στους μιγαδικούς αριθμούς

Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ; β) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί: = 3+, =, 3 = 4 Να υπολογίσετε το μιγαδικό + + 3 Απάτηση α) ) Για τη πρόσθεση τω μιγαδικώ αριθμώ = α+ β και = γ + δ έχουμε: Δηλαδή προσθέτουμε χωριστά τα πραγματικά και χωριστά τα φαταστικά μέρη Παράδειγμα Α = 3 4 και = +, τότε ισχύει: + = 3 4 + + = 3 + 4 + = ( ) ( ) ( ) ( ) ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = α+ β και = γ + δ Οι εικόες τω και Μ γ,δ είαι ατίστοιχα τα σημεία ( ) Επειδή ( α γ) ( β δ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = α+ β + γ+ δ = α+ γ + β+ δ M α,β και ( ) + = + + +, τότε η εικόα του αθροίσματος + είαι το σημείο M( α+ γ,β+ δ) Επειδή είαι: ΟΜ = ( α + γ,β + δ) = ( α,β) + ( γ,δ) = = ΟΜ + ΟΜ προκύπτει ότι: Η διαυσματική ακτία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ είαι το άθροισμα τω διαυσματικώ ακτίω τω μιγαδικώ αυτώ y O M() M( + ) M( ) x 6 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

β) Είαι: + + = ( 3+ ) + ( ) + ( 4+ 0 ) = 3 = ( 3+ + 4) + ( + 0) = 8+ Αφαίρεση μιγαδικώ αριθμώ α) ) Πώς γίεται η αφαίρεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία της διαφοράς δύο μιγαδικώ; β) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς: = 3+, = + 4 Ποια είαι η διαυσματική ακτία του μιγαδικού ; Απάτηση α) ) Για τη αφαίρεση τω μιγαδικώ = α+ β και = γ + δ έχουμε: Δηλαδή αφαιρούμε χωριστά τα πραγματικά και χωριστά τα φαταστικά μέρη Παράδειγμα Α = 3 και = 4+ 3, τότε ισχύει: = 3 4+ 3 = 3 4 + 3 = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = α+ β και = γ + δ Οι εικόες τω και εί- Μ γ,δ αι ατίστοιχα τα σημεία ( ) Επειδή ( α γ) ( β δ) ( ) ( ) ( ) ( ) = α+ β γ+ δ = α γ + β δ M α,β και ( ) = +, τότε η εικόα της διαφοράς είαι το σημείο M( α γ,β δ) Επειδή είαι: M( ) ΟΜ = ( α γ,β δ) = ( α,β) ( γ,δ) = O x = ΟΜ ΟΜ = ΜΜ M( ) προκύπτει ότι: Η διαυσματική ακτία της διαφοράς δύο μιγαδικώ είαι η διαφορά τω διαυσματικώ ακτίω τω μιγαδικώ αυτώ β) Επειδή: = ( 3 + ) ( + 4) = ( 3 ) + ( 4) = η διαυσματική ακτία του μιγαδικού είαι το διάυσμα OM = (, ) y M( ) 7

Πολλαπλασιασμός μιγαδικώ αριθμώ 3 α) Πώς πολλαπλασιάζουμε δύο μιγαδικούς αριθμούς; β) Να βρείτε το γιόμεο τω μιγαδικώ = 3, = + Απάτηση α) Για το πολλαπλασιασμό τω μιγαδικώ αριθμώ = α+ β και = γ + δ έχουμε: = ( ) + ( + ) = = α + β γ + δ = αγ + αδ + βγ + βδ αγ βδ αδ βγ Δηλαδή εκτελούμε τη επιμεριστική ιδιότητα λαμβάοτας υπόψη ότι = και καταλήγουμε στη σχέση: β) Επειδή = 3 και = +, τότε ισχύει: = 3 + = + 4 3 6 = = + 4 3+ 6= ( + 6) + ( 4 3) = 8+ 4 Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x, y και το μιγαδικό = ( + ) x+ ( 3+ 5) y α) Ποιο είαι το πραγματικό και ποιο το φαταστικό μέρος του ; β) Για ποιες τιμές τω x και y ισχύει = 3; Λύση α) Θα γράψουμε το στη μορφή α+ β, όπου α,β R Εκτελώτας τις πράξεις παίρουμε: Επομέως είαι Re( ) x 3y β) Είαι: = ( + ) x + ( 3 + 5) y = x + x + 3y + 5y = = ( x+ 3y) + ( x+ 5y) = + και ( ) ( ) ( ) = αγ βδ + αδ + βγ Im = x + 5y ( ( ) ( ) ) = 3 Re = και Im = 3 ( x + 3y = και x + 5y = 3) Πολλαπλασιάζοτας τη πρώτη εξίσωση με και προσθέτοτας αυτή που προκύπτει στη δεύτερη εξίσωση, παίρουμε: ( x+ 3y) + ( x+ 5y) = + ( 3) x 6y + x + 5y = 5 y = 5 y = 5 8 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Ατικαθιστώτας y= 5 στη πρώτη εξίσωση παίρουμε: Επομέως είαι ( x,y) = ( 4,5) x+ 3 5= x+ 5= x = 4 Δύαμη μιγαδικού αριθμού 5 Α Πώς ορίζουμε τη δύαμη εός μιγαδικού αριθμού; Β Δίεται ο πραγματικός αριθμός x και θεωρούμε το μιγαδικό = ( x+ )( + ) α) Να γράψετε το στη μορφή α+ β, με α,β R β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ο είαι: ) πραγματικός, ) φαταστικός Απάτηση Α Οι δυάμεις εός μιγαδικού αριθμού με ακέραιο εκθέτη ορίζοται όπως οι δυάμεις 3 τω πραγματικώ αριθμώ Έτσι, =, =, = και γεικά: Για 0, ορίζουμε 0 = και =, =, θετικός ακέραιος Παράδειγμα Για το υπολογισμό του μιγαδικού αριθμού ( ), σύμφωα με τη γωστή ταυτότητα a β = α αβ+ β, παίρουμε: ( ) ( ) = + = = Β α) Με βάση τη ταυτότητα ( ) α+ β = α + αβ+ β, παίρουμε: = x+ + = x+ + + = = ( x+ )( 4+ 4 ) = ( x+ )( 3+ 4) = ( ) ( ) = 3x + 4x + 3 + 4 = 3x 4 + 4x + 3 β) ) Έας μιγαδικός είαι πραγματικός, α και μόο α το φαταστικό του μέρος ισούται με μηδέ Δηλαδή: 3 Ισχύει: R Im( ) = 0 4x+ 3= 0 x = 4 R Im() = 0 9

) Έας μιγαδικός είαι φαταστικός, α και μόο α το πραγματικό του μέρος ι- σούται με μηδέ Δηλαδή: 4 I Re( ) = 0 3x 4= 0 x = Ισχύει: 3 I Re() = 0 Δυάμεις του 6 α) Πώς υπολογίζουμε τις διάφορες δυάμεις του μιγαδικού ; 5 33 β) Να αποδείξετε ότι + = 0 Απάτηση α) Για τις δυάμεις του έχουμε: = = 3 = = 4 = = 5 4 = = 6 5 = = 7 6 = = 8 7 = =, κλπ Δηλαδή μετά το 4 = οι τιμές,, και επααλαμβάοται Γεικά για α βρούμε τη δύαμη του, διαιρούμε το με το 4 και έχουμε:, α υ = 0 4ρ+ υ ( 4) ρ υ υ, α υ = = = = =, α υ =, α υ = 3 β) Επειδή 5 = 6 4 + και 33 = 4( 9) + 3, έχουμε: 5 33 3 + = + = + ( ) = 0 Πηλίκο μιγαδικώ αριθμώ 7 α) Πώς γράφουμε το πηλίκο δύο μιγαδικώ,, με 0, στη μορφή x+ y; β) Να αποδείξετε ότι + = Απάτηση α) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = α+ β και = γ + δ, με 0 Για α βρούμε το πηλίκο πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το μιγαδικό γ δ, ο οποί- ος οομάζεται συζυγής του γ+ δ Δηλαδή: 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

β) Είαι ( ) ( ) α+ β α + β γ δ αγ + βδ + βγ αδ = = = = γ + δ γ + δ γ δ γ + δ αγ + βδ βγ αδ = + γ + δ γ + δ + ( + ) + + + = = = = = + Συδυαστικά θέματα 8 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = + 3 και = + Να υπολογίσετε τους παρακάτω μιγαδικούς: α) + β) γ) δ) Λύση α) Είαι: β) Είαι: γ) Είαι: ( ) ( ) ( ) ( ) + = + 3 + + = + + 3+ = 3+ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = + 3 + = + 3 = + = + 3 + = + + 6+ 3 = = + + 6 3 = ( 3) + ( + 6) = + 7 δ) Πολλαπλασιάζουμε με το συζυγή του παροομαστή και έχουμε: + 3 ( + 3)( ) = = = + + ( + 3) + ( + 6) 4 ( ) + 6 3 = = = ( + ) 5+ 5 5 = = = + 5 5

9 Δίεται ο μιγαδικός = + 3 α) Να γράψετε στη μορφή α+ β, με α,β R, τους μιγαδικούς w =, u= και v = β) Να σχεδιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο τις διαυσματικές ακτίες τω μιγαδικώ w, u και v Λύση α) Είαι: w = = 3+ = 6+ 4 ( ) ( ) ( ) 3 + ( 3+ )( ) 3 3 ( ) v = = = = = = ( ) ( ) = + είαι το σημείο ( ) είαι το διάυσμα OA = ( 6,4) Η εικόα του u = 5+ είαι το σημείο ( ) είαι το διάυσμα OB = ( 5,) Η εικόα του μιγαδικού v= 3 είαι το σημείο Γ(, 3) η διαυσματική ακτία του v είαι το διάυσμα ΟΓ = (, 3) u = = 3 + = 3 + 3 + = 9 + + 4 = 9 + 4 = 5 + β) Η εικόα του w 6 4 3 A 6,4, άρα η διαυσματική ακτία του w B5,, άρα η διαυσματική ακτία του u, άρα Οι διαυσματικές ακτίες τω μιγαδικώ w, u, v είαι σχεδιασμέες στο διπλαό σχήμα y Β 4 A O 56 x 3 Γ Σχόλιο: Στο σύολο C τω μιγαδικώ αριθμώ, δε ορίζεται διάταξη Επειδή όμως διάταξη ορίζεται στο σύολο R τω πραγματικώ αριθμώ, ισχύου οι εξής προτάσεις: 0 R και 0 Im = 0 και Re 0 ( ) ( ( ) ( ) ) 0 ( R και 0) ( Im( ) = 0 και Re( ) 0) 0 Να υπολογίσετε τη παράσταση: 6 6 6 36 46 56 + + + + + Λύση Σύμφωα με τη σχέση = υ, όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 4, παίρουμε: 6 6 6 36 46 56 + + + + + = 0 0 0 = + + + + + = + + + = 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Να θυμάμαι Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = α+ β και w = γ + δ, όπου α,β,γ,δ R Τότε είαι: + w = ( α+ γ) + ( β+ δ) = ( ) + ( ) w α γ β δ αγ+ βδ βγ αδ w = ( αγ βδ) + ( αδ + βγ) = +, w 0 w γ + δ γ + δ Α είαι ακέραιος αριθμός και υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 4, τότε ι- σχύει:, α υ = 0 υ, α υ = = =, α υ =, α υ = 3 Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις επόμεες προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λαθασμέη (Λ) α) Για το μιγαδικό αριθμό ισχύει 4 = (Εξετάσεις 00) Σ Λ β) Α είαι =, τότε + = Σ Λ γ) Α = + και w =, τότε + w = w Σ Λ δ) Για το μιγαδικό ισχύει 6 0 ε) Α και w είαι μιγαδικοί ώστε Ερωτήσεις τύπου «Σωστό Λάθος» > Σ Λ + w = 0, τότε ισχύει = 0 και w = 0 Σ Λ + 3 στ) Α =, τότε ζ) Για το μιγαδικό αριθμό ισχύει 47 7 η) Για κάθε μιγαδικό ισχύει 0 θ) Α α β Re 3 = Σ Λ = Σ Λ Σ Λ = +, με α,β R, τότε ( ) = β Σ Λ ι) Α ισχύει = 0, τότε = 0 Σ Λ 3

Προτειόμεες ασκήσεις Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = 3 και = Να υπολογίσετε τους παρακάτω μιγαδικούς: α) 3 β) γ) 3 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = +, = 3 και 3 = Να σημειώσετε στο μιγαδικό επίπεδο τις εικόες και τις διαυσματικές ακτίες τω παρακάτω μιγαδικώ: α) β) + γ) 3 δ) 4 Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις α κάετε τις πράξεις και α εκφράσετε το αποτέλεσμα στη μορφή x+ y, όπου x,y R : α) = ( 3 ) + ( + ) β) w = ( + 3) 3 5 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς: = x+ y 3+ και ( ) w = ( + 3)( y+ ), όπου x,y R α) Να γράψετε τους και w στη μορφή α+ β, με α,β R β) Να βρείτε τις τιμές τω x και y για τις οποίες ισχύει = w 6 Α α+ β και γ + δ είαι μιγαδικοί αριθμοί, όπου α,β,γ,δ R και γ+ δ 0, α αποδείξετε ότι: α+ β αγ+ βδ βγ αδ = + γ + δ γ + δ γ + δ (Εξετάσεις 004) 7 Θεωρούμε το πραγματικό αριθμό x και το μιγαδικό: 3 = x ( 3+ ) x + ( 0+ 9) x 3( + 3) α) Να γράψετε το στη μορφή α+ β, όπου α,β R β) Για ποια τιμή του x είαι = 0; 8 α) Να αποδείξετε ότι ( + ) = β) Για τις διάφορες τιμές του N, α A= + υπολογίσετε τη παράσταση ( ) 4 9 Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς x και y για τους οποίους ισχύει η σχέση: x + x + y y = 6+ 4 ( ) ( ) 0 Να αποδείξετε ότι: α) ( + ) = και ( ) 40 40 β) ( + ) ( ) = 0 = Έστω έας μιγαδικός αριθμός και * f =, με N Να αποδείξετε ότι: ( ) f( 3) + f( 8) + f( 3) + f( 8) = 0 (Εξετάσεις 00) Για κάθε μιγαδικό θεωρούμε το f = + + μιγαδικό ( ) ( ) α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς f( ) και f( ) 4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

β) Α το υπόλοιπο της διαίρεσης του θετικού ακέραιου με το 4 είαι, α αποδείξετε ότι: f + f = ( ()) ( ( )) 3 Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό: = συθ+ ημθ, όπου θ R α) Nα αποδείξετε ότι: = συθ+ ημθ β) Για ποιες τιμές του θ ισχύει: + 3 = 4 Δίοται οι μιγαδικοί αριθμοί: = 3+ και = 3 και ο πραγματικός αριθμός α Να αποδείξετε ότι: α) + = 0 α β) = + α 5 Δίεται ο μιγαδικός = α+ β, με α,β R, και έστω ο μιγαδικός: w = Re( ) + α) Να γράψετε το w στη μορφή x+ y, με x,y R β) Α ο w είαι πραγματικός αριθμός, α αποδείξετε ότι ο είαι φαταστικός αριθμός 6 Δίοται οι μιγαδικοί αριθμοί = α+ β και w = γ+ δ, όπου α,β,γ,δ R, και ο πραγματικός αριθμός λ Να αποδείξετε ότι: Re + w = Re + Re w και α) ( ) ( ) ( ) Im( + w) = Im( ) + Im( w) β) Re( λ ) = λ Re ( ) και Im( λ) = λ Im( ) 7 Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό: = συθ + ημθ, όπου θ R α) Υπάρχει τιμή του θ για τη οποία ισχύει = 0; β) Να βρείτε το πραγματικό και το φαταστικό μέρος του μιγαδικού γ) Να αποδείξετε ότι: ) ο αριθμός + είαι πραγματικός, ) ο αριθμός είαι φαταστικός 8 Έστω οι μιγαδικοί, και 3, ώ- στε οι αριθμοί και 3 α είαι φαταστικοί Να αποδείξετε ότι: α) ο αριθμός 3 είαι φαταστικός, + + 0 β) ( ) ( ) ( ) 3 3 9 Θεωρούμε τους μιγαδικούς: = 3+ και = 3 α) Να αποδείξετε ότι = β) Για ποιες τιμές του θετικού ακέραιου έχουμε > 0 ; 30 Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β και ο μιγαδικός ( ) = α+ β ( β+ α), * όπου N Να αποδείξετε ότι: α β = +, α) ( ) β) α το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 4 είαι 3, τότε ο είαι φαταστικός αριθμός 5

3 Έστω ο μιγαδικός αριθμός = α+ β, με α,β R Να αποδείξετε ότι: α) β α= α+ β + β α = 0 β) ( ) ( ) 3 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί: x y = ( + )( x y) και w = + α) Να γράψετε τους μιγαδικούς και w στη μορφή α+ β, όπου α,β R β) Να βρείτε τις τιμές τω x, y για τις ο- ποίες ισχύει = w 33 Έστω ο μιγαδικός = + συθ + ημθ, όπου θ R Να αποδείξετε ότι: θ ( ) = 4συ συθ+ ημθ 34 Δίεται ο θετικός ακέραιος Να προσδιορίσετε τις δυατές τιμές τω παραστάσεω: α) β) + + 35 Έστω ο μιγαδικός = x+ y, όπου x,y R, και ο μιγαδικός w = α) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς Im w συαρτήσει τω x Re( w ) και ( ) και y β) Α w 0, α αποδείξετε ότι I 36 Έστω οι μιγαδικοί = ( + ) και w = Να αποδείξετε ότι: 3 α) = β) w = 37 Δίεται ο μιγαδικός αριθμός: 3+ + 3 = και έστω w = + α) Να βρείτε το πραγματικό και το φαταστικό μέρος του β) Να βρείτε τη εικόα του w γ) Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τους αριθμούς και w 38 Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό: π =, όπου θ 0, + συθ + ημθ α) Να γράψετε το στη μορφή α+ β, όπου α,β R β) Να αποδείξετε ότι: ( Re( ) ) ( Im( ) ) + = συθ ( + ) 39 Έστω ο μιγαδικός αριθμός: = συθ + ημθ + ημθ συθ * όπου N και θ R α) Να αποδείξετε ότι: = + ( συθ+ ημθ) ( ) ( ) β) Για ποιες τιμές του έχουμε = 0; 6 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Κριτήριο Αξιολόγησης Θέμα Στο παρακάτω πίακα, κάθε μιγαδικός αριθμός της στήλης Α είαι ίσος με έα μόο αριθμό της στήλης Β Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της στήλης Α και ακριβώς δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της στήλης Β, ώστε α δημιουργείται η σωστή ατιστοιχία Στήλη Α 3 4 3 4 Στήλη Β σα) σβ) + σγ) σδ) σε) 0 στ) 4 Θέμα Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους ισχύει η σχέση: 3 43 46 α + β = 5 3 65 Να αποδείξετε ότι: α) 3α + 5β = 43 και 6α + 0β = 46 β) α= και β= Θέμα 3 + α) Να αποδείξετε ότι = και = + β) Θεωρούμε το ακέραιο αριθμό και το αριθμό Να αποδείξετε ότι: ) Α= ( ) ) + A = + +, α άρτιος Α =, α περιττός (Εξετάσεις 004) 7

Θέμα 4 Α α) Θεωρούμε το ακέραιο αριθμό και έστω υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 4 Να αποδείξετε ότι = υ β) Ποιες είαι οι δυατές τιμές του αριθμού για τις διάφορες τιμές του ακέραιου ; Β Δίεται ο θετικός ακέραιος αριθμός και η γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο α = και λόγο λ = α) Να αποδείξετε ότι: ( 3 )( ) + + + + = β) Α ο ακέραιος είαι πολλαπλάσιο του 4, α αποδείξετε ότι: 3 + + + + = 0 8 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ