Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης ασθένειας µπορεί να γίνει µια εξέταση η οποία όταν το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια δίνει σωστή διάγνωση µε πιθανότητα 95% ενώ όταν το ζώο δεν έχει προσβληθεί από την ασθένεια δίνει σωστή διάγνωση µε πιθανότητα 98%. α) Επιλέγονται τυχαία 5 ζώα για να εξετασθούν. Πριν υποβληθούν στην εξέταση, ποια είναι η πιθανότητα να έχει προσβληθεί το πολύ ένα από αυτά. β) Επιλέγεται τυχαία ένα ζώο και εξετάζεται. ) Ποια είναι η πιθανότητα το αποτέλεσµα της εξέτασης να είναι θετικό. ) Αν το αποτέλεσµα της εξέτασης είναι θετικό ποια είναι η πιθανότητα το ζώο να έχει πράγµατι προσβληθεί. Επίσης, ποια είναι η πιθανότητα να µην έχει προσβληθεί. ) Τα ενδεχόµενα «το ζώο έχει προσβληθεί» και «η εξέταση δίνει θετικό αποτέλεσµα» είναι ανεξάρτητα ή εξαρτηµένα (εξηγείστε γιατί). γ) Από 5 ζώα που εξετάσθηκαν και η εξέταση έδωσε και στις 5 περιπτώσεις θετικό αποτέλεσµα, ποια είναι η πιθανότητα το πολύ ένα να έχει πράγµατι προσβληθεί. δ) Από ζώα που εξετάσθηκαν και η εξέταση έδωσε και στις περιπτώσεις θετικό αποτέλεσµα ) πόσα ζώα αναµένεται να έχουν πράγµατι προσβληθεί ) ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον να έχουν πράγµατι προσβληθεί. (5 Μονάδες) ο Θέµα Ένα εργοστάσιο παραγωγής ζάχαρης επεξεργάζεται ηµερησίως Χ ποσότητα τεύτλων (σε τόνους) η οποία είναι συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πυκνότητας x f ( x) c αλλού. α) Να βρεθεί η τιµή της παραµέτρου c. β) Ποια είναι η αναµενόµενη ηµερήσια ποσότητα τεύτλων που επεξεργάζεται το εργοστάσιο. γ) Ποια είναι η πιθανότητα σε µια ηµέρα το εργοστάσιο να επεξεργασθεί περισσότερους από.5 τόνους τεύτλων. δ) Ποια είναι η πιθανότητα σε δύο µήνες (6 ηµέρες) το εργοστάσιο να επεξεργασθεί συνολικά περισσότερους από 5 τόνους τεύτλων (θεωρείστε ότι οι ηµερήσιες ποσότητες τεύτλων που επεξεργάζεται το εργοστάσιο είναι µεταξύ τους ανεξάρτητες). ( Μονάδες) ο Θέµα α) Σε µια στατιστική έρευνα, τα δειγµατοληπτικά σφάλµατα µπορούν να αποφευχθούν; (εξηγείστε). β) Από πληθυσµό µεγέθους, πόσα (διαφορετικά) δείγµατα µεγέθους µπορούν να ληφθούν αν η δειγµατοληψία γίνεται χωρίς επανάθεση και δεν ενδιαφέρει η σειρά επιλογής των στοιχείων (µονάδων) του δείγµατος. γ) Είναι λογικό (αναµενόµενο) η µέση τιµή της κατανοµής Posson να είναι ίση µε τη διασπορά της; (εξηγείστε).
δ) Οι µονάδες Μ, Μ, Μ, Μ του παρακάτω συστήµατος λειτουργούν ανεξάρτητα η µια από την άλλη και έχουν αξιοπιστία (πιθανότητα λειτουργίας).9,.6,.8 και.9 αντίστοιχα. Το σύστηµα λειτουργεί αν και µόνο αν υπάρχει ένα τουλάχιστον «µονοπάτι» από το Α στο Β µέσω λειτουργούντων µονάδων. Να βρεθεί η αξιοπιστία (η πιθανότητα λειτουργίας) R του συστήµατος. ιάρκεια εξέτασης ώρες και λεπτά. Ευχόµαστε επιτυχία! (5 Μονάδες) ίνονται οι παρακάτω τιµές της συνάρτησης κατανοµής της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής: Φ(.75).77, Φ(.78).78, Φ(.8).788, Φ(.8).7967, Φ(.).8, Φ(.).895, Φ(.5).89, Φ(.7).898, Φ(.).9875, Φ(.).99. Επίσης, δίνονται οι τιµές: 9 e.5, e., e 6.5, e.98, e.5.8, e.5.
Ενδεικτικές απαντήσεις (Α Σειρά) ο Θέµα Έστω Π το ενδεχόµενο: το ζώο έχει προσβληθεί από την ασθένεια και Θ το ενδεχόµενο: το αποτέλεσµα της εξέτασης είναι θετικό. ίνονται οι πιθανότητες: P ( Π)., P ( Θ / Π). 95 και P ( Θ / Π ). 98. α) Αν Χ ο αριθµός των ζώων (από τα πέντε) που έχουν προσβληθεί, επειδή το δείγµα είναι µικρό σε σχέση µε το µέγεθος του πληθυσµού, προφανώς ~ B(5,.) άρα η ζητούµενη πιθανότητα είναι: 5 5 5 ) ) + )..98 +..98. β) ) Από το θεώρηµα ολικής πιθανότητας έχουµε: Θ) Θ / Π) Π) + Θ / Π ) Π ).95.+..98.86. ) Ζητούνται οι δεσµευµένες πιθανότητες P ( Π / Θ) και P ( Π / Θ). Από τον τύπο του Θ / Π) Π) Bayes έχουµε: P ( Π / Θ). 9. Θ) Εποµένως P ( Π / Θ).9. 58. ) Π / Θ). 9 P ( Π). άρα τα ενδεχόµενα Π και Θ είναι εξαρτηµένα. γ) Αν Υ ο αριθµός των ζώων που έχουν πράγµατι προσβληθεί από τα πέντε που εξετάσθηκαν και η εξέταση έδωσε θετικό αποτέλεσµα τότε προφανώς Y ~ B(5,.9) και εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) 996 5 5 5 P ( Y ) Y ) + Y ) (.9) (.58) + (.9) (.58). 976 δ) Αν W ο αριθµός των ζώων που έχουν πράγµατι προσβληθεί από τα που εξετάσθηκαν και η εξέταση έδωσε θετικό αποτέλεσµα τότε προφανώς W ~ B(,.9). ) Ζητάµε τη µέση τιµή της W. Είναι E ( W ) n p.9 7. 6 δηλαδή, αναµένεται να έχουν πράγµατι προσβληθεί περίπου 8 ζώα (από τα που εξετάσθηκαν και η εξέταση έδωσε θετικό αποτέλεσµα). ) Ζητάµε την πιθανότητα: P ( W ). Επειδή το ν είναι αρκετά µεγάλο µε ν p q.9.58 7.98, η διωνυµική κατανοµή B (,.9) µπορεί να προσεγγισθεί ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή N (7.6, 7.98) και εποµένως για τον υπολογισµό της ζητούµενης πιθανότητας έχουµε: 7.6 7.6 P ( W ) P Z P Z Z 5.89) Φ( 5.89) Φ(5.89) 7.98 8.66 ο Θέµα α) Πρέπει dx c. β) Ζητάµε τη µέση τιµή της Χ. Είναι c c E ( ) xdx... τόνος, δηλαδή, το εργοστάσιο αναµένεται να επεξεργάζεται ηµερησίως τόνο τεύτλων. γ) Ζητάµε την πιθανότητα P ( >.5) dx (.5).5..5 δ) Έστω η ποσότητα που επεξεργάζεται το εργοστάσιο την ηµέρα (,,..., 6 ). Προφανώς ζητάµε την πιθανότητα P ( S 6 > 5) όπου
S 6... + είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε µέση τιµή µ τόνο και διασπορά + + 6. Οι τυχαίες µεταβλητές E( ) σ V ( ) E( ) [ E( )] x dx και εποµένως από το Κ.Ο.Θ. προκύπτει ότι η S 6 προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή N ( 6, 6 ) ή N (6, ). Εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι: 5 6 S 6 > 5) Z > ) Z >.) Φ(.) Φ(.).9875. ο Θέµα α) Όχι. Είναι αναπόφευκτα σφάλµατα που συνδέονται µε τη µεταβλητότητα του δείγµατος, µε το µέγεθος του δείγµατος και µε την επιλογή σχεδίου δειγµατοληψίας.! 98 99 β) Χωρίς επανάθεση µπορούµε να πάρουµε 67 µη!97! διατεταγµένα δείγµατα. γ) Είναι λογικό αφού η Posson, ως οριακή κατανοµή της διωνυµικής µε p πολύ µικρό (άρα p ), αναµένεται να έχει µέση τιµή np και διασπορά np( p) np. δ) Έστω το ενδεχόµενο: η µονάδα λειτουργεί (,,, ). ίνονται οι πιθανότητες: P ( ). 9, P ( ). 6, P ( ). 8 και P ( ). 9. Από τη συνθήκη λειτουργίας του συστήµατος και επειδή οι µονάδες λειτουργούν ανεξάρτητα η µία από την άλλη έχουµε: R P ) ) ) ) [ P[( ) ] ) ( ( ) [ )] ) ) [ ) )] P.9 [..].9.75. )
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 Β ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέµα Μια αυτόµατη µηχανή κοπής σωλήνων έχει προγραµµατισθεί να κόβει σωλήνες µήκους nches. Έχει παρατηρηθεί ότι το µήκος των σωλήνων που κόβονται ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή την τιµή στην οποία έχει ρυθµιστεί να κόβει η µηχανή και τυπική απόκλιση.6 nches. α) Ποιο ποσοστό των σωλήνων που κόβονται έχει µήκος µεγαλύτερο από.5nches. β) Επιλέγονται τυχαία 5 σωλήνες και ελέγχεται αν το µήκος τους ξεπερνάει ή όχι τις.5nches. Ποια είναι η πιθανότητα το πολύ ένας σωλήνας να έχει µήκος µεγαλύτερο από.5nches. γ) Βρείτε εκείνη την τιµή ξ για την οποία να ισχύει ότι: µήκος µεγαλύτερο από ξ έχει µόνο το % των σωλήνων που κόβονται από τη µηχανή (όταν αυτή έχει ρυθµιστεί στις nches). δ) Σε τι µήκος κοπής πρέπει να ρυθµιστεί η µηχανή έτσι ώστε µόνο το % των σωλήνων να έχει µήκος µεγαλύτερο από.5nches. ( Μονάδες) ο Θέµα α) Αναφέρατε τρεις πηγές µη δειγµατοληπτικών σφαλµάτων. β) Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω ενός πειράµατος τύχης µε A).και P ( B).. Τι µπορούµε να συµπεράνουµε για τα ενδεχόµενα αυτά. αν P ( A / B). αν P ( AB). 8. γ) Σε ένα κουτί φαρµάκου υπάρχουν δισκία από τα οποία τα δύο δεν έχουν επαρκή ποσότητα της ουσίας που απαιτείται για την καταπολέµηση της ασθένειας για την οποία προορίζεται το φάρµακο. Το τµήµα ελέγχου ποιότητας παίρνει τυχαία δισκία από το κουτί (το ένα µετά το άλλο) και τα ελέγχει µέχρι να βρεθούν τα δύο ακατάλληλα δισκία. Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί αυτό στην τρίτη δοκιµή. ( Μονάδες) ο Θέµα (Ι) Έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθµός t ενός σπάνιου είδους φυτών σε έκταση εµβαδού t, περιγράφεται ικανοποιητικά από µια στοχαστική διαδικασία Posson µε µέσο αριθµό φυτών ανά στρέµµα φυτά. α) Να βρεθούν οι πιθανότητες:. σε µια έκταση ενός στρέµµατος να υπάρχουν τουλάχιστον δύο φυτά. σε µια έκταση µισού στρέµµατος να υπάρχει το πολύ ένα φυτό. σε µια έκταση στρεµµάτων να υπάρχουν τουλάχιστον τρία φυτά. β) Σε µια έκταση στρεµµάτων ποιος είναι ο πιθανότερος αριθµός φυτών; Επίσης, να βρεθεί η πιθανότητα εµφάνισης αυτού του αριθµού φυτών. (ΙΙ) Ο χρόνος ζωής µιας λυχνίας ορισµένου τύπου είναι τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή 85 ώρες και τυπική απόκλιση 5 ώρες. Παίρνουµε ένα τυχαίο δείγµα λυχνιών αυτού του τύπου. Να βρεθεί η πιθανότητα ο µέσος χρόνος ζωής των λυχνιών του δείγµατος να είναι µεγαλύτερος από ώρες. ( Μονάδες) ιάρκεια εξέτασης ώρες και λεπτά. Ευχόµαστε επιτυχία! ίνονται οι παρακάτω τιµές της συνάρτησης κατανοµής της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής: Φ(.75).77, Φ(.78).78, Φ(.8).788, Φ(.8).7967, Φ(.).8, Φ(.).895, Φ(.5).89, Φ(.7).898, Φ(.).9875, Φ(.).99. Επίσης, δίνονται οι τιµές: e.5, e 9., e 6.5, e.98, e.5.8, e.5.
Ενδεικτικές απαντήσεις (Β Σειρά) ο Θέµα Έστω Χ το µήκος των σωλήνων που κόβονται από τη µηχανή όταν αυτή ρυθµιστεί στις nches. ίνεται ότι ~ N(,.6 ). α) Ζητάµε την πιθανότητα P ( >.5). Έχουµε:.5 >.5) P Z > Z >.8) Φ(.8).7967...6 Άρα ποσοστό.% των σωλήνων που κόβονται από τη µηχανή όταν αυτή ρυθµιστεί στις nches έχει µήκος µεγαλύτερο από.5 nches. β) Έστω Υ ο αριθµός των σωλήνων (από τους πέντε που επελέγησαν) που έχουν µήκος µεγαλύτερο από.5 nches ο καθένας. Προφανώς Y ~ B(5,.) και εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι, 5 5 5 Y ) (.) (.7967) + (.) (.7967). 75. γ) Ζητάµε την τιµή ξ της Χ για την οποία: P ( >ξ ).. Εποµένως, ξ ξ P ( > ξ ). P Z >. Φ..6.6 ξ ξ Φ.99., άρα ξ. 98 nches..6.6 δ) Πρέπει να προσδιορισθεί η µέση τιµή µ της W ~ N( µ,.6 ) έτσι ώστε: P ( W >.5).. Εποµένως,.5 µ.5 µ W >.5). P Z >. Φ..6.6.5 µ.5 µ Φ.99., άρα µ 9. nches, δηλαδή, η.6.6 µηχανή πρέπει να ρυθµισθεί στις 9. nches. ο Θέµα α) Λάθος επιλογή δείγµατος, λάθη στα ερωτηµατολόγια, λάθη στις µετρήσεις. β). Τα ενδεχόµενα είναι ξένα. Τα ενδεχόµενα είναι ανεξάρτητα. γ) Έστω E το ενδεχόµενο: στην δοκιµή επιλέγεται δισκίο µε επαρκή ποσότητα ουσίας και A το ενδεχόµενο: στην δοκιµή επιλέγεται δισκίο µε ανεπαρκή ποσότητα ουσίας. Ζητάµε την πιθανότητα: P A E A E A ). Επειδή τα ενδεχόµενα ( A E και E A είναι προφανώς ξένα, έχουµε: P ( A E E A ) A E ) + E A ) ( E ) A. Οι πιθανότητες P A E ) και P υπολογίζονται από τον πολλαπλασιαστικό τύπο ως εξής: 8 P ( A E ) A ) E / A ) / A E ) 9 8 8 E A ) E) A / E) / E A ) 9 8 Άρα P ( A ) E E A %. 9 95 9 9. (
ο Θέµα x t ( t) Ι. α) Ισχύει t x) e, x,,,... x!.! ( ) ( ) 5. ) ) + ) e + e e!!. ) < ) ) ) ) ) < ) ) ) e e 6 6 6 6 6 6 6 e e e 5e!!! β) Προφανώς ~ (9) άρα οι πιθανότερες τιµές είναι οι x 9 και x 8 µε P 9 8 9 9 9 9 πιθανότητα να συµβούν: P ( 9) e e 8). 8. 9! 8! ΙΙ. Έστω ο χρόνος ζωής της λυχνίας (,,..., ). Οι τυχαίες µεταβλητές είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε µέση τιµή µ 85 ώρες και τυπική απόκλιση σ 5 ώρες. Ζητάµε την πιθανότητα P ( > ) όπου. Από το Κ.Ο.Θ. προκύπτει ότι η προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανοµή 5 N (85, ) ή N(85, 5 ) και εποµένως η ζητούµενη πιθανότητα είναι: 85 > ) Z > ) Z > ) Φ().8.587. 5! e