ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας
Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή της μεθόδου μετακινήσεων, όπου αντί της κατάστρωσης και επίλυσης του συστήματος των εξισώσεων ισορροπίας, εφαρμόζεται μία επαναληπτική διαδικασία με την οποία βρίσκονται τελικά μετά από διαδοχικά βήματα τα πραγματικά μεγέθη έντασης (ροπές) του φορέα και εξασφαλίζεται η ισορροπία.
Περιγραφή της μεθόδου Cross Οι φορείς θεωρούνται ότι δομούνται από απλές δοκούς και: κατ αρχήν παγιώνονται όλοι οι κόμβοι και υπολογίζονται οι αρχικές ροπές πάκτωσης στα άκρα των δοκών. Σε κάθε κόμβο εμφανίζεται μία συνισταμένη ροπή που οφείλεται στην παγίωση, ενώ η ισορροπία του κόμβου στον αρχικό φορέα απαιτεί αυτή να ισούται με μηδέν. Στη συνέχεια αίρεται η παγίωση σε έναν από τους κόμβους κατανέμεται η συνισταμένη αρχική ροπή του στα άκρα των δοκών που συμβάλλουν σ αυτόν ανάλογα με τη δυσκαμψία της κάθε δοκού μεταβιβάζεται ένα ποσοστό της συνισταμένης ροπής στα απέναντι του κόμβου άκρα των δοκών και ο κόμβος ξαναπαγιώνεται. Επαναλαμβάνεται η διαδικασία στους υπόλοιπους κόμβους και συνεχίζεται μέχρι η προς κατανομή ροπή κάθε κόμβου να γίνει αμελητέα.
Δείκτης ακαμψίας δοκού κατά Cross Στη μέθοδο Cross οι δείκτες ακαμψίας k ορίζονται ως η ροπή που πρέπει να εφαρμοσθεί στο άκρο i της δοκού, που στρέφεται ελεύθερα, για να στραφεί αυτό κατά μοναδιαία γωνία. Αμφίπακτη δοκός ή μεσαία δοκός Μονόπακτη δοκός ή ακραία δοκός Δοκός με κινητή πάκτωση
Συντελεστής κατανομής ροπών Ο κόμβος 1 του μονοκόμβιου πλαισίου υπό την επίδραση της εξωτερικής ροπής Μ 1 στρέφεται κατά γωνία φ 1. Όλες οι δοκοί που συμβάλλουν στον κόμβο στρέφονται κατά φ 1 και η ροπή Μ 1 παραλαμβάνεται από την κάθε δοκό ανάλογα με το δείκτη ακαμψίας της. Συντελεστής κατανομής ροπής: k 1i μ 1i = ----- Σk 1n (ποσοστό της ροπής που παραλαμβάνει η δοκός 1). Ακαμψία του κόμβου 1: k 1 = Σk 1n Συντελεστής κατανομής κόμβου πάκτωσης μ = 0 (k = ) Συντελεστής κατανομής κόμβου άρθρωσης μ = 1 (k = 0)
Συντελεστής μεταβίβασης δοκού Λόγω της καταναγκασμένης στροφής φ i του άκρου i δοκού από τη ροπή Μ in, αναπτύσσεται στο άλλο άκρο η ροπή Μ ni. Μεταξύ των ροπών Μ in και Μ ni ισχύει η σχέση: Μ ni = γ. Μ in όπου γ = Μ ni /Μ in = σταθερά (συντελεστής μεταβίβασης ροπής). Η τιμή της σταθεράς γ εξαρτάται από το είδος στήριξης της δοκού. Οι τιμές της γ για τα τρία είδη δοκών δίνονται στο σχήμα των δεικτών ακαμψίας. Οι πακτώσεις δεν μεταβιβάζουν ροπή (μ = 0). Οι ακραίες αρθρώσεις δεν αναλαμβάνουν ροπή (γ = 0). Αν η απέναντι στήριξη είναι πάκτωση, τότε (γ = 0,5).
Πρόσημα της μεθόδου Cross Τα πρόσημα της μεθόδου Cross συμπίπτουν με τα πρόσημα της μεθόδου μετακινήσεων. Κόμβος i Δοκός in Θετική ροπή σημαίνει ότι ενεργεί δεξιόστροφα στον κόμβο. Οι αρχικές ροπές είναι θετικές στη δεξιά πλευρά των κόμβων. Τα πρόσημα Cross στη βιβλιογραφία δεν είναι ίδια, αλλά η ουσία της μεθόδου δεν αλλάζει. Για τη σχεδίαση των διαγραμμάτων Μ με προσήμανση κατά την κλασική Στατική, τα πρόσημα κατά Cross και τα πρόσημα με βάση την ίνα αναφοράς συμπίπτουν μόνο στην αριστερή πλευρά των κόμβων.
Παράδειγμα της μεθόδου Cross
Προετοιμασία της μεθόδου Παγιώνονται οι κόμβοι 1 και 2 και υπολογίζονται οι συντελεστές κ in, μ in καθώς και οι αρχικές ροπές πάκτωσης Μ in,0 των αμφίπακτων δοκών (Α-1), (1-2) και της μονόπακτης δοκού (2-3) Σε κάθε κόμβο ενεργεί τώρα μια συνισταμένη αρχική ροπή παγίωσης, η οποία ισούται με το άθροισμα των αρχικών ροπών πάκτωσης των άκρων των δοκών που συμβάλλουν στον κόμβο.
Διαδικασία υπολογισμού (α) Ο παγιωμένος φορέας υποβάλλεται σε μία σειρά από επαναλαμβανόμενες μεταβολές (υπολογιστικά βήματα) με στόχο να αποκτήσει την αρχική κινηματική και στατική του κατάσταση. 1 ο υπολογιστικό βήμα: - Χαλαρώνεται η παγίωση του κόμβου 1, οπότε αυτός στρέφεται στη νέα θέση ισορροπίας του και λόγω της στροφής αυτής αναπτύσσει ροπή ίση και αντίθετη με τη συνισταμένη αρχική ροπή παγίωσής του. Η ροπή Μ 1,0 παραλαμβάνεται από τα άκρα των δοκών που συμβάλλουν στον κόμβο 1 κατά ποσοστά ανάλογα των δεικτών δυσκαμψίας τους, οι ροπές κατανομής: κατανομής που προκύπτουν είναι: Στα απέναντι του κόμβου 1 άκρα των δοκών αναπτύσσονται συγχρόνως οι ροπές μεταβίβασης:
Διαδικασία υπολογισμού (β) Στη θέση αυτή ο κόμβος 1 ξαναπαγιώνεται. - Χαλαρώνεται η παγίωση του κόμβου 2 και υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο οι ροπές κατανομής και μεταβίβασης. Όμως, η ροπή παγίωσης του κόμβου 2 περιλαμβάνει και τη ροπή μεταβίβασης που δέχθηκε αυτός από τη χαλάρωση του κόμβου 1. Συνεπώς είναι:
Διαδικασία υπολογισμού (γ) Στη θέση αυτή ο κόμβος 2 ξαναπαγιώνεται. 2 ο υπολογιστικό βήμα: Περιλαμβάνει την ίδια εργασία με το 1 ο βήμα. Στο σχήμα του φορέα παρατηρούμε ότι οι αρχικές ροπές πάκτωσης που πρέπει να κατανεμηθούν στα άκρα των δοκών μειώθηκαν σημαντικά και από Μ 1,0 = -47,5 και Μ 2,0 + Μ μ 21 = - 53,473 που ήταν στο 1 ο βήμα έγιναν +16,149 και -3,73 αντίστοιχα στο 2 ο βήμα. Με τον ίδιο τρόπο εκτελείται το 3 ο το 4 ο και το 5 ο βήμα, όπως φαίνονται στο αρχικό σχήμα. Οι σχεδόν μηδενικές τιμές των ροπών παγίωσης στο 5 ο βήμα δηλώνουν ότι ο φορέας ισορροπεί στην κατάσταση αυτή χωρίς παγιώσεις, άρα ταυτίζεται με την αρχική του στατική και κινηματική κατάσταση. Οι τελικές ροπές στα άκρα των δοκών βρίσκονται από την άθροιση όλων των τιμών των αντίστοιχων στηλών του πίνακα. Οι συνθήκες ΣΜ 1 =0 και ΣΜ 2 =0 των κόμβων 1 και 2 επαληθεύονται στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο.
Παρατηρήσεις (α) Η διαδικασία χαλάρωσης των παγιώσεων των κόμβων μπορεί να αρχίσει από οποιοδήποτε κόμβο. Συνήθως προτιμάται ο κόμβος με τη μεγαλύτερη αρχική ροπή παγίωσης. Σε κάθε κόμβο i του φορέα οι τελικές ροπές M n των δοκών που συμβάλλουν σ αυτόν πρέπει να πληρούν τη σχέση ΣΜ=0. Για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, όχι όμως και ικανή. Αντί σε κάθε βήμα οι κόμβοι να χαλαρώνονται διαδοχικά από τον πρώτο μέχρι τον τελευταίο, είναι δυνατό να χαλαρώνονται ταυτόχρονα όλοι μαζί και να υπολογίζονται συγχρόνως οι ροπές κατανομής και μεταβίβασης. Και στην περίπτωση αυτή οι ροπές παγίωσης ενός βήματος μετά το πρώτο, είναι οι ροπές μεταβίβασης του προηγούμενου βήματος. Στο επόμενο σχήμα επιλύθηκε με αυτό τον τρόπο το ίδιο παράδειγμα και χρειάσθηκε να γίνουν οκτώ βήματα.
Παρατηρήσεις (β) Οι συντελεστές κατανομής του πακτωμένου άκρου Α είναι μηδέν γιατί αυτό δεν στρέφεται. Είναι δυνατόν εκτός από τους κόμβους 1 και 2 και ο κόμβος 3 να παγιωθεί. Έτσι η δοκός (2-3) γίνεται αμφίπακτη και ως τέτοια λαμβάνεται στους υπολογισμούς. Επειδή τώρα γ=0,5, στο άκρο Β υπάρχουν ροπές μεταβίβασης, οι οποίες στο τέλος αθροιζόμενες δίνουν άθροισμα μηδέν. Αυτός ο τρόπος έχει περισσότερους υπολογισμούς. Για τη διευκόλυνση της πορείας εργασίας, οι ροπές κατανομής υπογραμμίζονται και τα υπολογιστικά βήματα σημειώνονται στην πρώτη στήλη του πίνακα. Όταν στο άκρο συνεχούς δοκού υπάρχει πρόβολος, αυτός αντικαθίσταται από τη ροπή που προκαλεί στη γειτονική του στήριξη.
Παρατηρήσεις (γ) Όταν ακραία στήριξη είναι άρθρωση, αυτή δεν μεταβιβάζει ροπή. Η τελική ροπή εκεί είναι πάντοτε μηδέν. Οι ακραίες πακτώσεις δεν μεταβιβάζουν ροπή σε εσωτερικές στηρίξεις, επειδή αυτές δεν περιστρέφονται. Αντίθετα, οι εσωτερικές στηρίξεις μεταβιβάζουν ροπές σε αυτές. Μετά από κάθε μεταβίβαση ροπών, οι ροπές κάθε κόμβου βρίσκονται σε ισορροπία. Η επαναληπτική διαδικασία κατανομής των ροπών μπορεί να θεωρηθεί ολοκληρωμένη όταν η μεγαλύτερη προς εξισορρόπηση ροπή είναι περίπου το 1% της μεγαλύτερης αρχικής ροπής. Πάντα τελειώνουμε σε ακραία πάκτωση με μεταβίβαση ροπής. Πάντα τελειώνουμε σε εσωτερική στήριξη με εξισορρόπηση.
Παρατηρήσεις (δ) Όταν κατανέμεται ροπή αλλάζει πρόσημο για ισορροπία του κόμβου. Όταν μεταβιβάζεται ροπή διατηρεί το πρόσημό της. Η μέθοδος Cross εφαρμόζεται με τον ίδιο τρόπο για πλαίσια με αμετάθετους και μεταθετούς κόμβους. Τα πλαίσια με αμετάθετους κόμβους είναι: συμμετρικά με συμμετρική φόρτιση πλαίσια με ζυγώματα που έχουν σταθεροποιηθεί με οριζόντιες δεσμικές ράβδους ή φορείς από οπλισμένο σκυρόδεμα. Τα πλαίσια με μεταθετούς κόμβους λύνονται σε δύο στάδια: Στο 1 ο στάδιο θεωρείται ότι οι κόμβοι δεν μετατοπίζονται εισάγοντας μία υποθετική στήριξη. Στο 2 ο στάδιο αφαιρείται η υποθετική στήριξη, εμφανίζεται η «δύναμη παγίωσης» και λύνεται το πλαίσιο για μοναδιαία μετατόπιση.
Επίλυση με ταυτόχρονη χαλάρωση κόμβων
Ροπές πάκτωσης για τη μέθοδο Cross
Σχεδίαση των διαγραμμάτων M, Q Για τη σχεδίαση του διαγράμματος των ροπών χρησιμοποιούνται οι τιμές των αρχικών ροπών και η αρχή της επαλληλίας. Οι τιμές του διαγράμματος των τεμνουσών δυνάμεων υπολογίζονται από το διάγραμμα των ροπών και το φορτίο για κάθε δοκό in. Π.χ. για δοκό ΑΒ με σταθερό φορτίο q και άνοιγμα l: Μ B Μ A q l Μ B Μ A q l Q A δ = ---------- + ---, Q B αρ = ---------- - --- l 2 l 2
Ροπές & Συντελεστές μεθόδου Cross Αρχικές ροπές πάκτωσης, Α, Μ in,α και Μ ni,α, λόγω των φορτίων της δοκού. Υπολογίζονται από πίνακες. Συνολική, προς εξισορρόπηση, ροπή-αντίδραση του κόμβου = αλγεβρικό άθροισμα αρχικών ροπών των μελών του κόμβου. Ροπές κατανομής, Κ = μ in. Μ i,α. (Στέλνονται από τον κόμβο) Ροπές μεταβίβασης, Β = γ in. Κ. (Δέχονται τα απέναντι άκρα) Τελική ροπή, Τ i = Α+Κ, στο άκρο i κάθε στοιχείου Τελική ροπή, Τ n = Α+Β, στο άκρο n κάθε στοιχείου. k i = Σk in = Συντελεστής (δείκτης) ακαμψίας κόμβου μ 1i = k 1i / Σk 1n = Συντελεστής κατανομής ροπής γ = Μ ni /Μ in = Συντελεστής μεταβίβασης ροπής.
Πρακτικά βήματα μεθόδου Cross Σχεδίαση του σκαριφήματος της δοκού. Γραμμές του πίνακα: 1 η : Γράψιμο των ροπών αδράνειας, Ι, των ανοιγμάτων 2 η : Γράψιμο των μηκών, l, των ανοιγμάτων 3 η : Υπολογισμός δεικτών ακαμψίας, k, των ανοιγμάτων (τύποι) 4 η : Συντελεστές κατανομής, μ = k/σk, στα άκρα των δοκών 5 η : Αρχικές ροπές πάκτωσης, παγιώνοντας κόμβους και χρησιμοποιώντας πίνακες ροπών πάκτωσης (Πίνακας ΙV) 6 η : Ροπή προς εξισορρόπηση του κόμβου (άθροισμα ροπών) 7 η : Ροπές κατανομής κόμβου που χαλαρώνεται 8 η : Ροπές μεταβίβασης στους γειτονικούς κόμβους 9 η : Τελικές ροπές στα άκρα των στοιχείων (άθροισμα στήλης). Επαναληπτική διαδικασία: Ισορροπία-Κατανομή-Μεταβίβαση (Παραλλαγές της μεθόδου. Εξάσκηση για αφομοίωση)
Επίλυση συνεχών συμμετρικών δοκών με τη μέθοδο Cross Συμμετρικοί δοκοί με συμμετρική φόρτιση: Αν στον άξονα συμμετρίας υπάρχει στήριξη, υπολογίζεται ο μισός φορέας και η στήριξη αυτή θεωρείται πάκτωση. Αν ο άξονας συμμετρίας τέμνει ράβδο, επιλύεται ο μισός φορέας, υπολογίζοντας τον δείκτη ακαμψίας της ράβδου που τέμνεται στο μισό της τιμής του. Συμμετρικοί είναι οι δοκοί που έχουν: - γεωμετρική συμμετρία και - συμμετρία ως προς τις στηρίξεις και - μηχανική συμμετρία (οι συμμετρικές ράβδοι έχουν την ίδια ροπή αδράνειας).