστρατηγικήτων επιχειρήσεων είναι η τιμή στην οποία θα πουλήσουν το προϊόν τους. Οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται ως προς τις τιμές στη βραχυχρόνια περίοδο, ενώ ανταγωνίζονται ως προς τις ποσότητες στη μακροχρόνια περίοδο.
- Στο υπόδειγμα ertrand, οι επιχειρήσεις, παράγουν ένα ομοιογενές προϊόν. Οι καταναλωτές αγοράζουν το προϊόν από την επιχείρηση που το πουλάει σε χαμηλότερη τιμή. - Η αγοραία συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι q(p). - Οι συναρτήσεις κόστους των επιχειρήσεων, είναι: c( q) = c q c ( q ) = c q - Οι επιχειρήσεις, επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιμές p,p στις οποίες θα πουλήσουν το προϊόν τους. - Δηλαδή: Κάθε επιχείρηση i επιλέγει την τιμή (p i ) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη την τιμή (p j ) που επιλέγει η επιχείρηση j (όπου i,j=, και i j).
Οι πωλήσεις της επιχείρησης είναι: q( p, p ) = q( p ), αν p < p q( p ) /, αν p = p () 0, αν p > p - Οι πωλήσεις της επιχείρησης είναι: q( p, p ) = q( p ), αν p < p q( p ) /, αν p = p () 0, αν p > p - Δηλαδή: Η επιχείρηση που πουλάει το προϊόν σε χαμηλότερη τιμή κατέχει και εξυπηρετεί ολόκληρη την αγορά, ενώ οι πωλήσεις της άλλης επιχείρησης είναι μηδενικές σε αυτή την περίπτωση. - Αν p =p =p, τότε υποθέτουμε ότι οι επιχειρήσεις, μοιράζονται την αγορά: q 3 ( p) = q( p) = q( p)/
- Τα κέρδη της επιχείρησης είναι: π ( p, p ) = p q ( p, p ) c q ( p, p ) = ( p c) q ( p, p ) ( p c) q( p ), αν p < p π ( p, p ) = ( p c) q( p) /, αν p = p 0, αν p > p - Όμοια, τα κέρδη της επιχείρησης είναι: ( p c) q( p ), αν p < p π ( p, p ) = ( p c) q( p) /, αν p = p 0, αν p > p () 4
( p, p ) -Ένας συνδυασμός τιμών είναι μια ισορροπία κατά Nash στο υπόδειγμα ertrand (ertrand Equilibrium) αν η τιμή p αποτελεί την άριστη αντίδραση της επιχείρησης στη στρατηγική p και ηστρατηγική p αποτελεί την άριστη αντίδραση της επιχείρησης στη στρατηγική p π ( p, p ) π ( p, p ), p p π ( p, p ) π ( p, p ), p p - Πρόταση. Υπάρχει μοναδική ισορροπία κατά Nash στο υπόδειγμα ertrand. Στην ισορροπία αυτή: Οι επιχειρήσεις, επιλέγουν την ίδια τιμή και η τιμή ισούται με το οριακό κόστος: p = p = p = c Τα κέρδη των επιχειρήσεων είναι μηδενικά: π = π = 0 ( p, p ) Οι επιχειρήσεις μοιράζονται την αγορά, δηλαδή οι πωλήσεις των επιχειρήσεων, είναι: q = q = q()/ c 5 :
- Εξήγηση. Αν η επιχείρηση επιλέξει p >c, τότε η άριστη αντίδραση της επιχείρησης είναι p =p -ε>c (όπου ε>0 είναι ένας πολύ μικρός θετικός αριθμός), οπότε η επιχείρηση αποκτά ολόκληρη την αγορά και έχει θετικά κέρδη: π = ( p c) q( p ) = ( p ε c) q( p ε) > 0 ( p > c, p = p ε ) - Αλλά: Ο συνδυασμός τιμών δεν είναι ισορροπία κατά Nash, διότι η τιμή p >c δεν αποτελεί την άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p = p ε. p = p ε - Δηλαδή: Με δεδομένη την επιλογή της επιχείρησης, η άριστη αντίδραση της επιχείρησης είναι να περικόψει κι άλλο την τιμή και να επιλέξει p = p ε > c, οπότε η επιχείρηση αποκτά ολόκληρη την αγορά και έχει θετικά κέρδη: π = ( p c) q( p ) = ( p ε c) q( p ε) > 0 ( p = p ε > c, p ) - Αλλά: Ο συνδυασμός τιμών δεν είναι ισορροπία κατά Nash, διότι η τιμή p δεν αποτελεί την άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p. 6
- Δηλαδή: Με δεδομένη την επιλογή της επιχείρησης, η άριστη αντίδραση της επιχείρησης είναι να περικόψει κι άλλο την τιμή και να επιλέξει p = p ε > c, οπότε η επιχείρηση αποκτά ολόκληρη την αγορά και έχει θετικά κέρδη: π = ( p c) q( p ) > 0 - Οι διαδοχικές περικοπές της τιμής εκ μέρους των επιχειρήσεων συνεχίζονται μέχρι το σημείο όπου οι επιχειρήσεις επιλέγουν τις τιμές: ( p, p ) = ( c, c) - Οι επιχειρήσεις δεν έχουν κίνητρο να περικόψουν την τιμή κάτω από το οριακό κόστος, διότι για p i <c ηεπιχείρησηi=, έχει ζημιές: π = ( p c) q ( p, p ) < 0 i i i i j - Άρα, η ισορροπία ertrand είναι: ( p, p ) = ( c, c), πράγματι. p 7
- Απόδειξη της Πρότασης. ο μέρος: Δείχνουμε ότι ο συνδυασμός ισορροπία κατά Nash στο υπόδειγμα ertrand. - Γνωρίζουμε ότι: ( p, p ) = ( c, c) π ( p, p ) = π ( p, p ) = 0 p = c είναι μια - Δείχνουμε ότι η στρατηγική είναι η άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p. = c p < c= p Αν η επιχείρηση επιλέξει, τότε η επιχείρηση αποκτά ολόκληρη την αγορά αλλά έχει ζημιές δηλαδή: π ( p, p ) = 0 π ( p, p ) = ( p c) q( p ), p < c p > c= p Αν η επιχείρηση επιλέξει, τότε οι πωλήσεις της επιχείρησης είναι μηδενικές και, επομένως, τα κέρδη της επιχείρησης είναι επίσης μηδενικά δηλαδή: π ( p, p ) = 0 π ( p, p ) = ( p c) 0 = 0, p > (3),(4) π ( p, p ) π ( p, p ), p p = c ) p (3) c (4) (δηλαδή, η τιμή αποτελεί την άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p (5) 8
- Όμοια, δείχνουμε ότι η στρατηγική είναι η άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p = c : π ( p, p ) π ( p, p ), p p = c (6) - Οι σχέσεις (5), (6) δείχνουν ότι ο συνδυασμός τιμών είναι μια ισορροπία κατά Nash στο υπόδειγμα ertrand. (τέλος ου μέρους) ο μέρος: Δείχνουμε ότι η ισορροπία p c p <. (Π) Έστω αγορά αλλά έχει ζημιές: π = ( p c) q( p ) < 0 p = c ( p, p ) = ( c, c) ( p, p ) = ( c, c) είναι μοναδική. Τότε, η επιχείρηση κατέχει ολόκληρη την - Αντίθετα, αν η επιχείρηση επιλέξει τα κέρδη της θα είναι τουλάχιστον μηδενικά. p Κάθε τιμή στην τιμή p. < c δεν αποτελεί ποτέ άριστη αντίδραση της επιχείρησης Κάθε συνδυασμός τιμών (p,p ) με p <c δεν αποτελεί ισορροπία κατά 9 Nash. p > c
- Όμοια, μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε συνδυασμός τιμών (p,p ) με p <c δεν αποτελεί ισορροπία κατά Nash. p = c, p > c (Π) Έστω. Τότε, ηεπιχείρηση κατέχει ολόκληρη την αγορά αλλά έχει μηδενικά κέρδη: π = ( p c) q( p ) = 0 p = c+ ε - Αντίθετα, αν η επιχείρηση αυξήσει λίγο την τιμή σε τότε εξακολουθεί να κατέχει ολόκληρη την αγορά αλλά έχει θετικά κέρδη: π = ( c+ ε c) q( c+ ε) = εq( c+ ε) > 0 p = c Η τιμή δεν αποτελεί ποτέ άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p >c. Κάθε συνδυασμός τιμών (p,p ) με p =c, p >c δεν αποτελεί ισορροπία κατά Nash. - Όμοια, μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε συνδυασμός τιμών (p,p ) με p =c, p >c δεν αποτελεί ισορροπία κατά Nash. 0
p > c, p > c, με p p. (Π3) Έστω Τότε, ηεπιχείρηση κατέχει κατά μέγιστο τη μισή αγορά, οπότε τα κέρδη της δεν μπορούν να είναι μεγαλύτερα από π ( p c) q( p )/: ( p c) q( p )/: - Αντίθετα, αν η επιχείρηση μειώσει την τιμή σε σε τότε ηεπιχείρηση αποκτά ολόκληρη την αγορά και έχει κέρδη: π = ( p ε c) q( p ε) > ( p c) q( p )/ (εφόσον το ε>0 είναι ένας αρκετά μικρός αριθμός) Η τιμή τιμή p >c p > c δεν αποτελεί άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην Κάθε συνδυασμός τιμών (p,p ) με p >c, p >c και ισορροπία κατά Nash. p p = p ε > c p δεν αποτελεί - Όμοια, μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε συνδυασμός τιμών (p,p ) με p >c, p >c και p p δεν αποτελεί ισορροπία κατά Nash.
- Αφού οι (Π), (Π) και (Π3) εξαντλούν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς τιμών (p,p ), συμπεραίνουμε ότι η ισορροπία ertrand ( p, p ) = ( c, c) είναι μοναδική. (τέλος ου μέρους απόδειξης) - Παρατήρηση. Στην ισορροπία ertrand, ισχύει: p = p = p = c= p* q( p ) = q = q( p*) = q* π = π = π = 0 = π* Η ισορροπία ertrand ταυτίζεται με την ανταγωνιστική ισορροπία και, επομένως, είναι άριστη κατά Pareto. - Στο υπόδειγμα ertrand, η παρουσία έστω και δύο μόνο επιχειρήσεων που ανταγωνίζονται ως προς τις τιμές είναι αρκετή για να επιτευχθεί το άριστο κατά Pareto αποτέλεσμα της ανταγωνιστικής ισορροπίας. - Δηλαδή: Σύμφωνα με το υπόδειγμα ertrand, οι στρεβλώσεις που οφείλονται στη δύναμη αγοράς των επιχειρήσεων υπάρχουν μόνο στην περίπτωση του μονοπωλίου.
- Η πρόβλεψη του υποδείγματος ertrand ότι η παρουσία έστω και δύο μόνο επιχειρήσεων που ανταγωνίζονται ως προς τις τιμές είναι αρκετή γιαναοδηγήσειτηναγοράστοάριστοκατάpareto αποτέλεσμα της ανταγωνιστικής ισορροπίας (όπου η τιμή του προϊόντος και των δύο επιχειρήσεωνισούταιμετοοριακόκόστοςκαιτακέρδητων επιχειρήσεων είναι μηδενικά) ονομάζεται παράδοξο του ertrand (ertrand Paradox). - Αντίθετα, στο υπόδειγμα Cournot (όπου οι επιχειρήσεις ανταγωνίζονται ως προς τις ποσότητες) η παρουσία δύο μόνο επιχειρήσεων δεν είναι αρκετή για να επιτευχθεί το αποτέλεσμα της ανταγωνιστικής ισορροπίας (η ισορροπία Cournot με δύο επιχειρήσεις δεν είναι άριστη κατά Pareto). - Στο υπόδειγμα Cournot, το πλήθος (n) των επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά είναι ο κρίσιμος παράγοντας από τον οποίο εξαρτάται η αποτελεσματικότητα της ισορροπίας. - Καθώς αυξάνεται το πλήθος των επιχειρήσεων που συμμετέχουν στην αγορά, η ισορροπίαcournot προσεγγίζει ολοένα περισσότερο την ανταγωνιστική ισορροπία. - Για n, η ισορροπία Cournot ταυτίζεται με την ανταγωνιστική ισορροπία και, επομένως, είναι άριστη κατά Pareto. 3
- Παράδειγμα (συνέχεια). Έστω ότι οι συναρτήσεις κόστους των επιχειρήσεων, είναι: c( q) = c q c ( q ) = c q - Ηαγοραία(αντίστροφη) συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι: p( q) = a bq, δηλαδή q( p) = ( a p)/ b - Στην περίπτωση αυτή, η ισορροπία ertrand είναι: ( p, p ) = ( c, c) - Αντικαθιστούμε την τιμή ισορροπίας ( p = c= p*) στην αγοραία συνάρτηση ζήτησης και βρίσκουμε την ποσότητα ισορροπίας: q = ( a c)/ b= q* a c Η ισορροπία ertrand είναι: ( q, p ) =, c = ( q*, p*) b - Οι πωλήσεις των επιχειρήσεων, στην ισορροπία ertrand είναι: q = q = q / = ( a c)/b 4
- Τα κέρδη των επιχειρήσεων, στην ισορροπία ertrand είναι: π = π = 0 Κριτικές στο Υπόδειγμα ertrand - Το παράδοξο αποτέλεσμα του ertrand εξαρτάται από τις υποθέσεις του υποδείγματος. H άρση κάποιας από τις κρίσιμες υποθέσεις του υποδείγματος συνεπάγεται ότι το παράδοξο του ertrand παύει να ισχύει. () Σύμπραξη των Επιχειρήσεων - Το υπόδειγμα ertrand υποθέτει ότι κάθε επιχείρηση μεγιστοποιεί μόνο τα δικά της κέρδη και, επομένως, δε λαμβάνει υπόψη τη δυνατότητα συνεργασίας (σύμπραξης) μεταξύ των επιχειρήσεων. - Έστωότιοιεπιχειρήσεις, συμπράττουν και επιλέγουν ένα συνδυασμό τιμών (p,p ) με p =p >c. - Στην περίπτωση αυτή, καιοιδύοεπιχειρήσειςέχουνυψηλότερα (θετικά) κέρδη σε σχέση με την ισορροπία ertrand. 5
- Αλλά: Ένας τέτοιος συνδυασμός τιμών δεν αποτελεί ισορροπία κατά Nash (δηλαδή η λύση του καρτέλ δεν είναι ευσταθής), διότι κάθε επιχείρηση έχει κίνητρο να παρασπονδήσει (να παραβιάσει τη συμφωνία) και να επιλέξει μικρότερη από τη συμφωνηθείσα τιμή, προκειμένου να αποκτήσει ολόκληρη την αγορά. Οι διαδοχικές περικοπές της τιμής εκ μέρους των επιχειρήσεων συνεχίζονται μέχρι το σημείο όπου οι επιχειρήσεις επιλέγουν τις τιμές της ισορροπίας ertrand: ( p, p ) = ( c, c). - Γιαναγίνειβιώσιμη(ευσταθής) η λύσητουκαρτέλ, πρέπει να υπάρχει κάποιος μηχανισμός τιμωρίας για τις επιχειρήσεις που παραβιάζουν τη συμφωνία. Ένας τέτοιος μηχανισμός τιμωρίας μπορεί να εφαρμοστεί μόνο αν το παίγνιο είναι επαναλαμβανόμενο. 6
() Διαφορετικές Συναρτήσεις Κόστους - Έστωότιοιεπιχειρήσεις, έχουν διαφορετικές συναρτήσεις κόστους: c( q) = c q, με c < c c ( q ) = c q - Η επιχείρηση δε θα θέσει ποτέ τιμή χαμηλότερη από c (διότι τα κέρδη της είναι αρνητικά για p <c ) δηλαδή, η χαμηλότερη τιμή που μπορεί να θέσει η επιχείρηση είναι p = c. Η επιχείρηση μπορεί να επιλέξει μια τιμή λίγο χαμηλότερη από c (δηλαδή να επιλέξει p = c ε > c), οπότε θα αποκτήσει ολόκληρη την αγορά και θα έχει θετικά κέρδη: π = ( p c) q = ( c ε c) q( c ε) > 0 - Ο συνδυασμός τιμών ( p, p) = ( c ε, c) αποτελεί ισορροπία κατά Nash του παιγνίου (διότι η τιμή p = c ε είναι η άριστη αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p = c και ητιμή p = c είναιηάριστη 7 αντίδραση της επιχείρησης στην τιμή p = c ε ).
- Άρα, η ισορροπία κατά Nash του υποδείγματος ertrand με διαφορετικές συναρτήσεις κόστους είναι: ( p, p ) = ( c ε, c) ( q, q, q ) = qc ( ), 0, qc ( ) ( ε ε ) π = ( c ε c ) q( c ε) π = 0 - Αντίθετα, η ανταγωνιστική ισορροπία στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι: * * * * = π = 0 ( ) ( q*, p*) = q( c ), c ( q, q ) = ( q( c ),0) π - Συγκρίνουμε την ανταγωνιστική ισορροπία με την ισορροπία ertrand και βρίσκουμε: 8
i i π = 0 < π = ( c ε c ) q( c ε) i p* = c < p = c ε < p = c π Η τιμή της ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι μικρότερη από την τιμή που επιλέγουν οι επιχειρήσεις στην ισορροπία ertrand. i q* = q( c ) > q = q( c ε ) Η συνολική ποσότητα της ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι μεγαλύτερη από την ποσότητα της ισορροπίας ertrand. * * = 0= π Τα κέρδη της επιχείρησης (δηλαδή της επιχείρησης που έχει χαμηλότερο οριακό κόστος) είναι μικρότερα στην ανταγωνιστική ισορροπία σε σχέση με την ισορροπία ertrand. - Συμπέρασμα. Αν οι επιχειρήσεις, έχουν διαφορετικές συναρτήσεις κόστους, τότε ηεπιχείρησηπουέχειχαμηλότεροοριακόκόστος επιλέγει τιμή υψηλότερη από το οριακό κόστος της ( p > c) και, επομένως, έχει θετικά κέρδη στην ισορροπία ertrand ( π > 0) δηλαδή, το παράδοξο του ertrand δεν ισχύει σε αυτή την περίπτωση.
(3) Διαφοροποίηση Προϊόντος - Το υπόδειγμα ertrand υποθέτει ότι το προϊόν που παράγουν οι επιχειρήσεις, είναι ομοιογενές, οπότε οι καταναλωτές αγοράζουν το αγαθό από την επιχείρηση που το πουλάει σε χαμηλότερη τιμή. - Αν το προϊόν που παράγουν οι επιχειρήσεις, είναι διαφοροποιημένο, τότε η τιμή που επιλέγει κάθε επιχείρηση υπερβαίνει το οριακό κόστος και, επομένως, οι επιχειρήσεις έχουν θετικά κέρδη στην ισορροπία του παιγνίου (δηλαδή το παράδοξο του ertrand παύει να ισχύει). - Παράδειγμα. Έστω ότι υπάρχουν δύο επιχειρήσεις-καντίνες, εγκαταστημένες σε διαφορετικά σημεία κατά μήκος μιας παραλίας και πουλάνε παγωτά στους λουόμενους-καταναλωτές. - Αν οι επιχειρήσεις πουλάνε το προϊόν τους στην ίδια τιμή, κάθε καταναλωτής προτιμάει να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρησηκαντίνα που βρίσκεται πιο κοντά σε αυτόν. 0
- Δηλαδή: Οι καταναλωτές δεν είναι αδιάφοροι ανάμεσα στα προϊόντα των επιχειρήσεων, και, επομένως, υπάρχει διαφοροποίηση του προϊόντος με βάση την τοποθεσία της επιχείρησης (γεωγραφική διαφοροποίηση ή χωροταξικός ανταγωνισμός). - Στην περίπτωση αυτή, ένας καταναλωτής που βρίσκεται πιο κοντά στην επιχείρηση είναι διατεθειμένος να πληρώσει μια σχετικά υψηλότερη τιμή (p >p ) για να αγοράσει το αγαθό από την επιχείρηση, ώστε να αποφύγει το κόστος της μετακίνησής του μέχρι την απομακρυσμένη επιχείρηση. Κάθε επιχείρηση μπορεί να αυξήσει την τιμή πάνω από το οριακό κόστος χωρίς να χάσει ολόκληρο το μερίδιο της αγοράς που κατέχει. Στην ισορροπία του παιγνίου, κάθε επιχείρηση επιλέγει μια τιμή υψηλότερη από το οριακό κόστος και τα κέρδη των επιχειρήσεων είναι θετικά (δηλαδή δεν ισχύει το παράδοξο του ertrand).
(4) Περιορισμοί Παραγωγικής Δυναμικότητας - Έστω ότι η επιχείρηση διαθέτει περιορισμένη παραγωγική δυναμικότητα δηλαδή, δεν μπορεί να παράγει ποσότητα προϊόντος μεγαλύτερη από q : q q, όπου q < q* (δηλαδή, η επιχείρηση δεν μπορεί να παράγει ολόκληρη την ποσότητα της ανταγωνιστικής ισορροπίας) p p* p p = c 0 q q Ε q * D: p( q) MC = MC = c q
- Στην περίπτωση αυτή, η λύση ( p, p ) = ( c, c) δεν αποτελεί ισορροπία κατά Nash του υποδείγματος ertrand. - Εξήγηση. Αν η επιχείρηση επιλέξει τιμή p = c, τότε ή άριστη αντίδραση της επιχείρησης δεν είναι να επιλέξει p = c (οπότε τα κέρδη της θα είναι μηδενικά) αλλά, αντίθετα, η επιχείρηση έχει κίνητρο να επιλέξει τιμή p (, cp). - Τότε, η επιχείρηση ικανοποιεί το τμήμα της ζήτησης από 0 έως q σε τιμή p = c (υποθέτοντας ότι η επιχείρηση εξυπηρετεί τους καταναλωτές που έχουν μεγαλύτερη προθυμία πληρωμής), ενώ η επιχείρηση πραγματοποιεί πωλήσεις ( q σε τιμή p >c και έχει q) θετικά κέρδη. - Συμπέρασμα. Αν κάποια επιχείρηση έχει περιορισμένη παραγωγική δυναμικότητα, τότε η λύση ( p δεν αποτελεί ισορροπία, p ) = ( c, c) κατά Nash του υποδείγματος ertrand και, επομένως, το παράδοξο του ertrand παύει να ισχύει. 3
(5) Το Υπόδειγμα Ηγεσίας ως προς την Τιμή (Price eadership Model) -To υπόδειγμα ertrand είναι ένα στατικό παίγνιο δηλαδή, υποθέτει ότιοιεπιχειρήσεις, επιλέγουν ταυτόχρονα τις τιμές p,p. - Ας υποθέσουμε, αντίθετα, ότι το παίγνιο μεταξύ των επιχειρήσεων, είναι δυναμικό και έχει την εξής χρονική διάρθρωση: Στάδιο : Η επιχείρηση επιλέγει την τιμή p στην οποία θα πουλήσει το προϊόν της. Στάδιο : Η επιχείρηση παρατηρεί την τιμή της επιχείρησης και επιλέγει τη δική της τιμή p. - Στην περίπτωση αυτή, η επιχείρηση έχει το πλεονέκτημα της πρώτης κίνησης και ονομάζεται ηγέτης ως προς την τιμή (price leader), ενώ η επιχείρηση ονομάζεται ακόλουθος ως προς την τιμή. 4
- Παράδειγμα. Το υπόδειγμα της ηγεσίας τιμής έχει χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει την αγορά των εμπορικών δανείων υψηλής φερεγγυότητας (όπου οι μεγάλες τράπεζες είναι οι ηγέτες τιμής) ή την αγορά τυποποιημένων ατσάλινων προϊόντων στις ΗΠΑ (όπου η εταιρεία US Steel υπήρξε ηγέτης τιμής για αρκετές δεκαετίες) κ.λπ. - Έστω ότι οι συναρτήσεις κόστους των επιχειρήσεων, είναι c( q), c( q). - Οι πωλήσεις των επιχειρήσεων, είναι q( p, p), q( p, p). - Υπολογίζουμε την ισορροπία στο δυναμικό παίγνιο της ηγεσίας τιμής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της προς-τα-πίσω επαγωγής δηλαδή ξεκινάμε από το τελευταίο στάδιο του παιγνίου και προχωράμε χρονικά προς τα πίσω, ως εξής: Στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου, η επιχείρηση (ακόλουθος) επιλέγει την τιμή (p ) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη την συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει για το προϊόν της [q =q (p,p )] και θεωρώντας δεδομένη την τιμή (p ) της επιχείρησης : 5
max Π = p q c ( q ) { p } st.. q = q( p, p) p 0 max Π ( p, p ) = p q ( p, p ) c [ q ( p, p )] { p } st.. p 0 (PMP ) - Λύνουμε το PMP και βρίσκουμε τη συνάρτηση άριστης αντίδρασης p (p ) της επιχείρησης. Στο πρώτο στάδιο του παιγνίου, ηεπιχείρηση (ηγέτης) επιλέγει την τιμή (p ) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη την συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει για το προϊόν της [q =q (p,p )] και αναμένοντας την άριστη αντίδραση [ p =p (p )] της επιχείρησης : max Π = pq c( q) { p } max Π = p q( p, p) c[ q( p, p)] { p st.. q = q( p, p) } st.. p = p( q) p = p( p) p 0 6 p 0
max Π = p q [ p, p ( p )] c[ q ( p, p ( p ))] { p } st.. p 0 ( p ) (PMP ) - Λύνουμε το PMP και βρίσκουμε την άριστη τιμή της επιχείρησης. p - Αντικαθιστούμε την τιμή στη συνάρτηση άριστης αντίδρασης της επιχείρησης και βρίσκουμε την άριστη τιμή της επιχείρησης : p = p ( p ) ( p, p ) Ο συνδυασμός τιμών είναι το αποτέλεσμα της προς-ταπίσω-επαγωγής και, επομένως, αποτελεί την ισορροπία στο υπόδειγμα της ηγεσίας τιμής. - Παρατήρηση. Αν το αγαθό είναι ομοιογενές, τότε ισχύει ο νόμος της μίας τιμής και, επομένως, ηεπιχείρηση (ακόλουθος) πρέπει να θέτει πάντα την ίδια τιμή που επέλεξε η επιχείρηση στο πρώτο στάδιο: p = p = p - Δηλαδή: Στην περίπτωση αυτή, η επιχείρηση θεωρεί δεδομένη την τιμή (p) του αγαθού (είναι αποδέκτης τιμών) και, επομένως, συμπεριφέρεται όπως ακριβώς μια ανταγωνιστική επιχείρηση. 7
Στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου, η επιχείρηση επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα προϊόντος (q ) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη την τιμή (p) του αγαθού που επέλεξε η επιχείρηση (ηγέτης) στο πρώτο στάδιο. - Άρα: Αν το αγαθό είναι ομοιογενές, η χρονική διάρθρωση του παιγνίου στο υπόδειγμα της ηγεσίας τιμής είναι η εξής: Στάδιο : Ηεπιχείρηση (ηγέτης) επιλέγει την τιμή (p) του προϊόντος. Στάδιο : Η επιχείρηση (ακόλουθος) παρατηρεί την τιμή (p) και επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα q. - Παράδειγμα. Έστω ότι οι συναρτήσεις κόστους των επιχειρήσεων, είναι: c ( q ) = 0q c ( q ) = q / - Η αγοραία συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι: q( p) = 0 p 8
- Υπολογίζουμε την ισορροπία στο υπόδειγμα της ηγεσίας τιμής, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της προς-τα-πίσω επαγωγής. - Βήμα. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών της επιχείρησης και βρίσκουμε τη συνάρτηση άριστης αντίδρασης της επιχείρησης. Στο δεύτερο στάδιο του παιγνίου, η επιχείρηση (ακόλουθος) επιλέγει την παραγόμενη ποσότητα (q ) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη την τιμή (p) του αγαθού: max Π = pq c ( q ) = pq q / { q } st.. q 0 -H λύση του PMP είναι: (PMP ) q ( p) = p (7) (Συνάρτηση άριστης αντίδρασης της επιχείρησης ) - Παρατήρηση. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η συνάρτηση άριστης αντίδρασης q (p) της επιχείρησης ταυτίζεται με την καμπύλη προσφοράς της επιχείρησης υπό συνθήκες τέλειου ανταγωνισμού.
- Παρατήρηση. Αν η επιχείρηση επιλέξει τιμή p στο πρώτο στάδιο του παιγνίου, τότε η αγοραία ζήτηση του αγαθού είναι q(p) και η επιχείρηση θα προσφέρει στην αγορά την ποσότητα q (p). Η επιχείρηση θα καλύψει την υπόλοιπη (ή υπολειμματική ) ζήτηση του αγαθού, παράγοντας και πουλώντας ποσότητα: q = q( p) q ( p) = r( p), όπου r(p) είναι η υπολειμματική συνάρτηση ζήτησης (residual demand function) που αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της. - Βήμα. Υπολογίζουμε την υπολειμματική συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει η επιχείρηση για το προϊόν της. r( p) = q( p) q ( p), όπου: q( p ) = q ( p) = p 0 p, αν p 0 0, αν p 0 30
- Η υπολειμματική συνάρτηση ζήτησης είναι: r( p ) = 0 p, αν p 60 0, αν p 60 (8) - Βήμα. Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών της επιχείρησης και βρίσκουμε την τιμή ισορροπίας (p ). Στο πρώτο στάδιο του παιγνίου, η επιχείρηση (ηγέτης) επιλέγει την τιμή (p) κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τα κέρδη της, θεωρώντας δεδομένη την υπολειμματική συνάρτηση ζήτησης που αντιμετωπίζει για το προϊόν της [q =r(p)] και αναμένοντας την άριστη αντίδραση [q =q (p)] της επιχείρησης : max Π = pq c ( q ) = ( p 0) q { p} st.. q = r( p) = q( p) q q = q( p) p 0 q = r( p) = q( p) q ( p) 3
max Π ( p) = ( p 0) r( p) = { p} ( p 0)(0 p), αν p 60 0, αν p 60 (PMP ) -H λύση του PMP είναι: p = 35 ( p ) - Αντικαθιστούμε την τιμή ισορροπίας στην αγοραία συνάρτηση ζήτησηςκαιβρίσκουμετησυνολικήποσότηταισορροπίας: q = 85 (9) Ισορροπία στο υπόδειγμα ηγεσίας τιμής: Σημείο ( q, p ) = ( 85,35) ( p ) - Αντικαθιστούμε την τιμή ισορροπίας στη συνάρτηση άριστης αντίδρασης της επιχείρησης και βρίσκουμε την παραγόμενη ποσότητα της επιχείρησης : (9) (7) q = 35 3
( p ) - Αντικαθιστούμε την τιμή ισορροπίας στην υπολειμματική συνάρτηση ζήτησης και βρίσκουμε την παραγόμενη ποσότητα της επιχείρησης : (9) (8) q = 50 ( = q q ) - Τα κέρδη των επιχειρήσεων, σε ισορροπία είναι: π π = 50 = 6,5 Διαγραμματική Απεικόνιση Ισορροπίας στο Υπόδειγμα Ηγεσίας Τιμής - Γιαναμεγιστοποιείτακέρδητης, ηεπιχείρηση (ηγέτης) επιλέγει την ποσότητα ( q ) όπου το οριακό κόστος MC (q ) ισούται με το (υπολειμματικό) οριακό έσοδο MR(q ) [που προκύπτει από την υπολειμματική συνάρτηση ζήτησης r(p)]. q = 50 Με δεδομένη την ποσότητα, η τιμή του προϊόντος (p =35) προσδιορίζεται από την υπολειμματική καμπύλη ζήτησης. Με δεδομένη την τιμή p, η ποσότητα q = 35 προσδιορίζεται από την καμπύλη προσφοράς q (p) της επιχείρησης και η συνολική ποσότητα προϊόντος (q =85) προσδιορίζεται από την αγοραία καμπύλη ζήτησης q(p).
Ισορροπία στο Υπόδειγμα Ηγεσίας Τιμής: Σημείο (q,p )=(85,35) p, MR, MC Α 0 D: q( p) = 0 p MC ( q ) = q, q ( p) = p 60 p =35 MR( q) r( p) = 0 p p * =0 Ε MC( q ) = 0 0 q 0 35 50 60 85 0 0 (=q (=q ) ) (=q ) (=q*) 34
- Υπολογίζουμε το πλεόνασμα του καταναλωτή, το πλεόνασμα του παραγωγού και το συνολικό πλεόνασμα στην ισορροπία με ηγεσία τιμής: CS = ( Ap ) = 36,5 PS = PS + PS = π + π = 86,5 TS = CS + PS = 5475 Σύγκριση με την Ανταγωνιστική Ισορροπία - Υπολογίζουμε την ανταγωνιστική ισορροπία στην αγορά του συγκεκριμένου αγαθού, χρησιμοποιώντας τη συνήθη μεθοδολογία. Η τιμή του αγαθού είναι p. Η αγοραία συνάρτηση ζήτησης του αγαθού είναι: q( p ) = 0 p, αν p 0 0, αν p 0 (0) Λύνουμε το PMP και βρίσκουμε τη συνάρτηση προσφοράς και τη συνάρτηση κερδών για κάθε επιχείρηση,. 35
Επιχείρηση max Π = pq c ( q ) = ( p 0) q { q } st.. q 0 (PMP ) -H λύση του PMP είναι: q ( p ) = 0, αν p < 0 οτιδ ήποτε 0, αν p = 0, αν p > 0 () (Συνάρτηση Προσφοράς της επιχείρησης ) Επιχείρηση max Π = pq c ( q ) = pq q / { q } st.. q 0 -H λύση του PMP είναι: q ( p) = p (PMP ) () (Συνάρτηση Προσφοράς της επιχείρησης )
Γράφουμε τη συνθήκη ισορροπίας και λύνουμε ως προς την τιμή του αγαθού. D= S q( p) = q ( p) + q ( p) Για p<0, είναι: (0),(),() = + = + = > q( p) q ( p) q ( p) 0 p 0 p p 60 0 απορρίπτεται. Δεν υπάρχει ανταγωνιστική ισορροπία για p<0. Για p=0, είναι: (0),(),() p= 0 = + = + = q( p) q ( p) q ( p) 0 p q p q 00 Για 0<p 0, είναι: (0),(),() q( p) = q( p) + q( p) 0 p = + p 0 p= Αδύνατο. Δεν υπάρχει ανταγωνιστική ισορροπία για 0<p 0. Γιαp>0, είναι: (0),(),() = + = + q( p) q ( p) q ( p) 0 p Αδύνατο. Δεν υπάρχει ανταγωνιστική ισορροπία για p>0. 37
- Άρα, η τιμή της ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι p*=0 και η * ποσότητα της επιχείρησης είναι q = 00. - Χρησιμοποιούμε την τιμή ισορροπίας (p*=0) για να υπολογίσουμε τα κέρδη και τις υπόλοιπες ποσότητες ισορροπίας: ( q, q, q ) = (00,0,0) * * * ( π, π ) = (0,50) * * Ανταγωνιστική ισορροπία: Σημείο Ε ( q*, p *) = ( 0,0) - Υπολογίζουμε το πλεόνασμα του καταναλωτή, το πλεόνασμα του παραγωγού και το συνολικό πλεόνασμα στην ανταγωνιστική ισορροπία: CS* = ( AEp*) = 6050 > CS = 36,5 Οι καταναλωτές ζημιώνονται στην ισορροπία με ηγεσία τιμής σε σχέση με την ανταγωνιστική ισορροπία. PS* = PS + PS = π + π = 50 < PS = 86,5 * * * * Οι παραγωγοί (ως σύνολο) ωφελούνται στην ισορροπία με ηγεσία τιμής σε σχέση με την ανταγωνιστική ισορροπία. 38
π = 0 < π = 50 * * π π = 50 < = 6,5 Οι επιχειρήσεις, ωφελούνται στην ισορροπία με ηγεσία τιμής σε σχέση με την ανταγωνιστική ισορροπία. TS* = CS + PS = 600 > TS = 5475 Το συνολικό πλεόνασμα (η κοινωνική ευημερία) μειώνεται στην ισορροπία με ηγεσία τιμής σε σχέση με την ανταγωνιστική ισορροπία. 39