Αντί προλόγου. Ιωάννινα 20/4/2012 Σπύρος Καπελλίδης

Αντί προλόγου Τούτες οι σημειώσεις, που παρουσιάζονται ηλεκτρονικά, είναι προϊόν ενασχόλησης με τη συνολοθεωρία στον ελεύθερο χρόνο μου στο μεταξύ των ετών 2005 και 2008 διάστημα. Επέλεξα τη μη αυστηρή (αξιωματική) ή αλλιώς «αφελή» διαπραγμάτευση, έτσι ώστε το κείμενο να είναι πιο «ζωντανό» και προσιτό σε κάποιον που ασχολείται για πρώτη φορά. Ευχαριστώ τον Νίκο Μαυρογιάννη (πάντα πρόθυμο για προσφορά) για τις υποδείξεις του, που συνετέλεσαν στην καλυτέρευση του κειμένου και το περιορισμό των αβλεψιών. Με την ελπίδα ότι μπορεί να βοηθήσουν κάποιους στην περιπλάνηση στον «παράδεισο» που μας εισήγαγε ο Georg Cantor στέλνω τις σημειώσεις αυτές στον Νίκο Μαυρογιάννη να τις αναρτήσει στην ιστοσελίδα του. Ιωάννινα 20/4/202 Σπύρος Καπελλίδης

. Το σύνολο Τι είναι σύνολο; Θα υιοθετήσουμε προσωρινά τον ορισμό του Cantor έως ότου συναντήσουμε τις αντιφάσεις στις οποίες αυτός μας οδηγεί. Ο Cantor όρισε «Ως σύνολο εννοούμε μια συλλογή Μ σε όλον καθορισμένων και διακριτών αντικειμένων m της εποπτείας ή της σκέψης μας. Τα αντικείμενα αυτά καλούνται στοιχεία του Μ» Την πρόταση «το x είναι στοιχείο του Α» διατυπώνουμε και ως «το x ανήκει στο Α» και συμβολίζουμε x Α. Την δε πρόταση «το x δεν είναι στοιχείο του Α» και ως «το x δεν ανήκει στο Α» και συμβολίζουμε x Α. Προφανώς x Α ( x Α ) Το προέρχεται από το αρχικό γράμμα της λέξης εστίν και χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Ιταλό μαθηματικό G. Peano dx Ο Guseppe Peano γεννήθηκε στο Guneo Pemonte της Ιταλίας στις 27 Αυγούστου του 858. Ενεγράφη στο Πανεπιστήμιο του Τουρίνου το 876, απ όπου απεφοίτησε το 860 και διορίστηκε βοηθός του Angelo Genocch στη διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού. Το 884 έγραψε το πρώτο του βιβλίο ήταν πολυγραφότατος, αφού στη σταδιοδρομία του συνέγραψε πάνω από 200 έργα, διδακτικά βιβλία, αλλά και πρωτότυπες εργασίες- που αφορούσε τον Απειροστικό Λογισμό, το οποίο όμως εξεδόθη στο όνομα του Genocch. Το 886 απέδειξε ότι αν η f ( xy, ) είναι συνεχής, τότε η πρώτης τάξεως διαφορική εξίσωση = f ( xy, ) έχει λύση. Τον επόμενο χρόνο δημοσίευσε μια dy προσεγγιστική μέθοδο για τη λύση συστήματος γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Το 888 τύπωσε το βιβλίο του Geometrcal Calculus, το οποίο αρχίζει με ένα κεφάλαιο Μαθηματικής Λογικής, που είναι και το πρώτο του γραπτό στον τομέα αυτόν. Αυτός πρώτος χρησιμοποίησε τα σύμβολα που είναι σήμερα εν χρήσει για την ένωση, την τομή, το υποσύνολο και το ανήκει. Στο παραπάνω βιβλίο δίνεται για πρώτη φορά και μάλιστα με εξαιρετικά μοντέρνο τρόπο ο ορισμός του Διανυσματικού χώρου. Το 889 δημοσίευσε τα περίφημα αξιώματά του, με τα οποία ορίζει αυστηρά το σύνολο των φυσικών αριθμών. Το 890 κάνει την πολύ σημαντική ανακάλυψη της λεγόμενης «χωροπληρωτικής καμπύλης», δηλαδή μιας συνεχούς και επί απεικόνισης του [0,] στο [0,] [0,]. Ο F. Hausdorff στα 94 χαρακτήριζε την καμπύλη του Peano ως «ένα από τα πιο αξιοπρόσεκτα αποτελέσματα της συνολοθεωρίας». Το τελευταίο του εγχείρημα στο χώρο των μαθηματικών ήταν η σύνταξη του Formularo, ενός βιβλίου 300 σελίδων στο οποίο προσπάθησε να συγκεντρώσει όλη τη μέχρι τότε Μαθηματική γνώση και να την παρουσιάσει σε αυστηρή τυπική γλώσσα. Η πέμπτη και τελευταία έκδοση του Formularo έγινε το 908. Η απόπειρα του να εντάξει

2 Δεν είναι ανάγκη να αναφερθούμε σε πληθώρα παραδειγμάτων, προκειμένου να δείξουμε πόσο συχνά χρησιμοποιούμε την έννοια του συνόλου στα Μαθηματικά. Λέμε για παράδειγμα: - Για τη σφαίρα με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα ρ: Το σύνολο των σημείων του χώρου που απέχουν από το Κ απόσταση ρ - Για το ανοικτό διάστημα ( α, β ): Το σύνολο των πραγματικών αριθμών που βρίσκονται ανάμεσα από τους αριθμούς α και β. - Αναφερόμαστε στο σύνολο των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα [ α, β ] και είναι συνεχείς ή είναι φραγμένες ή είναι παραγωγίσιμες ή είναι ολοκληρώσιμες - Αναφερόμαστε στο σύνολο των αρτίων ακεραίων ή το σύνολο των θετικών ακεραίων που είναι πρώτοι κ.ο.κ. Ο απλούστερος τρόπος για να περιγράψουμε ένα σύνολο είναι αναγράφοντας τα στοιχεία του, όπως για παράδειγμα : A ={, 2, 3}. Όταν όμως έ- χουμε σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων, ο παραπάνω τρόπος δεν έχει πάντα αποτέλεσμα. Στην περίπτωση αυτή περιγράφουμε την ιδιότητα ή τις ιδιότητες που καθορίζουν τα στοιχεία του συνόλου. Παράδειγμα το ανοικτό διάστημα (, 4), δηλαδή το σύνολο των πραγματικών αριθμών που είναι μεταξύ των και 4 περιγράφουμε ως εξής (, 4) = x/ x < x< 4 { } Ορισμός Δύο σύνολα Α και Β θα λέμε ότι είναι ίσα ( Α =Β) 2 αν και μόνον αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. το Formularo στη διδασκαλία του Πανεπιστημίου του Τουρίνου, όπου δίδασκε, είχε ως αποτέλεσμα να ξεσηκώσει τους φοιτητές, οι οποίοι διαδήλωσαν στους δρόμους της πόλης. Πολύς λόγος έχει γίνει σχετικά με την ψυχική υγεία του G. Peano. Ο Απόστολος Δοξιάδης (Από τη παράνοια στους Αλγόριθμους) εντάσσει την περίπτωση του, με κάποιες αμφιβολίες γι αυτό, στην ομάδα των μεγάλων εκείνων ερευνητών της Συνολοθεωρίας και της Μαθηματικής Λογικής Cantor, Russell, Frege, Gödel- που επλήγησαν από την κατάρα της ψυχικής νόσου. Παρ ότι αποκρούει, ως μη τεκμηριωμένη, την άποψη του Ιταλού Μαθηματικού και Φιλοσόφου Gan Carlo Rota, πως ο Peano νοσηλεύθηκε σε ψυχιατρική κλινική, θεωρεί ως τουλάχιστον περίεργη τη συμπεριφορά του των τελευταίων χρόνων. Από το 903 και μετά απορροφήθηκε από την εμμονή του για τη δημιουργία μια διεθνούς γλώσσας, την οποία δημιούργησε από την Λατινική με την αφαίρεση των πτώσεων (Latno sne flexone), απόπειρα που φυσικά δεν είχε ανταπόκριση. Πέθανε στο Τορίνο στις 20 Απριλίου του 932. 2 Ή αλλιώς έχουν την ίδια έκταση

3 Α=Β ( x Α x Β) Άρα δύο σύνολα Α και Β είναι άνισα ( Α Β) αν και μόνον αν υπάρχει στοιχείο του Α, το οποίο δεν είναι στοιχείο του Β ή υπάρχει στοιχείο του Β, το οποίο δεν είναι στοιχείο του Α. Α Β ( x Α x Β) ( x Β x Α) Ορισμός 2 Κενό ονομάζουμε το σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία. Ο συμβολισμός του κενού συνόλου είναι. = x / x x..2 Ένωση συνόλων Δηλαδή { } Ορισμός Αν Α και Β είναι δύο σύνολα, τότε ορίζουμε ως ένωση (Unon) τους, το σύνολο Α Βπου περιέχει τα στοιχεία του Α και του Β και μόνον αυτά, δηλαδή x Α Β αν και μόνον αν x Α ή x Β { x/ x x } Α Β= Α Β. Παραδείγματα. (0,3) (2,5) = (0,5) 2. (0,3) [3,5) = (0,5) 3. (0,3] [3,5) = (0,5) (0,3) (3,5) = x/ x 0 < x< 5 x 3 4. { } Πρόταση Για τα σύνολα Α, ΒΓ, ισχύουν. Α Β=Β Α (Αντιμεταθετική Ιδιότητα) 2. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) Γ (Προσεταιριστική Ιδιότητα) 3. Α =Α 4. Α Α=Α 5. Αν Α Β=, τότε Α =Β=

4 Απόδειξη 3. x Α Β x Α x Β x Β x Α x Β Α 2. x Α ( Β Γ) x Α x Β Γ x Α ( x Β x Γ) ( x Α x Β) x Γ x Α Β x Γ x ( Α Β) Γ 3. x Α x Α x x Α 4. Η απόδειξη προφανής. 5. Εύκολα αποδεικνύεται με απαγωγή σε άτοπο..3 Τομή συνόλων Ορισμός Αν Α και Β είναι δύο σύνολα, τότε ορίζουμε ως τομή (Intersecton) τους ( Α Β) το σύνολο που περιέχει τα κοινά τους στοιχεία και μόνον, δηλαδή x Α Β αν και μόνον αν x Α και x Β, δηλαδή { x/ x x } Α Β= Α Β. Στην περίπτωση που τα σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία, τότε λέμε ότι είναι ξένα. Στη περίπτωση αυτή η τομή τους προφανώς θα είναι το κενό σύνολο. Παραδείγματα. (0,3) (2,5) = (2,3) 2. (0,3) [3,5) = 3. (0,3] [3,5) = { 3} 4. (0,3) (3,5) = Πρόταση. Α Α=Α 3 Για την απόδειξη των ιδιοτήτων της ένωσης καθώς και των άλλων πράξεων που ακολουθούν χρειάζεται μόνον η γνώση των βασικών ταυτολογιών του προτασιακού λογισμού.

5 2. Α Β=Β Α (Αντιμεταθετική Ιδιότητα) 3. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) Γ (Προσεταιριστική Ιδιότητα) 4. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) (Επιμεριστική Ιδιότητα της τομής ως προς τη ένωση) 5. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) (Επιμεριστική Ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή) Απόδειξη. Προφανής 2. x Α Β x Α x Β x Β x Α x Β Α 3. x Α ( Β Γ) x Α x Β Γ x Α ( x Β x Γ) ( x Α x Β) x Γ x Α Β x Γ x ( Α Β) Γ 4. x Α ( Β Γ) x Α x Β Γ x Α ( x Β x Γ) ( x Α x Β) ( x Α x Γ) x Α Β x Α Γ x ( Α Β) ( Α Γ) 5. x Α ( Β Γ) x Α x Β Γ x Α ( x Β x Γ) ( x Α x Β) ( x Α x Γ) x Α Β x Α Γ x ( Α Β) ( Α Γ).4 Διαφορά συνόλων Ορισμός Αν Α και Β είναι δύο σύνολα, τότε ορίζουμε ως διαφορά (dfference) ( Α Β) το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία του Α, που δεν ανήκουν στο Β και μόνον αυτά. Πρόταση. Α Α=

6 2. Α =Α 3. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) 4. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) 5. Α Β= Α Β 6. ( Α Β) Γ= ( Α Γ) ( Β Γ) 7. ( Α Β) Γ= ( Α Γ) ( Β Γ) Απόδειξη Οι,2 είναι εύκολες 3. x Α ( Β Γ) x Α x Β Γ x Α ( x Β x Γ) x Α ( ( x Β) ( x Γ)) [ x Α ( x Β)] [ x Α ( x Γ)] [ x Α x Β] [ x Α x Γ ] x ( Α Β) x ( Α Γ) x ( Α Β) ( Α Γ) 4. x Α ( Β Γ) x Α x Β Γ x Α ( x Β Γ) x Α ( x Β x Γ) x Α [ ( x Β) ( x Γ)] [ x Α ( x Β)] [( x Α ( x Γ)] ( x Α x Β) ( x Α x Γ) x ( Α Β) x ( Α Γ) x ( Α Β) ( Α Γ) 5. ( ) Έστω ότι υπάρχει x Α και x Β, τότε x Α Β, άρα Α Β, άτοπο. Συνεπώς x Α x Β, άρα Α Β. ( ) Αν Α Β, τότε υπάρχει x Α και x Β, άρα δεν αληθεύει το Α Β, άτοπο.

7 6. x Α Β Γ ( ) x Α Β x Γ ( x Α x Β) x Γ ( ) x Α x Γ ( x Β x Γ) x Α Γ x Β Γ x ( Α Γ) ( Β Γ) 7. x Α Β Γ ( ) x Α Β x Γ ( x Α x Β) x Γ ( ) x Α x Γ ( x Β x Γ) x Α Γ x Β Γ x ( Α Γ) ( Β Γ) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι πράξεις μεταξύ των υποσυνόλων ενός συνόλου U, το οποίο ονομάζεται χώρος ή σύμπαν. Στην περίπτωση αυτή c μπορούμε να ορίσουμε το συμπλήρωμα ( Α ) ενός συνόλου Α ως εξής : Ορισμός 2 Αν Α U, τότε c Α = U Α c c Πρόταση 2. ( Α ) =Α 2. ( Α Β ) c =Α c Β c c 3. ( Α Β ) c =Α c Β c 4. Α Β=Α Β (Οι σχέσεις 3 και 4 είναι γνωστές ως νόμοι του De Morgan 4 ) 4 Ο Augustus De Morgan, όπως και ο George Boole έζησαν την ίδια εποχή στην Αγγλία και υπήρξαν-ιδιαίτερα ο δεύτερος- οι εισηγητές της Άλγεβρας των συνόλων. Ο De Morgan γεννήθηκε στις 27 Ιουνίου του 806 στις Ινδίες, όπου ο πατέρας του δούλευε στην Ανατολική Εταιρεία των Ινδιών. Σπούδασε στο Κολέγιο του Trnty, απ όπου αποφοίτησε τέταρτος. Δεν μπόρεσε όμως να συνεχίσει τις σπουδές του στην Οξφόρδη ή στο Καίμπριτζ, γιατί αρνήθηκε να υποστεί τις καθιερωμένες Θεολογικές εξετάσεις. Σε όλη

8 Απόδειξη. c c c x Α ( ) x Α x U Α ( x U Α) ( x Α) ( ( x Α)) x Α 2. ( ) c x Α Β x Α Β 3. ( x x ) ( x x ) ( x ) ( x Α Β Α Β Α Β c c Α Β x x x c c Α Β ) του τη ζωή υπήρξε θερμός υποστηρικτής της θρησκευτικής ουδετερότητας και των ακαδημαϊκών ελευθεριών. Διορίστηκε τελικά σε πολύ νεαρή ηλικία (22 ετών) καθηγητής Μαθηματικών στο νεοϊδρυθέν Πανεπιστήμιο του Λονδίνου. Πολυγραφότατος συγγραφέας, βοήθησε στην ίδρυση του Βρετανικού Οργανισμού για την προώθηση της Επιστήμης (83), ο οποίος και εξέδωσε ένα ογκώδες έργο του για τον Διαφορικό και τον Ολοκληρωτικό Λογισμό, όπως επίσης έγραψε και πλειάδα άρθρων στην εγκυκλοπαίδεια που κυκλοφόρησε ο παραπάνω Οργανισμός. Πέθανε στις 8 Μαρτίου του 87 στο Λονδίνο από νευρική παράλυση. Ο George Boole γεννήθηκε στις 2 Νοεμβρίου του 85 στο Lncoln της Αγγλίας. Αντιθέτως με τον De Morgan, πήρε μόνον τη βασική εκπαίδευση, λόγω των ισχών οικονομικών της οικογενείας του. Έμαθε μόνος του Ελληνικά, Λατινικά και Μαθηματικά, τα τελευταία μελετώντας τα έργα των Laplace και Lagrange. Μετά τη γνωριμία του με τον De Morgan, έστρεψε το ενδιαφέρον του στη μελέτη της Λογικής. Το αποτέλεσμα των ερευνών του στη Λογική ήταν ένα μικρό βιβλίο «Η Μαθηματική Ανάλυση της Λογικής», το οποίο εκδόθηκε ταυτόχρονα με το βιβλίο «Αυστηρή Λογική» του De Morgan (847). Ακολούθησε το έργο του «Οι νόμοι της σκέψης» (854), ένα κλασσικό έργο, στο οποίο καθιερώθηκε η Μαθηματική Λογική και μια καινούργια Άλγεβρα, γνωστή ως Άλγεβρα του Boole ή Άλγεβρα των συνόλων ή Άλγεβρα της Λογικής. Ο Bertrand Russell θεώρησε τις ανακαλύψεις που περιέχονται στο παραπάνω έργο ως τις μεγαλύτερες κατακτήσεις της Θεωρητικής σκέψης κατά το 9 ο αιώνα. Η αναγνώριση του έργου του Boole ήρθε με τη αναγόρευσή του στη θέση του καθηγητή των Μαθηματικών στο νεοϊδρυθέν Κολέγιο Queens στο Cork. Δύο χρόνια πριν τον θάνατό του το Πανεπιστήμιο του Δουβλίνου του απένειμε τιμητικό δίπλωμα, αναγνωρίζοντας το έργο του. Το περίεργο είναι πως ένας άλλος μεγάλος πρωτοπόρος της Επιστήμης τον 9 ο αιώνα ο G. Cantor, απέρριψε την εργασία του Boole. Πέθανε μόλις 49 ετών στις 8 Δεκεμβρίου του 864 από πνευμονία.

( ) c x Α Β x Α Β ( x x ) ( x x ) ( x ) ( x Α Β Α Β Α Β c c Α Β x 4. x Α Β x Α x Β x x c c Α Β x Α x Β x Α Β c c ) 9.5 Εγκλεισμός Ορισμός Θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β και θα το συμβολίζουμε Α Β ή Β Α, όταν όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β, δηλαδή Α Β αν και μόνον αν x Α συνεπάγεται x Β. Προφανώς Α=Β αν και μόνον αν Α Β και Β Α Ορισμός 2 Θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β και θα το συμβολίζουμε Α Β ή Β Α όταν όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β και επιπλέον το Β περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο, το οποίο δεν ανήκει στο Α δηλαδή Α Β αν και μόνον αν Α Β και Α Β Πρόταση. Α 2. Α Α 3. Α Α Β 4. Α Β Α 5. Α Β Α 6. Α=Α Β Β Α 7. Α=Α Β Α Β

0 8. Α = 9. Α= Απόδειξη. Η σχέση x x Α είναι αληθής για κάθε x, άρα 5 Α Τα τρία επόμενα είναι εύκολα 5. x Α Β x Α x Β x Α, άρα Α Β Α 6. Αν Α=Α Β, τότε x Α Β x Α, άρα x Α x Β x Α, άρα x Β x Α, άρα Β Α. Αντιστρόφως Αν Β Α, τότε x Β x Α, άρα x Α Β x Α x Β x Α, δηλαδή Α Β Α και επειδή Α Α Β θα αληθεύει το Α =Α Β. 7. Αν Α=Α Β, τότε x Α Β x Α, άρα x Α x Α x Β, άρα x Α x Β άρα Α Β. Αντιστρόφως Αν Α Β, τότε x Α x Β, άρα x Α x Α x Β, άρα Α Α Β και επειδή Α Β Α θα αληθεύει το Α =Α Β. 8. Α και Α, άρα Α =. 9. Α και Α, άρα Α=. Ορισμός 3 Το σύνολο, το οποίο έχει ως στοιχεία όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α ονομάζεται δυναμοσύνολο του Α και συμβολίζεται με ΡΑ ( ). Προφανώς στοιχεία του Ρ( Α ) είναι το και το ίδιο το Α. 5 Είναι η μόνη περίπτωση στα Μαθηματικά, απ όσο γνωρίζω, μαζί με εκείνη της κενής τομής που θα συναντήσουμε στην παράγραφο.8 μετά τον ορισμό 2, που συναντάμε την περίπτωση όπου αληθεύει η συνεπαγωγή με την υπόθεση ψευδή και το συμπέρασμα αληθές.

.6 Συμμετρική Διαφορά Ορισμός Αν Α και Β είναι δύο σύνολα, τότε ορίζουμε ως συμμετρική διαφορά ( Α Β, Symmetrc Dfference) των Α, Β το σύνολο Α Β= ( Α Β) ( Β Α) Πρόταση. Α Β= Α=Β 2. Α =Α Α Β= Α Β Α Β 3. ( ) ( ) 4. Α Β= ( Α Β) ( Α Β) Απόδειξη. Α Β= ( Α Β) ( Β Α ) = Α Β= Β Α= Α Β Β Α Α=Β Οι αποδείξεις των 2,3,4 είναι εύκολες.7 Καρτεσιανό Γινόμενο Το σύνολο το οποίο έχει μόνο δύο στοιχεία λέγεται διμελές { x, y }. Ένα διμελές σύνολο, στο οποίο μας ενδιαφέρει η σειρά των στοιχείων του, δηλαδή ποιο είναι πρώτο και ποιο δεύτερο, λέγεται διατεταγμένο ζεύγος και συμβολίζεται ( x, y ). Ένας αυστηρότερος ορισμός του διατεταγμένου ζεύγους, που οφείλεται στον Πολωνό μαθηματικό C. Kuratowsk 6 είναι ο 6 Ο Kazmerz Kuratowsk γεννήθηκε στη Βαρσοβία στις 2 Φεβρουαρίου 896 και πέθανε στη Βαρσοβία στις 8 Ιουνίου του 980. Ένας από τους κύριους εκπρόσωπους της μεγάλης Σχολής Μαθηματικών της Βαρσοβίας. Ολοκλήρωσε στη Βαρσοβία την βασική του εκπαίδευση και σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας απ όπου αναγορεύθηκε διδάκτορας το 92. Στη διδακτορική του διατριβή, επιβλέπων της οποίας ήταν ο Waslaw Serpnsk, θεμελίωσε την Τοπολογία πάνω στα περίφημα αξιώματα κλειστότητας. Το 935 αναγορεύεται καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, θέση την οποία διατηρεί έως και το 952. Από το 948 έως το 967 είναι Διευθυντής του Ινστιτούτου Μαθηματικών της Πολωνικής Ακαδημίας Επι-

2 Ορισμός ( x, y) = { x,{ x, y}} Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει άμεσα η Πρόταση ( x, y) = ( z, w) x= z y= w. Απόδειξη Το είναι προφανές. Για το έχουμε ότι x, xy, z, zw, x z, z, w {{ } { }} = {{ } { }}, άρα { } {{ } { }}, άρα { x} { z} { x} = { zw, }. Στη πρώτη περίπτωση έχουμε { },{, },, οπότε θα πρέπει { x, y} {{ x},{ x, w} }, άρα { x, y} = { x} ή { x, y} = { x, w}. Από το πρώτο ενδεχόμενο προκύπτει x y z w = ή { x xy} {{ x} { xw} } και το ζητούμενο. Από το δεύτερο y = w, άρα x = z y = w. Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε x = z= w, άρα {{ x},{ xy, }} { x} =, οπότε x = y = z = w, άρα και το ζητούμενο. =, = = =, άρα Με την ίδια λογική μπορούμε να ορίσουμε διατεταγμένες τριάδες, τετράδες κ.λ.π. Ορισμός 2 ( x, yz, ) = ( x,( yz, )) ( x, yzw,, ) = ( x,( yzw,, )) και επαγωγικά στημών και για μακρό χρονικό διάστημα πρόεδρος της Πολωνικής και της Διεθνούς Μαθηματικής Εταιρείας. Διακεκριμένο μέλος της ομάδας κυρίως Πολωνών σημαντικών μαθηματικών που στην περίοδο του μεσοπολέμου σύχναζαν στο περίφημο Scottsh Cafe του Lvov, όπου τέθηκαν και λύθηκαν σημαντικά μαθηματικά προβλήματα, τα οποία είναι συγκεντωμένα στο περίφημο Scottsh Book. Διετέλεσε Διευθυντής έκδοσης του περιοδικού Fundamenta Mathematca. Μερικές από τις πρωτότυπες συμβολές στα Μαθηματικά: Τα αξιώματα κλειστότητας στην Τοπολογία Η απόδειξη του λήμματος Zorn-Kuratowsk Στη θεωρία γραφημάτων το γνωστό Θεώρημα Kuratowsk Ο ορισμός του διατεταγμένου ζεύγους Η εισαγωγή του αλγορίθμου Tark-Kuratowsk Το Τοπολογικό πρόβλημα κλειστότητας συμπληρώματος Το θεώρημα του ελευθέρου συνόλου Η σύγκλιση υποσυνόλων μετρικών χώρων Σημαντικά έργα του η δίτομη Τοπολογία του και η Θεωρία Συνόλων, την οποία έγραψε μαζί με τον μαθητή του Mostowsk

3 ( x, x,..., x ) = ( x,( x, x,..., x )) 2 ν+ 2 3 ν+ Προφανώς x, x, x = y, y, y x = y, x = y, x = y και Πρόταση 2. ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 3 3 ( x, x,..., x ) = ( y, y,..., y ) 2. 2 ν 2 x = y, x = y,..., x = y 2 2 Ορισμός 3 Το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών με πρώτα στοιχεία από το Α και δεύτερα από το Β λέγεται καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β, δηλαδή Α Β= ( xy, )/ x Α y Β { } Είναι προφανές πως Πρόταση 3 Αν Α= ή Β =, τότε και μόνον τότε Α Β=, όπως επίσης αν Α = ή Α 2 = ή,, ή Α ν =, τότε και μόνον τότε Α Α Α = 2 ν ν ν ν Πρόταση 4. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) 2. ( Β Γ ) Α= ( Β Α) ( Γ Α) 3. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) 4. ( Β Γ ) Α= ( Β Α) ( Γ Α) 5. Α Β Α Γ Β Γ 6. Α Β Α Γ Β Γ 7. Α Β Γ Α Γ Β 8. Α Β Γ Α Γ Β 9. Αν ΑΒΧΨ,,, είναι μη κενά σύνολα και Α Β= Χ Ψ, τότε Α= Χ και Β =Ψ

4 Απόδειξη. ( xy, ) Α ( Β Γ) x Α y Β Γ x Α ( y Β y Γ) ( x Α y Β) ( x Α y Γ) ( xy, ) Α Β ( xy, ) Α Γ ( xy, ) ( Α Β) ( Α Γ) Ομοίως αποδεικνύονται τα 2,3,4. 5. ( xy, ) Α Γ x Α y Γ x Β y Γ ( xy, ) Β Γ Ομοίως αποδεικνύονται τα 6,7,8. 9. ( xy, ) Α Β ( xy, ) Χ Ψ, άρα x Α x Χ και y Β y Ψ, άρα Α =Χ και Β=Ψ Ορισμός 4 Α Β Γ = Α ( Β Γ), Α Β Γ Δ = Α ( Β Γ Δ) Α Α Α Α =Α ( Α Α Α ) 2 ν ν+ 2 ν ν+ Παρατήρηση Το ( Α Β ) Γ = Α ( Β Γ) είναι λάθος, γιατί το ζεύγος (( α, β), γ ) είναι προφανώς διαφορετικό από το ( α,( βγ, ))..8 Σχέσεις-Απεικονίσεις Ορισμός Διμελή σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Β, ονομάζουμε κάθε υποσύνολο σ του καρτεσιανού γινομένου Α Β. Αν ( xy, ) σ, γράφουμε xσ y ή σ ( x) = y και αν ( xy, ) σ γράφουμε x σ y. Αν Α=Β, τότε θα λέμε ότι έχουμε μια διμελή σχέση σ στο σύνολο Α και αυτό θα συμβολίζουμε με ( Α, σ ). Αν σ είναι μία διμελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Β, τότε πεδίο ορισμού της σ (συμβολικά dom( σ )) ονομάζουμε το σύνολο dom( σ) = { x / x Α y Β, xσ y} και πεδίο τιμών της σ (συμβολικά rng( σ )) το σύνολο

{ σ } rng( σ) = y / y Β x Α, x y Ορισμός 2 Αν σ είναι μια διμελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Β, τότε ορίζουμε τη σχέση σ μεταξύ των συνόλων Β και Α ( σ Β Α) ως ( yx, ) σ ( xy, ) σ Την διμελή σχέση σ ονομάζουμε αντίστροφη της σ Σχετικά με τις σχέσεις σ και εύκολα αποδεικνύεται η παρακάτω σ Πρόταση α. dom( σ ) = rng( σ ) β. rng( σ ) = dom( σ ) γ. ( σ ) σ = Οι παρακάτω ορισμοί από 2 έως και 9 αφορούν διμελή σχέση στο σύνολο Α Έστω σ μία σχέση στο σύνολο Α, τότε δίνουμε τους παρακάτω ορισμούς Ορισμός 3 Αν ισχύει α σα, για κάθε α Α, λέμε ότι η σχέση σ είναι ανακλαστική. Παράδειγμα Στο σύνολο των θετικών ακεραίων η σχέση ο α διαιρεί τον β (α β ) είναι μία διμελής σχέση, η οποία είναι ανακλαστική γιατί α α, για κάθε α Ορισμός 4 Αν δεν υπάρχει α Α, ώστε α σα, λέμε ότι η σ είναι μη ανακλαστική (αλλιώς γράφουμε α σ α, για κάθε α Α ) Παράδειγμα Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η σχέση < είναι μια διμελής σχέση, η οποία είναι μη ανακλαστική γιατί δεν υπάρχει α ώστε α < α. Ορισμός 5 Αν για κάθε α, β Α η ταυτόχρονη αλήθεια των α σβ και β σα συνεπάγεται α = β, λέμε ότι η σ είναι αντισυμμετρική. 5

6 Παράδειγμα Στο δυναμοσύνολο Ρ( Α ) ενός μη κενού συνόλου Α η σχέση είναι μια διμελής σχέση αντισυμμετρική γιατί Α Β και Β Α συνεπάγεται Α =Β. Ορισμός 6 Αν για κάθε α, β Α η α σβ συνεπάγεται την β σα, λέμε ότι η σ είναι συμμετρική. Παράδειγμα Στο σύνολο Π των ευθειών του επιπέδου η σχέση η σχέση της παραλληλίας είναι μια διμελής σχέση συμμετρική γιατί ε δ δ ε. Ορισμός 7 Αν δεν υπάρχουν α, β Α ώστε να ισχύουν συγχρόνως α σβ και β σα, λέμε ότι η σ είναι γνήσια αντισυμμετρική (ή αλλιώς για κάθε α, β Α ισχύει α σβ βσα ) Παράδειγμα Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η σχέση < είναι μια διμελής σχέση, η οποία είναι γνήσια αντισυμμετρική γιατί δεν υπάρχουν α, β ώστε α < β και β < α. Ορισμός 8 Αν για κάθε α, βγ, Α οι α σβ και β σγ συνεπάγονται την α σγ, λέμε ότι η σ είναι μεταβατική. Σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα οι διμελείς σχέσεις που περιγράφονται είναι μεταβατικές. Σχόλιο. Αν σ μία διμελής σχέση στο σύνολο Α και σ =, θα λέμε ότι η σ είναι ασθενώς τετριμμένη. Αν επιπλέον ισχύει και Α =, τότε θα λέμε ότι η σ είναι τετριμμένη. Είναι φανερό πως κάθε τετριμμένη σχέση είναι και ασθενώς τετριμμένη, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα. Οι ασθενώς τετριμμένες σχέσεις είναι μεταβατικές, συμμετρικές, αντισυμμετρικές, ανακλαστικές και μη ανακλαστικές. 2. Αν μια σχέση σ είναι μη ανακλαστική και μεταβατική, τότε είναι και γνήσια αντισυμμετρική. Ορισμός 9 Μια διμελής σχέση σ στο Α, η οποία είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ονομάζεται σχέση ισοδυναμίας. Παραδείγματα.Στο σύνολο των θετικών ακεραίων η σχέση

α β modκ, όπου κ ένας ακέραιος 2 είναι σχέση ισοδυναμίας. Δηλαδή οι θετικοί ακέραιοι είναι ισοδύναμοι, όταν στη διαίρεσή τους δια κ είναι ισουπόλοιποι. 2. Έστω C το σύνολο των Caushy ακολουθιών με όρους ρητούς αριθμούς. Στο C ορίζουμε τη σχέση a b αν και μόνον αν lm( a b ) = 0. Η n n n σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας. 3. Στο σύνολο ορίζουμε τη σχέση ως εξής : x y x y. Η σχέση αυτή είναι προφανώς σχέση ισοδυναμίας. Για την ιστορία είναι η σχέση που χρησιμοποίησε ο Vtal 7, για να αποδείξει ύπαρξης μη μετρήσιμου συνόλου. Ορισμός 0 Το σύνολο των στοιχείων β του Α, για τα οποία ισχύει α σβ, όπου α Α, λέμε ότι αποτελούν μια κλάση ισοδυναμίας, την οποία συμβολίζουμε με [ α ]. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας που ορίζονται στο σύνολο Α από τη σχέση ισοδυναμίας σ ονομάζεται σύνολο πηλίκο της σ και συμβολίζεται με [ Α / σ ]. Στο παραπάνω παράδειγμα, κλάσεις ισοδυναμίας στο σύνολο των ακεραίων είναι το σύνολο των αριθμών οι οποίοι δίνουν υπόλοιπο 0, το σύνολο των αριθμών οι οποίοι δίνουν υπόλοιπο, κ.ο.κ. έως και το σύνολο των αριθμών οι οποίοι δίνουν υπόλοιπο κ, όταν διαιρεθούν δια του ακεραίου κ. n n 7 7 Ο Guseppe Vtal, γεννήθηκε στη Ραβέννα της Ιταλίας στις 26 Φεβρουαρίου του 875. Στο χρόνο που ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά, ειδικά τα τελευταία 4 χρόνια της ζωής του, γιατί για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα τα εγκατέλειψε είτε για βιοποριστικούς λόγους, είτε για να ασχοληθεί με τη πολιτική, εργάστηκε σε διαφορετικούς κλάδους της Μαθηματικής Ανάλυσης. Έδωσε ένα παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου πραγματικών. Το φερώνυμο θεώρημα της κάλυψης είναι ένα από τα θεμελιώδη θεωρήματα της Θεωρίας Μέτρου. Επίσης απέδειξε διάφορα θεωρήματα πάνω στη σύγκλιση ακολουθιών μετρησίμων και ολομόρφων συναρτήσεων. Πέθανε στις 29 Φεβρουαρίου του 932 στην Μπολόνια.

8 Ορισμός Μια διμελής σχέση μεταξύ των συνόλων Α και Β θα ονομάζεται απεικόνιση του Α στο Β ή συνάρτηση 8 από το Α στο Β και θα συμβολίζεται f : Α Β, αν ισχύει το εξής Για κάθε x Α υπάρχει ακριβώς ένα y Β ώστε f ( x) = y ή για κάθε x Α υπάρχει y Β ώστε f ( x) = y και αν f ( x) f( x 2 ), τότε x x2 για κάθε x, x2 Α. Αν y= f( x) λέμε ότι το y είναι αντίστοιχο (ή αλλιώς εικόνα) του x μέσω της παραπάνω απεικόνισης. Το σύνολο των εικόνων f ( x ), για x Α θα συμβολίζουμε με f ( Α ). Το σύνολο Α ονομάζουμε πεδίο ορισμού της απεικόνισης f : Α Β και συμβολίζουμε και με D( f). Παράδειγμα Η διμελής σχέση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, η οποία ορίζεται από τη σχέση σ για την οποία xσ y y = x δεν είναι απεικόνιση του στο, ενώ η σχέση f για την οποία xfy y = x είναι απεικόνιση του στο Στο εξής θα χρησιμοποιούμε συχνότερα τον όρο απεικόνιση, που ταιριάζει περισσότερο στα θέματα που διαπραγματευόμαστε. Ορισμός 2 Αν f : Α Β και g : Γ Δ, τότε f Α=Γ, Β =Δ και f ( x) = g( x), για κάθε x Α Το σύνολο των απεικονίσεων f : Α Β συμβολίζουμε με Πρόταση 2 Αν Α, Β και Γ σύνολα με Α Β, τότε Γ Γ Α Β. Απόδειξη Εύκολη = g αν και μόνον αν Α Β. Ορισμός 3 Μία απεικόνιση f : Α Β, θα λέμε ότι είναι ένα προς ένα (-), όταν ισχύει το : Αν f ( x) = f( x2) τότε x = x2, για κάθε x, x2 Α 8 Η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται συστηματικά στα Μαθηματικά στο έργο Introducto n analysn nfntorum του Euler (784). Ο σημερινός ορισμός, ο οποίος στηρίζεται στην έννοια του συνόλου, οφείλεται στον Peano. Μια πολύ κατατοπιστική αναφορά στην ιστορική εξέλιξη της έννοιας ο ενδιαφερόμενος μπορεί να βρει στο: Νεγρεπόντης Σ., Γιωτόπουλος Θ., Γιαννακούλιας Ε. Απειροστικός Λογισμός Ι, σελ.23-25.

ή το ισοδύναμο Αν x x2 τότε f ( x) f( x 2 ), για κάθε x, x2 Α 3 Παράδειγμα Η απεικόνιση f : με f ( x) = x είναι (-), ενώ η 2 f : με f ( x) = x δεν είναι. Ορισμός 4 Μία απεικόνιση f : Α Β, θα λέμε ότι είναι επί, όταν για κάθε y Β υπάρχει x Α ώστε f ( x ) = y ή αλλιώς f ( Α ) =Β. 2 Παράδειγμα Η f : με f ( x) = x δεν είναι επί, ενώ η 2 f : [0, + ) με f ( x) = x είναι επί. Ορισμός 5 Μία απεικόνιση f : Α Β, θα λέμε ότι είναι αμφιμονοσήμαντη, όταν είναι ένα προς ένα και επί. Παραδείγματα αμφιμονοσήμαντων απεικονίσεων είναι τα 3. f : με f ( x) = x π π 2. g :(, ) με g( x) = ε φ x 2 2 3. h :(0, + ) με hx ( ) = lnx. Ορισμός 6 Έστω απεικόνιση f : Α Β και Α Α, τότε την απεικόνιση g : Α Β με g( x) = f( x), για κάθε x Α ονομάζουμε περιορισμό της f στο Α, την δε f επέκταση της g στο Α. Πρόταση 3 Αν η απεικόνιση f : Α Β είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε και μόνον τότε η αντίστροφη σχέση είναι συνάρτηση Απόδειξη Εύκολη Παράδειγμα Η αντίστροφη της αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης 2 f :(,0) (0, + ) με f ( x) = x είναι η f :(0, + ) (,0) με f ( x) = x f 9

20 Ορισμός 7 Η απεικόνιση Α : Α Α με Α ( x) = x, για κάθε x Α ο- νομάζεται ταυτοτική από το Α στο Α Ορισμός 8 Αν I και G είναι μη κενά σύνολα. Κάθε επί απεικόνιση a: I G ονομάζουμε οικογένεια στο σύνολο G με δείκτες στο I. Στην περίπτωση αυτή αντί του a () θα γράφουμε a, την δε απεικόνιση θα συμβολίζουμε a, I. Ιδιαίτερα όταν το σύνολο G έχει ως στοιχεία σύνολα, τότε έχει ιδιαίτερη σημασία η οικογένεια η οποία προκύπτει. Σ αυτή τη περίπτωση μπορούμε να δώσουμε γενικευμένους ορισμούς της ένωσης και της τομής ως εξής ή Ορισμός 9 Α j = { x/ j I x Αj} υπάρχει j I j I ώστε x Α j x Α j αν και μόνον αν j I Ορισμός 20 Α j = x/( x Αj) ( j I x Α j) j I j I x Αj αν και μόνον αν x Α j για κάθε j I. j I Παραδείγματα. (,] = (0,] ν, όπου = { ν / ν ν > } ν Πράγματι x (,], άρα υπάρχει φυσικός ν > ώστε ν ν ή x (,], ν άρα x ν <, άρα 0 < x, άρα x (0,] και αντιστρόφως. x (0,], άρα (επειδή x ν (,] ν lm = 0 ) υπάρχει ν ώστε x ν ν ν <, άρα

2 2. ( +, ) = (,) ν ν ν Πράγματι x ( +, ), άρα υπάρχει ν > ώστε ν ν ν x + (, ) ν ν, άρα < + < x < <, ν ν άρα x (,) και αντιστρόφως x (,), άρα x + > 0 και x > 0 (επειδή δε lm = 0 ) θα υπάρχουν ν, ν 2 ώστε x ν ν ν < + και x ν < Αν ν 0 = max{ ν, ν 2 }, τότε x 2 ν < + και x 0 ν <, άρα 0 + x ν < < ν, άρα x ( +, ). ν ν ν Το 3. 0 0 α * * ( αα, ) = x ( αα, ) x α είναι προφανές. Το αντίστροφο x, άρα x x x, άρα α = x < x< x + = α Συνεπώς x ( α, α ) α * 4. (, ) = {} 0 ν ν ν Πράγματι είναι προφανές πως 0 (, ) για κάθε ν ν ν Επιπλέον α (, ), για κάθε ν, άρα α ν ν ν < < ν, για κάθε ν άρα lm( ) lmα lm, άρα 0 α 0, άρα α = 0. ν ν ν ν ν Γενικεύοντας 5. ( αα, ) = { 0} α *

22 Πρόταση 4. Α ( Β ) = ( Α Β ) 2. Α ( Β ) = ( Α Β ) 3. ( Α ) ( Β ) = ( Α Β j j J (, j) I J 4. ( Α) ( Β j) = ( Α Β j ) j J (, j) I J 5. ( Α) ( Β ) = ( Α Β ) 6. ( Α) ( Β ) = ( Α Β ) 7. ( Α Β ) ( Α ) ( Β ) 8. ( Α ) ( Β ) ( Α Β ) Απόδειξη. x Α ( Β ) x Α x Β x Α (, x Β ) I x Α Β, x ( Α Β ) 2. x Α ( Β) x Α ( x Β) ( x Α x Β ) ( x Α Β ) x ( Α Β ) j 3. x ( Α ) ( Β ) x Α x Β j j J j J ( x Α ) ( j J x Β [(, j) I J ( x Α x Β )] x ( Α Β ) (, j) I J j j ) j j )

23 4. x ( Α ) ( Β ) x Α x Β j j J j J ( I, x Α) ( j J, x Β (, j) I J,( x Α x Β j) (, j) I J, x Α Β j x ( Α Β ) (, j) I J Οι αποδείξεις των 5, 6, 7, 8 αφήνονται ως ασκήσεις στον αναγνώστη. Πρόταση 5. Α Β = ( Α Β ) 2. Α Β = ( Α Β ) Απόδειξη. x Α Β x Α ( x Β ) x Α (, x Β ) x Α ( x Β ) [ ( x Α x Β ) x ( Α Β ) j x Α Β x Α x Β 2. x Α ( x Β ) x Α ( I, x Β ) I, x Α Β x I, x Α Β x ( Α Β ) j ) Πρόταση 6. ( Α ) ( Β ) = ( Α Β j j J (, j) I J 2. ( Α ) ( Β ) = ( Α Β j j J (, j) I J j ) j j )

24 Απόδειξη. ( xy, ) ( Α ) ( Β ) j J x Α y Β j J ( x Α ) ( j J y Β (, j) I J ( x, y) Α Β j ( xy, ) ( Α Β ) (, j) I J 2. ( xy, ) ( Α ) ( Β ) j J x Α y Β j J, x Α j J, y Β (, j) I J,( x, y) Α Βj ( xy, ) ( Α Β ) (, j) I J Πρόταση 7 (Γενίκευση των νόμων του De Morgan) Αν Α, I είναι οικογένεια υποσυνόλων του συνόλου U, τότε c Α = Α c Απόδειξη Αφήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. j j j j j j j j ) c c Α = Α και Σε αρκετές περιπτώσεις στα επόμενα θα συναντήσουμε τα A και A, όπου C είναι ένα σύνολο με στοιχεία σύνολα. Τα παραπάνω ορίζονται ως εξής : A C Ορισμός 2 Αν A ένα μη κενό σύνολο με στοιχεία σύνολα, τότε A C

25 A= { x/ A C, x A} και A= { x/ A C x A} A C A C Σχόλιο Στα επόμενα θα μας είναι επίσης χρήσιμο να γράφουμε το Καρτεσιανό Γινόμενο Α Β, ως ένωση μιας οικογένειας συνόλων με τον εξής τρόπο Α Β= Γβ Γ β = ( αβ, )/ α Α, όπου { } β Β 9 λέμε ότι είναι μία διαμέριση του συνό- Ορισμός 22 Το σύνολο C Ρ( Α) λου Α, αν και μόνον αν. Αν Α C, Α2 C και 2. B = Α B C Α Α 2, τότε 2 Α Α = και Για παράδειγμα αν σ είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο σύνολο πηλίκο [ Α / σ ] αποτελεί διαμέριση του συνόλου Α Α, τότε το Πρόταση 8 Έστω f μια απεικόνιση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και Α, Α 2 υποσύνολα του Α, τότε f( Α Α 2) = f ( Α) f( Α2) και γενικότερα αν Α, μία οικογένεια υποσυνόλων του Α, τότε ) f( Α ) = f( Α Απόδειξη Έστω y f( Α ) x Α, f( x) = 9 Αν C =, τότε είναι προφανές ότι την A C A. y, x Α f( x) = y, y f( Α) y f( Α) ; Είναι προφανές ότι για κάθε συνόλου είναι στοιχείο ; Αν A C C Ρ( X) A = x αληθεύει το, τότε A C. Τι γίνεται στην περίπτωση αυτή με A= X x A A C. Το x όμως τίνος. Τα ίδια ακριβώς έχουμε και στους ορισμούς 9 και 20, όταν I =. Πολλοί μαθηματικοί δεν ορίζουν κενές τομές συνόλων.

26 Αντιστρόφως y f( Α ), y f( Α ) x Α, f( x) = y x Α f( x) = y y f( Α ) Πρόταση 9 Αν Α, Α 2υποσύνολα του Α, τότε f( Α Α2) f( Α) f( Α2) και γενικότερα Αν Α, I μία οικογένεια υποσυνόλων του Α, τότε f( Α ) f( Α ) Απόδειξη y f( Α) f( x) = y x Α. ( x Α f( x) = y) f( x) = y ( f( x) f( Α )) y f( Α ) Σχόλιο Το = δεν ισχύει πάντα. Για παράδειγμα αν f : [0, + ) με 2 f ( x) = x, Α = (,0) και Α 2 = (0, + ), τότε Α Α 2 =, άρα f ( Α Α 2) =, ενώ f ( Α) f ( Α 2 ) = (0, + ) f Σχόλιο Όπως βλέπουμε η είναι «πλουσιότερη» σε ιδιότητες από την f. Αυτό την καθιστά πολύ χρήσιμη στη Τοπολογία. Πρόταση 0 Αν η απεικόνιση f είναι -, τότε f( Α Α ) = f( Α ) f( Α ) και γενικότερα : 2 2 f( Α ) = f( Α ).

Απόδειξη Λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα της πρότασης 6, αρκεί να αποδείξουμε ότι y f( Α ) y f( Α ). Πράγματι ( ) ( ( x )). Άρα όλα τα παραπάνω y f Α x Α y = f f ( x ) είναι μεταξύ τους ίσα, κατά συνέπεια, επειδή η f είναι -, θα είναι ίσα και τα x μεταξύ τους. Συνεπώς θα υπάρχει x Α με y = f( x), άρα f ( x ) = y με x Α y f( Α ). Πρόταση Αν Α, Α 2υποσύνολα του Α, τότε f( Α) f( Α2) f( Α Α 2 ) Αν επιπλέον η απεικόνιση f είναι -, τότε f( Α Α ) = f( Α) f( Α). 2 2 27 Απόδειξη y f( Α) f( Α2), άρα υπάρχει x A με f ( x ) = y. Αν x A 2, τότε y = f( x) f( A2 ), άρα y f( Α) f( Α 2), άτοπο. Συνεπώς υπάρχει x A A2 ώστε y f( Α A2), συνεπώς το ζητούμενο α- ποδείχθηκε. Αν η f είναι επί πλέον -, τότε θα αποδείξουμε ότι y f( Α Α2) y f( Α) f( Α 2) Πράγματι y f( Α Α2) x Α Α 2, f( x) = y x Α, f( x) y = Αν x Α, f( x ) = y, τότε 2 f( x ) = f( x) x = x x Α Α 2, άτοπο. Συνεπώς υπάρχει x Α, f( x) = y y f( A2), άρα y f( Α ) f( Α ). 2 Σχόλιο Αν η f δεν είναι - δεν ισχύει πάντα το =. Για παράδειγμα αν 2 f : [0, + ) με f ( x) = x, Α = (,0] και Α 2 = [0, + ), τότε f ( Α Α 2 ) = [0, + ), ενώ f ( Α) f ( Α 2) =

28 Πρόταση 2 Έστω f : Α Β μία απεικόνιση και Α, I μία οικογένεια υποσυνόλων του Β, τότε ισχύουν. f ( Α ) = f ( Α και 2. f ) ( Α ) = f ( Α) Απόδειξη. y f Α x Α, f( x) = y, x Α, f( x) = y y f Α ( ) ( ), y f Α 2. Α Α = ( x Α ), f( x) = y y f x, f( x) y x,( x A), y= f( x) ( ) y f Α Πρόταση 3 Έστω f : Α Β μία απεικόνιση και Γ, Δ υποσύνολα του Β, τότε f ( Γ Δ ) = f ( Γ) f ( Δ) Απόδειξη y f ( Γ Δ) x Γ Δ, f( x) = y x Γ x Δ, f ( x) = y y f ( Γ) y f ( Δ) y f Γ f Δ ( ) ( )

29 Ορισμός 23 Έστω f : Α Δ και g : Β Γ απεικονίσεις με f ( Α) Β, τότε ορίζουμε την απεικόνιση g f : Α Γ με ( g f)( x) = g( f ( x)) για κάθε x Α, όπου { x x f x } Α = / Α ( ) Β. Την απεικόνιση g f ονομάζουμε σύνθεση της Εύκολα αποδεικνύονται οι f με τη g Πρόταση 4 Αν f : Α Β, τότε f f και f f Β = Α = Πρόταση 5 Αν f : Α Β, g : Β Γ και h : Γ Δ, τότε h ( g f) = ( h g) f Πρόταση 6 Αν η f : Α Β είναι αμφιμονοσήμαντη, τότε f f = και f f = Α Β Πρόταση 7 Αν οι f : Α Βκαι g : Β Γ είναι αμφιμονοσήμαντες τότε η απεικόνιση : g f : Α Γ είναι επίσης αμφιμονοσήμαντη και ισχύει ( g f) = f g Απόδειξη Έστω x, x2 Α, τότε ( g f)( x) = ( g f)( x2) g( f( x)) = g( f( x )) 2 f( x) = f( x2) x = x2 Άρα η g f είναι -. Το επί είναι εύκολο. ( g f) ( x) = y x= ( g f)( y) ( f g )( x) = y2 g ( x) = f( y2) x= ( g f)( y) ( g f)( y) = ( g f)( y2) y = y2 δηλαδή : ( g f) = f g Παρατήρηση Δεν ισχύει πάντα : f g = g f για παράδειγμα 2 Αν f : [, + ) με f( x) = x +

30 g :[0, + ) [0, + ) με g( x) = x, τότε g f : [, + ) με ( )( ) 2 g f x = x + f g :[0, + ) [, + ) με ( f g)( x) = x+. Προφανώς f g g f Σε ορισμένες περιπτώσεις όμως ισχύει f g = g f. Για παράδειγμα αν 2 f : [0, + ) με f ( x) = x και g : [0, + ) με gx ( ) = x, τότε f g: [0, + ) 2 f g ( x) = x = x και με ( ) 2 g f : [0, + g f ( x) = x = x ) με ( ) 2 2 Για να δώσουμε τον γενικευμένο ορισμό του γινομένου μιας οικογένειας συνόλων, καθώς και να αποδείξουμε αρκετές προτάσεις των επομένων κεφαλαίων χρειάζεται να «νομιμοποιήσουμε» τη διαδικασία, σύμφωνα με την οποία μπορούμε από κάθε ένα μέλος μιας οικογένειας μη κενών και ξένων μεταξύ τους συνόλων να επιλέξουμε ένα ακριβώς στοιχείο. Η νομιμοποίηση αυτή είναι μια πρόταση που «φαίνεται» ως μία απολύτως φυσική διαδικασία και τη δεχόμαστε, χωρίς να απαιτούμε γι αυτήν απόδειξη. Αυτό είναι το περίφημο Αξίωμα της επιλογής, το οποίο θα αναλύσουμε διεξοδικά, στο τελευταίο κεφάλαιο. Αξίωμα της Επιλογής Αν Χ, I είναι μία μη κενή οικογένεια μη κενών και ξένων ανά δύο συνόλων, τότε το αξίωμα επιλογής (Αγγλικά Axom of choce, Γαλλικά axome du chox) μας εξασφαλίζει την ύπαρξη συνόλου Α τέτοιου ώστε η τομή Α Χ για κάθε I να είναι μονοσύνολο 0. Κάθε τέτοιο σύνολο Α ονομάζουμε σύνολο επιλογής Πρόταση 8 (Γενική αρχή επιλογής) Το αξίωμα επιλογής είναι ισοδύναμο με την εξής πρόταση: Αν Χ ένα μη κενό σύνολο. Τότε υπάρχει απεικόνιση r : ΡΧ ( ) Χ με r( Α) Α { } Απόδειξη Από το αξίωμα επιλογής στο σύνολο Χ συνεπάγεται η Γενική 0 Δηλαδή σύνολο με ένα μόνον στοιχείο. Η απεικόνιση ονομάζεται και συνάρτηση επιλογής. r

Αρχή Επιλογής. Α Ρ( Χ) ορίζουμε το σύνολο Για κάθε { } F( Α ) = {(, α)/ α } Προφανώς αν, ( ) { } Α Α. ΑΒ ΡΧ και Α Β, τότε F( Α) F( Β ) =. Άρα η οικογένεια G= { F( Α)/ Α Ρ( Χ) } είναι μια μη κενή οικογένεια μη κενών και ξένων ανά δύο συνόλων συνεπώς σύμφωνα με το αξίωμα επιλογής θα υπάρχει σύνολο J, ώστε η J F( Α ) να είναι μονοσύνολο για κάθε Α Ρ( Χ). Θεωρούμε την απεικόνιση r : ΡΧ ( ) Χ, ώστε αν J F( Α ) = {( Α, α) }, τότε r( Α ) = α, η ο- ποία είναι η ζητούμενη απεικόνιση (συνάρτηση επιλογής) Αντιστρόφως Αν Χ, είναι μία οικογένεια μη κενών και ξένων ανά δύο συνόλων, τότε Χ Ρ( Χ ). Άρα υπάρχει απεικόνιση { } { } με r( Β) Β, για κάθε Β Ρ( Χ ) { } r : Ρ( Χ ) Χ Το { r( ), I} Α= Χ είναι το ζητούμενο σύνολο επιλογής.. Παρατήρηση Μία ειδική περίπτωση της Γενικής Αρχής της Επιλογής (αυτή χρησιμοποιούμε συχνότερα) είναι η: Αν Θ: Α, είναι μία μη κενή οικογένεια μη κενών συνόλων, τότε υ- πάρχει συνάρτηση f : Θ Α, ώστε f ( Α ) Α, για κάθε I. Είναι προφανές πως η f είναι ο περιορισμός της συνάρτησης επιλογής του Χ =Ρ( Α) στο σύνολο Θ, το οποίο είναι υποσύνολο συνόλου { } του Χ. Την παραπάνω συνάρτηση ονομάζουμε συνάρτηση επιλογής για την οικογένεια Θ Ορισμός 24 Ορίζουμε ως καρτεσιανό γινόμενο μιας οικογένειας Α, συνόλων, το σύνολο όλων των απεικονίσεων του I στην ένωση Α, ώστε κάθε από το I να απεικονίζεται σε ένα στοιχείο του Α ή πιο αυστηρά : 3

32 ΧΑ = a/ a: I Α a( ) Α Επίσης μπορούμε να ορίσουμε το καρτεσιανό γινόμενο A A Χ, ενός S συνόλου S, του οποίου τα στοιχεία είναι επίσης σύνολα, ως το σύνολο των απεικονίσεων f : S A ώστε f ( A) A. Επίσης A S Α Β =ΧΒ α και α α Α Β =Β Παρατήρηση Είναι προφανές ότι αν I =, τότε Χ Α = Πρόταση 9 (Πολλαπλασιαστική αρχή) Το καρτεσιανό γινόμενο Α μίας οικογένειας συνόλων Α, I με I είναι κενό αν και Χ μόνον αν υπάρχει I, ώστε Α =. Απόδειξη Αν υπάρχει I με Α =, τότε δεν υπάρχει απεικόνιση a: I Α με a () Α, άρα Α = Αντιστρόφως αν για κάθε I έχουμε r : Ρ( Α ) Α Χ Α, τότε (Γενική Αρχή Επιλογής) θα υπάρχει απεικόνιση { }, ώστε r( Α Α ) για κάθε Α Ρ( Χ) { }. Θεωρούμε την απεικόνιση : I Ρ( Χ) { } με () =Α. Τότε r ϑ ΧΑ, άρα Χ Α Εύκολα αποδεικνύεται τώρα ότι Πρόταση 20 Το Αξίωμα της Επιλογής και η Πολλαπλασιαστική Αρχή είναι προτάσεις ισοδύναμες.

33.9 Ακολουθίες Συνόλων Ορισμός Έστω Α, n μια ακολουθία συνόλων τότε n. Ορίζουμε ως lmsup Α n το σύνολο Α για το οποίο α Α αν και μόνον αν το α ανήκει σε όλους τους όρους μιας υπακολουθίας 2 της Αn, n ή αλλιώς ανήκει σε άπειρα στοιχεία της ακολουθίας Αn, n. 2. Ορίζουμε ως lmnf Α n το σύνολο Α για το οποίο α Α αν και μόνον αν υπάρχει k ώστε α Α n για κάθε φυσικό αριθμό n k. Στην περίπτωση που Α=Α=Α λέμε ότι η ακολουθία Αn, n συγκλίνει και σημειώνουμε Α= lm Α n Πρόταση Έστω Α, n ακολουθία συνόλων τότε n. Α= lmnf Α n = Αn k= n= k 2. Α= lmsup Α n = Α n k= k= n Απόδειξη. x Α, άρα υπάρχει k ώστε άρα x n= k Α Αντιστρόφως n, άρα x k= n= k Α n x Α, για κάθε n k, x Αn, άρα υπάρχει k ώστε x Αn, άρα υ- k= n= k πάρχει k ώστε x Α, για κάθε n k, άρα x Α n 2. x Α, άρα υπάρχει γνησίως αύξουσα ακολουθία δεικτών ώστε x Α, για κάθε k. Και επειδή nk k θα έχουμε x n k κάθε k, συνεπώς x Αn. k= k= n n n= k n k n= k Α n, για 2 Οι έννοιες της ακολουθίας και της υπακολουθίας θεωρούνται γνωστές από τον Απειροστικό Λογισμό

34 Αντιστρόφως έστω άρα υπάρχει φυσικός x Αn, άρα για κάθε k έχουμε x Αn, n k= k= n k k, ώστε x Α n k, συνεπώς x Α. Πρόταση 2 Για οποιαδήποτε ακολουθία συνόλων Α, n έχουμε lmnf Αn lmsup Αn Απόδειξη Άμεση συνέπεια του ορισμού n n= k Πρόταση 3 Για οποιαδήποτε ακολουθία συνόλων Α n, n του χώρου X έχουμε ( n) 2. ( lmnf ) c c. lmsup Α = lmnf Α και Απόδειξη ( ) c Α = lmsup Α n n c n c c c c c n n n n n k= k= n k= n= k k= n= k. lmsup Α = Α = Α = Α = lmnf Α ( ) c c c c c n n n n n k= n= k k= n= k k= k= n 2. lmnf Α = Α = Α = Α = lmsup Α Πρόταση 4 Για οποιαδήποτε ακολουθία συνόλων Α, n υπάρχει ακολουθία Β n n, n ξένων μεταξύ τους συνόλων, τέτοια ώστε Α = Β n n= n= Απόδειξη Θεωρούμε την ακολουθία Gn, n με G =Α, G =Α Α,..., G = Α,... Η ζητούμενη ακολουθία 2 2 k= Β, n είναι η Β = G G, n n n n n n k n

Παραδείγματα. Αν Α Α2, τότε 2. Αν Α Α2, τότε lm Α n = Α n n= lm Α n = Α n 3. Αν Αn, n μία ακολουθία ξένων μεταξύ τους συνόλων τότε lm Α n = 2 2 4. Αν Α = [0, ], Α 2 = [,], Α 3 = [0, ], Α 4 = [, ], Α 5 = [,],, 2 2 3 3 3 3 τότε Α= [0,] και Α= n= 35

36 Προβλήματα. Να αποδείξετε τις παρακάτω συνεπαγωγές. Α Β Γ Δ Α Γ Β Δ 2. Α Β Γ Δ Α Γ Β Δ 3. Α Β Γ Δ Α Δ Β Γ 4. Α Β=Α Γ Α Β=Γ 5. Α Α=Β Β Α=Β 6. Αν Α Β για κάθε I, τότε Α Β 2. Αν ΑΒΓΔ,,, σύνολα να αποδείξετε ότι. Α ( Α Β ) =Α Β 2. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) Γ 3. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) Γ 4. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) 5. ( Α Β ) Γ= ( Α Γ) ( Β Γ) 3. Αν AB, και ( A B) ( B A) = C C, να αποδειχθεί ότι A= B= C 4. Αν AB, και ( A B) ( B A) = ( C D) ( D C), να αποδειχθεί ότι A= C και B = D ή A = D και B= C 5. Να αποδειχθεί ότι. ( Α Β) Γ = Α ( Β Γ) 2. Α ( Β Γ ) = ( Α Β) ( Α Γ) 3. Α Χ=Α Ψ Χ=Ψ 4. Για οποιαδήποτε δύο σύνολα Α και Β υπάρχει ακριβώς ένα σύνολο Χ ώστε Α Χ =Β 5. Α ( Α Β ) =Β 6. Αν Α Β=Γ τότε Β =Α Γ 7. Α Β=Α ( Α Β) Χ Χ

37 6. Αν Α, με I, να αποδείξετε ότι. Α Γ= ( Α Γ) Α Γ= Α Γ 2. ( ) 7. Αν Γ, τότε να αποδείξετε τις συνεπαγωγές. Α Γ Β Γ Α Β και 2. Γ Α Γ Β Α Β 8. Έστω Χ ένα μη κενό σύνολο και Α Ρ( Χ ). Χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου Α ονομάζουμε τη συνάρτηση:, x Α χ Α : Χ { 0, } με χ Α ( x) = 0, x Χ Α να αποδειχθούν τα: α. χ ( x) = 0 για κάθε x Χ β. χ Χ ( x) = για κάθε x Χ γ. χα Β( x) = χα( x) χβ( x) για κάθε x Χ δ. χ ( x) = χ ( x) χ ( x) για κάθε x Χ Α Β Α Α Β 9. Αν Χ και Ψ είναι δύο μη κενά σύνολα να αποδειχθεί ότι: ( Χ Ψ) ( Ψ Χ ) = ( Χ Ψ ) ( Χ Ψ) 0. Αν Α, είναι μια οικογένεια συνόλων με I, να αποδείξετε ότι: α. Ρ( Α ) =Ρ( Α ) β. Ρ( Α ) Ρ( Α ). Αν ΧΨ, δύο μη κενά σύνολα και Χ Ψ Χ =Ψ να αποδείξετε ότι Χ=Ψ.

38 2. Έστω f : Χ Χ. Αν ν ένας θετικός ακέραιος τότε ορίζουμε 2 f = f f και επαγωγικά θετικός ακέραιος ν ώστε f ν ν f f f ν + =. Να αποδειχθεί ότι αν υπάρχει =, τότε η f είναι αμφιμονοσήμαντη. 3. Αν f : Α Β, g : Β Α και g f = Α Να αποδείξετε ότι η f είναι - και η g επί. Αν επιπλέον ισχύει f g = Β, τότε οι f, g είναι αμφιμονοσήμαντες και f = g. 4. Αν Β n =Ε Αn, n, τότε Ε= lmnf Αn lmsupβ n = lmsup Αn lmnf Β n Χ ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Να αποδειχθεί ότι το αξίωμα επιλογής είναι ισοδύναμο με την παρακάτω πρόταση: «Για κάθε σχέση R υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε dom( R) = dom( f ) 6. Να αποδείξετε ότι το σύνολο Α Α2 Α n αποτελείται από εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε περιττό αριθμό συνόλων 7. Αν Α, Α2,..., Αn σύνολα, τότε n n ( Αk Αk+ ) ( Αn Α) Αk k= k= 8. Αν X, n n και Yn, n είναι ακολουθίες συνόλων. Να αποδείξετε ότι. lmsup( Xn Yn) = lmsup Xn lmsupyn lmnf X Y = lmnf X lmnf Y 2. ( ) 3. ( ) 4. ( ) 5. ( ) 6. ( ) n n n lmnf X Y lmnf X lmnf Y n n n lmsup X Y lmsup X lmsupy n n n lmsup X Y = lmsup X lmsupy n n n lmnf X Y lmnf X lmnf Y n n n n n n n n Α

9. Αν f n είναι μία ακολουθία πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής, η οποία συγκλίνει σημειακά στη συνάρτηση f, να δειχθεί ότι { x/ x f( x) > a} = x/ fn ( x) a+ m= r= n= r m 39

40 2. Ισοδύναμα σύνολα. Η διαφορά μεταξύ του συνόλου { }, 2,3 και εκείνου όλων των φυσικών είναι φανερή και σε κάποιον που ασχολείται πολύ λίγο με τα μαθηματικά. Το μεν πρώτο εμπειρικά ξέρουμε ότι έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων ενώ το δεύτερο έχει άπειρο πλήθος στοιχείων. Αυτό είναι μία πρώτη, εμπειρική προσέγγιση του πεπερασμένου και του απείρου. Με οδηγό καταρχάς τη διαισθητική αυτή παρατήρηση και μόνον διακρίνουμε τα σύνολα σε απειροσύνολα και πεπερασμένα επιφυλασσόμενοι να δώσουμε αργότερα τον αυστηρό ορισμό του απειροσυνόλου και του πεπερασμένου συνόλου. Αν λοιπόν, ορίσουμε ως πλήθος στοιχείων ή ισχύ ενός πεπερασμένου και μη κενού συνόλου Α, το θετικό ακέραιο n για τον οποίο το Α και το σύνολο,2,3,...,n μπορούν να τεθούν σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία, να μπορούμε { } άραγε να μιλήσουμε και για πλήθος στοιχείων για ένα απειροσύνολο ; Κάτι τέτοιο θα έχει πρακτική αξία, μόνον εφόσον υπάρχουν δύο τουλάχιστον απειροσύνολα των οποίων τα στοιχεία μετρημένα με κάποιο τρόπο βρεθούν ότι δεν είναι ίδια, κάτι που θα διαπιστώσουμε ακολούθως ότι ισχύει. Με ποιο τρόπο όμως μπορούμε να μετρήσουμε τα στοιχεία ενός απειροσυνόλου, τρόπο που δεν θα καταργεί τη μέτρηση των στοιχείων των πεπερασμένων συνόλων; Πως κάποιος που δεν γνωρίζει αρίθμηση μπορεί να βεβαιωθεί ότι ο αριθμός των καλεσμένων σε μια δεξίωση είναι ακριβώς ίδιος με των αριθμό των θέσεων που αυτοί θα καταλάβουν ; Απλώς θα τους βάλει να καθίσουν και εφόσον δεν περισσεύσουν ούτε καθίσματα αλλά ούτε και άνθρωποι, τότε θα είναι βέβαιος πως το σύνολο των καλεσμένων και το σύνολο των θέσεων έχουν την ίδια ισχύ, δηλαδή το ίδιο πλήθος στοιχείων. Αυτός ο τρόπος λοιπόν, που ουσιαστικά είναι ο ίδιος με εκείνον της μέτρησης της ισχύος των πεπερασμένων συνόλων θα χρησιμοποιηθεί και για τη μέτρηση της ισχύος των απειροσυνόλων. Με τη διαφορά πως δεν ορίζουμε την ισχύ των απειροσυνόλων ως κάτι συγκεκριμένο, όπως για τα πεπερασμένα σύνολα είναι ένας φυσικός αριθμός, αλλά έμμεσα. Έχουμε λοιπόν τον παρακάτω ορισμό Ορισμός Για να έχουν δύο σύνολα Α, Β την ίδια ισχύ ή αλλιώς να είναι ισοδύναμα πρέπει και αρκεί να υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Με άλλα λόγια, λέμε πως ισχύς ή πληθάριθμος είναι το κοινό χαρακτηριστικό των ισοδυνάμων συνόλων, το οποίο για τα πεπερασμένα μη κενά σύνολα είναι ο θετικός ακέραιος ν, για τον οποίο το σύνολο είναι ισοδύναμο με το,2,3,...,ν και για το κενό σύνολο είναι το 0. { }

4 Θα συμβολίζουμε την ισχύ του συνόλου Α με Α, και την ισοδυναμία των συνόλων Α και Β θα συμβολίζουμε με Α Β. Το ότι τα σύνολα δεν είναι ισοδύναμα θα συμβολίζουμε με Α / Β. Συνεπώς συμφωνούμε Α=Β Α Β. Πρόταση. Α Α 2. Α Β Β Α 3. Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ Απόδειξη. Η ταυτοτική απεικόνιση Α : Α Α είναι αμφιμονοσήμαντη. 2. Α Β τότε και μόνον τότε υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f : Α Β, άρα και αντιστρόφως η f : Β Α είναι αμφιμονοσήμαντη, το οποίο σημαίνει ότι Β Α 3. Επειδή Α Β θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f : Α Β. Το ίδιο επειδή Β Γ θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση g : Β Γ. Η g f : Α Γ είναι ως γνωστόν αμφιμονοσήμαντη, άρα Α Γ. Αν και η έννοια της ισοδυναμίας των συνόλων ήταν γνωστή και στον Bolzano, ο Cantor είναι εκείνος που πρώτα την χρησιμοποίησε συστηματικά (878). Έχει όμως ξεχωριστό ενδιαφέρον να δούμε πως ο Cantor έδωσε τον ορισμό της ισχύος ενός συνόλου (βλ Cantor [895], σελ.8-9 ) : Με την ονομασία «ισχύς» ή «πληθάριθμος» του Μ θα αποκαλούμε εκείνη τη γενική έννοια, η οποία ανακύπτει μέσω της ενεργού δραστηριότητας της σκέψης μας, από το σύνολο Μ, όταν κάνουμε αφαίρεση της φύσης των διαφόρων στοιχείων του m και της διάταξης με την οποία αυτά δίδονται. Συμβολίζουμε το αποτέλεσμα αυτής της διπλής αφαιρετικής δράσης, τον πληθάριθμο ή την ισχύ του Μ, με το Μ (Τώρα αντί του Μ χρησιμοποιούμε το συμβολισμό Μ ) Αφού κάθε εξατομικευμένο στοιχείο γίνεται «μονάδα», αν κάνουμε αφαίρεση της φύσης του, ο πληθάριθμος Μ είναι καθορισμένο σύνολο που συντίθεται από μονάδες, ενώ αυτός ο αριθμός υπάρχει στη σκέψη μας ως μία νοητή εικόνα ή προβολή του δοθέντος συνόλου Μ.

42 Ορισμός 2 Απειροσύνολο είναι εκείνο το σύνολο, το οποίο είναι ισοδύναμο με ένα γνήσιο υποσύνολό του. Σχόλιο Ο παραπάνω ορισμός οφείλεται στον μεγάλο Γερμανό μαθηματικό R. Dedeknd 2 (βλ. στο βιβλίο του, που αναφέρεται στη βιβλιογραφία σελ.63) Πρόταση 2 Αν ένα υποσύνολο ενός συνόλου Α είναι απειροσύνολο, τότε και το Α είναι απειροσύνολο. Απόδειξη Έστω Β ένα υποσύνολο του Α, το οποίο είναι απειροσύνολο, τότε θα υπάρχει Γ γνήσιο υποσύνολο του Β, έτσι ώστε Β Γ. Άρα θα υπάρχει αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση f : Γ Β. Θεωρούμε το σύνολο Γ =Γ ( Α Β ), το οποίο προφανώς είναι ένα γνήσιο υποσύνολο του Α. Η απεικόνιση f( x), x Γ g : Γ Α με gx ( ) = εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι αμφιμονοσήμαντη, άρα Γ Α, συνεπώς το Α είναι x, x Α Β απειροσύνολο. Πρόταση 3 Δύο οποιαδήποτε ανοικτά διαστήματα ( α, β ) και ( γ, δ ) έχουν την ίδια ισχύ. 2 Ο Rchard Dedeknd, γεννήθηκε στο Μπράουνσβιγκ το 83. Μετά τις εγκύκλιες σπουδές του εισήχθη στο πανεπιστήμιο της Γκέτιγκεν, όπου είχε δασκάλους τους Stern, Gauss και τον φυσικό Weber. Το 852 πήρε από τον Gauss το διδακτορικό του, εκπονώντας διατριβή με θέμα τα ολοκληρώματα του Euler. Το 854 έγινε λέκτορας στο Γκέτιγκεν, όπου στα μαθήματά του παρουσίασε, ίσως για πρώτη φορά σε πανεπιστημιακές παραδόσεις, τη θεωρία του Galos. Παρότι όμως ο R.Dedeknd υπήρξε ένας από τους αναγνωρισμένους για τις εργασίες του μαθηματικούς η επαγγελματική του καριέρα υπήρξε εντελώς ασήμαντη. Τα περισσότερα χρόνια της ζωής του πέρασε ως καθηγητής σε ένα Τεχνικό Λύκειο του Μπράουνσβιγκ. Το σημαντικότερο επίτευγμα του R.Dedeknd ήταν ο ορισμός των αρρήτων αριθμών από τους ρητούς με τις περίφημες τομές του Dedeknd. Ο B. Russell έγραφε γι αυτόν «Ο Ζήνων ασχολήθηκε με τρία προβλήματα Πρόκειται για τα προβλήματα του απειροστού, του απείρου και της συνέχειας Από την εποχή του ως τις μέρες μας, οι πιο ικανές διάνοιες κάθε γενιάς καταπιάστηκαν με τα προβλήματα αυτά, αλλά γενικά δεν πέτυχαν τίποτε Οι Werstrass, Dedeknd και Cantor έλυσαν ολοκληρωμένα τα προβλήματα αυτά. Οι λύσεις τους είναι τόσο σαφείς που δεν αφήνουν πια την παραμικρή υποψία δυσκολίας. Το επίτευγμα είναι πιθανότατα το μεγαλύτερο για το οποίο μπορεί να καυχηθεί η εποχή μας Το πρόβλημα του απειροστού λύθηκε από τον Werstrass, η λύση των άλλων δύο ξεκίνησε από τον Dedeknd και ολοκληρώθηκε από τον Cantor.» (βλ. Bell σελ. 44) Ο R. Dedeknd πέθανε το 96 σε ηλικία 85 ετών, έχοντας ως τα τελευταία του απόλυτη διαύγεια πνεύματος.

43 Απόδειξη Η απεικόνιση f : ( α, β ) ( γ, δ ) με δ γ δ γ f ( x) = x α + γ, είναι αμφιμονοσήμαντη. β α β α Πρόταση 4 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών ( ) και το διάστημα π π (, ) έχουν την ίδια ισχύ. 2 2 π π Απόδειξη Η απεικόνιση f :(, ) με f ( x) = tanx, είναι αμφιμονοσήμαντη. 2 2 Πρόταση 5 Το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει την ίδια με το διάστημα (0,) ή οποιοδήποτε άλλο διάστημα ( α, β ) Απόδειξη Είναι άμεση συνέπεια των δύο παραπάνω προτάσεων. Σχόλιο Η γεωμετρική σημασία της παραπάνω πρότασης είναι η : Κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ χωρίς τα άκρα του ( ]ΑΒ[ ) έχει το ίδιο πλήθος σημείων με την ευθεία. Πράγματι Ο Ρ (c) Β Α Κ Μ B (ε) Σχ. 2

44 Στο παραπάνω σχήμα Μ είναι το μέσον του ΑΒ, C είναι το ημικύκλιο που εφάπτεται της ευθείας (ε) στο Μ και έχει ακτίνα. Για να δείξουμε την αμφιμονο- ΑΒ 2 σήμαντη αντιστοιχία μεταξύ του ]ΑΒ[ και της (ε) ακολουθούμε την εξής διαδικασία : Ένα οποιοδήποτε σημείο Κ του ]ΑΒ[ το «προβάλλουμε» στο σημείο Ρ του ημικυκλίου. Η ημιευθεία ΟΡ τέμνει την ευθεία (ε) στο σημείο Β. Η απεικόνιση των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος στα σημεία της ευθείας με τρόπο ώστε το να απεικονίζεται στο Β είναι προφανώς αμφιμονοσήμαντη. Κ Πρόταση 6 Δύο οποιαδήποτε κλειστά διαστήματα έχουν την ίδια ισχύ. Απόδειξη Αποδεικνύεται με την απεικόνιση, η οποία έχει τον ίδιο τύπο με εκείνον της πρότασης 3 που αναφέραμε και έχει την εξής γεωμετρική σημασία : Δύο ευθύγραμμα τμήματα ανεξάρτητα από τα μήκη τους έχουν το ίδιο πλήθος σημείων Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ τίθενται σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ. Κ Α Ρ Ρ 2 Β Δ Σ 2 Γ Σ Σχ.

45 Πρόταση 7 Τα διαστήματα [0,] και (0,) έχουν την ίδια ισχύ. Απόδειξη Θεωρούμε την απεικόνιση f :[0,] (0,) με, x = 0 2 f( x) =, x =, n, n + 2 n x, x Α όπου Α= (0,),,... 2 3. Έστω x, x2 [0, ] με x x2. Τότε υπάρχουν τα εξής ενδεχόμενα. x = 0 και x 2 =, n, τότε n, άρα n + 2, άρα, άρα n n + 2 f ( x2) f( x) 2. x = 0 και x2 Α, τότε f ( x2) = x2 = f( x ) 2 3. x =, n και x2 Α, άρα f( x2) = x2,,... n 3 4, άρα f ( x) f( x2) Άρα η f είναι -. Το επί της f είναι σχετικά εύκολο. Συνεπώς [0,] (0,) Πρόταση 8 Τα διαστήματα [0,] και το (0,] είναι ισοδύναμα. Απόδειξη Η απεικόνιση f :[0,] (0,] με, x =, n n + n f( x) =, αποδεικνύεται, όπως στην προηγούμενη περίπτωση x, x, n n αμφιμονοσήμαντη.

46 Πρόταση 9 Τα διαστήματα [0, a ) και (0, a] είναι ισοδύναμα. Απόδειξη Η απεικόνιση f :[0, a) (0, a] με f ( x) = a x είναι αμφιμονοσήμαντη. Πρόταση 0 Το διάστημα (0, a ) είναι ισοδύναμο με το (0, + ) Απόδειξη Η απεικόνιση είναι αμφιμονοσήμαντη. f :(0, a) (0, + ) με f( x) = a x a Ομοίως αποδεικνύονται Πρόταση Το διάστημα [0, a ) και το [0, + ) είναι ισοδύναμα Πρόταση 2 Τα ζεύγη των διαστημάτων ( a, 0), (,0) και ( a,0], (,0] είναι ισοδύναμα, όπου a < 0. Άμεση συνέπεια των παραπάνω προτάσεων είναι η Πρόταση 3 Όλα τα διαστήματα είναι μεταξύ τους ισοδύναμα και το κάθε ένα από αυτά ισοδύναμο με το Προβλήματα.Το σύνολο των ευθειών του επιπέδου είναι ισοδύναμο με το σύνολο των σημείων του επιπέδου Απόδειξη Ορίζουμε απεικόνιση από το σύνολο των σημείων του επιπέδου στο σύνολο των ευθειών του χώρου, ως εξής Το σημείο ( ab, ) με a 0 απεικονίζουμε στην ευθεία y = ax+ b Το σημείο (0,b) με b < 0 απεικονίζουμε στην ευθεία y = ln( b) Το σημείο (0,0) απεικονίζουμε στην ευθεία x = 0 Το σημείο (0,b) με 0 < b < απεικονίζουμε στην ευθεία x = lnb