ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

T.E.I. ΛΑΡΙΣΑΣ Σ.Τ.ΕΦ. ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σ. Ι. ΛΟΥΤΡΙ ΗΣ ΛΑΡΙΣΑ 007

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ. Εισαγωγή. Σχηµατισµός µηνύµατος. Αριθµητικά συστήµατα - εκαδικό σύστηµα.4 υαδικό σύστηµα.5 Οκταδικό σύστηµα.7 Πράξεις µε δυαδικούς αριθµούς.7. Πρόσθεση.7. Αφαίρεση.7. Πολλαπλασιασµός.7.4 ιαίρεση.8 Παράσταση αρνητικών αριθµών.9 Κώδικας BCD.0 Κώδικας υπέρβασης κατά. Κώδικας Gray. Κώδικας ASCII ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE. Εισαγωγή. Βασικές πράξεις. Αξιώµατα και θεωρήµατα.4 Κανονικές µορφές παράστασης λογικών συναρτήσεων.4. Κανονικό άθροισµα γινοµένων.4. Κανονικό γινόµενο αθροισµάτων.5 Παράσταση λογικών συναρτήσεων µε πίνακες Karnaugh.5. Πίνακας Karnaugh µιας µεταβλητής.5. Πίνακας Karnaugh δύο µεταβλητών.5. Πίνακας Karnaugh τριών µεταβλητών.5.4 Πίνακας Karnaugh τεσσάρων µεταβλητών.5.5 Πίνακας Karnaugh πέντε µεταβλητών.6 Πίνακας Karnaugh µε αδιαφορίες

.7 ιττότητα λογικής συνάρτησης.8 Συµπλήρωµα λογικής συνάρτησης.9 Συναγωγή ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ. Εισαγωγή. Πύλη OR. Πύλη AND.4 Πύλη NOT.5 Πύλη NAND.6 Πύλη NOR.7 Πύλη EXOR ή XOR.8 Τεχνολογία ολοκληρωµένων κυκλωµάτων πυλών.9 Παραδείγµατα σχεδίασης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο - ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Εισαγωγή 4. Εύρεση πρώτων συναγόντων 4.. Πρώτος συνάγων 4.. Βασικός πρώτος συνάγων 4.. Χρήση του πίνακα Karnaugh για την εύρεση πρώτων συναγόντων 4..4 Εύρεση βασικών πρώτων συναγόντων από τον πίνακα Karnaugh 4. Άριστη υλοποίηση µιας λογικής συνάρτησης µε βάση τους πρώτους συνάγοντες 4.4 Ελάχιστη υλοποίηση µιας συνάρτησης σε µορφή γινοµένου µέγιστων όρων 4.5 Αλγόριθµος ελαχιστοποίησης λογικών συναρτήσεων Quine-McCluskey ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο - ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 5. Εισαγωγή 5. Υλοποίηση ψηφιακών κυκλωµάτων µε πύλες NAND, NOR 5. Κωδικοποιητές 5.4 Ηµιαθροιστές και αθροιστές 5.5 Συγκριτές 5.6 Πολυπλέκτες

5.7 Μνήµη ROM ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο - ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 6. Εισαγωγή 6. Μανδαλωτής τύπου RS 6. Flip-flop τύπου RS µε ρολόϊ συγχρονισµού 6.4 Flip-flop τύπου D 6.5 Flip-flop τύπου JK 6.6 Flip-flop τύπου T 6.7 Flip-flop master-slave 6.8 Χαρακτηριστικοί πίνακες και πίνακες διέγερσης 6.9 Παραδείγµατα σχεδίασης ακολουθιακών κυκλωµάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο - ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΤΕΣ ΜΝΗΜΕΣ RAM 7. Εισαγωγή 7. Καταχωρητές 7.. Καταχωρητές µε παράλληλη είσοδο-έξοδο 7.. Καταχωρητές ολίσθησης 7.. Καταχωρητής διπλής κατεύθυνσης µε παράλληλη έξοδο 7. Απαριθµητές 7.. Απαριθµητές κυµάτωσης 7.. Απαριθµητές κυµάτωσης για κώδικα BCD 7.. Σύγχρονοι απαριθµητές 7.4 Μνήµη RAM ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 4

- ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ. Εισαγωγή Το βασικό χαρακτηριστικό των ψηφιακών κυκλωµάτων και συστηµάτων είναι ότι τα σήµατα πού αυτά επεξεργάζονται, έχουν τη δυνατότητα να λάβουν ένα περιορισµένο αριθµό τιµών. Στα περισσότερα συστήµατα, τα σήµατα περιορίζονται σε δύο µόνο δυνατές τιµές, γεγονός πού απλοποιεί σηµαντικά την επεξεργασία τους και περιορίζει την εµφάνιση σφαλµάτων. Ένα ευρέως διαδεδοµένο ψηφιακό σύστηµα είναι ο ηλεκτρονικός υπολογιστής. Ένας υπολογιστής αποτελείται από έναν αριθµό διασυνδεδεµένων ψηφιακών συστηµάτων που µπορούν να εκτελούν αριθµητικές πράξεις, να αποθηκεύουν και να µεταφέρουν στοιχεία. Επιπλέον υπάρχει η δυνατότητα επικοινωνίας του υπολογιστή µε περιφερειακές συσκευές όπως οθόνη, ή εκτυπωτής. Άλλες εφαρµογές της ψηφιακής λογικής περιλαµβάνουν τους µικροεπεξεργαστές, την ψηφιακή τηλεφωνία, συστήµατα ήχου και εικόνας, συστήµατα απεικόνισης, ελέγχου, κλπ. Τα ψηφιακά συστήµατα λειτουργούν µε σήµατα που στη βάση τους είναι αναλογικά. Η διαφορά σε σχέση µε ένα αναλογικό σύστηµα βρίσκεται στον τρόπο µε τον οποίο τα σήµατα αυτά µεταφράζονται από τη διάταξη. Για να αναπαραστήσοµε ένα αναλογικό σήµα, ένα σήµα δηλαδή, που είναι συνεχές στο χρόνο και εµφανίζει ουσιαστικά απειρία τιµών, µε ένα ψηφιακό ισοδύναµο, πρέπει να συµβούν δύο διαδικασίες που ονοµάζονται δειγµατοληψία και κβάντιση. Κατά τη δειγµατοληψία λαµβάνονται τιµές του σήµατος ανά ένα ορισµένο χρονικό διάστηµα. Κατά την κβάντιση, το στιγµιαίο πλάτος του σήµατος προσεγγίζεται µε την τιµή της πλησιέστερης στάθµης. Στη συνέχεια τα δείγµατα που αναπαριστούν το αρχικό αναλογικό σήµα κωδικοποιούνται µε κάποιο κώδικα και µπορούν είτε να αποθηκευτούν, είτε να τα επεξεργαστούµε περαιτέρω. Το απλούστερο στοιχείο σχεδίασης ενός ψηφιακού συστήµατος είναι η λογική πύλη. Οι πύλες αποτελούνται από ένα αριθµό τρανζίστορ και διατίθενται στο εµπόριο στη µορφή ολοκληρωµένων κυκλωµάτων (IC). Ένα ολοκληρωµένο κύκλωµα είναι ένα chip από πυρίτιο τοποθετηµένο σε µια πλαστική θήκη για προστασία και συνδεδεµένο µε τον έξω κόσµο µέσω µιας σειράς ακροδεκτών. ιακρίνουµε τις εξής κατηγορίες ολοκληρωµένων κυκλωµάτων: 5

α) Mικρής κλίµακας ολοκλήρωσης (Small Scale Integration SSI) µε ως 0 πύλες. Τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα SSI περιέχουν συστοιχίες πυλών (AND, OR, NAND, XOR, κα) β) Mεσαίας κλίµακας ολοκλήρωσης (Medium Scale Integration MSI) µε 0 ως 00 πύλες. Στα ολοκληρωµένα MSI περιλαµβάνονται κυκλώµατα όπως καταχωρητές και απαριθµητές. γ) Μεγάλης κλίµακας ολοκλήρωσης (Large Scale Integration LSI) µε 00 ως 00000 πύλες που περιλαµβάνουν µνήµες και µικροεπεξεργαστές. δ) Πολύ µεγάλης κλίµακας ολοκλήρωσης (Very Large Scale Integration VLSI) µε πάνω από 00000 πύλες που περιλαµβάνουν σύγχρονους υψηλών επιδόσεων µικροεπεξεργαστές. Στις παραγράφους που ακολουθούν, εξετάζονται οι τρόποι παράστασης µιας αριθµητικής πληροφορίας σε ψηφιακή µορφή, η εκτέλεση αριθµητικών πράξεων µεταξύ δυαδικών αριθµών και ορισµένοι βασικοί κώδικες. Η υποδοµή αυτή θεωρείται απαραίτητη για τον µελετητή των ψηφιακών συστηµάτων και ειδικότερα για εκείνον πού ενδιαφέρεται για τη σχεδίαση µονάδων αριθµητικής επεξεργασίας.. Σχηµατισµός µηνύµατος Ένα µήνυµα είναι µια αλληλουχία ψηφίων, µεταξύ εκείνων πού ανήκουν στα επιτρεπτά ψηφία ενός προκαθορισµένου αλφάβητου. Η σειρά µε την οποία είναι διευθετηµένα τα διάφορα ψηφία ενός µηνύµατος είναι καθοριστικής σηµασίας. Μια αλληλουχία ψηφίων στην οποία έχει δοθεί µια συγκεκριµένη έννοια, όπως για παράδειγµα όταν αυτή συµβολίζει ένα γράµµα ή σύµβολο, ονοµάζεται "κωδική λέξη». Ό κώδικας ASCII (American Standard Code for Information Interchange) είναι ό περισσότερο διαδεδοµένος κώδικας µε δυνατότητα κωδικοποίησης 8 χαρακτήρων που περιλαµβάνουν αλφαριθµητικά σύµβολα, χαρακτήρες και µη εκτυπώσιµα σύµβολα. Οι κωδικές λέξεις του κώδικα αυτού, όταν συνδυαστούν µπορούν να δώσουν χρήσιµα µηνύµατα. Από τα προηγούµενα φαίνεται ότι στα ψηφιακά συστήµατα µπορεί να γίνει µια τεχνητή διάκριση των ενδεχόµενων επεξεργασιών σε τρεις διαφορετικές στάθµες: στη στάθµη του ψηφίου, στη στάθµη της κωδικής λέξης και στη στάθµη του µηνύµατος. Στις επόµενες παραγράφους του κεφαλαίου αυτού, όπως και στα επόµενα κεφάλαια, επιχειρείται η εισαγωγή του αναγνώστη στη σχεδίαση σχετικά απλών 6

ψηφιακών διατάξεων πού µπορούν όµως να συνδυαστούν και να οδηγήσουν στη σχεδίαση πολύπλοκων συστηµάτων.. Αριθµητικά συστήµατα - εκαδικό σύστηµα Ή αρίθµηση µε βάση το 0, χρησιµοποιεί ένα πλήθος ψηφίων από 0-9 πού ανάλογα µε τη θέση τους έχουν διαφορετική βαρύτητα. Έτσι, ο αριθµός 99 αντιστοιχεί σε µια εκατοντάδα, εννιά δεκάδες και εννιά µονάδες, είναι δηλαδή: 99 = 0 90 90 0 Η βάση του δεκαδικού συστήµατος, δεν αποτελεί βασικό ψηφίο του συστήµατος. Η βάση r ενός συστήµατος όταν υψωθεί στη µηδενική δύναµη δίνει τη µικρότερη τιµή του συστήµατος. Στη θέση k µετρούµενης από τα δεξιά προς τα αριστερά δίνει την τιµή r k-. Στο προηγούµενο παράδειγµα η τιµή της τρίτης θέσης (k=) για βάση r = 0 είναι: r k- = 0 - = 00. Για να υποδηλώσουµε τη βάση ενός συστήµατος αρίθµησης γράφουµε (99) 0. Με βάση την παραπάνω σύµβαση ο αριθµός () 5 ισούται µε 5 5 5 0 = 5 0 = (8) 0. Το σύµβολο που διαχωρίζει τα δεκαδικά ψηφία (.) διαχωρίζει ουσιαστικά τους θετικούς από τους αρνητικούς εκθέτες δυνάµεων. Π.χ. ο αριθµός (4.) 8 ισούται µε 8 48 0 8 - = 8 4 0.75 = (.75) 0. Το απλούστερο δυνατό σύστηµα αρίθµησης, χρησιµοποιεί δύο µόνο ψηφία, το 0 και το πράγµα επιθυµητό, διότι ή παράσταση κάθε ψηφίου γίνεται µε πολύ απλό τρόπο, όπως για παράδειγµα µε τη χρησιµοποίηση ενός διακόπτη (κλειστόςανοιχτός), ή µε δύο επίπεδα τάσεων (χαµηλό-υψηλό). 7

.4 υαδικό σύστηµα Στο δυαδικό σύστηµα, ή βάση είναι ο αριθµός και εποµένως τα διαθέσιµα ψηφία είναι 0 ή. Στο σύστηµα αυτό η γενική έκφραση για τη µετατροπή ενός δυαδικού µε n ψηφία σε δεκαδικό είναι: α n n 0 n α n... α α 0 α α... α m m όπου οι συντελεστές α είναι 0 ή. Παράδειγµα Ο δυαδικός αριθµός 00 ισοδυναµεί µε το δεκαδικό: 5 4 0 0 0 = 54 Ο δυαδικός 00. αντιστοιχεί στο δεκαδικό: 0 0 0 - = 0.5 H αντιστοιχία δυαδικών και δεκαδικών αριθµών από 0 έως 5 φαίνεται στον παρακάτω πίνακα εκαδικός 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 υαδικός 0000 000 000 00 000 00 00 0 000 00 00 0 00 0 0 8

Η µετατροπή ενός δεκαδικού σε δυαδικό γίνεται µε διαδοχικές διαιρέσεις του ακέραιου µέρους του αριθµού διά του και µε διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς του κλασµατικού τµήµατος του αριθµού µε το, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγµα. Το πρώτο υπόλοιπο είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο (LSB), ενώ το τελευταίο υπόλοιπο το περισσότερο σηµαντικό ψηφίο (MSB). Παράδειγµα Να βρεθεί ό δυαδικός ισοδύναµος του δεκαδικού 8.5. Γίνεται πρώτα η µετατροπή του 8 µε διαδοχικές διαιρέσεις: ιαίρεση Πηλίκο Υπόλοιπο 8: 9 0 LSB 9: 4 4: 0 : 0 : 0 MSB Ο αριθµός 8 εκφράζεται λοιπόν στο δυαδικό µε 000. Γίνεται τώρα ή µετατροπή του κλασµατικού µέρους του αριθµού σε δυαδικό, δηλαδή ή µετατροπή του 0.5, µε διαδοχικούς πολλαπλασιασµούς. Πολλαπλασιασµός Ακέραιο µέρος Κλασµατικό µέρος 0.5 0 0.70 0.70 0.40 0.40 0 0.80 0.80 0.60 0.60 0.0 0.0 0 0.40 ηλαδή, το κλασµατικό µέρος εκφράζεται προσεγγιστικά µε τον δυαδικό 0.000 πού είναι ο αριθµός: 0 - - 0 - -4-5 = 0.4 Εποµένως ο αριθµός 8.5 εκφράζεται στο δυαδικό σύστηµα ως 000.000 9

.5 Οκταδικό σύστηµα Στο οκταδικό σύστηµα η βάση είναι το 8 και τα χρησιµοποιούµενα σύµβολα είναι από 0 ως 7. Παρακάτω δίνεται η παράσταση αριθµών στο δεκαδικό, δυαδικό και οκταδικό σύστηµα και παραδείγµατος µετατροπής από το ένα σύστηµα στο άλλο. εκαδικός υαδικός Οκταδικός 0 0 0 0 0 7 7 8 0 0 0 0 8 0 0 0 0 7 Παράδειγµα Να µετατραπεί σε οκταδικό αριθµό ο δεκαδικός 55. Η µετατροπή γίνεται µε διαδοχικές διαιρέσεις µε το 8: ιαίρεση Πηλίκο Υπόλοιπο 55:8 9 LSB 9:8 :8 0 MSB Ο αριθµός (55) 0 εκφράζεται λοιπόν στο οκταδικό σύστηµα ως. Παράδειγµα Να µετατραπεί σε δεκαδικό ο αριθµός (77.5) 8. Είναι: 78 78 0 78 - = 56 7 0.6 = (6.6) 0 Παράδειγµα Να µετατραπεί ο οκταδικός αριθµός 657 σε δυαδικό. Η µετατροπή γίνεται µετατρέποντας το κάθε ψηφίο του οκταδικού αριθµού στον αντίστοιχο δυαδικό αριθµό. Εποµένως είναι: (6 5 7) 8 = (0 0 ) 0

.6 εκαεξαδικό σύστηµα Ο δεκαεξαδικός κώδικας έχει βάση το 6 και χρησιµοποιεί τα σύµβολα 0-9, A, B, C, D, E και F. Τα γράµµατα A-F χρησιµοποιούνται για τους δεκαδικούς 0-5. Το δεκαεξαδικό σύστηµα χρησιµοποιείται στην περίπτωση που θέλουµε να εισάγουµε µεγάλο αριθµό δεδοµένων σε µια ψηφιακή υπολογιστική µηχανή. Το κάθε ψηφίο του κώδικα αντιπροσωπεύει 4 bit κάνοντας την εισαγωγή των δεδοµένων απλούστερη. Εσωτερικά βέβαια το σύστηµα θα πρέπει να µετατρέψει τον δεκαεξαδικό κώδικα σε δυαδικό. Στον πίνακα δίνεται η κωδικοποίηση ορισµένων αριθµών στο δεκαεξαδικό σύστηµα. εκαδικός υαδικός εκαεξαδικός 0 0000 0 000 9 00 9 0 00 Α 4 0 Ε 6 0000 0 0 000 4 6 00 Α 0 0 Ε Παράδειγµα Να µετατραπεί σε δεκαεξαδικό αριθµό ο δεκαδικός 48. Η µετατροπή γίνεται µε διαδοχικές διαιρέσεις µε το 6: ιαίρεση Πηλίκο Υπόλοιπο 48:6 7 Ε (4) LSB 7:6 7 7:6 :6 0 MSB Ο αριθµός (48) 0 εκφράζεται στο δεκαεξαδικό σύστηµα ως Ε. Παράδειγµα Να βρεθούν οι δεκαδικοί που αντιστοιχούν στους αριθµούς (99) 6 και (7B.C) 6. 06 6 6 06 0 = (496) 0 6 76 6 0 6 - = (79.75) 0

Παράδειγµα Να µετατραπούν σε δυαδικούς οι αριθµοί (Α) 6 και (5.C) 6. Μετατρέπουµε κάθε ψηφίο του δεκαεξαδικού αριθµού σε δυαδικό 4 ψηφίων. (Α) 6 = (000 000 00) (5.C) 6 = (00 00.00).7 Πράξεις µε δυαδικούς αριθµούς.7. Πρόσθεση Η πρόσθεση δύο δυαδικών αριθµών γίνεται µε τον τρόπο πού ακολουθείται στους δεκαδικούς αριθµούς, µε µόνη τη διαφορά ότι ενώ στους δεκαδικούς η πρόσθεση δύο ψηφίων µπορεί να δώσει ένα "κρατούµενο" όταν το άθροισµα δύο ψηφίων υπερβαίνει το 9, στους δυαδικούς αυτό συµβαίνει όταν το άθροισµα δύο ψηφίων υπερβαίνει το l, έτσι θα είναι: 0 0 = 0 0 = 0 = = 0 κρατούµενο Παράδειγµα Είναι γνωστό ότι (9) 0 (6) 0 = (5) 0. Στο δυαδικό σύστηµα γράφουµε: 0 0 0 0 =

Παράδειγµα Είναι (9) 0 (5) 0 = (4) 0. Στο δυαδικό σύστηµα γράφουµε: κρατούµενο 0 0 0 0 0 = 0 0 0.7. Αφαίρεση Η αφαίρεση στο δυαδικό σύστηµα γίνεται πολύ εύκολα αν θεωρηθεί πρώτα η αφαίρεση µεταξύ δύο ψηφίων του συστήµατος: Παράδειγµα 0-0 = 0-0 = 0 - = δανεισµός του - = 0 Είναι () 0 - (4) 0 = (9) 0. Στο δυαδικό σύστηµα γράφουµε: 0-0 0 0 0 = 0 0 Παράδειγµα Είναι (6) 0 - (7) 0 = (9) 0. Στο δυαδικό σύστηµα γράφουµε: Κ Κ Κ Κ 0 0 0 0-0 0 = 0 0 0 όπου µε συµβολίζεται το δανεικό ψηφίο και Κ το κρατούµενο..7. Πολλαπλασιασµός Ο πολλαπλασιασµός µεταξύ δύο δυαδικών αριθµών γίνεται όπως ακριβώς και µεταξύ δεκαδικών αριθµών. Το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού προκύπτει µετά από την πρόσθεση των αντίστοιχων δυαδικών.

Παράδειγµα Είναι (4) 0 (6) 0 = (4) 0. Στο δυαδικό σύστηµα γράφουµε: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Παράδειγµα Είναι () 0 (7) 0 = (9) 0. Στο δυαδικό σύστηµα γράφουµε: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7.4 ιαίρεση Η διαίρεση µεταξύ δύο δυαδικών αριθµών γίνεται µε διαδοχικές αφαιρέσεις του διαιρέτη από το διαιρετέο. Για το σκοπό αυτό ο διαιρέτης γράφεται κάτω ακριβώς από το διαιρετέο µε τα MSB στην ίδια στήλη. Αν το τµήµα του διαιρετέου ακριβώς πάνω από το διαιρέτη, είναι µεγαλύτερο από το διαιρέτη, τότε προχωρούµε στην αφαίρεση και το υπόλοιπο γράφεται ακριβώς από κάτω. Στη δεξιά πλευρά σηµειώνουµε το ψηφίο που έχει την έννοια ότι η αφαίρεση είναι δυνατή. ιαφορετικά αν η αφαίρεση δεν είναι δυνατή, ό διαιρετέος ξαναγράφεται σε µια νέα γραµµή και από κάτω ξαναγράφεται ο διαιρέτης µετατοπισµένος κατά µία θέση προς τα δεξιά. Στα δεξιά σηµειώνεται το ψηφίο 0. Μετά από τη διεξαγωγή µιας αφαίρεσης, το υπόλοιπο χρησιµοποιείται όπως ο διαιρετέος στα προηγούµενα. (µετατοπισµένο κατά µία θέση προς τα δεξιά). Το πηλίκο προκύπτει από τη στήλη των ψηφίων που έχουν γραφεί στα δεξιά των αφαιρέσεων. Το τελευταίο υπόλοιπο είναι και το υπόλοιπο της διαίρεσης. 4

Παράδειγµα Είναι (7) 0 : () 0 = (5) 0 µε υπόλοιπο () 0. 0 0 0 πηλίκο - 0 MSB 0 0 0-0 0 0 0-0 0 LSB 0 0 υπόλοιπο.8 Παράσταση αρνητικών αριθµών ύο είναι οι συνηθισµένοι τρόποι µε τους οποίους µπορούν να παρασταθούν οι αρνητικοί αριθµοί. Ο ένας τρόπος βασίζεται στην προσθήκη ενός επιπλέον ψηφίου στα αριστερά του αριθµού, που να συµβολίζει το () ή το (-). Η σύµβαση είναι πρώτο ψηφίο 0 για τους θετικούς αριθµούς και πρώτο ψηφίο για την παράσταση των αρνητικών αριθµών. Το µηδέν στο σύστηµα των προσηµασµένων αριθµών αντιπροσωπεύεται δύο φορές ως 0000 = 0, ή 000 = -0. Παράδειγµα (7) 0 = 0 (-7) 0 = Ο παραπάνω τρόπος παράστασης των αρνητικών αριθµών δεν είναι βολικός για χρήση σε ψηφιακά υπολογιστικά συστήµατα. Για παράδειγµα αν πρέπει να γίνει µια πράξη µεταξύ αριθµών πρέπει πρώτα να ανιχνευτεί το πρόσηµο και στη συνέχεια να εκτελεστεί η πράξη στα υπόλοιπα ψηφία των αριθµών. Αυτό συνεπάγεται συγκρίσεις και αυξηµένη πολυπλοκότητα στην κυκλωµατολογία. Μια εναλλακτική µέθοδος για την παράσταση των αρνητικών αριθµών στο δυαδικό σύστηµα βασίζεται στο γεγονός ότι δύο ίδιοι αριθµοί πού έχουν αντίθετο πρόσηµο δίνουν άθροισµα µηδέν. Έτσι, για να παρασταθεί για παράδειγµα το - αρκεί να βρεθεί ό δυαδικός πού προστιθέµενος στο () 0 = (00) θα δίνει άθροισµα 5

µηδέν. ηλαδή, αρκεί να αφαιρεθεί από το δυαδικό µηδέν ο αριθµός () 0 = (00) 0. Έτσι θα είναι: 0 0 0 0-0 0 0 Εποµένως το (0) συµβολίζει το (-) 0. Αυτός ο τρόπος παράστασης αρνητικών αριθµών ονοµάζεται παράσταση αρνητικών µε συµπλήρωµα του. Ένας απλούστερος τρόπος για να βρούµε το συµπλήρωµα του είναι µε αντικατάσταση στον θετικό αριθµό όλων των 0 µε και αντίστοιχα όλων των µε 0. Τέλος στον δυαδικό αριθµό που προκύπτει προσθέτουµε το. Στην παράσταση µε συµπλήρωµα του διατηρείται το 0 ως πρώτο ψηφίο για τους θετικούς αριθµούς και το ως πρώτο ψηφίο για τους αρνητικούς. Επίσης το 0 έχει µόνο έναν τρόπο παράστασης. Παράδειγµα Να βρεθεί το συµπλήρωµα του για τους αριθµούς () 0 και (7) 0. 0 0 = () 0 0 = (7) 0 0 0 0 0 0 0 = (-) 0 0 0 = (-7) 0 Η παράσταση των αρνητικών αριθµών µε συµπλήρωµα του διευκολύνει σηµαντικά τις αριθµητικές πράξεις από την πλευρά της κυκλωµατολογίας (hardware). Έτσι οι αριθµητικές πράξεις που περιέχουν αρνητικούς αριθµούς µπορούν να γίνουν όπως στην περίπτωση που όλοι οι αριθµοί είναι θετικοί αθροίζοντας τους αριθµούς. Παράδειγµα Είναι () 0 (-) 0 = (-) 0. Με βάση το δεύτερο τρόπο παράστασης αρνητικών δυαδικών αριθµών έχουµε: 0 0 0 = 6

Παράδειγµα Είναι (-) 0 (-5) 0 = (-8) 0. Με βάση τον τρόπο παράστασης αρνητικών δυαδικών αριθµών µε συµπλήρωµα του θα έχουµε: 0 0 = 0 0 0.9 Κώδικας BCD Η κωδικοποίηση πληροφοριών εξυπηρετεί διάφορους σκοπούς, όπως η µετάδοση περισσότερης πληροφορίας µε κατά το δυνατόν λιγότερα ψηφία και η αναγνώριση και διόρθωση σφαλµάτων. Από τους πιο γνωστούς κώδικες είναι ό κώδικας BCD (Binary Coded Decimal) πού χρησιµοποιεί 4 δυαδικά ψηφία για να παραστήσει τούς δεκαδικούς αριθµούς 0-9. Η αξία της θέσης του κάθε ψηφίου στον κώδικα BCD είναι 8-4--l, διαβάζoντας από τα αριστερά. Για παράδειγµα ο αριθµός 406 σε κώδικα ΒCD γράφεται: 000 0000 00 000 και συνεπώς για την παράσταση ενός αριθµού απαιτείται τετραπλάσιος αριθµός ψηφίων, σε σύγκριση µε το δεκαδικό σύστηµα. Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι µε 4 ψηφία µπορεί κανείς να παραστήσει 6 αριθµούς από το 0 ως το 5. Όµως οι τελευταίοι 6 δυαδικοί αριθµοί από το 00 ως το δεν αποτελούν αποδεκτούς αριθµούς στον κώδικα BCD. Κατά την άθροιση δύο αριθµών σε κώδικα BCD αν προκύψει αριθµός µεγαλύτερος του 9 (00) τότε πρέπει να προσθέσουµε το 6 (00) για να αποφύγουµε τους 6 δυαδικούς αριθµούς που δεν είναι επιτρεπτοί στον κώδικα BCD και να επανέλθουµε σε επιτρεπτές κωδικές λέξεις. Η άθροιση σε κώδικα BCD διευκρινίζεται µε τα παρακάτω παραδείγµατα. Παράδειγµα Θεωρείστε το άθροισµα των δεκαδικών 5 και εκφρασµένους σε κώδικα BCD: 5 000 00 00 00 58 00 000 Το αποτέλεσµα είναι σωστό επειδή κατά την άθροιση δεν προέκυψε αριθµός πάνω από το 9 (00). 7

Παράδειγµα Θεωρείστε το άθροισµα των δεκαδικών 56 και 8 εκφρασµένους σε κώδικα BCD: 56 00 00 8 000 000 7 0 0 00 000 00 0 όπου στο αποτέλεσµα 0 που υπερέβαινε το 9 προστέθηκε το 6 (00) για διόρθωση. Παρατηρείστε επίσης ότι το κρατούµενο που προέκυψε από την τελευταία άθροιση δηµιούργησε µια τρίτη τετράδα αριθµών έτσι ώστε να µπορεί να αναπαρασταθεί ο τριψήφιος αριθµός 7 σε κώδικα BCD..0 Κώδικας υπέρβασης κατά Μια παραλλαγή του κώδικα BCD είναι ο κώδικας µε υπέρβαση κατά (Ecess- code) στον οποίο τα δεκαδικά ψηφία 0-9 κωδικοποιούνται σύµφωνα µε τον παρακάτω πίνακα: εκαδικό Κωδικοποίηση 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 5 0 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 9 0 0 Είναι φανερό ότι για να προκύψει ο κώδικας υπέρβασης κατά προσθέτουµε στον αντίστοιχο BCD κώδικα τον αριθµό (00). Ο κώδικας υπέρβασης κατά περιέχει πλεονασµό που µπορεί υπό προϋποθέσεις να χρησιµεύσει στην ανίχνευση σφαλµάτων. Σηµειώνεται ότι στον κώδικα αυτό το συµπλήρωµα κάθε αριθµού ως προς το 9 µπορεί να ληφθεί σηµατίζoντας µια σειρά ψηφίων πού είναι τα συµπληρώµατα εκείνων πού υπάρχουν στον αριθµό. Για παράδειγµα, το 4 στον κώδικα αυτόν παριστάνεται µε 0. Το συµπλήρωµα του 4 ως προς το 9 είναι το 9 8

- 4 = 5. Πράγµατι λαµβάνοντας τα συµπληρώµατα των ψηφίων του 0 προκύπτει 0 0 0 πού αντιστοιχεί στο 5.. Κώδικας Gray Ο κώδικας Gray παρουσιάζει ενδιαφέρον λόγω της ιδιότητας που έχει να αλλάζει κατά ένα µόνο ψηφίο µεταξύ διαδοχικών αριθµών και επειδή η µετατροπή του στο δυαδικό σύστηµα είναι απλή. Ο κώδικας Gray µπορεί να προκύψει µε χρησιµοποιώντας τη λεγόµενη ανακλώµενη συµµετρία όπου φανταζόµαστε ότι τα ψηφία αντικατοπτρίζονται όπως σε έναν καθρέπτη. Ξεκινώντας από κώδικα ενός ψηφίου 0 0 επίπεδο συµµετρίας Για να σχηµατίσουµε τον κώδικα Gray δύο ψηφίων τοποθετούµε 0 µπροστά από όλα τα ψηφία πάνω από το επίπεδο συµµετρίας και σε όλα τα ψηφία κάτω από το επίπεδο συµµετρίας. 0 0 0 0 επίπεδο συµµετρίας Για να παραχθεί ο κώδικας τριών ψηφίων αντικατοπτρίζουµε τον κώδικα δύο ψηφίων γύρω από το υποτιθέµενο επίπεδο συµµετρίας και όπως προηγουµένως τοποθετούµε 0 µπροστά από όλα τα ψηφία πάνω από το επίπεδο συµµετρίας και σε όλα τα ψηφία κάτω από το επίπεδο συµµετρίας. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 επίπεδο συµµετρίας 9

Για τον κώδικα Gray τεσσάρων ψηφίων εργαζόµαστε κατά όµοιο τρόπο 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 επίπεδο συµµετρίας Στον πίνακα φαίνεται ο κώδικας Gray για, και 4 ψηφία. Gray ψηφίων Gray ψηφίων Gray 4 ψηφίων 0 00 0 000 0 0000 0 00 000 0 00 0 00 000 4 0 4 00 5 5 0 6 0 6 00 7 00 7 000 8 00 9 0 0 0 00 Για να µετατραπεί ένας αριθµός από κώδικα Gray σε δυαδικό η διαδικασία είναι:. Ξεκινώντας από τα αριστερά λαµβάνονται όλα τα ψηφία του κώδικα µέχρι και την πρώτη µονάδα. Αυτά αποτελούν µέρος του δυαδικού αριθµού που πρόκειται να σχηµατιστεί. Για κάθε επόµενο ψηφίο, y: α) αν y=0, τότε τοποθετείται σαν επόµενο ψηφίο του δυαδικού, το ψηφίο πού έχει καταχωρηθεί τελευταία στο δυαδικό. β) αν y=, τότε τοποθετείται ως επόµενο ψηφίο του δυαδικού το συµπλήρωµα της τελευταίας προσθήκης στο δυαδικό. 0

Παράδειγµα Να µετατραπεί ο αριθµός 0000 που είναι κωδικοποιηµένος σε κώδικα Gray, σε δυαδικό. Κώδικας Gray: 0 0 0 0 υαδικός: 0 0 0 0 0. Κώδικας ASCII Χαρακτ. ASCII Χαρακτ. ASCII Χαρακτ. ASCII Χαρακτ. ASCII @ 40 κενό 60 κενό 0 NUL 00 A 4 a 6! SOH 0 B 4 b 6 STX 0 C 4 c 6 # ETX 0 D 44 d 64 $ 4 EOT 04 E 45 e 65 % 5 ENQ 05 F 46 f 66 & 6 ACK 06 G 47 g 67 7 BEL 07 H 48 h 68 ( 8 BS 08 I 49 i 69 ) 9 HT 09 J 4A j 6A * A LF OA K 4B k 6B B VT OB L 4C l 6C, C FF OC M 4D m 6D - D CR OD N 4E n 6E. E CR OE O 4F o 6F / F SI OF P 50 p 70 0 0 DLE 0 Q 5 q 7 DC R 5 r 7 DC S 5 s 7 DC T 54 t 74 4 4 DC4 4 U 55 u 75 5 5 NAK 5 V 56 v 76 6 6 SYN 6 W 57 w 77 7 7 ETB 7 X 58 78 8 8 CAN 8 Y 59 y 79 9 9 EM 9 Z 5A z 7A : A SUB A [ 5B { 7B ; B ESC B \ 5C 7C < c FS C ] 5D } 7D = D GS D ^ 5E ~ 7E > E RS E - 5F DEL 7F? F US F

Ένας υπολογιστής πρέπει να µπορεί να χειριστεί αλφαριθµητικούς χαρακτήρες a, A, c, D, 0,, 9 και σύµβολα όπως @, &, %. Οι χαρακτήρες αυτοί και τα σύµβολα εισάγονται από το πληκτρολόγιο. Όλοι οι παραπάνω χαρακτήρες θα πρέπει να µετατραπούν σε αντίστοιχο δυαδικό κώδικα µέσα στον υπολογιστή. Ο κώδικας ASCII (American Standard Code for Information Interchange) χρησιµοποιεί 8 bit για την παράσταση 8 συνολικά χαρακτήρων. Για ένα σύνολο 8 χαρακτήρων αρκούν 7 bit, όµως χρησιµοποιείται ένα πρόσθετο bit για τον έλεγχο σφάλµατος. Ο παραπάνω πίνακας δείχνει την κωδικοποίηση σε κώδικα ASCII, όπου δίπλα από τον κάθε χαρακτήρα σηµειώνεται ο αντίστοιχος δεκαεξαδικός αριθµός. Για παράδειγµα ο δεκαδικός αριθµός 5 όταν εισαχθεί από το πληκτρολόγιο θα δηµιουργήσει τον δεκαεξαδικό αριθµό (5) 6 = 00 00.

- ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE. Εισαγωγή Η άλγεβρα Boole αναπτύχθηκε από τον Άγγλο µαθηµατικό George Boole για την επίλυση προβληµάτων λογικής. Αργότερα ο Claude Shannon χρησιµοποίησε την άλγεβρα Boole σε κυκλώµατα ηλεκτρονόµων, στα οποία δύο καταστάσεις είναι δυνατές: α) επαφή κλειστή και β) επαφή ανοιχτή. Στα ψηφιακά κυκλώµατα όπου επίσης επικρατούν δύο δυνατές καταστάσεις, που συµβολίζονται µε λογικό και λογικό 0, η εφαρµογή της άλγεβρας Boole είναι αυτονόητη.. Βασικές πράξεις Η άλγεβρα Boole εφαρµόζεται σε ένα σύνολο µε στοιχεία 0 και. Οι µεταβλητές ενός συστήµατος συνήθως συµβολίζονται µε A, B, C, ή Χ, Υ, Ζ, κτλ και µπορούν να λαµβάνουν µόνο τις τιµές 0 ή. Αν δύο µεταβλητές Α και Β έχουν πάντοτε την ίδια τιµή τότε γράφουµε Α = Β όπου το σύµβολο = είναι το σύµβολο της ισότητας δύο µεταβλητών. Αν οι µεταβλητές Α και Β έχουν πάντοτε διαφορετική τιµή τότε γράφουµε A = B όπου µε B συµβολίζεται το συµπλήρωµα της µεταβλητής Β. Έτσι αν η Β = 0, τότε B = και αν Β =, τότε B = 0. Ορίζουµε δύο κανόνες πράξεων που συµβολίζονται µε () και ( ). Το λογικό διάζευξη, ή OR ορίζεται ως εξής: 0 0 = 0 0 = 0 = =

Το λογικό άθροισµα, ή AND ορίζεται µε βάση τα παρακάτω αποτελέσµατα: 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 = 0 Παράδειγµα Να βρεθούν οι τιµές που λαµβάνει η µεταβλητή C για οποιονδήποτε συνδυασµό των µεταβλητών Α και Β αν η σχέση ορισµού είναι C = A A B Καταστρώνουµε τον παρακάτω πίνακα που ονοµάζεται πίνακας αληθείας: Α Β A B A AB C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Αξιώµατα και θεωρήµατα Αναφέρουµε στη συνέχεια τα βασικά αξιώµατα της άλγεβρας Boole.. Αντιµετάθεση Α Β = Β Α Α Β = Β Α. Προσεταιρισµός (ΑΒ)C = A(BC) (Α Β) C = A (B C). Επιµερισµός (ΑΒ) C = (AΒ) (ΑC) Α (ΒC) = (A Β)(Α C) 4

4. Μοναδικότητα των 0 και Α 0 = Α Α = Α 5. Ύπαρξη συµπληρώµατος A A = A A = 0 Αναφέρουµε επίσης χωρίς απόδειξη τα παρακάτω θεωρήµατα: Θεώρηµα Α = Α 0 = 0 Θεώρηµα Α Α = Α Α Α = Α Θεώρηµα Α Α Β = Α Α (ΑΒ) = Α Θεώρηµα 4 A AB = A B A ( A B) = A Θεώρηµα 5 (Νόµοι De Morgan) A B = A B A B = A B 5

Παράδειγµα Να δειχτεί ότι A BC A B C= 0. Είναι: ABC A B C = ABC A B C = ( A B C) A B C = AABC BABC CABC AABC BBAC CCAB = 0BC 0AC 0AB = 0 0 0 = 0 Παράδειγµα Να δειχτεί ότι A AB= A B. Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα 4. A AB = ( A A) ( A B) = ( A B) = A B Παράδειγµα Να απλοποιηθεί η παράσταση A B AB. AB AB = AB AB = ( A B) ( A B) = AA AB BA BB = 0 AB BA 0 = AB AB 6

Παράδειγµα Να απλοποιηθεί η παράσταση f = ABCD ABCD BC. Είναι: f = ABCD ABCD BC = ( A A) BCD BC = BCD BC = BC BCD = BC D Παράδειγµα Να γραφεί η λογική συνάρτηση εξόδου για το παρακάτω κύκλωµα διακοπτών Με απλή επισκόπηση του κυκλώµατος µπορούµε να γράψουµε Υ = (ΑΒ C)D = ABD CD.4 Κανονικές µορφές παράστασης λογικών συναρτήσεων Λογική συνάρτηση αποκαλούµε µια συνάρτηση που οι µεταβλητές της είναι µεταβλητές της άλγεβρας Boole. Μια λογική συνάρτηση έχει τη µορφή Υ = f(x, X, X, ) όπου Υ η έξοδος και X, X, X, οι ανεξάρτητες µεταβλητές. Σε µια λογική συνάρτηση µπορούν να εµφανίζονται τόσο οι µεταβλητές, όσο και τα συµπληρώµατα τους. Ο πίνακας που δίνει τις τιµές της συνάρτησης για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των µεταβλητών, ονοµάζεται πίνακας αληθείας. 7

Παράδειγµα Να γραφεί ο πίνακας αληθείας της συνάρτησης Y = f ( A, B, C) = AB ABC ABC. Για όλους τους δυνατούς συνδυασµούς βρίσκουµε την τιµή του κάθε όρου και τελικά την τιµή της εξόδου Υ. Α Β C AB A BC A BC Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Με βάση τον πίνακα αληθείας και θεωρώντας τις τιµές όπου η λογική συνάρτηση ισούται µε µπορούµε να γράψουµε: Y = ABC ABC ABC ABC δηλαδή η συνάρτηση εκφράζεται ως ένα άθροισµα γινοµένων όλων των µεταβλητών. Θεωρώντας τις τιµές όπου η συνάρτηση µηδενίζεται εναλλακτικά µπορούµε να γράψουµε: Y = ABC ABC ABC ABC Εποµένως Y = ABC ABC ABC ABC = ( ABC) ( ABC) ( ABC) ( ABC) = A B C A B C A B C ( ) ( ) ( ) ( A B C) δηλαδή η συνάρτηση γράφεται ως ένα γινόµενο αθροισµάτων όλων των µεταβλητών. Οι δύο κανονικές µορφές που µόλις συναντήσαµε περιγράφονται στις επόµενες παραγράφους. 8

.4. Κανονικό άθροισµα γινοµένων Στην παράσταση µιας συνάρτησης µε άθροισµα γινοµένων µπορούν να συµµετέχουν όλες οι µεταβλητές και τα συµπληρώµατα τους. Αν σε έναν όρο γινοµένου εµφανίζονται όλες οι µεταβλητές, τότε ο όρος αυτός ονοµάζεται κανονικό γινόµενο, ή ελάχιστος όρος. Για µια συνάρτηση f(,,, 4 ) τεσσάρων µεταβλητών οι όροι 4, 4, 4 είναι ελάχιστοι, ενώ οι όροι,, 4 δεν είναι ελάχιστοι. Παράδειγµα Να γραφεί η συνάρτηση y = f(,, ) µε τον παρακάτω πίνακα αληθείας ως άθροισµα ελάχιστων όρων. y Ελ. όρος Ονοµασία 0 0 0 0 m o 0 0 0 m 0 0 0 m 0 m 0 0 m 4 0 0 m 5 0 m 6 m 7 y= = m m 4 m 6 m 7 Σε συντοµογραφία µπορούµε να γράψουµε: = (, ) (,4,6, ) y = f 7, m 9

Παράδειγµα Να παρασταθεί η συνάρτηση f ( A B, C) = A BC, ως άθροισµα ελάχιστων όρων. Σχηµατίζουµε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης A B C f 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f = ( ) = ABC ABC ABC ABC ABC m,4,5,6, 7.4. Κανονικό γινόµενο αθροισµάτων Σε µια λογική συνάρτηση όρος αθροίσµατος είναι µια σειρά από µεταβλητές ή συµπληρώµατα τους που συνδέονται µεταξύ τους µε τη λογική σχέση OR. Αν σε ένα όρο αθροίσµατος συµµετέχουν όλες οι µεταβλητές, τότε αυτός ο όρος ονοµάζεται κανονικό άθροισµα ή µέγιστος όρος. Για µια συνάρτηση f(,,, 4 ) τεσσάρων µεταβλητών οι όροι 4, 4, 4 είναι µέγιστοι, ενώ οι όροι,, 4 δεν είναι µέγιστοι. Παράδειγµα = ίνεται η συνάρτηση y = f(,, ) (,,,9,,, ), 4 m συνάρτηση µε τη µορφή γινοµένων µέγιστων όρων.. Να παρασταθεί η Αναλυτικά η συνάρτηση γράφεται ως y = m m m m 9 m m m Οι όροι όπου η συνάρτηση λαµβάνει την τιµή 0 είναι οι m 0, m 4, m 5, m 6, m 7, m 8, m 0, m 4, και m 5. Για το συµπλήρωµα της συνάρτησης f(,, ) y = ισχύει:, 4 0

5 4 0 8 7 6 5 4 0 m m m m m m m m m y = και µε εφαρµογή του θεωρήµατος του De Morgan είναι: ( ) = = 0,4,5,6,7,8,0,4,5 5 4 0 8 7 6 5 4 0 5 4 0 8 7 6 5 4 0 M M M M M M M M M M m m m m m m m m m y όπου µε Μ i συµβολίζεται το κανονικό άθροισµα (µέγιστος όρος) ως συµπλήρωµα του ελάχιστου όρου m i. Αναλυτικά η συνάρτηση γράφεται ως εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 0,4,5,6,7,8,0,4,,,, M f y = = = Παράδειγµα Να γραφεί η συνάρτηση που περιγράφει το κύκλωµα ηλεκτρονόµων σε µορφή γινοµένου µέγιστων όρων. Σχηµατίζουµε τον πίνακα αληθείας του κυκλώµατος για κάθε δυνατό συνδυασµό τιµών των µεταβλητών A, B και C.

A B C Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Θεωρώντας µόνο τους όρους όπου η έξοδος είναι 0 µπορούµε να γράψουµε Z = ABC ABC ABC Z = Z = ABC ABC ABC = = ( ABC) ( ABC) ( ABC) ( A B C) ( A B C) ( A B C).5 Παράσταση λογικών συναρτήσεων µε πίνακες Karnaugh Ο πίνακας Karnaugh είναι µια εναλλακτική µορφή παράστασης µιας λογικής συνάρτησης. Ο πίνακας έχει διάσταση ίση µε τον αριθµό των ελάχιστων όρων. Τα στοιχεία του πίνακα µπορεί να είναι, ή 0 ανάλογα µε το εάν ο αντίστοιχος ελάχιστος όρος εµφανίζεται, ή όχι στην έκφραση της συνάρτησης..5. Πίνακας Karnaugh µιας µεταβλητής Για λογικές συναρτήσεις µιας µεταβλητής, π,χ. f =f(a,) η µορφή του πίνακα Karnaugh είναι A 0 m 0 m

Παράδειγµα Η συνάρτηση ( ) y = f = Μπορεί να παρασταθεί µε πίνακα Karnaugh ως εξής: 0 0.5. Πίνακας Karnaugh δύο µεταβλητών Για λογικές συναρτήσεις δύο µεταβλητών f(a, B) ο πίνακας Karnaugh έχει τη µορφή B A 0 0 m 0 m m m Παράδειγµα y = f, =. Να γραφεί ο πίνακας Karnaugh της συνάρτησης ( ) Η συνάρτηση γράφεται πρώτα στη µορφή αθροίσµατος ελάχιστων όρων y= = = f(, ) ( ) = Από όπου προκύπτει ο πίνακας Karnaugh 0 0 0

.5. Πίνακας Karnaugh τριών µεταβλητών Για λογικές συναρτήσεις τριών µεταβλητών f(a, B, C) ο πίνακας Karnaugh έχει τη µορφή A ΒC 0 00 m 0 m 4 0 m m 5 m m 7 0 m m 6 Παράδειγµα Για τη συνάρτηση y f(,, ) = = ο πίνακας Karnaugh είναι 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0.5.4 Πίνακας Karnaugh τεσσάρων µεταβλητών Για λογικές συναρτήσεις τεσσάρων µεταβλητών ο πίνακας Karnaugh έχει τη µορφή AB CD 00 0 0 00 m 0 m 4 m m 8 0 m m 5 m m 9 m m 7 m 5 m 0 m m 6 m 4 m 0 4

Προσέξτε ότι οι δυαδικοί αριθµοί 00, 0,, 0 δεν έχουν τη γνωστή σειρά αρίθµησης, αλλά τοποθετούνται κατά τέτοιο τρόπο ώστε από το ένα κελί στο άλλο να έχουµε αλλαγή ενός µόνο ψηφίου (κώδικας Gray). Παράδειγµα Για τη συνάρτηση y f(,,, 4) = 4 4 Karnaugh. = να σχηµατιστεί ο πίνακας y= = = 4 4 ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Παράδειγµα Να γραφεί η λογική συνάρτηση που παριστάνεται από τον παρακάτω πίνακα Karnaugh 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Η συνάρτηση θα µπορούσε εύκολα να γραφεί µε απευθείας ανάγνωση των 7 ελάχιστων όρων από τον πίνακα. Όµως ο πίνακας Karnaugh µας δίνει τη δυνατότητα απλοποίησης της συνάρτησης (µε όρους µη ελάχιστους). Η τεχνική απλοποίησης 5

είναι η εξής: οµαδοποιούµε τα λογικά του πίνακα σε όσο το δυνατόν µεγαλύτερες οµάδες τετραγωνιδίων προσέχοντας να καλύψουµε όλα τα ψηφία µε τιµή. Για τον παραπάνω πίνακα διακρίνουµε δύο οµάδες λογικών όπως χαρακτηριστικά σηµειώνονται. Προσοχή χρειάζεται στην αναγνώριση του όρου που προκύπτει από τα λογικά στις τέσσερεις γωνίες του πίνακα. Μια δυάδα ψηφίων θα δίνει όρο τριών µεταβλητών, µια τετράδα ψηφίων όρο δύο µεταβλητών, κ.ο.κ. Η συνάρτηση γράφεται ως το άθροισµα δύο όρων που προκύπτουν από τις δύο οµάδες τεσσάρων ψηφίων ως (,,, 4) = 4 y = f.5.5 Πίνακας Karnaugh πέντε µεταβλητών Πίνακες Karnaugh µπορούν αντιστοίχως να κατασκευαστούν για λογικές συναρτήσεις µε περισσότερες από τέσσερεις µεταβλητές. Για λογικές συναρτήσεις πέντε µεταβλητών A, B, C, D, E ο πίνακας Karnaugh έχει τη µορφή ABC DE 000 00 0 00 0 0 00 00 m 0 m 4 m m 8 m 4 m 8 m 0 m 6 0 m m 5 m m 9 m 5 m 9 m m 7 m m 7 m 5 m m 7 m m m 9 0 m m 6 m 4 m 0 m 6 m 0 m m 8 6

Αντίστοιχα για µια συνάρτηση έξι µεταβλητών ο πίνακας Karnaugh έχει τη µορφή DEF ABC 000 00 0 00 0 0 00 000 m 0 m m m m 6 m 7 m 5 m 4 00 m 8 m 9 m m 0 m 4 m 5 m m 0 m 4 m 5 m 7 m 6 m 0 m m 9 m 8 00 m 6 m 7 m 9 m 8 m m m m 0 0 m 48 m 49 m 5 m 50 m 54 m 55 m 5 m 5 m 56 m 57 m 59 m 58 m 6 m 6 m 6 m 60 0 m 40 m 4 m 4 m 4 m 46 m 47 m 45 m 44 00 m m m 5 m 4 m 8 m 9 m 7 m 6.6 Πίνακας Karnaugh µε αδιαφορίες Σε ορισµένες περιπτώσεις η έξοδος δεν ενδιαφέρει να προσδιοριστεί για συγκεκριµένους συνδυασµούς των µεταβλητών εισόδου. Στις περιπτώσεις αυτές χρησιµοποιούµε το γράµµα για να υποδηλώσουµε την ύπαρξη αδιαφορίας. Τα στοιχεία του πίνακα Karnaugh που σηµειώνονται µε µπορούµε κατά βούληση να τα θεωρήσουµε είτε 0, ή. Παράδειγµα Να γραφεί η απλοποιηµένη συνάρτηση του πίνακα Karnaugh 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7

Η οµαδοποίηση στις µεγαλύτερες δυνατές οµάδες φαίνεται στον παραπάνω πίνακα, όπου για τις αδιαφορίες θεωρήσαµε ότι ο ελάχιστος όρος 4 έχει τιµή 0 και οι ελάχιστοι όροι 4 και 4 τιµή. Με αυτές τις συνθήκες η έξοδος του συστήµατος µπορεί να γραφεί ως y = 4.7 ιττότητα λογικής συνάρτησης Η διττή συνάρτηση µιας λογικής συνάρτησης προκύπτει αν στη αρχική συνάρτηση τα λογικά OR αντικατασταθούν µε λογικά AND και ταυτόχρονα τα λογικά AND µε λογικά OR. Αν µε f συµβολίζεται η συνάρτηση, τότε η διττή της συµβολίζεται µε f d. Παράδειγµα Να βρεθεί η διττή συνάρτηση της Z = AC BC. Σύµφωνα µε τον ορισµό είναι Z d ( A C) ( B C) =. Παράδειγµα Να βρεθεί η διττή συνάρτηση της συνάρτησης που παριστάνεται από τον πίνακα Karnaugh 0 00 0 0 0 0 8

Από τον πίνακα Karnaugh προκύπτει y =. Εποµένως η διττή συνάρτηση είναι y d = = = ( ) ( ) Η διττή συνάρτηση µπορεί να βρεθεί απευθείας από τον πίνακα Karnaugh µε εναλλαγή των 0 και. 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 από όπου y d =..8 Συµπλήρωµα λογικής συνάρτησης Για να βρούµε το συµπλήρωµα µιας λογικής συνάρτησης υπολογίζουµε πρώτα τη διττή συνάρτηση και στη συνέχεια αντικαθιστούµε τις µεταβλητές µε τα συµπληρώµατα τους. Παράδειγµα Να βρεθεί το συµπλήρωµα της συνάρτησης y f(, ) = ( ) =., Η διττή της συνάρτησης y είναι: y d =. Αντικαθιστούµε τις µεταβλητές µε τα συµπληρώµατα τους: y =. 9

Παράδειγµα Να σχηµατιστεί ο πίνακας Karnaugh της συνάρτησης (,, ) = ( ) ( ) ( ) y = f, µε τη βοήθεια του συµπληρώµατος της. 4 4 4 4 Βρίσκουµε πρώτα τη διττή συνάρτηση y d = 4 4 4. Το συµπλήρωµα της f(,, ) y =. y =, 4 θα είναι: 4 4 4 Ο πίνακας Karnaugh προκύπτει αν θέσουµε 0 στους αντίστοιχους ελάχιστους όρους. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0.9 Συναγωγή Μια λογική συνάρτηση f συνάγει τη λογική συνάρτηση f αν για κάθε σύνολο τιµών των µεταβλητών της f για το οποίο η f λαµβάνει την τιµή και η f λαµβάνει την τιµή. Στην περίπτωση αυτή γράφουµε f f Να σηµειωθεί για τις υπόλοιπες τιµές που η f γίνεται 0 η f δεν είναι απαραίτητο να είναι 0. Αν µια συνάρτηση f συνάγει τη λογική συνάρτηση f τότε ισχύει: f f = 40

4 Παράδειγµα Να δειχτεί ότι 4 4. Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα B A AB A =. ( ) ( ) ) ( ) ( 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 = = = = = =

- ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο - ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ. Εισαγωγή Στα ψηφιακά κυκλώµατα υπάρχουν µόνο δύο δυνατές τιµές το λογικό και το λογικό 0. Αν η τιµή τάσης που αντιπροσωπεύει το είναι µεγαλύτερη από αυτή που αντιπροσωπεύει το 0, τότε η λογική της κυκλωµατολογίας ονοµάζεται θετική λογική. Στην αντίθετη περίπτωση, η λογική ονοµάζεται αρνητική λογική. Συνήθως στη θετική λογική το λογικό 0 αντιπροσωπεύεται µε τάση 0 Volt και το λογικό µε τάση 5 Volt. Τα ψηφιακά ολοκληρωµένα κυκλώµατα κατασκευάζονται µε τη χρήση είτε διπολικών τρανζίστορ, ή MOSFET. Η λειτουργία των τρανζίστορ δεν είναι γραµµική, αλλά διακοπτική. Αυτό σηµαίνει ότι τα τρανζίστορ λειτουργούν στην αποκοπή για την περίπτωση του λογικού 0 και στον κόρο για την περίπτωση του λογικού. Στο τέλος του κεφαλαίου θα δώσουµε περισσότερα στοιχεία για το hardware των ψηφιακών κυκλωµάτων.. Πύλη OR Η λογική πύλη OR υλοποιεί ως κύκλωµα τη λογική πράξη. Η λογική συνάρτηση για την έξοδο Υ µιας πύλης OR µε δύο εισόδους είναι: Υ = X X Ο αντίστοιχος πίνακας αληθείας είναι: X X Υ 0 0 0 0 0 4

από όπου φαίνεται ότι η έξοδος της πύλης OR ισούται µε αν τουλάχιστο µία από τις εισόδους έχει την τιµή. Η πύλη OR µπορεί να έχει περισσότερες από δύο εισόδους.. Πύλη AND Η λογική πύλη AND υλοποιεί ως κύκλωµα τη λογική πράξη (.). Η λογική συνάρτηση που ισχύει για την έξοδο Υ µιας πύλης AND µε δύο εισόδους είναι: Υ = X X Ο αντίστοιχος πίνακας αληθείας είναι: X X Υ 0 0 0 0 0 0 0 από όπου φαίνεται ότι η έξοδος της πύλης AND ισούται µε µόνο αν και οι δύο είσοδοι έχουν την τιµή. Η πύλη AND µπορεί να έχει περισσότερες από δύο εισόδους..4 Πύλη ΝΟΤ Η λογική πύλη NOT επιτελεί τη διαδικασία της αντιστροφής. Η έξοδος της πύλης ισούται µε το συµπλήρωµα της εισόδου, δηλαδή Υ = X όπου το σύµβολο είναι το σύµβολο του συµπληρώµατος (αντιστροφής) ενός δυαδικού. 4

Ο πίνακας αληθείας της πύλης ΝΟΤ είναι: X Υ 0 0 Στις περιπτώσεις που η πύλη ΝΟΤ χρησιµοποιείται σε συνδυασµό µε µια άλλη πύλη το σύµβολο της αντικαθίσταται από ένα µικρό κύκλο στην έξοδο της πύλης. Μια άλλη χρησιµότητα της πύλης ΝΟΤ είναι ως buffer. Όταν η διαδροµή του σήµατος είναι µεγάλη ο θόρυβος που εισέρχεται στην ψηφιακή παλµοσειρά µπορεί να αλλοιώσει τη µορφή της. ύο πύλες ΝΟΤ σε σειρά χρησιµοποιούνται για την αναγέννηση του σήµατος, έτσι ώστε οι τάσεις να έχουν ξεκάθαρο µέτωπο και να είναι απαλλαγµένες από θόρυβο..5 Πύλη NAND Η πύλη NAND ισοδυναµεί µε το συνδυασµό µιας πύλης AND και µιας πύλης ΝΟΤ. Κυκλωµατικά, κάτι τέτοιο δεν είναι βέβαια απαραίτητο και εποµένως η ισοδυναµία αφορά µόνο στην εξωτερική συµπεριφορά της πύλης. Η σχέση ορισµού είναι: Y = X X = X X Ο πίνακας αληθείας της πύλης NAND δίνεται παρακάτω. X X Υ 0 0 0 0 0 Είναι φανερό ότι η έξοδος της πύλης NAND βρίσκεται στο λογικό 0 µόνο όταν όλες οι είσοδοι της βρίσκονται στο λογικό. 44

.6 Πύλη NOR Η πύλη NOR ισοδυναµεί µε το συνδυασµό µιας πύλης OR και µιας πύλης NOT. Η ισοδυναµία αφορά µόνο στην εξωτερική συµπεριφορά της πύλης. Η σχέση ορισµού είναι: Y = X X = X X Ο πίνακας αληθείας της πύλης NOR δίνεται παρακάτω. X X Υ 0 0 0 0 0 0 0 Είναι φανερό ότι η έξοδος της πύλης NOR βρίσκεται στο λογικό µόνο όταν όλες οι είσοδοι της βρίσκονται στο λογικό 0, ή διαφορετικά η έξοδος βρίσκεται στο 0 αν έστω και µία είσοδος έχει τιµή ίση µε..7 Πύλη EXOR ή XOR Η λογική πύλη XOR (eclusive OR) παράγει έξοδο λογικό µόνο όταν µια είσοδο της βρίσκεται στο λογικό. Μαθηµατικά αυτό εκφράζεται ως Y = X = X X X X X όπου το σύµβολο χρησιµοποιείται για να δηλώσει την πράξη του αποκλειστικού OR. Το σύµβολο της πύλης και ο πίνακας αληθείας δίνονται παρακάτω. 45

X X Υ 0 0 0 0 0 0.8 Τεχνολογία ολοκληρωµένων κυκλωµάτων πυλών Υπάρχουν αρκετές τεχνολογίες κατασκευής ολοκληρωµένων κυκλωµάτων πυλών µε πιο διαδεδοµένες τις τεχνολογίες TTL και CMOS. Η συνηθισµένη τροφοδοσία στα ψηφιακά κυκλώµατα είναι 5 Volt. Στην τεχνολογία TTL µια τάση από 0 ως 0.8 V µεταφράζεται ως λογικό 0, ενώ µια τάση από.0 ως 5.0 V ως λογικό. Οι αντίστοιχες τιµές για τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα τεχνολογίας CMOS είναι 0.5 V για το λογικό 0 και.5 5.0 V για το λογικό. Οι ενδιάµεσες τιµές δεν είναι αναµενόµενες και προκύπτουν µόνο στην περίπτωση εµφάνισης τυχαίου σφάλµατος. Το κύκλωµα µπορεί να µεταφράσει ενδιάµεσες τιµές είτε ως λογικό 0, ή ως λογικό και εποµένως σε αυτή την περίπτωση η έξοδος του κυκλώµατος είναι απροσδιόριστη. Η τεχνολογία TTL (Transistor-Transistor Logic) είναι η πιο παλιά και από τις πλέον διαδεδοµένες τεχνολογίες κατασκευής ολοκληρωµένων ψηφιακών κυκλωµάτων. Αποτελεί εξέλιξη τις παλαιότερης τεχνολογίας που χρησιµοποιούσε διόδους (DTL), οι οποίες και αντικαταστάθηκαν µε διπολικά τρανζίστορ. Η τεχνολογία ECL (Emiter-Coupled_Logic) έχει ως βασικό πλεονέκτηµα την υψηλή ταχύτητα. Χρησιµοποιείται σε υπερ-υπολογιστές και επεξεργαστές σήµατος, όπου η ταχύτητα επεξεργασίας αποτελεί κρίσιµο παράγοντα. Στην τεχνολογία ECL δε λειτουργούν ποτέ στον κόρο µε αποτέλεσµα οι χρόνοι διέλευσης να είναι της τάξης των ως ns. Η τεχνολογία MOS (Metal-Oide-Semiconductor) χρησιµοποιεί τρανζίστορ MOSFET. Στα τρανζίστορ MOSFET σε αντίθεση µε τα διπολικά τρανζίστορ oι φορείς ηλεκτρισµού είναι ενός µόνο τύπου. Συγκεκριµένα, οι φορείς είναι είτε ηλεκτρόνια (τύπος-n), είτε οπές (τύπος-p). Τα σηµαντικότερα πλεονεκτήµατα της τεχνολογίας είναι η µεγάλη πυκνότητα ολοκλήρωσης και η χαµηλή κατανάλωση ισχύος. Η τεχνολογία CMOS (Complementary-MOS) χρησιµοποιεί ένα συνδυασµό ενός MOSFET τύπου-n και ενός τύπου-p σε κάθε υλοποίηση. Τα χαρακτηριστικά αυτής της κατηγορίας είναι ανάλογα µε την τεχνολογία MOS. 46

Στο σχήµα δίνονται ορισµένα από τα πιο κοινά ολοκληρωµένα µε πύλες που διατίθενται στο εµπόριο. Η κωδικοποίηση 74ΧΧ εισήχθη από την εταιρία Teas Instruments στα πρώτα ολοκληρωµένα κυκλώµατα τεχνολογίας TTL που κατασκεύαζε και ακολουθείται και σήµερα ανεξαρτήτως τεχνολογίας. Η τεχνολογία ECL χρησιµοποιεί 5ψήφιους κωδικούς της µορφής 0ΧΧΧ..9 Παραδείγµατα σχεδίασης Στην παράγραφο αυτή δίνονται ορισµένα παραδείγµατα υλοποίησης απλών ψηφιακών κυκλωµάτων. Τα κυκλώµατα υλοποιούνται κατά τρόπο προφανή και δεν εξετάζεται αν είναι δυνατή η απλοποίηση τους µε στόχο τη µείωση του κόστους. Ας σηµειωθεί ότι η υλοποίηση ενός ψηφιακού κυκλώµατος µπορεί να γίνει κατά τρόπο βέλτιστο ακολουθώντας τις συστηµατικές µεθόδους ελαχιστοποίησης που περιγράφονται αναλυτικά σε επόµενα κεφάλαια. Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα σύστηµα πλειοψηφείας /. Η έξοδος του συστήµατος θα λαµβάνει την τιµή µόνο όταν τουλάχιστον δύο είσοδοι έχουν την τιµή. Μπορούµε απευθείας να γράψουµε την λογική εξίσωση του συστήµατος y = 47

Η υλοποίηση του συστήµατος γίνεται µε πύλες AND και OR. Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα σύστηµα στο οποίο όταν µεταβάλλεται η κατάσταση µιας µόνο εισόδου, τότε µεταβάλλεται και η κατάσταση της εξόδου. Θεωρείστε ότι το σύστηµα έχει πέντε εισόδους,,, 5. Η πύλη που έχει τον κατάλληλο πίνακα αληθείας είναι η πύλη XOR. Για δύο µόνο εισόδους µπορούµε να γράψουµε y = όπου µια αλλαγή στην είσοδο αλλάζει την κατάσταση της εξόδου. Για να επεκτείνουµε την λογική σε ένα κύκλωµα τριών εισόδων αρκεί να προσθέσουµε την είσοδο µέσω µιας δεύτερης πύλης XOR. Η παραπάνω δοµή µπορεί να επεκταθεί επαγωγικά για να συµπεριλάβει 5 εισόδους. 48

4 y 5 Παράδειγµα Να υλοποιηθεί το σύστηµα που περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα αληθείας. y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Παρατηρώντας τις τιµές όπου η έξοδος y λαµβάνει την τιµή µπορούµε να γράψουµε απευθείας τη λογική συνάρτηση του συστήµατος ως y = Η υλοποίηση του συστήµατος δίνεται παρακάτω. 49

Στην παραπάνω υλοποίηση θεωρήσαµε ότι τόσο οι είσοδοι όσο και οι συµπληρωµατικές τους τιµές είναι διαθέσιµες. Αν αυτό δεν ισχύει, τότε τα συµπληρώµατα µπορούν εύκολα να προκύψουν µε τη χρήση πυλών ΝΟΤ. Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ένα σύστηµα µε τρεις εισόδους όπου η έξοδος y ισούται µε y = για = 0 y = για = δηλαδή το σύστηµα θα λειτουργεί είτε ως πύλη AND, είτε ως πύλη OR ανάλογα µε την κατάσταση της εισόδου. Σχηµατίζουµε τον πίνακα αληθείας του συστήµατος y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 από όπου µπορούµε να γράψουµε τη λογική συνάρτηση του συστήµατος ως y = 50

Η υλοποίηση της συνάρτησης δίνεται παρακάτω y Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ψηφιακό κύκλωµα για την υλοποίηση της συνάρτησης που περιγράφεται αναλυτικά µε τον παρακάτω πίνακα αληθείας. y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Επειδή η έξοδος λαµβάνει µόνο δύο φορές την τιµή 0 είναι απλούστερο να εκφράσουµε το συµπλήρωµα της εξόδου. y = οπότε λαµβάνοντας το συµπλήρωµα 5

( ) ( ) y = = Η τελευταία έκφραση υλοποιείται µε τη βοήθεια δύο πυλών OR και µιας πύλης AND. y Παράδειγµα Ένα ψηφιακό σύστηµα µε τρεις εισόδους και δύο εξόδους έχει τον παρακάτω πίνακα αληθείας. Ζητείται η σχεδίαση του συστήµατος. y z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Για τις εξόδους του συστήµατος µπορούµε να γράψουµε τις λογικές συναρτήσεις y= z= Ο όρος είναι κοινός στις δύο εξόδους και αυτό µε τη σειρά του σηµαίνει ότι το σύστηµα µπορεί να υλοποιηθεί µε µια κοινή πύλη AND. 5

Παράδειγµα Να σχεδιαστεί ψηφιακό κύκλωµα που να πραγµατοποιεί την λογική συνάρτηση y = Η υλοποίηση του συστήµατος δίνεται στο παρακάτω σχήµα. 5

- ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο - ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Εισαγωγή Η υλοποίηση ενός ψηφιακού κυκλώµατος µε λογικές πύλες µπορεί να γίνει µε περισσότερους από έναν τρόπους. Κατά συνέπεια τόσο ο αριθµός των εισόδων, όσο και ο αριθµός των πυλών µπορεί να διαφέρει. Αυτό αντανακλά στην πολυπλοκότητα, το κόστος και την ταχύτητα λειτουργίας του κυκλώµατος. Σε ορισµένες περιπτώσεις η σχεδίαση του κυκλώµατος απαιτείται να γίνει µε συγκεκριµένο τύπο πυλών, π.χ. µόνο πύλες NAND. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται µέθοδοι συστηµατικής ελαχιστοποίησης των λογικών συναρτήσεων µε στόχο τη µείωση των εισόδων και του συνολικού αριθµού πυλών. 4. Εύρεση πρώτων συναγόντων 4.. Πρώτος συνάγων Πρώτος συνάγων µιας λογικής συνάρτησης f που έχει τη µορφή αθροίσµατος γινοµένων είναι ένας όρος Ρ του αθροίσµατος τέτοιος ώστε µια µεταβλητή από τον όρο Ρ τότε αυτός δεν συνάγει τη συνάρτηση f. P f. Αν διαγραφεί Παράδειγµα Να βρεθούν οι πρώτοι συνάγοντες της συνάρτησης f (,, ) =. Αν θεωρήσουµε P= και P = τότε ο όρος Ρ είναι ασφαλώς πρώτος συνάγων. Ο όρος Ρ συνάγει µεν την f, αλλά δεν είναι πρώτος συνάγων διότι µπορούν να διαγραφούν οι µεταβλητές και ο Ρ να εξακολουθεί να συνάγει την f. 4.. Βασικός πρώτος συνάγων Βασικός πρώτος συνάγων µιας λογικής συνάρτησης f είναι ένας πρώτος συνάγων που δεν συνάγει το άθροισµα των υπόλοιπων πρώτων συναγόντων. 54

Για την υλοποίηση µιας συνάρτησης f πρέπει να ληφθούν όλοι οι πρώτοι συνάγοντες και όσοι από τους υπόλοιπους πρώτους συνάγοντες απαιτούνται για την κάλυψη όλων των ελάχιστων όρων της συνάρτησης. 4.. Χρήση του πίνακα Karnaugh για την εύρεση πρώτων συναγόντων Με δεδοµένο τον πίνακα Karnaugh οι πρώτοι συνάγοντες βρίσκονται από τη λήψη όλων των οµάδων γειτονικών τετραγωνιδίων που έχουν τιµή και δεν µπορούν να συµπεριληφθούν σε µεγαλύτερες οµάδες. Οι οµάδες θα έχουν διάσταση i µε i = 0,,,,, εποµένως µια οµάδα µπορεί να περιέχει,, 4, 8, κτλ τετράγωνα. Παράδειγµα Να βρεθούν οι πρώτοι συνάγοντες της συνάρτησης που παριστάνεται µε τον παρακάτω πίνακα Karnaugh. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Στην κατακόρυφη διεύθυνση οι πρώτοι συνάγοντες είναι οι, 4 και, όπου η αδιαφορία ελήφθη ως. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Στην οριζόντια διεύθυνση οι πρώτοι συνάγοντες είναι οι 4, 4 και 4, όπου ξανά η αδιαφορία ελήφθη ως. 55

4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Τα στις τέσσερεις γωνίας του πίνακα Karnaugh σχηµατίζουν τον πρώτο συνάγοντα 4. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Εποµένως οι πρώτοι συνάγοντες της συνάρτησης είναι οι, 4,, 4, 4, 4 και 4. Παράδειγµα Να βρεθούν οι πρώτοι συνάγοντες στον παρακάτω πίνακα Karnaugh. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 56

Στην κατακόρυφη διεύθυνση οι πρώτοι συνάγοντες είναι οι και 4. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 Στην οριζόντια διεύθυνση οι πρώτοι συνάγοντες είναι οι 4, 4 και 4. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 Επίσης διακρίνουµε δύο µεγαλύτερες οµάδες τετραγωνιδίων µε που αντιστοιχούν στους πρώτους συνάγοντες 4 και. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 57

4..4 Εύρεση βασικών πρώτων συναγόντων από τον πίνακα Karnaugh Για την εύρεση των βασικών πρώτων συναγόντων από τον πίνακα Karnaugh βρίσκουµε πρώτα όλους τους πρώτους συνάγοντες. Μια οµάδα ψηφίων (ελάχιστων όρων) είναι βασικός πρώτος συνάγων αν δεν µοιράζεται τουλάχιστον ένα ψηφίο µε άλλη οµάδα. Να σηµειωθεί ότι ως οµάδα ψηφίων µπορεί να θεωρηθεί και ένα µόνο ψηφίο. Η διαδικασία διευκρινίζεται µε ορισµένα παραδείγµατα. Παράδειγµα Να βρεθούν οι βασικοί πρώτοι συνάγοντες στον παρακάτω πίνακα Karnaugh. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Σηµειώνουµε όλους τους πρώτους συνάγοντες. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Οι πρώτοι συνάγοντες είναι από τα αριστερά προς τα δεξιά:, 4, 4 και. Όλοι οι πρώτοι συνάγοντες είναι βασικοί εκτός από τον όρο 4 οποίου τα ψηφία καλύπτονται από τους άλλους όρους. του 58

Παράδειγµα Να βρεθούν οι βασικοί πρώτοι συνάγοντες για τη συνάρτηση (,, ) περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα Karnaugh. f που, 4 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Αφού ζητούνται οι βασικοί πρώτοι συνάγοντες του συµπληρώµατος της συνάρτησης οι οµάδες θα σχηµατιστούν µε βάση τα 0 του πίνακα. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Όλοι οι πρώτοι συνάγοντες είναι οι: 4, 4, 4, και 4. Οι βασικοί πρώτοι συνάγοντες είναι µόνο οι 4, 4 και 4. 4. Άριστη υλοποίηση µιας λογικής συνάρτησης µε βάση τους πρώτους συνάγοντες Για την οικονοµικότερη υλοποίηση µιας λογικής συνάρτησης συνήθως λαµβάνονται υπόψη τα εξής κριτήρια: α) ο συνολικός αριθµός των πυλών και β) ο αριθµός εισόδων σε κάθε πύλη. Με την έννοια ελαχιστοποίηση λογικής συνάρτησης αναφερόµαστε στην ικανοποίηση των παραπάνω κριτηρίων. Η υλοποίηση σε αυτή την περίπτωση ονοµάζεται άριστη. Ας σηµειωθεί όµως ότι τα κριτήρια αριστότητας µπορεί να διαφέρουν κατά περίπτωση. 59

Μια τεχνική που οδηγεί σε άριστη υλοποίηση µιας συνάρτησης βασίζεται στην επιλογή των βασικών πρώτων συναγόντων από τον πίνακα Karnaugh. Όπως αναφέρθηκε για την υλοποίηση µιας συνάρτησης είναι απαραίτητοι όλοι οι βασικοί πρώτοι συνάγοντες. Από τους υπόλοιπους πρώτους συνάγοντες λαµβάνονται υπόψη µόνο όσοι απαιτούνται για την κάλυψη όλων των ελάχιστων όρων. Η τεχνική άριστης υλοποίησης διευκρινίζεται µε ορισµένα παραδείγµατα. Παράδειγµα Να πραγµατοποιηθεί µια άριστη υλοποίηση της συνάρτησης που περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα Karnaugh. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Αρχικά ευρίσκονται όλοι οι πρώτοι συνάγοντες. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60

4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Οι πρώτοι συνάγοντες είναι οι 4, 4, 4, 4,, και 4. Οι βασικοί πρώτοι συνάγοντες, δηλαδή οι οµάδες που έχουν τουλάχιστον ένα ελάχιστο όρο ακάλυπτο, είναι οι 4 και 4. Για την υλοποίηση της συνάρτησης πρέπει να ληφθούν οπωσδήποτε όλοι οι βασικοί πρώτοι συνάγοντες και τόσοι άλλοι πρώτοι συνάγοντες έτσι ώστε να καλύπτονται όλοι οι ελάχιστοι όροι, δηλαδή όλες οι κυψελίδες µε τιµές. ιακρίνουµε τέσσερεις επιλογές: α) Οι δύο βασικοί πρώτοι συνάγοντες και οι πρώτοι συνάγοντες 4, 4,. 4 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6

β) Οι δύο βασικοί πρώτοι συνάγοντες και οι πρώτοι συνάγοντες 4, 4,. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 γ) Οι δύο βασικοί πρώτοι συνάγοντες και οι πρώτοι συνάγοντες,. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 δ) Οι δύο βασικοί πρώτοι συνάγοντες και οι πρώτοι συνάγοντες, 4. 4 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Οι επιλογές γ) και δ) είναι οι πλέον οικονοµικές και εποµένως δύο άριστες υλοποιήσεις της συνάρτησης θα µπορούσαν να είναι οι παρακάτω: i) ii) f (,,, 4) = ( 4 4) ( ) (,,, ) = ( ) ( ) f 4 4 4 4 6