ΠΕΡΙΦΡΑΦΗ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕΣΩ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΩΡΟΥ-ΧΡΟΝΟΥ

ΠΕΡΙΦΡΑΦΗ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΗΣ ΡΟΗΣ ΜΕΣΩ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΩΡΟΥ-ΧΡΟΝΟΥ Καμαριανάκης Ιωάννης*, Πραστάκος Πουλίκος Ίδρυμα Τεχνολογίας και Έρευνας, Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών, Τομέας Περιφερειακής Ανάλυσης, Ηράκλειο Κρήτης Τηλ: 0810 391771, Fax: 0810 391761, e-mal : kamaran@acm.forh.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έρευνα για την αναζήτηση ευσταθών μεθόδων πρόγνωσης της κυκλοφοριακής ροής, ξεκίνησε στις αρχές της δεκαετίας του 80. Στη βιβλιογραφία απαντάται ένα πλήθος επαγωγικών μεθόδων βασισμένων κατά πρώτο λόγο στα πραγματικά δεδομένα και όχι σε θεωρίες ροής. Στην πλειοψηφία τους αποτελούνται από στατιστικά μοντέλα (π.χ. μη παραμετρική παλινδρόμηση ή παλινδρόμηση με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές), μοντέλα χρονολογικών σειρών και νευρωνικά δίκτυα. Επίσης, οι μέχρι πρόσφατα προτεινόμενες τεχνικές ήταν μονομεταβλητές (για την πρόβλεψη της μελλοντικής κατάστασης ενός σημείου του οδικού δικτύου χρησιμοποιούνταν ιστορικά δεδομένα μόνο από το συγκεκριμένο σημείο) και εφαρμόζονταν σε δρόμους ταχείας κυκλοφορίας. Στη μελέτη που ακολουθεί παρουσιάζονται τα δυναμικά γραμμικά μοντέλα (dynamc lnear models/sae-space models) και τα μοντέλα χώρου-χρόνου (space-me models) τα οποία μπορούν να εφαρμοσθούν στις πολυμεταβλητές χρονοσειρές που προκύπτουν από τις ταυτόχρονες μετρήσεις κυκλοφοριακού φόρτου σε πολλά σημεία ενός οδικού δικτύου. Στα πρώτα η κατανομή των σημείων μέτρησης στο χώρο δεν λαμβάνεται υπ όψη ενώ στα δεύτερα συμβαίνει το αντίθετο. Μοντέλα χώρου-χρόνου τα οποία απ ότι γνωρίζουμε δεν έχουν χρησιμοποιηθεί μέχρι τώρα για τέτοιες εφαρμογές, ενδείκνυνται στις περιπτώσεις που η συσχέτιση του κυκλοφοριακού φόρτου μεταξύ δύο σημείων μέτρησης στο οδικό δίκτυο είναι ανάλογη της απόστασής τους. Οι παραπάνω τεχνικές εφαρμόζονται συγκριτικά σε δεδομένα που πάρθηκαν κατά τη διάρκεια ενός μήνα από 15 σημεία μέτρησης σε μεγάλους δρόμους της Αθήνας. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Πολυμεταβλητές χρονολογικές σειρές, πρόβλεψη κυκλοφοριακού φόρτου, δυναμικά γραμμικά μοντέλα, μοντέλα χώρου-χρόνου 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ H κυκλοφοριακή συμφόρηση στα αστικά κέντρα καθιστά επιτακτική την ανάγκη για συστήματα παρακολούθησης, πρόβλεψης και ελέγχου της ροής της κίνησης. Σε πολλές σύγχρονες μεγαλουπόλεις η κίνηση καταγράφεται μέσω ανιχνευτών βρόχων (loop deecors), βίντεο, ραντάρ, και οχημάτων εφοδιασμένων με GPS, ενώ από το ξεκίνημα της δεκαετίας του 70 άρχισαν να εμφανίζονται στη διεθνή βιβλιογραφία μαθηματικά πρότυπα για την κυκλοφοριακή ροή με σκοπό την βελτιστοποίηση της λήψης αποφάσεων σχετικών με οδικά δίκτυα. Οι πιο εδραιωμένες θεωρίες σήμερα είναι μοντέλα κινηματικής βασισμένα σε διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους οι οποίες περιγράφουν κύματα κυκλοφοριακής πυκνότητας και

αποτελούν τροποποιήσεις μοντέλων που περιγράφουν φυσικές ροές (L & Zhang, 2001, Kosalos & Papageorgou, 2001 και Papageorgou, 1998) και ντετερμινιστικά μοντέλα που χρησιμοποιούν μη-γραμμικές εξισώσεις για την εκτίμηση της τροχιάς των αυτοκινήτων Zlaskopoulos & Peea (2002). Για την βραχεία πρόγνωση του κυκλοφοριακού φόρτου έχουν επικρατήσει τεχνικές καθαρά επαγωγικές οι οποίες βασίζονται κατά πρώτο λόγο στα ιστορικά δεδομένα. Μερικές από τις πιο συχνά εμφανιζόμενες στη βιβλιογραφία είναι η μη παραμετρική παλινδρόμηση (Davs & Nhan, 1991), παλινδρόμηση με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές (Rce & van Zwe, 2001), Kalman flerng, (Whaker, 1997) και τα νευρωνικά δίκτυα (van Ln & Hoogendoorn, 2002). Η χρησιμοποίηση μοντέλων χρονολογικών σειρών ήταν φυσικό επακόλουθο, μιας και στην οικονομετρία όπου χρησιμοποιούνται κατά κόρον, οι ανάγκες ακρίβειας στις προβλέψεις σε σχέση με το πλήθος των διαθέσιμων δεδομένων είναι πολύ μεγαλύτερες σε σύγκριση με τα προβλήματα πρόβλεψης του κυκλοφοριακού φόρτου. Αρχικά χρησιμοποιήθηκαν μοντέλα μιας μεταβλητής τύπου ARIMA στα οποία για την πρόβλεψη της μελλοντικής κατάστασης ενός σημείου του οδικού δικτύου χρησιμοποιούνται ιστορικά δεδομένα μόνο από το συγκεκριμένο σημείο, (Wllams Durvasula & Brown, 1997, Lee & Fambro, 1999), ενώ πιο πρόσφατα παρουσιάσθηκαν μοντέλα πολλών μεταβλητών όπου για την πρόβλεψη της μελλοντικής κατάστασης ενός σημείου του οδικού δικτύου χρησιμοποιείται και η χρήσιμη πληροφορία που περιέχεται στα υπόλοιπα υπό μελέτη σημεία μέτρησης χωρίς όμως να λαμβάνεται υπόψη η θέση τους, (Wllams, 2001, Sahopoulos & Karlafs, 2002). Στα πλεονεκτήματα των μεθόδων πολυμεταβλητών χρονολογικών σειρών, πέρα από την ανταγωνιστική τους προγνωστική ακρίβεια συγκαταλέγεται η ευκολία και η συντομία στην εφαρμογή τους μέσω εξειδικευμένου λογισμικού (π.χ. SAS ή MATLAB) και η δυνατότητα άμεσης προβολής μέσω διαδικτύου διαρκώς ανανεούμενων προβλέψεων για σχετικά μικρά χρονικά διαστήματα. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας παρουσιάζονται συνοπτικά τα μοντέλα τύπου saespace και space-me - για περαιτέρω ανάλυση υπάρχουν βιβλιογραφικές αναφορές. Τα πρώτα συνδέονται άμεσα με την οικονομετρία ενώ τα μοντέλα χώρου χρόνου (τα οποία μπορούν να διατυπωθούν με πληθώρα τρόπων) πρωτοεμφανίστηκαν για την περιγραφή περιβαλλοντολογικών δεδομένων και σήμερα έχουν ευρύ πεδίο εφαρμογώνενδείκνυνται δε στις περιπτώσεις που η συσχέτιση του κυκλοφοριακού φόρτου μεταξύ δύο σημείων μέτρησης στο οδικό δίκτυο είναι ανάλογη της απόστασής τους (όταν π.χ. στην πιο απλή περίπτωση τα υπό μελέτη σημεία βρίσκονται πάνω στον ίδιο δρόμο όπως στους Wllams (2001), Sahopoulos & Karlafs (2002)). Στη συνέχεια παρατίθεται η εφαρμογή τους σε δεδομένα που συγκεντρώθηκαν τον Αύγουστο 2001 σε δεκαπέντε σημαντικά σημεία του οδικού δικτύου της Αθήνας. Καθ όσον γνωρίζουμε αυτή η μελέτη είναι από τις μεγαλύτερες σε ότι αφορά τα πλήθος των υπό μέτρηση σημείων και το χρονικό μήκος των δεδομένων. Στο τέταρτο και τελευταίο μέρος της εργασίας, ο αναγνώστης μπορεί να δει τα συμπεράσματα της εφαρμογής.

2. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2.1 Δυναμικά Γραμμικά Μοντέλα (Dynamc Lnear Models / Sae-Space models) Τα δυναμικά γραμμικά μοντέλα είναι μια πολύ πλούσια κλάση μοντέλων για χρονολογικές σειρές, η οποία περιέχει και τα κλασικά μονομεταβλητά μοντέλα τύπου ARIMA (βλέπε Box & Jenkns 1994). Ένα δυναμικό γραμμικό μοντέλο για μια (πιθανώς πολυμεταβλητή) χρονοσειρά αποτελείται από τις εξισώσεις μέτρησης και μετάβασης. Παρόλο που υπάρχουν πιο γενικές διατυπώσεις των δυναμικών γραμμικών μοντέλων, η παρακάτω τους εκδοχή αρκεί για τους σκοπούς μας. Υποθέτοντας κανονικότητα για τα σφάλματα, οι εξισώσεις μέτρησης και μετάβασης του δυναμικού γραμμικού μοντέλου έχουν την παρακάτω μορφή: Y a = α + ε, ε ~ N( 0,Σ) (2.1) = T a + η, η ~ N(0, Q) (2.2) Z 1 όπου το Y είναι ένα n 1 διάνυσμα παρατηρήσεων, το α είναι ένα διάνυσμα «κατάστασης» με διάσταση p 1, με Z συμβολίζουμε έναν n p πίνακα μετρήσεων, με T έναν p p πίνακα μετάβασης και ε, η είναι κανονικές διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές με διάσταση n 1και p 1 αντίστοιχα, μέση τιμή 0 και αμετάβλητους στο χρόνο πίνακες συνδιακύμανσης Σ και Q. Συμβολίζουμε με α = E[ α Y ] «κατάστασης» 1 [ Y ] ˆ τον βέλτιστο αμερόληπτο εκτιμητή του διανύσματος α χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι το χρόνο και ομοίως με α ˆ 1 = E α τον βέλτιστο εκτιμητή του α που βασίζεται στην πληροφορία μέχρι τον χρόνο -1. Επιπλέον, με και P ( αˆ )( ) α αˆ α E = P E ( )( ) = T P T + Q / 1 = α ˆ / 1 α αˆ / 1 α 1 συμβολίζουμε τους αντίστοιχους πίνακες συνδιακύμανσης, ενώ το σφάλμα στην πρόβλεψη που αντιστοιχεί στην αμέσως επόμενη χρονική στιγμή γράφεται ως I = y Zα ˆ / 1 με πίνακα συνδιακύμανσης F = Z P / 1Z + Σ. (2.3) Με δοθείσες αρχικές τιμές για τα α 0, P 0, Σ, Q διαδοχικές εκτιμήσεις για τα α, P, α / 1, P / 1, = 1,..., T, δίνονται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας που έχει την ακόλουθη μορφή (Brockwell & Davs 1991): α ˆ (2.4) / 1 = Tαˆ 1

Στην πράξη, τα P / 1 = T P 1T + Q (2.5) 1 ( Z P Z + Σ) ( Y Zα ) α ˆ (2.6) = αˆ / 1 + P / 1Z / 1 ˆ / 1 1 = P / 1 P / 1Z F Z P / 1 P (2.7) α, P 0,, Q είναι άγνωστα και πρέπει να εκτιμηθούν. Η συνήθης 0 Σ πρακτική είναι η εκτίμηση «καλών» αρχικών τιμών για το α 0 μέσω των τελευταίων χρονικά παρατηρήσεων και η εξίσωση του P 0 με το 0. Τα Σ και Q, «στοιβαγμένα» στο r 1 διάνυσμα θ εκτιμούνται με μεγιστοποίηση της πιθανοφάνειας η οποία μπορεί να παρασταθεί με την παρακάτω μορφή: L ( Y,..., Y ; θ ) = L( Y Y ) L( Y Y ) L( Y Y ) T 1 T T 1 T 1 T 2... και μέσω της υπόθεσης για κανονικότητα, Y Y N( Z, F ) l 1 ~ / 1 α!, οπότε T 1 T 1 ( Y,..., Y ; ) = ln(2π ) { F + e F e } T 1 θ ln. (2.8) 2 2 = 1 2 1 2.2 Μοντέλα χώρου-χρόνου (Space-Tme models) Ένα μοντέλο πολυμεταβλητών χρονολογικών σειρών δύναται να βελτιωθεί περαιτέρω εφόσον η υπό προσομοίωση διαδικασία παρουσιάζει συστηματική εξάρτηση μεταξύ των παρατηρήσεων κάθε περιοχής και των γειτονικών της πρόκειται για το φαινόμενο της χωρικής συσχέτισης με το οποίο πρώτοι ασχολήθηκαν οι Clff & Ord (1973). Τα μοντέλα που έχουν ως στόχο την αναλυτική επεξήγηση των συσχετίσεων στο χώρο και το χρόνο αναφέρονται ως μοντέλα χώρου χρόνου. Στη βιβλιογραφία έχουν εμφανιστεί πολλές διατυπώσεις ανάλογα με τη μορφή των δεδομένων και το σκοπό της εφαρμογής. Σ αυτή την εργασία προτιμήθηκε η οπτική των Pfefer & Deusch (1980) (μοντέλα χώρου-χρόνου αυτοπαλιδρομικά και κινούμενου μέσου όρου Space-Tme Auoregressve Movng Average / STARMA models) η οποία έχει το πλεονέκτημα των όχι υπερβολικών απαιτήσεων σε υπολογιστική ισχύ και μπορεί να εφαρμοσθεί μέσω σχετικά απλών μετατροπών σε διανυσματικά αυτοπαλινδρομικά μοντέλα, βλέπε Gacomn & Granger (2001). Τα μοντέλα τύπου STARMA χαρακτηρίζονται από γραμμική εξάρτηση με υστέρηση στο χώρο και το χρόνο. Έστω ότι παρατηρήσεις z () της τυχαίας μεταβλητής Z () είναι διαθέσιμες για κάθε μια από τις Ν τοποθεσίες στο χώρο ( = 1,...N ) κατά τη διάρκεια Τ χρονικών περιόδων. Η αυτοπαλινδρομική μορφή του μοντέλου χώρουχρόνου εκφράζει τις παρατηρήσεις στο χρόνο στο σημείο του χώρου, z (), ως γραμμικό συνδυασμό παρελθοντικών παρατηρήσεων στο σημείο και σε γειτονικά σε αυτό σημεία. Αν για κάθε σημείο του χώρου ισχύει η ίδια σχέση, η διαδικασία λέγεται ότι παρουσιάζει χωρική στασιμότητα οπότε και είναι επιδεκτική σε τέτοιου είδους μοντέλα χώρου χρόνου.

(l) Συμβολίζουμε με L, τον τελεστή χωρικής υστέρησης χωρικού βαθμού l ο οποίος είναι τέτοιος ώστε να ισχύει όπου τα L L (0) z ( ) = z z ( ) = N j= 1 ( ) w j z ( ) (l) w j είναι ένα σύνολο «βαρών» για τα οποία ισχύει j N w j j= 1 = 1 (l) για όλα τα και τα w j είναι μη μηδενικά μόνο στην περίπτωση που τα σημεία μετρήσεων και j είναι «γείτονες βαθμού l». Τα «βάρη» δύναται να παρασταθούν με (l) τη μορφή του N N πίνακα W του οποίου κάθε γραμμή αθροίζεται στο 1. Για το N 1 διάνυσμα στήλη z () που περιέχει τις παρατηρήσεις z ( ), = 1,..., N, ισχύει και L L (0) z( ) = W (0) z( ) = Ι N z( ) z( ) = W z( ) για l>0. Ο καθορισμός των (l) w j πρέπει να γίνει με τρόπο τέτοιο ώστε να αντανακλάται η (l) διαμόρφωση του οδικού δικτύου. Μέσω των «βαρών» w j μπορούν να αποτυπωθούν οι αποστάσεις των σημείων μέτρησης και j, φυσικά εμπόδια ή η εν γένει δυνατότητα πρόσβασης στο σημείο j του οδικού δικτύου από το. Επίσης, θα πρέπει να υπάρχει μια ιεραρχική διάταξη στα «βάρη». Οι «γείτονες πρώτου βαθμού» είναι αυτοί που βρίσκονται «κοντύτερα» στο σημείο αναφοράς, οι δευτέρου βαθμού βρίσκονται «μακρύτερα» κ.ο.κ (βλέπε σχήμα 1). 2 2 1 2 2 1 0 1 2 2 1 2 2 Σχήμα 1. Γείτονες πρώτου και δεύτερου βαθμού για το σημείο 0. Όπως και στα μοντέλα χρονολογικών σειρών μιας μεταβλητής, κάθε z () θα εκφρασθεί ως συνάρτηση παρελθοντικών παρατηρήσεων και σφαλμάτων. Εδώ ωστόσο, επιτρέπεται να εκφρασθεί η εξάρτηση με γειτονικά (διαφόρων βαθμών χωρικής γειτνίασης) σημεία. Πιο συγκεκριμένα, το μοντέλο παίρνει την παρακάτω μορφή z ( ) = p λk q mk kl L z ( k) k= 1l= 0 k= 1l= 0 θ ( k) φ L ε + ε ( ) (2.9) kl

όπου p είναι ο βαθμός αυτοπαλινδρόμησης, q είναι ο βαθμός κινούμενου μέσου όρου, λk είναι ο χωρικός βαθμός του αυτοπαλινδρομικού όρου k, m k είναι ο χωρικός βαθμός του k-οστού όρου του κινούμενου μέσου όρου, τα φ kl και θ kl είναι παράμετροι, ενώ τα ε () είναι σφάλματα που ακολουθούν την κανονική κατανομή με E E [ ε ( ) ] = 0 2 [ ε ( ) ε ( + s) ] = σ Το ίδιο μοντέλο σε διανυσματική μορφή γράφεται z( ) j για =j, s=0 και 0 διαφορετικά. = p λk q mk klw z ( k) k= 1l= 0 k= 1l= 0 θ ( k) φ W ε + ε( ) (2.10) όπου τα ε () είναι κανονικές διανυσματικές τυχαίες μεταβλητές με μέση τιμή μηδέν και 2 E ε ( ) ε( + s) = σ Ι όταν s=0 και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. [ ] N Για να περιγράφει ένα μοντέλο STARMA μια στάσιμη διαδικασία, δηλαδή μια διαδικασία της οποίας οι δομές συσχέτισης δεν αλλάζουν με το χρόνο θα πρέπει για κάθε x u που λύνει την εξίσωση να ισχύει x < 1. u de x p u Ι p λk φ kl k= 1l= 0 W x p k u = 0 kl 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.1 Τα δεδομένα Η περιοχή των Αθηνών έχει έκταση 60 τετραγωνικών χιλιομέτρων και 3.8 εκατομμύρια κατοίκους. Την τελευταία δεκαετία ο πληθυσμός είχε αύξηση της τάξης του 10% ενώ μεγάλη αύξηση υπήρξε και στον αριθμό των αυτοκινήτων που τώρα φτάνει τα 310 ανά 1000 κατοίκους. Επίσης κατά τους Sahopoulos & Karlafs (2002) παρατηρήθηκε αλλαγή στην αναλογία των πολιτών που χρησιμοποιούν αυτοκίνητο αντί για αστικές συγκοινωνίες (από 40:45 σε 54:32). Έτσι τα τελευταία χρόνια η μέση διάρκεια στις διαδρομές έχει αυξηθεί κατά 25%. Το σύνολο των καθημερινών μετακινήσεων ανέρχεται πλέον σε 5.5 εκατομμύρια Ανιχνευτές βρόχοι (loop deecors) οι οποίοι παρέχουν δεδομένα ροής (αριθμός αυτοκινήτων) και ποσοστά καταληψημότητας ανά 90 δευτερόλεπτα, είναι εγκατεστημένοι σε 88 σημεία του οδικού δικτύου της πόλης. Για τη συγκεκριμένη εφαρμογή επιλέχθηκαν δεδομένα τα οποία πάρθηκαν από το ΥΠ.Ε.ΧΩ.Δ.Ε. και αφορούν τις μετρήσεις σε 15 σημεία με κατεύθυνση προς κέντρο (βλέπε σχήμα 2) κατά

τη διάρκεια του Αυγούστου του 2001. Οι μετρήσεις αθροίστηκαν έτσι ώστε να αντιπροσωπεύουν δεκαπεντάλεπτα Πιο αναλυτικά τα 15 σημεία μέτρησης στα οποία εφαρμόσθηκαν τα μοντέλα είναι τα εξής: - Μεσογείων (ύψος Ηπείρου) - Μεσογείων (ΕΡΤ) - Μεσογείων (Παρίτση) - Κηφισίας (Εθν. Αντιστάσεως) - Κηφισίας (Καρέλλα) - Κηφισίας (28 ης Οκτωβρ.) - Κηφισίας (25 ης Μαρτίου) - Συγγρού (Φραντζή) - Πατησίων (Κύπρου) - Βασ. Σοφίας (Μεσογείων) - Μιχαλακοπούλου (Σινώπης) - Βεΐκου (Τραλλέων) - Λιοσίων (Σεπολίων) - Αλεξάνδρας (Τρικούπη) - Κατεχάκη (Αλίμου) Σχήμα 2. Σημεία του οδικού δικτύου των Αθηνών απ όπου λαμβάνονται τακτικές μετρήσεις κυκλοφοριακής ροής (με μπλε χρώμα απεικονίζονται τα σημεία στα οποία εφαρμόσθηκαν τα μοντέλα). Στο κάτω δεξί μέρος της εικόνας παρουσιάζονται οι δρόμοι αναφοράς στο σύνολο του οδικού δικτύου των Αθηνών. (Ψηφιακός χάρτης: INFOCHARTA Ε.Π.Ε.)

3.2 Εφαρμογή Μοντέλων Όπως φαίνεται στα γραφήματα 1 και 2 ο κυκλοφοριακός φόρτος παρουσιάζει περιοδικότητα ανά μέρα και ανά εβδομάδα (για μια λεπτομερή ανάλυση της περιοδικότητας του κυκλοφοριακού φόρτου της Αθήνας ο αναγνώστης παραπέμπεται στους Sahopoulos και Karlafs (2001)). Επίσης, οι παρατηρήσεις από διαδοχικά σημεία στο χώρο είναι έντονα συσχετισμένες μεταξύ τους (ενδεικτικά αναφέρουμε ότι ο δείκτης συσχέτισης του Pearson για τις μετρήσεις του γραφήματος 1 είχε μεγαλύτερη τιμή 0.66 ενώ για τις μετρήσεις του γραφήματος 2 είχε μικρότερη τιμή 0.975). Μετά από διαφόριση των δεδομένων (βαθμού 96 και 672) για απαλοιφή της περιοδικότητας, το διαγνωστικό στάδιο της διαδικασίας ARIMA του SAS στο οποίο ελέγχονται οι αυτοσυσχετίσεις (μερικές, αντίστροφες) δεν υπέδειξε μη στασιμότητα. Για επαλήθευση, εκτελέστηκε το τεστ των Dckey & Fuller μέσω κατάλληλων μακροεντολών στο SAS όπως στους Sahopoulos και Karlafs (2002) και παντού η μηδενική υπόθεση της μηστασιμότητας απορρίπτονταν. Το εκτιμητικό στάδιο της διαδικασίας ARIMA υπέδειξε μοντέλα βαθμού από ARMA(1,1) μέχρι ARMA(2,2) για τις 15 διαφορισμένες χρονοσειρές. Γράφημα 1. Απεικόνιση του κυκλοφοριακού φόρτου κατά τη διάρκεια του Αυγούστου του 2001 για 3 από τα 15 επιλεγμένα σημεία μέτρησης.

Γράφημα 2. Απεικόνιση του κυκλοφοριακού φόρτου κατά τη διάρκεια του Αυγούστου του 2001 για 3 διαδοχικά σημεία μέτρησης στην οδό Κηφισίας. Το δυναμικό γραμμικό μοντέλο για το σύνολο των δεδομένων εφαρμόσθηκε μέσω της διαδικασίας STATESPACE του SAS/ETS όπου ακολουθείται η μεθοδολογία που προτείνεται από τον Akake (1976) (βλέπε SAS/ETS User s Gude). Η διαδικασία κατ αρχάς εφαρμόζει μια σειρά (με αύξων αυτοπαλινδρομικό βαθμό) από διανυσματικά αυτοπαλινδρομικά μοντέλα και υπολογίζεται το κριτήριο καλής εφαρμογής του Akake. Η τάξη του διανυσματικού αυτοπαλινδρομικού μοντέλου που δίνει τον μικρότερο δείκτη Akake επιλέγεται ως βαθμός υστέρησης στο δυναμικό γραμμικό μοντέλο (στην συγκεκριμένη εφαρμογή η βέλτιστη τάξη του αυτοπαλινδρομικού μοντέλου ήταν 19). Στη συνέχεια τα στοιχεία του διανύσματος «κατάστασης» προσδιορίζονται μετά από ανάλυση τύπου canoncal correlaon. Οι ελεύθερες παράμετροι που απομένουν υπολογίζονται μέσω προσεγγιστικής μεγιστοποίησης της πιθανοφάνειας και οι προγνώσεις γίνονται μέσω της επαναληπτικής τεχνικής Kalman flerng. Σε αντίθεση με τους Sahopoulos και Karlafs (2002), το μοντέλο δεν υποβλήθηκε σε a-pror περιορισμούς. Οι προαναφερθέντες συγγραφείς χρησιμοποίησαν περιορισμούς έτσι ώστε το μοντέλο τους να λαμβάνει κάποια δεδομένα ως εισροές και κάποια άλλα ως εκροές στο οδικό δίκτυο, κάτι που ήταν απόλυτα συμβατό με τα δεδομένα που χρησιμοποίησαν. Στην εδώ εφαρμογή του δυναμικού γραμμικού μοντέλου έγιναν μόνο οι a-poseror περιορισμοί με σκοπό τη βελτιστοποίηση της ακρίβειας. Αξίζει πάντως να σημειωθεί ότι σε πολλές περιπτώσεις υπήρξε ταύτιση των a-poseror περιορισμών με τους δυνητικούς a-pror. A-pror περιορισμοί στο δυναμικό γραμμικό μοντέλο μπήκαν μέσω του μοντέλου χώρου-χρόνου όπου εκεί δεν ελήφθη υπ όψη μόνο η σειρά των ανιχνευτών πάνω στον ίδιο δρόμο αλλά και οι αποστάσεις τους (μέσω των σταθμισμένων βαρών που παρουσιάσθηκαν στην ενότητα 2.2). Οι εν λόγω περιορισμοί αποσκοπούν κυρίως στην μείωση της διάστασης του διανυσματικού αυτοπαλινδρομικού μοντέλου, άρα και στη μείωση του χρόνου εκτέλεσης των προγραμμάτων χωρίς να χάνεται σημαντικό

ποσοστό ακρίβειας στις προγνώσεις. Ταυτόχρονα το μοντέλο αποκτά και «φυσικό» νόημα αφού μέσω αυτού ενσωματώνεται (όπου είναι δυνατό) η δομή του οδικού δικτύου σε ότι έχει να κάνει με τη διαδοχική διάταξη των μετρητών και τις αποστάσεις τους. Το μοντέλο χώρου-χρόνου εφαρμόσθηκε στους τέσσερις βρόχους που αφορούν την οδό Κηφισίας μέσω της διαδικασίας VARMAX του SAS/ETS που επιτρέπει την επιβολή περιορισμών μέσω του πίνακα «βαρών», ενώ σ αυτήν την περίπτωση η επιλογή του βαθμού αυτοπαλινδρόμησης έγινε a-pror με όφελος στον υπολογιστικό χρόνο. Για τη σύγκριση της προγνωστικής ακρίβειας οι τελευταίες 8 παρατηρήσεις δεν ελήφθησαν υπ όψη κατά τη δημιουργία των μοντέλων. Στα γραφήματα 3-5 φαίνεται η ποιότητα της εφαρμογής και των προγνώσεων σε ένα υποσύνολο των δεδομένων για κάθε μοντέλο χωριστά. Οπτικά δύσκολα διακρίνονται διαφορές. Στην πράξη το δυναμικό γραμμικό μοντέλο χωρίς περιορισμούς είχε μέσο τετραγωνικό σφάλμα στις προβλέψεις ελαττωμένο κατά 2% σε σχέση με το μοντέλο χώρου-χρόνου ενώ τα μονομεταβλητά μοντέλα υστερούσαν κατά περίπου 5% σε σχέση με τα χώρου χρόνου όσον αφορά το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Γράφημα 3. Εφαρμογή και προγνώσεις των μονομεταβλητών μοντέλων τύπου ARIMA για τους ανιχνευτές της οδού Κηφισίας.

Γράφημα 4. Εφαρμογή και προγνώσεις του δυναμικού γραμμικού μοντέλου για τους ανιχνευτές της οδού Κηφισίας. Γράφημα 5. Εφαρμογή και προγνώσεις του μοντέλου χώρου-χρόνου για τους ανιχνευτές της οδού Κηφισίας.

4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η πολυμεταβλητή ανάλυση των χρονολογικών σειρών που προκύπτουν από τις ταυτόχρονες μετρήσεις σε ανιχνευτές βρόχους, έδειξε ότι τέτοιου είδους τεχνικές μπορούν να εφαρμοστούν στην πράξη σε πραγματικό χρόνο και για όλο το σύνολο των ανιχνευτών βρόχων ενός αστικού οδικού δικτύου. Παρόλο που διαφορές σε ακρίβεια σε σχέση με τα μονομεταβλητά μοντέλα δεν είναι μεγάλες, ένα πολυμεταβλητό μοντέλο έχει το πλεονέκτημα της καλύτερης προσαρμοστικότητας σε ακραία κυκλοφοριακά φαινόμενα. Στην πράξη για το σύνολο των ανιχνευτών βρόχων ενός αστικού οδικού δικτύου, μπορούν να «τρέχουν» ταυτόχρονα μοντέλα χώρου-χρόνου εκεί που η τοποθέτηση των ανιχνευτών δίνει η δυνατότητα, και δυναμικά γραμμικά μοντέλα χωρίς περιορισμούς για τους ανιχνευτές των οποίων η θέση δεν προσδιορίζει αναγκαστικά το βαθμό χωρικής συσχέτισής τους με τους υπόλοιπους. Η ταυτόχρονη εκτέλεση παρόμοιων προγραμμάτων που να αφορούν τις μετρήσεις των ποσοστών καταληψημότητας μπορεί να οδηγήσει στον υπολογισμό της μέσης διάρκειας διαδρομής μεταξύ διαδοχικών βρόχων (βλέπε Rce & van Zwe (2001)) και τα αποτελέσματα μπορούν να παρέχονται μέσω διαδικτύου. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η διερεύνηση της ευστάθειας των μοντέλων που αναπτύχθηκαν στην παρούσα εργασία μέσω της εξέτασης δεδομένων διαφορετικής χρονικής περιόδου. Ένα ακόμα σημαντικό ζήτημα για περαιτέρω διερεύνηση είναι η χωρική επέκταση των προγνώσεων ιδιαίτερα όσον αφορά δρόμους στους οποίους δεν υπάρχουν ανιχνευτές βρόχοι. Τα μοντέλα κινηματικής μπορούν να αποδειχθούν ιδιαιτέρως χρήσιμα για αυτό τον σκοπό. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Akake, H. 1976, Canoncal correlaons analyss of me seres and he use of an nformaon creron. Advances and Case Sudes n Sysem Idenfcaon, Academc Press, New York. Box, G.E.P., Jenkns G.M. and Rensel, G.C., 1994, Tme Seres Analyss / Forecasng and Conrol (hrd edon). Prence Hall, New Jersey. Brockwell, P.J. and Davs, R.A., 1991, Tme Seres Theory and Mehods. Sprnger- Verlag, New York. Clff, A.D. and Ord, J.K., 1973, Spaal Auocorrelaon. Poneer, London. Davs, G.A. and Nhan, N.L. 1991, Nonparamerc regresson and shor-erm freeway affc forecasng. ASCE Journal of Transporaon Engneerng 117(2), 168-178. Gacomn, R. and Granger, C.W.J. 2001, Agregaon of space-me processes. Manuscrp, Deparmen of Economcs, Unversy of Calforna, San Dego. Kosalos, A. and Papageorgou M. 2001, The mporance of raffc flow modelng for moorway raffc conrol. Neworks and Spaal Economcs 1, 179-203.

Lee, S. and Fambro, D.B. 1999, Applcaon of subse auoregressve negraed movng average model for shor-erm freeway raffc volume forecasng. Transporaon Research Record 1678, 179-188. L, T. and Zhang H. M. 2001, The mahemacal heory of an enhanced nonequlbrum raffc flow model. Neworks and Spaal Economcs 1, 167-177. Papageorgou, M. 1998, Some remarks on macroscopc raffc flow modellng. Transporaon Research-A 32, 323-329. Pfefer, P.E. and Deusch, S.J., 1980, A hree-sage erave procedure for space-me modelng. Technomercs 22, 35-47. Rce, J. and van Zwe E. 2001, A smple and effecve mehod for predcng ravel mes on freeways. IEEE Inellgen Transporaon Sysems Proceedngs. SAS/ETS User s Gude, Verson 8.02, 2001. SAS Insue Inc. Sahopoulos, A. and Karlafs, G.M., 2001, Specral and Cross-Specral Analyss of Urban Traffc Flows. 4 h IEEE Inernaonal Conference on Inellgen Transporaon Sysems. Sahopoulos, A. and Karlafs, G.M., 2002, A mulvarae sae-space approach for urban raffc flow modelng and predcon. 81h Annual Transporaon Research Board Meeng. Van Ln, J.W.C. and Hoogendoorn, S.P., 2002, Freeway ravel me predcon wh sae-space neural neworks. 81h Annual Transporaon Research Board Meeng. Whaker, J., Garsde, S., Lndveld, K. 1997, Trackng and predcng a nework raffc process. Inernaonal Journal of Forecasng 13, 51-61. Wllams, B.M., Durvasula, P.K., and Brown, D.E., 1997, Urban freeway ravel predcon: applcaon of seasonal ARIMA and Exponenal Smoohng Models. 77h Annual Transporaon Research Board Meeng. Wllams, B.M., 2001, Mulvarae vehcular raffc flow predcon: an evaluaon of ARIMAX modelng. 80h Annual Transporaon Research Board Meeng. Zlaskopoulos A. K. and Peea S. 2002, Foundaons of dynamc raffc assgnmen: he pas, he presen and he fuure. 81h Annual Transporaon Research Board Meeng.