94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος είναι αναγκαία χώρος Baach εφόσον ταυτίζεται ισομετρικά με τον. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη αυτοπαθών χώρων έτσι ώστε ο να είναι γραμμικά ισομετρικός με τον φυσικά μέσω της κανονικής απεικόνισης ϕ. ( όχι Ένα τέτοιο παράδειγμα (ο χώρος του James J μπορεί να βρεθεί στα βιβλία [F-H-H-M-P-Z] και [Μ]. Θεώρημα 4.. Έστω χώρος Baach. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: Ο είναι αυτοπαθής Η Β, είναι συμπαγής χώρος. 3 Ο είναι αυτοπαθής 4 (, (, =. Απόδειξη ( (. Εφόσον ο είναι αυτοπαθής έχουμε ότι (, (,,, Β = Β. Από το θεώρημα Alaoglou έχομε το συμπέρασμα. = και άρα ( ( Εφόσον η Β, είναι συμπαγής χώρος είναι και ασθενώς συμπαγές υποσύνολο της Β. Από το θεώρημα Goldstie η Β είναι και ασθενώς πυκνό υποσύνολο του Β, συνεπώς Β =Β. Άρα =. ( (4 Η ασθενής τοπολογία επί του επάγεται από τον συζυγή του που είναι ο =. Επίσης η ασθενής τοπολογία επί του επάγεται από τον προσυζυγή του που είναι πάλι ο, έτσι οι δύο τοπολογίες ταυτίζονται.
95 (4 (3. Από την υπόθεσή μας, έπεται αμέσως ότι Β, = Β,. Από το θεώρημα Alaoglou η Β, είναι συμπαγής χώρος. Άρα η Β, είναι συμπαγής χώρος και από την ( ( έπεται το συμπέρασμα. (3 (. Εφόσον ο (, (, άρα και του υποσύνολο του είναι αυτοπαθής από την ( (4 θα έχουμε ότι =. Η Β, είναι orm κλειστό και κυρτό υποσύνολο του ( και, έπεται από το θεώρημα του Mazur ότι είναι ασθενώς κλειστό. Αλλά τότε από την υπόθεσή μας είναι ασθενώς κλειστό υποσύνολο του. Από το θεώρημα Goldstie έπεται ότι Β =Β. Κατά συνέπεια =. Πόρισμα 4.. Έστω αυτοπαθής χώρος Baach και Y κλειστός διανυσματικός υπόχωρος του. Τότε ο Y είναι επίσης αυτοπαθής. Απόδειξη: Παρατηρούμε ότι Β Y = Y Β. Επειδή από το θεώρημα του Mazur ο Y είναι ασθενώς κλειστό υποσύνολο του και από το θεώρημα 4.. η Β είναι ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του, έπεται ότι η Β Y είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο. Έτσι πάλι από το θεώρημα 4.. ο Y είναι αυτοπαθής χώρος. Πόρισμα 4..3 Έστω αυτοπαθής χώρος Baach. Αν = ώστε ( =., τότε υπάρχει με Απόδειξη Υποθέτομε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι. Το είναι συνεχής συνάρτηση ως προς την ασθενή τοπολογία του και η Β είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο, αφού ο είναι αυτοπαθής. Έπεται ότι υπάρχει y Β ώστε ( ( Παρατηρούμε ότι, ( με { } y = su : = = y y y = Επίσης έχομε ότι υπάρχει a K a = ώστε ( y a ( y ( ay = y =. = =. Έτσι θέτομε = ay και έχομε Παρατηρήσεις Το προηγούμενο αποτέλεσμα δεν ισχύει πάντοτε χωρίς την υπόθεση της αυτοπάθειας. Για παράδειγμα αν ( ( Λ : c R : Λ =, = c ( ( = των μηδενικών ακολουθιών πραγματικών αριθμών τότε ισχύουν: (=ο χώρος
96 (α Το Λ είναι φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές με Λ = (β Για κάθε c με ( = ( Λ < ( Πρβλ. την άσκηση ( της παραγράφου. Αν είναι χώρος με νόρμα τότε από το θεώρημα Hah-Baach ( αλλά και από το θεώρημα Alaoglou έχομε ότι για κάθε υπάρχει με = ώστε ( =. Έτσι το προηγούμενο αποτέλεσμα μπορεί να προκύψει θεωρώντας τον ως συζυγή του ( = Θεώρημα 4..4 Έστω αυτοπαθής χώρος Baach και Κ. Τότε το Κ είναι ασθενώς συμπαγές αν και μόνο αν το Κ είναι ασθενώς κλειστό και orm φραγμένο. Απόδειξη Έστω ότι το Κ είναι ασθενώς συμπαγές. Τότε βέβαια το Κ είναι ασθενώς κλειστό. Αν τότε επειδή το συμπαγές, έχομε ότι ( { } είναι ασθενώς συνεχές και το Κ ασθενώς su : Κ <+. Από την αρχή του ομοιομόρφου φράγματος έπεται ότι το Κ είναι orm φραγμένο. Έστω ε > ώστε Κ Β (,ε. Από την αυτοπάθεια του η (, ε Β είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο. Επειδή το Κ είναι ασθενώς κλειστό συμπεραίνουμε ότι είναι ασθενώς συμπαγές.. Παρατηρήσεις 4..5 Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται ακολουθιακά συμπαγής, αν κάθε ακολουθία ( έχει κάποια υπακολουθία ( ώστε k. Ένα ασθενώς ακολουθιακά συμπαγές υποσύνολο Κ ενός χώρου Baach είναι αναγκαία orm φραγμένο. Πράγματι, αν το Κδεν ήταν φραγμένο τότε θα υπήρχε μια ακολουθία ( Κ ώστε υπακολουθία της ( για κάθε. Έστω ( k, τότε βέβαια η ( k μια ασθενώς συγκλίνουσα θα ήταν φραγμένη άτοπο. k Το θεώρημα 4..4 είναι συνέπεια ενός γενικότερου αποτελέσματος: Αν χώρος Baach και Κ τότε το Κ είναι ασθενώς συμπαγές αν και μόνο αν είναι ασθενώς κλειστό και orm φραγμένο ( πρβλ. τις ασκήσεις. Έπεται ιδιαίτερα από το αποτέλεσμα αυτό ότι κάθε ασθενώς συμπαγές υποσύνολο ενός χώρου Baach είναι orm φραγμένο ( γιατί;. Λήμμα 4..6 Κάθε ασθενώς συμπαγές υποσύνολο Κ ενός διαχωρίσιμου χώρου Baach είναι μετρικοποιήσιμο.
97 Απόδειξη. Έστω Κ ένα ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του. Από το θεώρημα 4..8 η Β, είναι συμπαγής και μετρικοποιήσιμος χώρος επομένως διαχωρίσιμος. Έστω { : } D= ένα αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο της Β,. Παρατηρούμε ότι το D διαχωρίζει τα σημεία του. Πράγματι, έστω ώστε ( = για κάθε. Επειδή το = ϕ( είναι ένα ασθενώς συνεχές γραμμικό συναρτησοειδές επί του ((, έπεται ότι ( ότι =. =, είναι και συνεχής συνάρτηση αν περιορισθεί στην Β, = για κάθε Β και άρα ( = για κάθε.έτσι έχομε Ορίζουμε τον τελεστή T : c ώστε T( = Εύκολα ελέγχεται ότι ο T είναι καλά ορισμένος, γραμμικός ( το D διαχωρίζει τα σημεία του και φραγμένος ( με T. [ Επειδή από το θεώρημα 4..3 ο T είναι ασθενώς συνεχής, έπεται ότι το ασθενώς συμπαγές υποσύνολοκ του είναι ομοιομορφικό με το ασθενώς συμπαγές υποσύνολο T( Κ του c. Όμως το ( T Κ είναι orm φραγμένο από την παρατήρηση 4..5 ( και όπως γνωρίζουμε από το πόρισμα 4..9 η ασθενής τοπολογία στα φραγμένα υποσύνολα ενός χώρου με διαχωρίσιμο συζυγή ( c =l είναι μετρικοποιήσιμη. Έτσι το ( T( Κ, είναι μετρικοποιήσιμο και συνεπώς και το (, Από το προηγούμενο Λήμμα έπεται εύκολα το ακόλουθο. Κ είναι μετρικοποιήσιμο. Θεώρημα 4..7 Κάθε ασθενώς συμπαγές υποσύνολο Κ ενός χώρου Baach είναι ασθενώς ακολουθιακά συμπαγές. Απόδειξη Έστω ( τυχούσα ακολουθία σημείων του Κ. Θέτομε Ω= cl { } Κ και Y cl,, = (=η κλειστή γραμμική θήκη του συνόλου {, }. Προφανώς ο Y είναι διαχωρίσιμος χώρος Baach και το Ω είναι ένα ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του Y. Από το Λήμμα 4..6 ο χώρος ( Ω, είναι μετρικοποιήσιμος και συνεπώς η ( έχει μια ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία μέσα στο Ω Κ. Το αντίστροφο του προηγουμένου αποτελέσματος ισχύει και είναι ένα βαθύ αποτέλεσμα που ανήκει στον Eberlei. Διατυπώνουμε το θεώρημα του Eberlei και για την απόδειξή του παραπέμπουμε στα βιβλία [F-H-H-M-P-Z], [Μ] και [D].
98 Θεώρημα 4..8 ( Eberlei Ένα υποσύνολο ενός χώρου Baach είναι ασθενώς συμπαγές ( αν και μόνο αν είναι ασθενώς ακολουθιακά συμπαγές. Η ακόλουθη εφαρμογή του θεωρήματος 4..7 μας λέει ότι, λόγω της ιδιότητας Schur, ο χώρος l βρίσκεται στον αντίποδα των αυτοπαθών χώρων. Πρόταση 4..9 Ένα υποσύνολο Κ του χώρου l είναι ασθενώς συμπαγές αν και μόνο αν είναι orm συμπαγές. Απόδειξη Αν τοκ είναι orm συμπαγές τότε το Κ προφανώς είναι ασθενώς συμπαγές. Έστω ότι το Κ είναι ασθενώς συμπαγές. Από το θεώρημα 4..7 κάθε ακολουθία ( έχει ασθενώς συγκλίνουσα και συνεπώς - από την ιδιότητα Schur του l- orm συγκλίνουσα υπακολουθία μέσα στο Κ. Έτσι το Κ είναι orm συμπαγές υποσύνολο του l. Από το θεώρημα του Eberlei έπεται και ο ακόλουθος χαρακτηρισμός των αυτοπαθών χώρων. Θεώρημα 4.. Έστω χώρος Baach. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι: (α Ο είναι αυτοπαθής (β Κάθε φραγμένη ακολουθία στον έχει ασθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία. Κ Απόδειξη (α (β Η Β, 4..7 έπεται το συμπέρασμα. είναι ασθενώς συμπαγές σύνολο, έτσι από το θεώρημα (β (α Από το θεώρημα 4..8 ( Eberlei έπεται ότι η (, και έτσι ο είναι αυτοπαθής. Παραδείγματα. ( Οι χώροι l και L L [,] Β είναι συμπαγές σύνολο =, για < <+ είναι αυτοπαθείς. Πράγματι, αν + =, τότε ισχύει l = l q = l, υπό την έννοια ότι για κάθε q υπάρχει g l ώστε ( ( = για κάθε ( f g k k= k f l q = k l q. Η δράση του f επί του είναι ίδια με την δράση του g επί του. Έπεται ότι η κανονική απεικόνιση ϕ l l είναι επί του l. Για τον L ο έλεγχος ότι η ϕ είναι επί του ( Ο χώρος c δεν είναι αυτοπαθής επειδή c L είναι ανάλογος. =l και ο l ως γνωστόν δεν είναι διαχωρίσιμος. Ο χώρος l επίσης δεν είναι αυτοπαθής. Αν ήταν, τότε ο διαχωρίσιμος και συνεπώς ο l = l θα ήταν επίσης διαχωρίσιμος, άτοπο. l θα ήταν :
99 3 Αποδεικνύεται ότι κανένας χώρος από την οικογένεια c και l, <+, δεν είναι ισομορφικός με υπόχωρο κάποιου άλλου μέλους της οικογένειας. Έτσι για παράδειγμα αν q<+ τότε ο l δεν εμφυτεύεται ισομορφικά στον l q. ( Πρβλ. [L-T] σελ. 53-4. Ορισμός 4.. Έστω ( M, d μετρικός χώρος και A μη κενό υποσύνολο του M. Το A λέγεται προσεγγίσιμο ( roimal αν, για M υπάρχει y A ώστε (, = d(, A ( ( d y { d z z A} = if, :. Σχόλιο. Όπως γνωρίζουμε αν H είναι χώρος Hilbert και A H κλειστό κυρτό τότε για κάθε H υπάρχει y A έτσι ώστε d(, y = d(, A ( και το A είναι συνεπώς προσεγγίσιμο. Η ιδιότητα αυτή των χώρων Hilbert, όχι στην πλήρη της μορφή, κληροδοτείται στους αυτοπαθείς χώρους. Θεώρημα 4.. Έστω αυτοπαθής χώρος Baach και A κλειστό και κυρτό. Τότε το A είναι προσεγγίσιμο. Απόδειξη Έστω ( με A ώστε d A. Θέτομε d = d ( A και επιλέγομε μια ακολουθία. Η ( είναι αυτοπαθής, υπάρχει υπακολουθία ( k, είναι βέβαια φραγμένη ακολουθία και επειδή ο της ( ώστε A είναι κλειστό κυρτό από το θεώρημα Mazur to A. Έστω k. Επειδή το με = ώστε = (. Τότε έχομε = ( ( k + ( k ( k + k Παίρνοντας όρια, συμπεραίνουμε ότι d Θεώρημα 4..3 Έστω χώρος με νόρμα και και έτσι έχομε d d ( A με = =.,. Τότε ο πυρήνας του είναι προσεγγίσιμος αν και μόνο αν υπάρχει με = τέτοιο ώστε ( =. Απόδειξη Η απεικόνιση : / Ker K : ( Ker ( φραγμένη και επί του K με Ker Λ Λ + = είναι γραμμική Λ = ( Πρβλ. την απόδειξη της πρότασης.. Επομένως είναι ένας ισομορφισμός μονοδιάστατων χώρων Baach, έτσι υπάρχει με υπάρχει + = και Λ ( + Ker y Ker ώστε ( Ker = Λ. Εφόσον ο y = d, Ker = + Ker =. y = = Λ + Ker = Λ =. Έπεται ότι, ( ( ( Ker είναι προσεγγίσιμος,
Το ζητούμενο είναι το = y. Έστω ( με =. Επειδή ( Ker. Από την υπόθεσή μας υπάρχει dim / Ker =, υπάρχουν y ώστε = y+ λ. Αν z είναι τυχόν στοιχείο του ( ( ( + λ με = ώστε Ker και K Ker θα έχουμε λ με λ z y y z = = = = +. λ λ λ y d Ker = +. Άρα ο λ Έπεται ότι, (, Ker είναι προσεγγίσιμος. Λ, ( Παρατήρηση 4..4 Ο πυρήνας του συναρτησοειδούς : c R ( ( ( Λ =, = = c, δεν είναι προσεγγίσιμος εφόσον η νόρμα του Λ δεν επιτυγχάνεται σε κανένα σημείο της μοναδιαίας σφαίρας του c. ( Πρβλ. την παρατήρηση ( μετά το πόρισμα 4..3. Αν ο χώρος είναι αυτοπαθής τότε όπως έπεται από το θεώρημα 4..3 και το πόρισμα4..- ο πυρήνας κάθε συναρτησοειδούς με είναι προσεγγίσιμος. 3 Αποδεικνύεται ότι και το αντίστροφο του θεωρήματος 4.. ισχύει: Αν κάθε κλειστό και κυρτό υποσύνολο ενός χώρου Baach είναι προσεγγιστικό τότε ο χώρος είναι αυτοπαθής ( Πρβλ. το [Μ] σελ 435-6 4 Έστω χώρος με νόρμα, Y κλειστός υπόχωρος του και π : / Y η κανονική απεικόνιση. Αποδεικνύεται τότε ότι οy είναι προσεγγίσιμος αν και μόνο αν π Β =Β / Y (Πρβλ. και τις παρατηρήσεις.4 και.6 της παραγράφου, την παρατήρηση ( μετά το πόρισμα 4..3 καθώς και τις ασκήσεις που ακολουθούν. Έστω χώρος Baach. Αποδείξτε ότι: Ασκήσεις (α Αν ( είναι ακολουθία στον και ώστε φραγμένη και limif.., τότε η ( είναι (β Αν η ( είναι ακολουθία στον και ώστε τότε η ( είναι φραγμένη και lim if.
[ Υπόδειξη. Για το (α: Από την αρχή του ομοιομόρφου φράγματος η ( είναι φραγμένη. Έστω c= lim if. Αν = lim if lim if τότε ( lim ( = lim if( = c. Η απόδειξη για το (β είναι παρόμοια] Έστω χώρος με νόρμα. Αν η ακολουθία ( είναι orm Cauchy και. [ Υπόδειξη + εβ και το σύνολο m m + εβ είναι ασθενώς κλειστό.] 3 Έστω ( ακολουθία στον χώρο Baach, όπου =l ή = ( k k,. Αποδείξτε ότι: (α Αν τότε c ( <+. Έστω =l, < <+ ή c τότε: αν και μόνο αν υπάρχει Μ> ώστε Μ, και για κάθε k. k (β Αν = l = c τότε: και για κάθε k. k Μ> ώστε αν και μόνο αν υπάρχει [ Υπόδειξη Η ακολουθία e, είναι ολικό υποσύνολο του ]. Μ, 4 Έστω l. Αποδείξτε ότι η ακολουθία ( = c την e e ικανοποιεί την e αλλά όχι [ Υπόδειξη Για το δεύτερο ερώτημα αποδείξτε πρώτα ότι co{ e, } 5 Αποδείξτε ότι στον χώρο Baach συμπαγές αλλά όχι orm συμπαγές. e : c l ]. [ Υπόδειξη { } ] l το σύνολο { e : } { } Κ= είναι ασθενώς 6 Έστω = c ή l (< <+. Αποδείξτε ότι η ασθενής τοπολογία στην { : } Β = είναι μετρικοποιήσιμη και ότι συμπίπτει με την τοπολογία της σύγκλισης κατά σημείο επί του. Επίσης αποδείξτε ότι e. 7 Έστω F : R l ώστε F( k= k =, = ( k l. Αποδείξτε ότι η F είναι ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές επί του l και ακόμη ότι δεν είναι ασθενώς συνεχές επί του l c ( δηλαδή ότι F l \ c.
[ Υπόδειξη Από την άσκηση (4 έχουμε ότι e στον l ] 8 Έστω απειροδιάστατος χώρος Baach και S { : } = =. Αποδείξτε ότι: (α Η S είναι πυκνό υποσύνολο της Β, άρα και ασθενώς πυκνό υποσύνολο της Β (β Η νόρμα του δεν είναι ασθενώς συνεχής σε κανένα σημείο του. [ Υπόδειξη Για το (α: Έστω περιοχή του, όπου F Ο διανυσματικός υπόχωρος M { } < και έστω ( ε Β μια ασθενώς ανοικτή βασική F,. πεπερασμένο και, F F = Ker έχει πεπερασμένη συνδιάσταση και συνεπώς F ε >. Τότε + Ker Β ( ε M. Έστω, M ώστε + < και + >. Παρατηρούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα [, ] M (, ε + + + Β και ότι τέμνει την S F Για το (β: Από το (α υπάρχει δίκτυο ( δ στην δ είναι ασθενώς συνεχής στο. Αν, τότε το τότε από το (α υπάρχει δίκτυο ( δ στην S δ ώστε όπου συμπεραίνουμε ότι η δεν είναι ασθενώς συνεχής στο.] S ώστε δ. Άρα η δεν y= έχει y <. Αν λ = + + δ y= λ λ δ. Από 9 Έστω χώρος με νόρμα. Αποδείξτε ότι: (α Αν Κ, τότε το Κ είναι orm φραγμένο αν και μόνο αν το Κ είναι ασθενώς φραγμένο. (β Αν ο είναι χώρος Baach και αν είναι ασθενώς φραγμένο. Κ, τότε το Κ είναι orm φραγμένο αν και μόνο [Υπόδειξη. Χρησιμοποιείστε την αρχή του ομοιομόρφου φράγματος ]. Έστω χώρος Baach και και μόνο αν είναι ασθενώς κλειστό και orm φραγμένο. Έστω (, Κ, αποδείξτε ότι το Κ είναι ασθενώς συμπαγές αν χώρος με νόρμα. Αποδείξτε ότι ο εμφυτεύεται ισομετρικά σ ένα χώρο Baach της μορφής C( Ω όπου Ω συμπαγής χώρος.
3 [ Υπόδειξη Έστω Ω= Β, ( ( (. Ορίζουμε T : C( Ω ώστε T =,, Ω. Αποδείξτε ότι η T είναι γραμμική ισομετρία.] Έστω χώρος με νόρμα και Κ φραγμένο σύνολο. Αποδείξτε ότι το Κ είναι ασθενώς σχετικά συμπαγές αν και μόνο αν η ασθενής κλειστότητα του στον περιέχεται στον ( δηλαδή cl Κ. 3 Έστω (, διαχωρίσιμος χώρος Baach και ( = { : = }. Ορίζουμε T : l : T( S πυκνή ακολουθία στην ( =. Αποδείξτε ότι ο T είναι ένας γραμμικός φραγμένος και τελεστής ο οποίος είναι ασθενώς -ασθενώς συνεχής όταν περιορισθεί στην Β. 4 (α Έστω, Y χώροι Baach και <+. Θέτομε Z = ( Y ( = το ευθύ άθροισμα των και Y στην νόρμα. Αποδείξτε ότι Z ( Y συζυγής εκθέτης του., όπου q ο (β Έστω αυτοπαθής χώρος Baach ώστε ο να είναι ισομορφικός με τον συζυγή του. Είναι τότε ο ισομορφικός με κάποιο χώρο Hilbert; [ Υπόδειξη. Η απόδειξη του (α είναι παρόμοια με την απόδειξη του δυϊσμού των χώρων l, δηλαδή l = l, l = l. Για το (β παρατηρούμε ότι αν είναι αυτοπαθής χώρος q Baach ( μη ισομορφικός με χώρο Hilbert και Y ( Y ( = ( Y.] 5 Έστω (, =, τότε από το (α έχουμε ότι χώρος Baach. Τότε Β, είναι μετρικοποιήσιμος ( διαχωρίσιμος χώρος αν και μόνο αν ο είναι διαχωρίσιμος. [ Υπόδειξη. Έχουμε ήδη αποδείξει την κατεύθυνση, διαχωρίσιμος τότε Β, μετρικοποιήσιμος ( και διαχωρίσιμος χώρος. ( πρβλ. Πόρισμα 4..9. Έστω ότι η Β, είναι μετρικοποιήσιμος χώρος. Θεωρούμε μια ακολουθία Β ( ε q,, ασθενώς F ανοικτών βασικών περιοχών του ( F πεπερασμένο υποσύνολο του ε > ώστε η ακολουθία U ( ε, και =Β, Β,, να είναι βάση περιοχών F
4 του στον χώρο Β,. Χωρίς περιορισμό, της γενικότητας υποθέτομε ότι ε =, και θέτομε, ( = η κλειστή γραμμική θήκη του F στον = F = F Y = cl F αποδείξουμε ότι Y =. Έστω με F. Από το θεώρημα Goldstie υπάρχει δίκτυο ( ότι δίδεται. Τότε υπάρχει ώστε το. Θα να μηδενίζεται επί του Β δ ώστε δ δ. Έστω δ ώστε ( ( = < = για κάθε δ δ ε δ δ για κάθε F. Έπεται ότι δ U για κάθε δ δ. Επειδή αυτό γίνεται για κάθε, συμπεραίνουμε ότι δ, επομένως 6 Έστω (, χώρος Baach. =.] (α Αποδείξτε ότι νόρμα του είναι ασθενώς κάτω ημισυνεχής συνάρτηση επί του. (β Αποδείξτε ότι αν ο είναι διαχωρίσιμος τότε κάθε υποσύνολο A του είναι με την ασθενή ( σχετική τοπολογία διαχωρίσιμος χώρος. (γ Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα για τον :(ι Β, είναι διαχωρίσιμος, (ιι ( S, Baach. είναι διαχωρίσιμος και (ιιι είναι διαχωρίσιμος χώρος [ Υπόδειξη. Για το (α. Κάθε κλειστή σφαίρα του είναι από το θεώρημα Mazur ασθενώς κλειστό σύνολο. Για το (β. Η ταυτοτική απεικόνιση I :(, (, είναι συνεχής. Για το (γ. (ι (ιι. Έστω D αριθμήσιμο ασθενώς πυκνό υποσύνολο της Β και S, τότε δ D δ δ υπάρχει δίκτυο ( :. Επειδή από το (α η νόρμα είναι ασθενώς κάτω ημισυνεχής = limif, άρα δ ( πρβλ και την άσκηση (α. Έπεται ότι, δ δ δ. Άρα το σύνολο : D, δ είναι αριθμήσιμο και ασθενώς πυκνό στην S. Η κατεύθυνση (ιι (ι έπεται από το γεγονός ότι η S είναι ασθενώς πυκνό υποσύνολο της Β ( πρβλ. άσκηση (8. Για το (ι (ιιι παρατηρούμε ότι αν D είναι αριθμήσιμο και ασθενώς πυκνό υποσύνολο της Β τότε το L= D είναι αριθμήσιμο και ασθενώς πυκνό υποσύνολο του και έτσι ο είναι ασθενώς διαχωρίσιμος. Έστω D = L η γραμμική θήκη του L τότε το σύνολο S των γραμμικών συνδυασμών στοιχείων του L με ρητούς συντελεστές είναι orm πυκνό στο D, επομένως =
5 το D είναι orm διαχωρίσιμο. Επειδή το D είναι ασθενώς πυκνό κυρτό σύνολο ( ως γραμμικός υπόχωρος έπεται από τις συνέπειες του θεωρήματος Mazur ότι είναι και orm πυκνό στο. Η κατεύθυνση (ιιι (ι είναι συνέπεια του (β.] 7 Στον χώρο Hilbert L [,π ], θεωρούμε την ακολουθία ( Αποδείξτε ότι: (α f και (β g δεν τείνει στο, όπου Συγκρίνετε αυτά τα αποτελέσματα με το θεώρημα Mazur. ikt [ Περιγραφή της απόδειξης: Έστω ( [ π] και π, = m u, um = e dt =, m =,. it f t e = u t = e, t,, k Z. Τότε k π i( m t. Έτσι το σύνολο : u k g = f,. = k Z π είναι uk = π, k Z ορθοκανονικό. Από το θεώρημα Weierstrass ( ή Fejer το σύνολο { uk : k Z} υποσύνολο του χώρου Baach C( T, όπου Τ= { z C : z = }. Επειδή ο χώρος C( T είναι πυκνός στον χώρο Hilbert L[, π ] έπεται ότι το { u : k k Z} είναι ολικό στον L[, π ]. Επομένως μια φραγμένη ακολουθία ( f [, L π] ακριβώς όταν, για κάθε k Z. Η δοσμένη ( f είναι βέβαια f uk i t e it,, e είναι ολικό είναι ασθενώς μηδενική it φραγμένη αφού, ( f ( t = e t [ π, ( ( π f = f = και π π π =... = + + + = ( +... + f f dt u u u dt π u dt = π, χρησιμοποιώντας ότι το k : π Παρατηρούμε ότι αν k Z τότε για κάθε k, Άρα f. u u dt = k Z είναι ορθοκανονικό. f, u = k uk, u = π. Για το (β παρατηρούμε τα ακόλουθα: π g = f +... + f dt π f+... + f dt =. g (
6 Επίσης έχουμε: f... f ( f... f ( f... f ( f... f ( f... f + + = + + + + = + + + + = f + f f k k= k, λ k λ fk fk fλ fk fλ ( k= k< λ k< λ = + + ( u+... + u ( u +... + u k λ Αν k λ, τότε fk fλ = k λ = ( u... u ( u... u k λ kλ + + + +. Λαμβάνοντας υπόψη την καθετότητα των u, i u j με π συμπεραίνουμε ότι ( k i j λ π k λ k k u +... + u dt = π = π kλ kλ λ π k fk, fλ = fk fλdt =, άρα και fλ fkdt = fλ, fk = fk, fλ = π (3 λ Έπεται από τις (, ( και (3 ότι k k= π f+... + f dt = k f dt+ fk fλ : k < λ = π + π k < λ λ (4. π π 4 : k Θέτομε I = : k < λ, λ και παρατηρούμε ότι, I = + +... + + + +... + +... + + +. 3 3 4 Επομένως I = A+ B, όπου A= + +... + + + +... + 3 3 4 +... +... + + + + + και + +... + B... = + + + + +. + + 3 Αν k, τότε + +... + =. k+ k+ Κατά συνέπεια, I ( + ( + + +... + > A = = (5. 4 π Έπεται από τις (4 και (5 ότι g = f +... + f dt = ( 4π + 4π I π + π I = > I 4 4 > 4 ( + ( + =. 4 4
7 Έπεται ότι g δεν συγκλίνει στο και συνεπώς g δεν συγκλίνει στο. Επειδή f, από το θεώρημα του Mazur υπάρχει ακολουθία κυρτών συνδυασμών μελών της ( f η οποία συγκλίνει orm στο. Από το (β όμως συμπεραίνουμε ότι η ακολουθία ( g των μέσων όρων της ( f δεν έχει αυτή την ιδιότητα. 8 Έστω, Y χώροι Baach και T : Y φραγμένος γραμμικός τελεστής. Αποδείξτε ότι: (α Ο συζυγής τελεστής T : Y του T είναι συνεχής και για τις ασθενείς τοπολογίες των Y και. (β Αν ο T είναι ισομορφισμός μεταξύ των και Y τότε και ο μεταξύ των και Y. P : : P f = f, είναι συζυγής τελεστής. (γ Η προβολή ( T είναι ισομορφισμός [ Υπόδειξη Για το (γ. Η P είναι η προβολή Dimier ( πρβλ. την άσκηση (6 της παραγράφου (. Δείξτε ότι P 9 Έστω (, = ϕ, όπου ϕ : η κανονική εμφύτευση του στον χώρος με νόρμα. Αποδείξτε ότι η ]. (α Η νόρμα του είναι ασθενώς κάτω ημισυνεχής. (β Αν ( i i είναι φραγμένο δίκτυο στον και i I lim if. Έστω χώρος με νόρμα. Αποδείξτε ότι: ώστε i τότε (α Κάθε μη κενό ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του είναι προσεγγίσιμο. Ιδιαίτερα κάθε αυτοπαθής υπόχωρος του είναι προσεγγίσιμος. (β Κάθε μη κενό ασθενώς συμπαγές υποσύνολο του είναι προσεγγίσιμο. (γ Αν Y είναι κλειστός υπόχωρος του και π : / Y η κανονική απεικόνιση τότε, ο Y είναι προσεγγίσιμος αν και μόνο αν ισχύει ότι, π Β =Β / Y.