Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1

Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει άπειρο αριθμό τιμών. Δεν μπορούμε να απαριθμήσουμε τις πιθανές τιμές επειδή υπάρχει άπειρος αριθμός αυτών. Επειδή υπάρχουν άπειρες τιμές, η πιθανότητα κάθε μεμονωμένης τιμής είναι πρακτικά μηδενική. Copyright 2009m Cengage Learning 8.2

Πιθανότητες Τιμών είναι Μηδενικές Επειδή υπάρχει άπειρος αριθμός τιμών, η πιθανότητα κάθε επιμέρους τιμής είναι στην πραγματικότητα μηδενική. Επομένως, μπορούμε να καθορίσουμε μόνο την πιθανότητα ενός φάσματος τιμών. Π.χ. σε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, όπως το ρίξιμο ενός ζαριού, έχει νόημα να μιλήσουμε για P(X=5), ας πούμε. Σε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή (π.χ. με τον χρόνο να είναι η τυχαία μεταβλητή), η πιθανότητα η εν λόγω μεταβλητή, ας πούμε η διάρκεια ενός καθήκοντος, να είναι ακριβώς 5 λεπτά είναι απειροελάχιστη, επομένως P(X=5) = 0. Έχει νόημα να μιλάμε για P(X 5). Copyright 2009m Cengage Learning 8.3

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανοτήτων Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων (με πεδίο ορισμού a x b) εάν πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις: 1) f(x) 0 για κάθε x μεταξύ a και b, και f(x) a εμβαδόν=1 2) Το συνολικό εμβαδόν κάτω από την καμπύλη μεταξύ a και b είναι 1 b x Copyright 2009m Cengage Learning 8.4

Ομοιόμορφη Κατανομή Η ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων (μερικές φορές ονομάζεται ορθογώνια κατανομή πιθανοτήτων) ορίζεται από τη συνάρτηση: f(x) a b x εμβαδόν = πλάτος x ύψος= 1 Copyright 2009m Cengage Learning 8.5

Παράδειγμα 8.1(α) Η ποσότητα βενζίνης που πωλείται ημερησίως σε ένα βενζινάδικο κατανέμεται ομοιόμορφα με ελάχιστη τιμή τα 2,000 και μέγιστη τα 5,000 γαλόνια. f(x) 2,000 5,000 x Βρείτε την πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να είναι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλονιών. Ποια είναι η P(2,500 X 3,000); Copyright 2009m Cengage Learning 8.6

Παράδειγμα 8.1(α) P(2,500 X 3,000) = (3,000 2,500) x = 0.1667 f(x) 2,000 5,000 x «υπάρχει πιθανότητα περίπου 17% να οι πωλήσεις βενζίνης σε μια δεδομένη ημέρα να είναι μεταξύ 2,500 και 3,000 γαλονιών» Copyright 2009m Cengage Learning 8.7

Παράδειγμα 8.1(β) Η ποσότητα βενζίνης που πωλείται ημερησίως σε ένα βενζινάδικο κατανέμεται ομοιόμορφα με ελάχιστη τιμή τα 2,000 και μέγιστη τα 5,000 γαλόνια. f(x) 2,000 5,000 x Ποια είναι η πιθανότητα να πουλήσει το βενζινάδικο τουλάχιστον 4,000 γαλόνια; Αλγεβρικά: ποια είναι η P(X 4,000); Copyright 2009m Cengage Learning 8.8

Παράδειγμα 8.1(β) P(X 4,000) = (5,000 4,000) x = 0.3333 f(x) 2,000 5,000 x «Υπάρχει μία στις τρεις πιθανότητες το βενζινάδικο να πουλήσει περισσότερα από 4,000 γαλόνια βενζίνης σε μια οποιαδήποτε δεδομένη ημέρα» Copyright 2009m Cengage Learning 8.9

Παράδειγμα 8.1(γ) Η ποσότητα βενζίνης που πωλείται ημερησίως σε ένα βενζινάδικο κατανέμεται ομοιόμορφα με ελάχιστη τιμή τα 2,000 και μέγιστη τα 5,000 γαλόνια. f(x) 2,000 5,000 x Ποια είναι η πιθανότητα το βενζινάδικο να πουλήσει ακριβώς 2,500 γαλόνια; Αλγεβρικά: ποια είναι η P(X = 2,500); Copyright 2009m Cengage Learning 8.10

Παράδειγμα 8.1(γ) P(X = 2,500) = (2,500 2,500) x = 0 f(x) 2,000 5,000 x «Η πιθανότητα να πουλήσει το βενζινάδικο ακριβώς 2,500 γαλόνια βενζίνης είναι μηδενική». Copyright 2009m Cengage Learning 8.11

Κανονική Κατανομή Η κανονική κατανομή είναι η σημαντικότερη όλων των κατανομών πιθανοτήτων. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής δίδεται από τη σχέση: Έχει την εξής μορφή: Σχήμα καμπάνας- Συμμετρική γύρω από τον αριθμητικό μέσο Copyright 2009m Cengage Learning 8.12

Κανονική Κατανομή Σημαντικές σημειώσεις: Η κανονική κατανομή ορίζεται πλήρως από δύο παραμέτρους: την τυπική απόκλιση και τον αριθμητικό μέσο Η κανονική κατανομή έχει σχήμα καμπάνας και είναι συμμετρική γύρω από τον αριθμητικό μέσο Αντίθετα με το εύρος της ομοιόμορφης κατανομής (a x b) οι κανονικές κατανομές κυμαίνονται από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο Copyright 2009m Cengage Learning 8.13

Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Μια κανονική κατανομή της οποίας ο αριθμητικός μέσος είναι μηδενικός και η τυπική απόκλιση είναι ίση με μονάδα ονομάζεται τυποποιημένη κανονική κατανομή. 1 1 0 Όπως θα δούμε σύντομα, κάθε κανονική κατανομή μπορεί να μετατρέπεται σε τυποποιημένη κανονική κατανομή με απλή άλγεβρα. Αυτό κάνει τους υπολογισμούς πολύ ευκολότερους. Copyright 2009m Cengage Learning 8.14

Κανονική Κατανομή Η κανονική κατανομή ορίζεται από δύο παραμέτρους: Τον αριθμητικό μέσο μ και την τυπική απόκλιση σ. Η αύξηση του αριθμητικού μέσου μετατοπίζει την καμπύλη προς τα δεξιά Copyright 2009m Cengage Learning 8.15

Κανονική Κατανομή Η κανονική κατανομή ορίζεται από δύο παραμέτρους: Τον αριθμητικό μέσο μ και την τυπική απόκλιση σ. Η αύξηση της τυπικής απόκλισης κάνει την καμπύλη «πιο επίπεδη» Copyright 2009m Cengage Learning 8.16

Υπολογισμός Πιθανοτήτων σε Κανονική Κατανομή Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω συνάρτηση για να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή. 0 Copyright 2009m Cengage Learning 8.17

Υπολογισμός Πιθανοτήτων σε Κανονική Κατανομή Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω συνάρτηση για να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή. Αυτό μετατοπίζει τον αριθμητικό μέσο της Χ στο μηδέν. 0 Copyright 2009m Cengage Learning 8.18

Υπολογισμός Πιθανοτήτων σε Κανονική Κατανομή Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω συνάρτηση για να μετατρέψουμε κάθε κανονική τυχαία μεταβλητή σε τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή. 0 Αυτό μεταβάλλει τη μορφή της καμπύλης. Copyright 2009m Cengage Learning 8.19

Παράδειγμα 8.2 Έστω ότι σε ένα άλλο βενζινάδικο η ημερήσια ζήτηση απλής βενζίνης έχει κανονική κατανομή με αριθμητικό μέσο 1,000 γαλόνια και τυπική απόκλιση 100 γαλόνια. Ο διευθυντής του βενζινάδικου μόλις άνοιξε το κατάστημα και βλέπει ότι υπάρχουν αποθηκευμένα ακριβώς 1,100 γαλόνια απλής βενζίνης. Η επόμενη παράδοση καυσίμων είναι προγραμματισμένη περίπου στο κλείσιμο του βενζινάδικου. Ο διευθυντής θέλει να γνωρίζει εάν υπάρχει πιθανότητα να έχει αρκετή απλή βενζίνη για να ικανοποιήσει τη ζήτηση της ημέρας. Copyright 2009m Cengage Learning 8.20

Παράδειγμα 8.2 Η ζήτηση κατανέμεται κανονικά με αριθμητικό μέσο µ = 1,000 και τυπική απόκλιση σ = 100. Θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα P(X < 1,100) Copyright 2009m Cengage Learning 8.21

Παράδειγμα 8.2 Το πρώτο βήμα είναι να τυποποιήσουμε το X. Ωστόσο, εάν εκτελέσουμε οποιεσδήποτε πράξεις στη Χ πρέπει να εκτελέσουμε τις ίδιες στο 1,100. Επομένως, X 1,100 1,000 P(X < 1,100) = P = P(Z < 1.00) 100 Copyright 2009m Cengage Learning 8.22

Παράδειγμα 8.2 Η παρακάτω απεικόνιση περιγράφει γραφικά την πιθανότητα που αναζητούμε. Copyright 2009m Cengage Learning 8.23

Παράδειγμα 8.2 Οι τιμές της Z καθορίζουν την αντίστοιχη τιμή της Χ. Μια τιμή της Ζ = 1 αντιστοιχεί σε μια τιμή της Χ που είναι 1 τυπική απόκλιση πάνω από τον αριθμητικό μέσο. Σημειώστε επίσης ότι ο αριθμητικός μέσος της Ζ, που είναι 0, αντιστοιχεί στον αριθμητικό μέσο της Χ. Copyright 2009m Cengage Learning 8.24

Παράδειγμα 8.2 Εάν γνωρίζουμε τον μέσο και την τυπική απόκλιση μιας κανονικής κατανομής τυχαίας μεταβλητής μπορούμε πάντα να μετασχηματίσουμε την διατύπωση πιθανοτήτων για τη Χ σε διατύπωση πιθανοτήτων για την Ζ. Συνεπώς, χρειαζόμαστε μόνο ένα πίνακα, τον Πίνακα 3 στο Παράρτημα B, τον πίνακα τυποποιημένων κανονικών πιθανοτήτων. Copyright 2009m Cengage Learning 8.25

Πίνακας 3 Ο πίνακας αυτός καταγράφει αθροιστικές πιθανότητες P(Z < z) για τιμές του z που κυμαίνονται από 3,09 έως +3,09 Copyright 2009m Cengage Learning 8.26

Πίνακας 3 Έστω ότι θέλουμε να ορίσουμε την παρακάτω πιθανότητα. P(Z < 1.52) Πρώτα βρίσκουμε 1.5 στο αριστερό περιθώριο. Στη συνέχεια κινούμαστε κατά μήκος αυτής της σειράς μέχρι να βρούμε την πιθανότητα στη στήλη με επικεφαλίδα 0.02. Επομένως, P(Z < 1.52) = 0.0643 Copyright 2009m Cengage Learning 8.27

Πίνακας 3 P(Z < 1.52) = 0.0643 Copyright 2009m Cengage Learning 8.28

Πίνακας 3 Όπως και στους Πίνακες 1 και 2, μπορούμε επίσης να ορίσουμε την πιθανότητα η τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη από κάποια τιμή της z. Για παράδειγμα, βρίσκουμε την πιθανότητα ότι η Ζ είναι μεγαλύτερη από 1.80 προσδιορίζοντας την πιθανότητα ότι η Ζ είναι μικρότερη από 1.80 και αφαιρώντας την τιμή αυτή από την μονάδα. Εφαρμόζοντας τον κανόνα του συμπληρώματος έχουμε P(Z > 1.80) = 1 P(Z < 1.80) = 1 0.9641 = 0.0359 Copyright 2009m Cengage Learning 8.29

Πίνακας 3 P(Z > 1.80) = 1 P(Z < 1.80) = 1 0.9641 = 0.0359 Copyright 2009m Cengage Learning 8.30

Πίνακας 3 Μπορούμε επίσης εύκολα να καθορίσουμε την πιθανότητα ότι μια τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή βρίσκεται μεταξύ 2 τιμών της z. Για παράδειγμα, βρίσκουμε την πιθανότητα P( 1.30 < Z < 2.10) Βρίσκουμε τις 2 αθροιστικές πιθανότητες και υπολογίζουμε τη διαφορά τους. Δηλαδή και Επομένως, P(Z < 1.30) = 0.0968 P(Z < 2.10) = 0.9821 P( 1.30 < Z < 2.10) = P(Z < 2.10) P(Z < 1.30) = 0.9821 0.0968 = 0.8853 Copyright 2009m Cengage Learning 8.31

Πίνακας 3 P( 1.30 < Z < 2.10) = 0.8853 Copyright 2009m Cengage Learning 8.32

Πίνακας 3 Σημειώστε ότι η μεγαλύτερη τιμή της z στον πίνακα είναι 3.09, και ότι P( Z < 3.09) = 0.9990. Αυτό σημαίνει ότι P(Z > 3.09) = 1 0.9990 = 0.0010 Ωστόσο, επειδή ο πίνακας δεν περιέχει τιμές πέραν της 3.09, υπολογίζουμε κατά προσέγγιση κάθε περιοχή πέραν του 3.10 ως 0. Δηλαδή, P(Z > 3.10) = P(Z < 3.10) 0 Copyright 2009m Cengage Learning 8.33

Πίνακας 3 Θυμηθείτε ότι η κανονική τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής και ότι η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να είναι ίση με οποιαδήποτε μεμονωμένη τιμή είναι 0. Copyright 2009m Cengage Learning 8.34

Παράδειγμα 8.2 Τέλος, επιστρέφοντας στο Παράδειγμα 8.2, η πιθανότητα που αναζητούμε είναι P(X < 1,100) = P( Z < 1.00) = 0.8413 Copyright 2009m Cengage Learning 8.35

Παράδειγμα 8.2 P(X < 1,100) = P( Z < 1.00) = 0.8413 Copyright 2009m Cengage Learning 8.36

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ: Μέτρηση Κινδύνου Στην Ενότητα 7.4 αναπτύξαμε μια σημαντική εφαρμογή στα χρηματοοικονομικά, όπου δόθηκε έμφαση στη μείωση της διασποράς των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου. Ωστόσο, δεν δείξαμε γιατί ο κίνδυνος μετράται από τη διασπορά και την τυπική απόκλιση. Το παρακάτω παράδειγμα διορθώνει αυτή την έλλειψη. Copyright 2009m Cengage Learning 8.37

Παράδειγμα 8.3 Πάρτε μια επένδυση της οποίας η απόδοση κατανέμεται κανονικά με ένα αριθμητικό μέσο 10% και μια τυπική απόκλιση 5%. a. Καθορίστε την πιθανότητα απώλειας χρημάτων. b. Βρείτε την πιθανότητα απώλειας χρημάτων όταν η τυπική απόκλιση είναι ίση με 10%. Copyright 2009m Cengage Learning 8.38

Παράδειγμα 8.3 α Η επένδυση χάνει χρήματα όταν η απόδοση είναι αρνητική. Επομένως θέλουμε να καθορίσουμε P(X < 0) Το πρώτο βήμα είναι να τυποποιήσουμε τόσο τη Χ όσο και το 0 στη διατύπωση πιθανοτήτων. P(X < 0) = P = P(Z < 2.00) X 0 10 5 Copyright 2009m Cengage Learning 8.39

Παράδειγμα 8.3 Από τον Πίνακα 3 βρίσκουμε P(Z < 2.00) = 0.0228 Επομένως η πιθανότητα απώλειας χρημάτων είναι 0.0228 Copyright 2009m Cengage Learning 8.40

Παράδειγμα 8.3 β. Εάν αυξήσουμε την τυπική απόκλιση στο 10%, η πιθανότητα απώλειας χρημάτων γίνεται P(X < 0) = P X 0 10 10 = P(Z < 1.00) = 0.1587 Copyright 2009m Cengage Learning 8.41

Εύρεση τιμών της Z Συχνά μας ζητείται να βρούμε κάποια τιμή της Ζ για μια δεδομένη πιθανότητα, π.χ. με δεδομένο ένα εμβαδόν (Α) κάτω από την καμπύλη, ποια είναι η αντίστοιχη τιμή z (z A ) στον οριζόντιο άξονα που μας δίνει αυτό το εμβαδόν; Είναι P(Z > z A ) = A Copyright 2009m Cengage Learning 8.42

Εύρεση τιμών της Z Ποια τιμή της z αντιστοιχεί σε ένα εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της τάξης του 2.5%; Δηλαδή, ποια είναι η z 0.025 ; (1 A) = (1 0,025) = 0,9750 Area =.025 Εάν κάνετε μια «αντίστροφη αναζήτηση» στον Πίνακα 3 για 0.9750, θα έχετε την αντίστοιχη z A = 1.96 Αφού P(Ζ > 1.96) = 0.025, λέμε ότι: z 0.025 = 1.96 Copyright 2009m Cengage Learning 8.43

Εκθετική Κατανομή Μια άλλη σημαντική συνεχής κατανομή είναι η εκθετική κατανομή, η οποία έχει την εξής συνάρτηση πυκνότητας πιθανοτήτων: Σημειώστε ότι x 0. Ο χρόνος (για παράδειγμα) είναι ένα μηαρνητικό μέγεθος. Η εκθετική κατανομή συχνά χρησιμοποιείται σε φαινόμενα που σχετίζονται με τον χρόνο, όπως το χρονικό διάστημα μεταξύ τηλεφωνημάτων ή μεταξύ ανταλλακτικών που φθάνουν στο χώρο συναρμολόγησης. Για την εκθετική τυχαία μεταβλητή μ=1/λ=σ Copyright 2009m Cengage Learning 8.44

Εκθετική Κατανομή Η εκθετική κατανομή εξαρτάται από την τιμή του λ Μικρότερες τιμές του λ κάνουν την καμπύλη «πιο επίπεδη»: (Π.χ. εκθετικές κατανομές για τιμές = 0.5, 1, 2) Copyright 2009m Cengage Learning 8.45

Εκθετική Κατανομή Εάν X είναι μια εκθετική τυχαία μεταβλητή, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε πιθανότητες με τις σχέσεις: Copyright 2009m Cengage Learning 8.46

Παράδειγμα 8.4 Ο χρόνος ζωής μιας αλκαλικής μπαταρίας (σε ώρες) κατανέμεται εκθετικά με λ = 0.05 Βρείτε την πιθανότητα μια μπαταρία να διαρκέσει μεταξύ 10 και 15 ωρών P(10<X<15) P(10<X<15) «Υπάρχει πιθανότητα περίπου 13% μια μπαταρία να διαρκέσει μόνο 10 έως 15 ώρες» Copyright 2009m Cengage Learning 8.47

Άλλες Συνεχείς Κατανομές Εδώ θα γνωρίσουμε τρεις ακόμα συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων που έχουν εκτεταμένη εφαρμογή στη Στατιστική ΙΙ: Κατανομή Student t, Κατανομή «χι τετράγωνο», και Κατανομή F Copyright 2009m Cengage Learning 8.48

Κατανομή Student t Εδώ το γράμμα t χρησιμοποιείται για να συμβολίσει την τυχαία μεταβλητή, δηλαδή το όνομα. Η συνάρτηση πυκνότητας για την κατανομή Student t έχει ως εξής: όπου ν είναι οι βαθμοί ελευθερίας, και Γ(k)=(k-1)(k-2) (2)(1), k φυσικός αριθμός. Copyright 2009m Cengage Learning 8.49

Κατανομή Student t Παρόμοια με την τυποποιημένη κανονική κατανομή, η κατανομή Student t έχει μορφή «λόφου» και είναι συμμετρική γύρω από τον αριθμητικό μέσο του 0: Ο αριθμητικός μέσος και η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής Student t είναι και E(t) = 0 V(t) = για ν>2. Copyright 2009m Cengage Learning 8.50

Κατανομή Student t Με παρόμοιο τρόπο που ο µ και η σ ορίζουν την κανονική κατανομή, το ν, οι βαθμοί ελευθερίας, καθορίζουν την Κατανομή Student t: Όταν ο αριθμός βαθμών ελευθερίας αυξάνει, η κατανομή t προσεγγίζει την τυποποιημένη κανονική κατανομή. Copyright 2009m Cengage Learning 8.51

Υπολογισμός Τιμών Student t Η κατανομή student t χρησιμοποιείται εκτεταμένα στην επαγωγική στατιστική. Ο πίνακας 4 στο Παράρτημα καταγράφει τις τιμές του Δηλαδή, τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Student t με ν βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε: Οι τιμές του A (προκαθορισμένες «κρίσιμες» τιμές), είναι συνήθως 10%, 5%, 2.5%, 1% και 0.5%. Copyright 2009m Cengage Learning 8.52

Χρήση του πίνακα t (Πίνακας 4) για τιμές Για παράδειγμα, εάν θέλουμε την τιμή του t με 10 βαθμούς ελευθερίας έτσι ώστε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη Student t να είναι 0.05: Εμβαδόν κάτω από την τιμή καμπύλης (t A ) : ΣΤΗΛΗ t.05,10 T 0.05,10 =1.812 Βαθμοί Ελευθερίας : ΣΕΙΡΑ Copyright 2009m Cengage Learning 8.53

Κατανομή «χι τετράγωνο» Η συνάρτηση πυκνότητας της «χι τετράγωνο» είναι η: Όπως και πριν, η παράμετρος ν είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας Copyright 2009m Cengage Learning 8.54

Κατανομή «χι τετράγωνο» Σημειώσεις: Η κατανομή «χι τετράγωνο» δεν είναι συμμετρική Οι δυνάμεις, π.χ., έχουν μη-αρνητικές τιμές (δηλαδή, η εύρεση P( < 0) δεν είναι λογική). Ο Πίνακας 5 στο Παράρτημα B διευκολύνει την αναζήτηση πιθανοτήτων αυτού του είδους δηλαδή P( > ) = A Copyright 2009m Cengage Learning 8.55

Κατανομή «χι τετράγωνο» Για πιθανότητες αυτού του είδους: Χρησιμοποιούμε το 1 A, δηλαδή, καθορίζουμε την P( < ) = A Copyright 2009m Cengage Learning 8.56

Παράδειγμα Σε μια κατανομή «χι τετράγωνο», βρίσκουμε το σημείο με 8 βαθμούς ελευθερίας, έτσι ώστε το εμβαδόν στα δεξιά να είναι 0.05, Αναζητούμε την τομή της σειράς των 8 βαθμών ελευθερίας με τη στήλη 0.05, αποδίδοντας μια τιμή 15.5 Copyright 2009m Cengage Learning 8.57

Κατανομή F Η συνάρτηση πυκνότητας δίδεται από τη σχέση: Όπου F > 0. Δύο παράμετροι προσδιορίζουν αυτή την κατανομή, και όπως έχετε ήδη δει αυτές είναι και πάλι οι βαθμοί ελευθερίας: είναι οι βαθμοί ελευθερίας του «αριθμητή» και είναι οι βαθμοί ελευθερίας του «παρονομαστή». Copyright 2009m Cengage Learning 8.58

Κατανομή F Ο αριθμητικός μέσος και η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής F δίδονται από τις σχέσεις: και Η κατανομή F είναι παρόμοια με την κατανομή ως προς το ότι αρχίζει από το μηδέν (είναι μη-αρνητική) και μη συμμετρική. Copyright 2009m Cengage Learning 8.59

Υπολογισμός Τιμών της F Για παράδειγμα, ποια είναι η τιμή της F για 5% του εμβαδού κάτω από την δεξιά «ουρά» της καμπύλης, με ένα βαθμό ελευθερίας αριθμητή 3 και ένα βαθμό ελευθερίας παρονομαστή 7; Λύση: χρησιμοποιείστε τον Πίνακα 6 Υπάρχουν διαφορετικοί πίνακες για διαφορετικές τιμές του A. Βεβαιωθείτε ότι αρχίζετε με τον σωστό πίνακα!! F 0.05,3,7 =4.35 F.05,3,7 Βαθμοί Ελευθερίας Παρονομαστή : ΣΕΙΡΑ Βαθμοί Ελευθερίας Αριθμητή : ΣΤΗΛΗ Copyright 2009m Cengage Learning 8.60

Υπολογισμός Τιμών της F Για εμβαδά κάτω από την καμπύλη στην αριστερή πλευρά αυτής, μπορούμε να αξιοποιήσουμε την ακόλουθη σχέση: Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στη σειρά των όρων! Copyright 2009m Cengage Learning 8.61