Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Γραμμική Συσχέτιση και Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση ασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Γραμμική συσχέτιση Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το άρος 6 εργατώ μιας ιομηχαίας. 3 4 5 6 7 8 Ύψος cm 83 6 7 8 80 68 76 80 Βάρος Kg 84 63 7 76 77 64 70 76 9 0 3 4 5 6 Ύψος cm 90 75 78 75 86 7 75 63 Βάρος Kg 8 68 75 73 86 73 75 7 Από το διάγραμμα διασποράς φαίεται ότι αυξαομέου του ύψους, γεικά, αυξάεται και το 90 ΒάροςKg 80 70 60 άρος. Φαίεται, δηλαδή, α υπάρχει μια σχέση ααλογίας μεταξύ του ύψους και του άρους τω εργατώ. Πόσο ισχυρή είαι όμως αυτή η συσχέτιση; Πώς μπορεί α μετρηθεί; Συτελεστής γραμμικής συσχέτισης του Pearson Ο δειγματικός συτελεστής γραμμικής συσχέτισης του Pearson συμολίζεται με r και ορίζεται από το τύπο: s r s s όπου, χ χ s Cov X, Y, s χ χ και s. 50 50 60 70 80 90 00 Ύψος cm Ποια είαι η ασική ιδέα στο ορισμό του συτελεστή του Pearson; Στο παράδειγμα, το μέσο ύψος είαι 76 cm και το μέσο άρος 74Kg. Παρατηρείστε ότι οι εργάτες που έχου ύψος πάω από το μέσο ύψος έχου στις περισσότερες περιπτώσεις και άρος πάω από το μέσο άρος. Αάλογα, οι εργάτες που έχου ύψος κάτω από το μέσο ύψος έχου στις περισσότερες περιπτώσεις και άρος κάτω από το μέσο άρος. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos
Ερμηεία και ιδιότητες του συτελεστή γραμμικής συσχέτισης r Ο συτελεστής γραμμικής συσχέτισης r δίει έα μέτρο του μεγέθους της γραμμικής συσχέτισης μεταξύ δύο μεταλητώ. Παίρει τιμές στο κλειστό διάστημα [-, ] Α r ± υπάρχει τέλεια γραμμική συσχέτιση. Α 0,3 r < 0, 3 δε υπάρχει γραμμική συσχέτιση. Αυτό, όμως, δε σημαίει ότι δε υπάρχει άλλου είδους συσχέτιση μεταξύ τω δύο μεταλητώ. Α 0,5 < r 0,3 ή 0,3 r < 0, 5 υπάρχει ασθεής γραμμική συσχέτιση. Α 0,7 < r 0,5 ή 0,5 r < 0, 7 υπάρχει μέση γραμμική συσχέτιση. Α 0,8 < r 0,7 ή 0,7 r < 0, 8 υπάρχει ισχυρή γραμμική συσχέτιση. A < r 0,8 ή 0,8 r < υπάρχει πολύ ισχυρή γραμμική συσχέτιση. Θετικές τιμές του r δε υποδηλώου, κατ αάγκη μεγαλύτερο αθμό γραμμικής συσχέτισης από το αθμό γραμμικής συσχέτισης που υποδηλώου αρητικές τιμές του r. Ο αθμός γραμμικής συσχέτισης καθορίζεται από τη απόλυτη τιμή του r και όχι από το πρόσημο του r. Το πρόσημο του r καθορίζει το είδος, μόο, της συσχέτισης θετική ή αρητική. Μας πληροφορεί δηλαδή για το α αύξηση της μιας μεταλητής ατιστοιχεί σε αύξηση ή σε μείωση της άλλης μεταλητής. Για παράδειγμα η τιμή r 0, 9 δείχει ισχυρότερη γραμμική συσχέτιση από τη τιμή r 0, 8 εώ οι τιμές r 0,6 και r 0, 6 δείχου ίδιο αθμό γραμμικής συσχέτισης αλλά ατίθετο είδος. Στη πράξη, υπολογίζουμε το συτελεστή γραμμικής συσχέτισης στις περιπτώσεις μόο που το διάγραμμα διασποράς στικτό διάγραμμα έχει σχήμα επιμήκους κεκλιμέης έλλειψης ή πλατυσμέου J. Α, όμως, το υπολογίσουμε και σε περιπτώσεις που το διάγραμμα διασποράς έχει άλλη μορφή, η τιμή του η οποία θα είαι μικρή, δε συεπάγεται μη συσχέτιση αλλά μη γραμμική συσχέτιση. Είαι, δηλαδή, δυατό α υπάρχει μεγάλη μη γραμμική συσχέτιση. r0 0<r< -<r<0 r0 0<r< r0 Συσχέτιση δε σημαίει αιτιότητα Ότα σε μια μη πειραματική έρευα δειγματοληψία δύο μεταλητές X και Y ρίσκοται συσχετισμέες αυτό σημαίει μόο ότι οι μεταλητές αυτές συδέοται με κάποια σχέση. Δε συεπάγεται, κατ αάγκη, αιτιότητα. Οι δύο μεταλητές μπορεί εαία α συδέοται με σχέση αιτιότητας, μπορεί όμως, όχι. Για παράδειγμα, μπορεί και οι δύο α επηρεάζοται από μια τρίτη μεταλητή. Ας δούμε δύο παραδείγματα: Παρατηρήθηκε ότι το ύψος τω μαθητώ εός σχολείου, ηλικίας 6 έως 3 ετώ, έχει ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση με τη ατιληπτική ικαότητα τω μαθητώ. Προφαώς η ατιληπτική ικαότητα τω μαθητώ δε επηρεάζεται από το ύψος τους. Απλώς τόσο η πευματική όσο και η φυσική αάπτυξη τω μικρώ μαθητώ επηρεάζοται παράλληλα από άλλους παράγοτες. Παρατηρήθηκε ότι οι πωλήσεις ταχύπλοω στο Sdne είχα, για μια μακρά περίοδο, ισχυρή θετική συσχέτιση με τις πωλήσεις έγχρωμω τηλεοράσεω στη Melbourne. Προφαώς, τόσο οι πωλήσεις ταχύπλοω όσο και οι πωλήσεις έγχρωμω τηλεοράσεω ήτα συάρτηση γεικότερω ευοϊκώ οικοομικώ παραγότω. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos
Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 3 Είαι, κατά συέπεια φαερό ότι η πρόχειρη/επιπόλαιη ερμηεία και χρήση του r οδηγεί πολλές φορές σε παρερμηείες ή και σε λαθασμέα συμπεράσματα. Για αιτιολογικά συμπεράσματα, σχεδό πάτοτε, απαιτείται πειραματισμός. Σε κάθε περίπτωση, αιτιώδη σχέση αλληλεξάρτηση μεταξύ δύο μεταλητώ δεχόμαστε μόο ότα υπάρχει επιστημοική ή λογική άση που τη υπαγορεύει. Παλιδρόμηση ε α + + Y, Y α ε +,,3,...,,,, α ε +, σφάλματα α ε α, g α, + + α προφαώς διέρχεται από το σημείο, α ε +, υπόλοιπα ή εκτιμημέα σφάλματα. Ισχύει 0 ε. Στη ευθεία ελαχίστω τετραγώω α +, το εκφράζει τη ααμεόμεη μέση μεταολή της εξαρτημέης μεταλητής Υ ότα η τιμή της αεξάρτητης μεταλητής Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα. Έτσι, ότα η τιμή της Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα το ŷ αυξάεται κατά μοάδες α 0 > ή ελαττώεται κατά μοάδες α 0 <. Το α εκφράζει τη ααμεόμεη μέση τιμή της εξαρτημέης μεταλητής Υ ότα η τιμή της αεξάρτητης μεταλητής Χ είαι ίση με 0. Συτελεστής προσδιορισμού r + ή SSTOSSR+SSE SSTO SSE SSTO SSE SSTO SSTO SSR r. Ο συτελεστής προσδιορισμού r εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταλητότητας της εξαρτημέης μεταλητής Υ που εξηγείται από τη αεξάρτητη μεταλητή Χ μέσω του συγκεκριμέου μοτέλου εώ η ποσότητα r εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταλητότητας της εξαρτημέης μεταλητής που παραμέει αεξήγητο από τη Χ τυχαίο σφάλμα.
Τυπικό σφάλμα της εκτίμησης standard error of the estmate SSE s α00% Διάστημα εμπιστοσύης για τη παράμετρο α α ± s. e. α t ; α όπου, s. e. α s + το τυπικό σφάλμα της εκτιμήτριας α της α. α00% Διάστημα εμπιστοσύης για τη παράμετρο ± s. e. t ; α όπου, s. e. s το τυπικό σφάλμα της εκτιμήτριας της. Ερμηεία του ελέγχου της υπόθεσης H 0 : 0 έατι της H : 0 για τη κλίση της πληθυσμιακής ευθείας παλιδρόμησης. α Ότα δε απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση, τότε συμαίει έα από τα παρακάτω. Η σχέση μεταξύ Χ και Υ δε είαι γραμμική Πρόκειται για το μοτέλο E Y / X E Y α. Δηλαδή, πρόκειται για τη περίπτωση όπου η Χ δε συεισφέρει στη πρόλεψη της E Y / X. Έτσι, το μοτέλο Y + προλέπει τη μέση τιμή της Υ όσο και το Y. Ότα απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση, τότε συμαίει έα από τα παρακάτω. Η Χ, μέσω του γραμμικού μοτέλου, συεισφέρει στη πρόλεψη της E Y / X. με το ατίστοιχο σφάλμα λαθασμέης μη απόρριψης με το ατίστοιχο σφάλμα λαθασμέης απόρριψης Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 4
Το γραμμικό μοτέλο είαι μόο μια καλή γραμμική προσέγγιση, μιας μη γραμμικής, στη πραγματικότητα, σχέσης. Συοψίζοτας: Είτε απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση είτε όχι, το γραμμικό μοτέλο μπορεί α μη είαι κατάλληλο. Κάποιο άλλο μοτέλο μη γραμμικό, μπορεί α περιγράφει τη σχέση μεταξύ Χ και Υ καλύτερα. Παραδοχές/υποθέσεις για το καοικό γραμμικό μοτέλο Η γεική υπόθεση-παραδοχή που κάουμε για έα μοτέλο παλιδρόμησης γραμμικό ή όχι, είαι ότι η μεταλητή Χ μετράται χωρίς σφάλμα και ότι η Υ, για κάθε επίπεδο της Χ, είαι τυχαία μεταλητή με πεπερασμέη μέση τιμή και διακύμαση. Για το καοικό απλό γραμμικό μοτέλο κάουμε επιπλέο τις ακόλουθες υποθέσεις-παραδοχές. Γραμμικότητα Lneart Η καταομή της Υ έχει, για τα διάφορα επίπεδα,,..., της Χ, μέση τιμή E Y / X α + ή E Y / X α + X, όπου, α και παράμετροι που εκτιμώται από το δείγμα,,,...,. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι οι μέσες τιμές της Υ, για τα διάφορα επίπεδα της Χ, ρίσκοται σε ευθεία γραμμή γραμμική συάρτηση της Χ. Σημειώουμε ότι στο μοτέλο Y α + + ε, τυχαίες μεταλητές είαι μόο οι Υ και ε. Ομοσκεδαστικότητα-Σταθερότητα διακύμασης Homoscedastct Οι καταομές της Y έχου ίδια διακύμαση για όλα τα επίπεδα της X, δηλαδή, Var Y / X σ. Αεξαρτησία Independence Οι τιμές της Υ που ατιστοιχού στα διάφορα επίπεδα της Χ είαι αεξάρτητες μεταξύ τους. Καοικότητα Normalt Η καταομή της Υ για όλα τα επίπεδα της Χ είαι καοική. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 5
Ισοδύαμα, για τις τυχαίες μεταλητές ε Y α + για τα σφάλματα δεχόμαστε ότι:. ε ~ N0, σ.. Για j, τα ε και ε j είαι ασυσχέτιστα και λόγω της καοικότητας είαι και αεξάρτητα. Έλεγχος τω παραδοχώ/υποθέσεω του καοικού γραμμικού μοτέλου Έας πρώτος, άμεσος, έλεγχος μπορεί α γίει με προσεκτική παρατήρηση του διαγράμματος διασποράς του δείγματος. Ας δούμε δύο παραδείγματα. Στο πρώτο διάγραμμα διασποράς αριστερά φαίεται ότι για όλα τα επίπεδα της Χ οι καταομές της Υ είαι συμμετρικές και έχου σταθερή διακύμαση οι ααμεόμεες μέσες τιμές της Υ ρίσκοται σε ευθεία γραμμή. Στο δεύτερο διάγραμμα διασποράς δεξιά φαίεται ότι οι καταομές της Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε είαι συμμετρικές και ούτε έχου σταθερή διακύμαση. Μάλιστα, φαίεται ότι αυξαομέου του Χ αυξάεται η διακύμαση καθώς και η ασυμμετρία της καταομής του Υ οι ααμεόμεες μέσες τιμές της Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε ρίσκοται σε ευθεία γραμμή αλλά σε καμπύλη. Ας δούμε πιο ααλυτικά, αά υπόθεση, πώς μπορούμε α διαπιστώσουμε και α ατιμετωπίσουμε πιθαές παραιάσεις. Έλεγχος γραμμικότητας Έας πρώτος έλεγχος της γραμμικότητας μπορεί α γίει γραφικά με το διάγραμμα διασποράς. Είαι όμως δυατό, ιδίως ότα η κλίση της ευθείας παλιδρόμησης που προσεγγίζει τα δεδομέα είαι μεγάλη, α μας δίεται η ετύπωση ότι τα σημεία, είαι κοτά στη ευθεία παλιδρόμησης εώ στη πραγματικότητα δε είαι! Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 6
Για το λόγο αυτό, συήθως, χρησιμοποιούμε τα διαγράμματα υπολοίπω resdual plots όπου, ατί τω, ααπαρίσταται τα, ε ή τα, ε. Α στο διάγραμμα υπολοίπω, τα σημεία, ε ή τα, ε δε ακολουθού κάποιο πρότυπο κάποια συστηματική τάση αλλά είαι τυχαία διεσπαρμέα σε μια οριζότια ζώη γύρω από τη οριζότια ευθεία που διέρχεται από το 0, τότε η επιλογή γραμμικού μοτέλου δικαιολογείται. Τα διαγράμματα υπολοίπω συήθως παρουσιάζου τη ίδια εικόα και ότα τα υπόλοιπα ε παρασταθού γραφικά συαρτήσει τω προσαρμοσμέω τιμώ ŷ. Σημείωση: Στα προηγούμεα διαγράμματα υπολοίπω και στα επόμεα ατί τω υπολοίπω ε, χρησιμοποιήσαμε τα s-τυποποιημέα υπόλοιπα studentzed resduals ε * ε s h, όπου h η μόχλευση της -οστής παρατήρησης. Στο ακόλουθο παράδειγμα, η προσαρμογή της ευθείας Y 3.7 +. 09 Υ 0 8 6 4 0 δίει διάγραμμα υπολοίπω 0 4 6 8 Χ Παρατηρείστε ότι αυξαομέου του Χ τα υπόλοιπα δε συγκετρώοται τυχαία γύρω από τη οριζότια ευθεία που διέρχεται από το 0, αλλά ακολουθού έα Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 7
κυκλικό πρότυπο αρητικές-θετικές-αρητικές τιμές. Αυτή η κυκλική συμπεριφορά λ. και επόμεο σχήμα φαερώει παλιδρόμηση δεύτερου αθμού ως προς Χ. Έτσι, α στα ίδια δεδομέα προσαρμοσθεί η παραολή Υ 0 Y 0.83 + 3.4 0.33 8 6 4 0 0 4 6 8 τα υπόλοιπα συγκετρώοται τυχαία σε μια οριζότια ζώη γύρω από τη ευθεία που διέρχεται από το 0. Χ Η καταλληλότητα ή όχι του γραμμικού μοτέλου μπορεί επίσης α ελεγχθεί με κατάλληλο Lack-of-Ft test. Ότα διαπιστώεται ότι η σχέση μεταξύ Χ και Υ είαι μη γραμμική, σε αρκετές περιπτώσεις είαι δυατό, με κατάλληλους μετασχηματισμούς στα Χ ή/και στα Υ α προκύψει γραμμική σχέση. Έχουμε έτσι τη δυατότητα α αξιοποιήσουμε τη στατιστική θεωρία του γραμμικού μοτέλου και σε μη γραμμικά μοτέλα αφού, ατιστρέφοτας στη συέχεια τις μετασχηματισμέες μεταλητές, μπορούμε α πάρουμε τα ζητούμεα συμπεράσματα για τις αρχικές. Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. Γεικά, η στατιστική μελέτη μη γραμμικώ μοτέλω, με εξαίρεση τα πολυωυμικά, παραμέει δύσκολο και αοικτό πρόλημα. Έλεγχος ομοσκεδαστικότητας Έας πρώτος έλεγχος της σταθερότητας ή μη της διακύμασης της Υ ή της ε για τα διάφορα επίπεδα της Χ μπορεί α γίει με το διάγραμμα διασποράς και τα διαγράμματα υπολοίπω. Α για παράδειγμα, το διάγραμμα υπολοίπω έχει μορφή τραπεζίου αοιχτής ετάλιας όπως το παρακάτω, η πιο πιθαή αιτία αυτής της διαταραχής 3 είαι η μη σταθερότητα της διακύμασης τω τυχαίω σφαλμάτω ε. Σε πολλές οικοομικές και εμπορικές εφαρμογές η μεταολή της διακύμασης σ με το Χ ή με το Ŷ δίει διαγράμματα υπολοίπω μορφής τραπεζίου αυξαομέου του Χ ή του Y, αυξάει το σ ή ατιστρόφως. Αυτό συμαίει διότι τέτοιες εφαρμογές ακολουθού πολλαπλασιαστικά μοτέλα όπου σ Y [ E Y ] σ και σ η διακύμαση τω σφαλμάτω ε γιατί; 4. Επίσης, 3 Της απόκλισης από τη τυχαία συγκέτρωση τω σημείω γύρω από τη οριζότια ευθεία που διέρχεται από το 0 4 Στο πολλαπλασιαστικό μοτέλο έχουμε Y EY ε εώ στο προσθετικό έχουμε Y EY + ε Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 8
αάλογα διαγράμματα υπολοίπω δίου μεταλητές που μετρού αριθμό συμάτω στη μοάδα χρόου, χώρου, μήκους, κτλ. δηλαδή μεταλητές που ακολουθού καταομή Posson γιατί ; 5. Α από τα διαγράμματα υπολοίπω δημιουργούται υπόοιες ότι δε έχουμε σταθερές διακυμάσεις, μπορούμε α ελέγξουμε στατιστικά α υπάρχει σηματική διαφορά στις διακυμάσεις ή όχι εφόσο για τα διάφορα επίπεδα της Χ έχουμε περισσότερες της μιας παρατηρήσεις. Μπορούμε, επίσης, α ταξιομήσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά τω Χ, α τις χωρίσουμε σε δύο ή περισσότερες ομάδες και α ελέγξουμε τις διακυμάσεις μεταξύ τω ομάδω. Ότα διαπιστώεται μη σταθερότητα διακυμάσεω, μπορούμε σε αρκετές περιπτώσεις, α ατιμετωπίσουμε το πρόλημα με κατάλληλους μετασχηματισμούς στις μεταλητές. Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. Έλεγχος αεξαρτησίας Εξαρτημέα Υ εμφαίζοται συήθως ότα παίρουμε παρατηρήσεις από τη ίδια πειραματική μοάδα σε διαφορετικές χροικές στιγμές π.χ. μετράμε τη πίεση ή το άρος του ιδίου ατόμου αά εδομάδα. Επίσης, σε περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούται μηχαές όργαα μέτρησης, κτλ που αλλάζει η απόδοσή τους με τη χρήση ή ο χειριστής ελτιώεται ή χειροτερεύει με τη πάροδο του χρόου. Είαι επομέως χρήσιμο, ότα έχουμε πειραματικά δεδομέα που παίροται με χροική σειρά, α κάουμε έα διάγραμμα υπολοίπω ως προς το χρόο έστω και α ο χρόος δε χρησιμοποιείται ως μεταλητή στο μοτέλο. Α το διάγραμμα υπολοίπω έχει τη μορφή του παρακάτω σχήματος τότε είαι πιθαό α υπάρχει στοχαστική εξάρτηση μεταξύ τω σφαλμάτω. Στη συέχεια, πρέπει α ελέγξουμε στατιστικά τη υπόοια αυτή με το Durbn-Watson test. Α διαπιστωθεί εξάρτηση τω τιμώ της Υ τότε για τη προσαρμογή κατάλληλου μοτέλου και τη εξαγωγή στατιστικώ συμπερασμάτω πρέπει α χρησιμοποιηθού ειδικές μέθοδοι. Έλεγχος καοικότητας Η καοικότητα μπορεί α ελεγχθεί με διάφορους τρόπους όπως, γραφικά με ιστόγραμμα, φυλλογράφημα, θηκόγραμμα, καοικό διάγραμμα πιθαότητας ή με στατιστικούς ελέγχους καλής προσαρμογής Kolmogorov-Smrnov, X, κ.ά. Ότα διαπιστώεται παραίαση της καοικότητας μπορούμε, σε αρκετές περιπτώσεις, α ατιμετωπίσουμε το πρόλημα με κατάλληλους μετασχηματισμούς στις μεταλητές. Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. 5 Θυμηθείτε ότι α η Υ ακολουθεί καταομή Posson τότε σ Y E Y Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 9
Προλήματα και Ασκήσεις. Στο πλαίσιο μιας περιαλλοτικής μελέτης, μετρήθηκα σε έξι διαφορετικούς χρόους t, οι συγκετρώσεις Υ μιας χημικής ουσίας σε 8 διαφορετικά διαλύματα έγια τρεις μετρήσεις σε καθέα από τους έξι διαφορετικούς χρόους. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ. Αριθμός Διαλύματος Χρόος t σε ώρες Συγκέτωση σε mg/ml 6 0.09 6 0.03 3 6 0.07 4 8 0.079 5 8 0.07 6 8 0.088 7 0 0.8 8 0 0.65 9 0 0.0 0 0.45 0.384 0.47 3 4.30 4 4.00 5 4.49 6 6.8 7 6.465 8 6 3.099 α Προσαρμόστε στα δεδομέα το απλό γραμμικό μοτέλο Y α + t + ε. α Μέσω του μοτέλου που προσαρμόσατε, τι ποσοστό της μεταλητότητας της συγκέτρωσης της χημικής ουσίας εξηγείται από τη μεταλητότητα του χρόου; α ι Ελέγξτε α το μοτέλο που προσαρμόσατε είαι στατιστικά σηματικό. Για τη κλίση της ευθείας παλιδρόμησης, ελέγξτε τη υπόθεση H 0 : 0 έατι της H : 0. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. Τέλος, ελέγξτε στατιστικά α πρέπει α εξετάσετε προσαρμογή κάποιου άλλου μοτέλου. α ιιι Σχολιάστε συολικά τις επιμέρους απατήσεις στo ερώτημα α ι. Είαι κάποιες ατιφατικές; Είαι κάποιες ταυτόσημες; εξηγείστε α v Eπιεαιώοται από τα πειραματικά δεδομέα οι υποθέσεις-παραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου; Προσθέστε έα ακόμη όρο t στο μοτέλο. Επααλάατε τα ερωτήματα α α v για το έο μοτέλο. Ελέγξτε α ο όρος t είαι στατιστικά σηματικός. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. Βελτιώθηκε το ποσοστό της μεταλητότητας του Υ που εξηγείται από τη παλιδρόμηση; γ Προσαρμόστε το μοτέλο ln Y α + t + ε. γ Επααλάετε τα ερωτήματα α α v για το έο μοτέλο. γ Τι ποσοστό της μεταλητότητας του lnυ εξηγείται από τη παλιδρόμηση; δ Ποιο από τα τρία μοτέλα παλιδρόμησης είαι το καταλληλότερο για προσαρμογή στα δεδομέα του πειράματος; Εξηγείστε γιατί. Εξηγείστε επίσης πώς οδηγηθήκαμε α εξετάσουμε αυτά τα μοτέλα. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 0
ε Έστω ότι οι 8 ααλύσεις δε είχα γίει σε 8 διαφορετικά διαλύματα αλλά σε 3. Δηλαδή, έστω ότι είχα γίει 6 ααλύσεις σε καθέα από 3 διαφορετικά διαλύματα μια σε καθέα από τους 6 διαφορετικούς χρόους. Στη περίπτωση αυτή, θα υπήρχα προλήματα στη εφαρμογή της στατιστικής θεωρίας της παλιδρόμησης;. Σε δείγματα μελιού έγια επεμάσεις treatments με malathon και fluvalnate σε συθήκες ncubator και storage. Για α μελετηθεί ο ρυθμός αποδόμησης τω ουσιώ αυτώ, έγια μετρήσεις της συγκέτρωσης Υ κάθε ουσίας σε διάφορους χρόους t μετά τη ατίστοιχη επέμαση. Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ φαίοται στους παρακάτω πίακες 6. Χρόος μετά τη αγωγή t σε εδ. Malathon Συγκέτρωση σε ppb Incubator Storage Χρόος μετά τη επέμαση t σε εδ. Fluvalnate Συγκέτρωση σε ppb Incubator Storage 0 98.7 99.3 0 93.5 0.5 96.0 97.5 4 79.9 03.7 3 83.7 8.9 8 60. 4.6 4 77.7 8. 79.3 98. 5 40.3 5.4 6 37.4 95.6 6 9.7 37.7 0 8.3 76. 7 7.0 5.4 4 6.9 6.3 8 0.3 8.8 9 5.7 5.9 0 3.3 0. Οι ερευητές προσάρμοσα στις πειραματικές μετρήσεις και για κάθε περίπτωση ξεχωριστά malathon σε ncubator, malathon σε Storage, fluvalnate σε ncubator, fluvalnate σε Storage, το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης. α Να ρείτε εκτιμήσετε αυτά τα μοτέλα γραμμικής παλιδρόμησης και α ερμηεύσετε τις τιμές τω παραμέτρω τους. Να ελέγξετε α επιεαιώοται από τα πειραματικά δεδομέα οι υποθέσειςπαραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου. γ Να δώσετε το τυπικό σφάλμα και έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για κάθε μια από τις παραμέτρους τω μοτέλω. Για κάθε μοτέλο, α ερμηεύσετε με όρους του προλήματος τις τιμές τω άκρω του διαστήματος εμπιστοσύης κάθε παραμέτρου. δ Για κάθε περίπτωση, α εκτιμήσετε τη μέση συγκέτρωση της ουσίας δύο εδομάδες μετά τη ατίστοιχη επέμαση. Τι αξία έχου αυτές οι εκτιμήσεις; ε Να ελέγξετε α υπάρχει στατιστικώς σηματική διαφορά μεταξύ τω ρυθμώ αποδόμησης της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και σε συθήκες Storage της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator και σε συθήκες σε Storage της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator. στ Να αξιολογήσετε τα μοτέλα. 6 P. G. Balaanns; L. A. Santas, Journal of Apcultural Research, 3: 70-76 99 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos
3. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι μετρήσεις του άρους και του ύψους είκοσι ρεφώ τα οποία κατά τη γέηση είχα άρος μικρότερο τω 500gr λιπόαρα. Επίσης φαίεται το φύλο τω ρεφώ. Βρέφος Φύλο Ύψος σε cm Βάρος σε gr Αγόρι 4 450 Αγόρι 40 490 3 Αγόρι 38 400 4 Αγόρι 36 400 5 Αγόρι 38 390 6 Αγόρι 3 00 7 Αγόρι 33 50 8 Αγόρι 38 40 9 Αγόρι 30 000 0 Αγόρι 34 50 Κορίτσι 3 00 Κορίτσι 39 450 3 Κορίτσι 37 400 4 Κορίτσι 39 450 5 Κορίτσι 37 350 6 Κορίτσι 39 450 7 Κορίτσι 38 380 8 Κορίτσι 4 490 9 Κορίτσι 39 480 0 Κορίτσι 38 450 α Με άση αυτά τα δεδομέα α εκτιμήσετε κατάλληλο στοχαστικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί α εκτιμηθεί το μέσο άρος ρεφώ συγκεκριμέου ύψους. Αξιολογείστε το μοτέλο που εκτιμήσατε και τεκμηριώστε τη καταλληλότητά του επιεαίωση τω υποθέσεω-παραδοχώ της στατιστικής θεωρίας του μοτέλου, τυπικό σφάλμα της εκτίμησης, ζώη εμπιστοσύης, τυπικά σφάλματα τω εκτιμήσεω τω παραμέτρω και ατίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύης, έλεγχοι υποθέσεω για τις παραμέτρους, συτελεστής προσδιορισμού, Lack-of-Ft test, διερεύηση πιθαώ ακραίω τιμώ, σύγκριση με άλλα επίσης κατάλληλα μοτέλα. γ Εκτιμήστε το μέσο άρος τω λιπόαρω κατά τη γέηση ρεφώ ύψους 36cm. Τι αξία έχει αυτή η εκτίμηση; δώστε έα διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο άρος του πληθυσμού τω λιπόαρω ρεφώ μήκους 36 cm και ερμηεύστε. δ Από το εξεταζόμεο πληθυσμό τω λιπόαρω κατά τη γέηση ρεφώ, επιλέγετε έα ρέφος και ρίσκετε ότι έχει ύψος 36cm. Τι άρος προλέπετε α έχει αυτό το ρέφος; Τι αξία έχει αυτή η πρόλεψη; δώστε έα διάστημα εμπιστοσύης για το άρος αυτού του ρέφους διάστημα πρόλεψης και ερμηεύστε. ε Το μοτέλο που εκτιμήσατε μπορεί α δώσει «αξιόπιστη» εκτίμηση του μέσου άρους λιπόαρω ρεφώ ύψους 46cm; στ Για ποιο ύψος προκύπτει το καλύτερο διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο άρος του πληθυσμού τω ρεφώ; ζ Να εκτιμήσετε κατάλληλο στοχαστικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί α εκτιμηθεί το άρος ρέφους που είαι κορίτσι και έχει ύψος 38cm. η Να ελέγξετε α υπάρχει διαφορετική γραμμική σχέση μεταξύ του άρους και του ύψους τω λιπόαρω αγοριώ ρεφώ σε σύγκριση με τα κορίτσια ρέφη. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos
4. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι μετρήσεις της συστολικής πίεσης του αίματος SBP, του δείκτη BMI, της ηλικίας AGE και του ιστορικού σχετικά με το κάπισμα SMK SMK 0 για μη καπιστές, SMK για καπιστές ή πρώη καπιστές 3 αδρώ ηλικίας άω τω 40 ετώ από μια συγκεκριμέη περιοχή. Άτομο SBP BMI AGE SMK 35 9 45 0 5 4 0 3 30 3 49 0 4 48 38 5 0 5 46 30 54 6 9 8 47 7 6 37 60 8 60 36 48 9 44 4 44 0 70 40 64 66 39 59 30 8 5 3 58 4 64 0 4 38 37 56 0 5 40 36 54 6 34 30 50 7 45 34 49 8 4 30 46 9 35 3 57 0 0 4 34 56 0 50 36 56 44 36 58 0 3 37 33 53 0 4 3 3 50 0 5 49 37 54 6 3 30 48 7 0 5 43 0 8 6 30 43 9 6 38 63 0 30 70 4 63 3 58 40 6 0 3 64 40 65 0 α Προσαρμόστε το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης για τη εκτίμηση της μέσης συστολικής πίεσης του αίματος τω αδρώ ηλικίας άω τω 40 ετώ της συγκεκριμέης περιοχής μέσω της τιμής του δείκτη BMI. α Μέσω του μοτέλου που προσαρμόσατε, τι ποσοστό της μεταλητότητας της συστολικής πίεσης του αίματος εξηγείται από τη μεταλητότητα του δείκτη BMI; α ι Ελέγξτε α το μοτέλο που προσαρμόσατε είαι στατιστικά σηματικό. Για τη κλίση της ευθείας παλιδρόμησης, ελέγξτε τη υπόθεση H 0 : 0 έατι της H : 0. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. Τέλος, ελέγξτε στατιστικά α πρέπει α εξετάσετε προσαρμογή κάποιου άλλου μοτέλου. α ιιι Σχολιάστε συολικά τις επιμέρους απατήσεις στo ερώτημα α ι. Είαι κάποιες ατιφατικές; Είαι κάποιες ταυτόσημες; εξηγείστε. α v Επιεαιώοται από τα πειραματικά δεδομέα οι υποθέσεις-παραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου; α v Δώστε μια εκτίμηση και έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη μέση συστολική πίεση του αίματος τω αδρώ που έχου δείκτη BMI ίσο με 35. Στη Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 3
συέχεια, προσαρμόστε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης για α μπορέσετε απατήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α v Δώστε μια εκτίμηση και έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη μέση συστολική πίεση του αίματος τω αδρώ που έχου δείκτη BMI ίσο με 35 και είαι καπιστές και ατίστοιχα τω αδρώ ίδιου δείκτη BMI 35 που δε είαι καπιστές. α v Εκτιμήστε πόσο θα μεταληθεί η συστολική πίεση του αίματος τω αδρώ που είαι καπιστές α ο δείκτης BMI αυξηθεί κατά μια μοάδα και ατίστοιχα πόσο τω μη καπιστώ. α v Ελέγξτε α υπάρχει διαφορετική γραμμική σχέση μεταξύ της συστολικής πίεσης του αίματος και του δείκτη BMI για τους καπιστές σε σύγκριση με τους μη καπιστές άδρες. Προσαρμόστε το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης για τη εκτίμηση της μέσης συστολικής πίεσης του αίματος τω αδρώ ηλικίας άω τω 40 ετώ της συγκεκριμέης περιοχής μέσω της ηλικίας AGE και ατίστοιχα επααλάετε τα ερωτήματα α έως α v. Επίσης, ελέγξτε α υπάρχει διαφορετική γραμμική σχέση μεταξύ της συστολικής πίεσης του αίματος και της ηλικίας AGE για τους καπιστές σε σύγκριση με τους μη καπιστές άδρες. γ Προσαρμόστε το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης για τη εκτίμηση του δείκτη BMI τω αδρώ ηλικίας άω τω 40 ετώ της συγκεκριμέης περιοχής μέσω της ηλικίας AGE και επααλάατε τα ερωτήματα α έως α v. Επίσης, ελέγξτε α υπάρχει διαφορετική γραμμική σχέση μεταξύ του δείκτη BMI και της ηλικίας AGE για τους καπιστές σε σύγκριση με τους μη καπιστές άδρες. δ Προσαρμόστε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης για α μπορέσετε α απατήσετε στα παρακάτω ερωτήματα. δ Πόση εκτιμάτε ότι είαι η μέση συστολική πίεση τω αδρώ ηλικίας 50 ετώ, που έχου δείκτη BMI ίσο με 35 και είαι καπιστές; δ Πόση εκτιμάτε ότι είαι η μέση συστολική πίεση τω αδρώ ηλικίας 50 ετώ, που έχου δείκτη BMI ίσο με 35 και είαι μη καπιστές; δ Εκτιμείστε πόσο θα μεταληθεί η μέση συστολική πίεση τω μη καπιστώ αδρώ ηλικίας 50 ετώ α ο δείκτης BMI αυξηθεί από 35 σε 36 δ v Εκτιμείστε πόσο θα μεταληθεί η μέση συστολική πίεση τω μη καπιστώ αδρώ ηλικίας 4 ετώ α ο δείκτης BMI αυξηθεί από 35 σε 36 δ v Εκτιμείστε πόσο θα μεταληθεί η μέση συστολική πίεση τω μη καπιστώ αδρώ ηλικίας 5 ετώ α ο δείκτης BMI αυξηθεί από 30 σε 3. ε Προσθέστε στο μοτέλο έα όρο ο οποίος α εκφράζει τη αλληλεπίδραση μεταξύ ηλικίας και δείκτη BMI. Έχει η ηλικία διαφορετική επίδραση στη συστολική πίεση του αίματος εξαρτώμεη από τη τιμή του δείκτη BMI; στ Ποιες από τις μεταλητές ηλικία, δείκτης BMI και αλληλεπίδραση μεταξύ ηλικίας και δείκτη BMI θα επιλέξετε για α συμπεριλάετε στο μοτέλο; Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 4
5. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι μετρήσεις που πήραμε για το ύψος Υ και το μήκος του αριστερού και του δεξιού πέλματος, Χ, Χ ατίστοιχα, 5 αδρώ από μια συγκεκριμέη περιοχή. Ύψος Μήκος αριστερού πέλματος Μήκος δεξιού πέλματος σε ίτσες σε εκατοστά σε εκατοστά 69 7 6.5 79 9 7.5 75 3 3 69 5.5 5.5 65 3.5 3 79 8 8 7 8.5 8.5 69.5 7 7 73 30.6 3.4 7.5 7.4 8.5 69.5 7 7 73 8.5 7.5 7 9 7 74 9 30 75 8 9 7 7 7.5 7 6.5 7.5 66 5.5 6 7 9 8 67 7. 7 7 9 8.5 7 8 8 7 8.5 9 73.5 9 30 73 3.5 4 Ποιες από τις μεταλητές Χ, Χ θα επιλέξετε για α συμπεριλάετε σε έα γραμμικό μοτέλο πρόλεψης του ύψους τω αδρώ της συγκεκριμέης περιοχής. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ.Κ.Παπαδόπουλος www.aua.gr/gpapadopoulos 5