- - Ενότητα 4 η (Συστηματική μελέτη και ανάλυση κυκλωμάτων με τις μεθόδους των βρόχων και κόμβων. Θεωρήματα κυκλωμάτωνthevenin, Norton, επαλληλίας, μέγιστης μεταφοράς ισχύος) Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται δύο βασικές μέθοδοι συστηματικής ανάλυσης κυκλωμάτων ΣΡ και ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας, η μέθοδος των απλών βρόχων και η μέθοδος των κόμβων. Οι μέθοδοι αυτές, αν και είναι άμεση συνέπεια των νόμων του Kirchhoff, εντούτοις η εφαρμογή τους στην επίλυση σύνθετων κυκλωμάτων οδηγεί σε αριθμό αγνώστων πολύ μικρότερο από αυτόν που προκύπτει με εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff, γεγονός που απλοποιεί σημαντικά την επίλυση πολύπλοκων κυκλωμάτων. Επιπλέον, η χρήση της μεθόδου των απλών βρόχων ή της μεθόδου των κόμβων επιτρέπει την απευθείας διατύπωση του συστήματος των ανεξάρτητων εξισώσεων ενός ηλεκτρικού κυκλώματος υπό μορφή πινάκων, γεγονός που διευκολύνει την επίλυση του κυκλώματος με ηλεκτρονικό υπολογιστή. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται και αναλύονται βασικά θεωρήματα ηλεκτρικών κυκλωμάτων, όπως το θεώρημα της επαλληλίας, το θεώρημα Thevenin, το θεώρημα Norton και το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος, τα οποία επιτρέπουν τη μετατροπή κυκλωμάτων σε άλλα ισοδύναμά τους, απλοποιώντας έτσι την ανάλυσή των κυκλωμάτων. (4.) Συστηματική ανάλυση κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος Στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων τα μεγέθη που ζητούνται να υπολογιστούν είναι τα ρεύματα και οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος. Μέχρι στιγμής, η ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων βασίστηκε στην εφαρμογή των νόμων των τάσεων και των ρευμάτων του Kirchhoff, καθώς και του νόμου του Ohm, προκειμένου να υπολογιστούν τα ρεύματα και στη συνέχεια οι τάσεις των κλάδων ενός κυκλώματος. Αν και η εφαρμογή αυτών των νόμων αρκεί για την επίλυση οποιουδήποτε ηλεκτρικού κυκλώματος, εντούτοις, για πολύπλοκα κυκλώματα, ο αριθμός των αγνώστων και επομένως ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος, αυξάνεται δραματικά, δυσκολεύοντας έτσι την επίλυση του κυκλώματος. Στην παρούσα ενότητα περιγράφονται δύο συστηματικές μέθοδοι ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων, η μέθοδος των απλών βρόχων (mesh current meod) και η μέθοδος των κόμβων (node voltage meod). Οι μέθοδοι αυτές είναι άμεση συνέπεια των νόμων του Kirchhoff και παρέχουν μια εσωτερική περιγραφή των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Με τη μέθοδο των απλών βρόχων ορίζονται ως άγνωστα τα ρεύματα των βρόχων και στη συνέχεια υπολογίζονται από αυτά τα ρεύματα των κλάδων, ενώ με τη μέθοδο των κόμβων θεωρούνται ως άγνωστοι τα δυναμικά των κόμβων ως προς τον κόμβο αναφοράς και από αυτά υπολογίζονται στη συνέχεια τα ρεύματα των κλάδων. Με την εφαρμογή αυτών των μεθόδων μειώνεται σημαντικά ο αριθμός των αγνώστων, η επίλυση δε των κυκλωμάτων
- - επιτυγχάνεται εύκολα και συστηματικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, χρησιμοποιώντας κατάλληλο εμπορικό λογισμικό (π.χ. Matalb κλπ.). (4..) Η μέθοδος των απλών βρόχων Η μέθοδος των απλών βρόχων εφαρμόζεται σε κυκλώματα ΣΡ και ΕΡ, τα οποία διεγείρονται μόνο με πραγματικές πηγές τάσης της ιδίας συχνότητας. Για την παρουσίαση της μεθόδου αναφερόμαστε στο κύκλωμα ΕΡ του Σχήματος 4., το οποίο έχει μετασχηματιστεί στο πεδίο της συχνότητας (παρ..5). Για την εφαρμογή της μεθόδου σε κυκλώματα ΣΡ ακολουθείται η ίδια διαδικασία, όπου τώρα οι αντιστάσεις των κλάδων είναι μόνο ωμικές και επομένως η ανάλυση ενός τέτοιου κυκλώματος αποτελεί επιμέρους περίπτωση της ανάλυσης κυκλώματος ΕΡ. Σχήμα 4.. Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας με τη μέθοδο των απλών βρόχων. Το κύκλωμα ΕΡ του Σχήματος 4., το οποίο διεγείρεται από τρεις πραγματικές πηγές τάσης με ημιτονοειδή σήματα της ιδίας συχνότητας, έχει N b = 7 κλάδους και N n = 5 κόμβους. Εάν θεωρηθούν ως άγνωστοι τα ρεύματα των κλάδων (παρ..5.), τότε, με εφαρμογή των νόμων των ρευμάτων και των τάσεων του Kirchhoff, προκύπτει ένα σύστημα N b N n + + N n = N b = 7 ανεξάρτητων εξισώσεων. Ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων είναι δυνατόν να μειωθεί με εφαρμογή της μεθόδου των απλών βρόχων. Από όλους τους δυνατούς βρόχους του κυκλώματος του Σχήματος 4. επιλέγουμε τους απλούς βρόχους (παρ...), οι οποίοι εδώ είναι τρεις, και θεωρούμε ότι κάθε απλός βρόχος διαρρέεται από ένα ρεύμα j (i =,,), το οποίο ονομάζουμε ρεύμα απλού βρόχου. Το ρεύμα απλού βρόχου έχει φορά αναφοράς τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού, η οποία είναι και φορά αναφοράς του απλού βρόχου. Γνωρίζοντας, τώρα, τα ρεύματα των απλών βρόχων στο πεδίο της συχνότητας j, j, j είναι δυνατός ο υπολογισμός των ρευμάτων και των τάσεων των κλάδων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας. Πράγματι, είναι: I j, I j, I j j, I j, I j j, I j, I j (4.) 4 5 6 7
- - και V Z I Z j, V Z I Z j, V Z I Z j j, V4 Z4 I4 Z 4 j, V Z I Z j j, V Z I Z j, V Z I Z j 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 Στη συνέχεια, με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο πεδίο της συχνότητας στους απλούς βρόχους του κυκλώματος του Σχήματος 4., προκύπτει βρόχος : VS V V V βρόχος : VS VS V V4 V 5 (4.) (4.4) βρόχος : V V V V (4.5) S 5 6 7 Αντικαθιστώντας τις τάσεις από την εξ.(4.) στις εξς.(4.) έως (4.5) προκύπτει Z Z Z j Z j j V S Z j Z Z Z j Z j V V 4 5 5 S S j Z j Z Z Z j V 5 5 6 7 S Το γραμμικό σύστημα των εξ.(4.6) έως (4.8) γράφεται υπό μορφή πινάκων Z Z Z Z j VS Z Z Z4 Z5 Z5 j VS VS (4.9) Z5 Z5 Z6 Z7 j VS Ο πίνακας Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z4 Z5 Z5 Z Z Z Zm (4.) Z5 Z5 Z6 Z7 Z Z Z ονομάζεται πίνακας σύνθετων αντιστάσεων απλών βρόχων, Z m. Παρατηρώντας τον πίνακα Z m, συμπεραίνουμε τα εξής:. Ο πίνακας σύνθετων αντιστάσεων απλών βρόχων Z m είναι συμμετρικός. Z i,, είναι το άθροισμα των σύνθετων αντιστάσεων των. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου ii κλάδων που σχηματίζουν τον βρόχο i. Z i, k,, i k, τα οποία βρίσκονται εκατέρωθεν της κυρίας διαγωνίου, είναι το. Τα στοιχεία ik αρνητικό άθροισμα των σύνθετων αντιστάσεων που είναι κοινές στους βρόχους i και k. 4. Οι πηγές τάσης θεωρούνται θετικές όταν το ρεύμα που προσφέρουν στο κύκλωμα έχει την ίδια φορά με τη φορά του βρόχου που ανήκουν, αρνητικές στην αντίθετη περίπτωση. (4.) (4.6) (4.7) (4.8)
- 4 - Γίνεται, λοιπόν, φανερό ότι, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες του πίνακα των σύνθετων αντιστάσεων των απλών βρόχων, είναι δυνατή η απευθείας διατύπωση του συστήματος των ανεξάρτητων εξισώσεων κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας (εξ.4.9), χωρίς να απαιτείται προηγουμένως η αναλυτική διατύπωση των εξισώσεων που προκύπτουν από την εφαρμογή των νόμων των ρευμάτων και των τάσεων του Kirchhoff (εξς. 4. έως 4.8). Έτσι, με την μέθοδο των απλών βρόχων επιτυγχάνεται ένας συστηματικός τρόπος ανάλυσης των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Παράδειγμα 4. Το κύκλωμα του Σχήματος 4.(α) διεγείρεται από πηγές με ημιτονοειδή κυματομορφή τάσης. Δίνονται: v S (t) = cos (t) (V), v S (t) = 5 cos (t + ) (V), v S (t) = sin (t) (V), R = 6 (Ω), R = 4 (Ω), R = 5 (Ω), = (mh), = (mh) και C = (µf). Ζητούνται: (α) τα ρεύματα στους κλάδους και οι τάσεις στα άκρα κάθε στοιχείου του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου και (β) η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και ρεύματος για τις πηγές τάσης στο πεδίο της συχνότητας. Λύση (α) Το μετασχηματισμένο κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.(β). Με εφαρμογή της μεθόδου των απλών βρόχων (παρ.4.), προκύπτει το σύστημα των τριών ανεξάρτητων εξισώσεων βρόχος : VS VS V V V 5 (4.) βρόχος : V V V 4 (4.) βρόχος : V V V V V (4.) S S 4 6 Οι τάσεις και τα ρεύματα των κλάδων είναι V I Z, V I R, V I ZC, V I Z, V I R, V I R I j j, I j, I j j, I j j, I j, I j 5 4 4 6 5 5 6 5 4 6 και αντικαθιστώντας τις τάσεις και τα ρεύματα στις εξς.(4.) έως (4.) και μετά από απλές αλγεβρικές πράξεις, προκύπτει R Z Z j Z j Z j V V (4.4) C C S S Z j R Z Z j Z j Z j Z j R Z Z j V V C C S S (4.5) (4.6)
- 5 - (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχήμα 4.. Κυκλώματα Παραδείγματος 4.. (α) Στο πεδίο του χρόνου. (β) Στο πεδίο της συχνότητας. Διανύσματα τάσης έντασης για τις πηγές τάσης v S (γ), v S (δ) και v S (ε). ή σε μορφή πινάκων R Z ZC Z ZC j VS VS Z R Z Z Z j (4.7) ZC Z R Z ZC j VS VS Πρέπει να σημειωθεί ότι, ο πίνακας των σύνθετων αντιστάσεων Z m των τριών απλών βρόχων του κυκλώματος 4.(β) θα μπορούσε να γραφεί απευθείας με θεώρηση του κυκλώματος και λαμβάνοντας
- 6 - υπόψη τις παρατηρήσεις για τον πίνακα Z m, που αναφέρονται στην παρ.(4.). Οι σύνθετες αντιστάσεις των κλάδων στο πεδίο της συχνότητας είναι: Z j j, Z j j, ZC j j C Για τη μετατροπή των πηγών τάσης του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας πρέπει όλες οι πηγές τάσης να εκφράζονται με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό (παρ..5), έστω, για παράδειγμα, με το συνημίτονο. Οι πηγές v S (t) και v S (t) είναι ήδη εκφρασμένες με συνημίτονο, ενώ η πηγή v S (t) εκφράζεται με ημίτονο. Για τη μετατροπή από ημίτονο σε συνημίτονο χρησιμοποιούμε τη γνωστή σχέση από την τριγωνομετρία sin cos cos cos 9 οπότε, οι τάσεις των πηγών στο πεδίο της συχνότητας είναι: V, V 5, V 9 S S S Αντικαθιστούμε τις τιμές των σύνθετων αντιστάσεων των κλάδων και των τάσεων των πηγών στην εξ.(4.7) και υπολογίζουμε στη συνέχεια τα ρεύματα των απλών βρόχων του κυκλώματος με αντιστροφή του πίνακα Z m. Είναι: 4 j j j 5, 99 j 7, 5 6 j j j j (4.9) j j 5 j 5 9 j, 99 j 7,5 και j 4 j j,99 j 7,5 6 j j j j j j j 5 j,99 j 7,5 j,6 j, 694, 6 j, 9, 5 j, 544,99 j 7,5 j, 6 j, 9, 685 j, 8, 688 j, 7 j, 5 j, 544, 688 j, 7, 96 j, 7, 99 j 7,5 j,45 j,864, 75,,76, 69 j j, 646878,5 j, 767 j, 7547, 75589, 6 Λαμβάνοντας υπόψη τα ρεύματα των απλών βρόχων (εξ.4.), τα πραγματικά ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος είναι: (4.8) (4.)
- 7 - I5 j j, 7769 j, 478, 4945, 64 I4 j,76 j, 69, 646878,5 I j j,8 j, 69 4, 55, 8 I6 j j, 44 j,48, 9,5 I j,45 j,864, 75, I j, 767 j, 7547, 7558 88, 4 τα οποία επαληθεύουν τις εξς.(4.4) έως (4.6) του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας. Οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας είναι: V I4 R,9656 j 9, 684 9,88978,5 V I5 Z 4, 78 j7, 769, 494 44,6 V I ZC 6,9 j,8 4, 549, 8 V4 I6 Z,86 j8, 86 4, 65 6, 49 V5 I R 8, 48 j, 457 9,, V I R,85 j, 775, 7788 88, 4 6 Τέλος, τα ρεύματα και οι τάσεις του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου προκύπτουν με τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Είναι: 5 4 6, 494cos 5, 64,6468cos 78,5 4, 55cos,8, cos 9,5, 75cos t,, 7558cos 88, 4 i t t i t t i t t i t t i t i t t (4.) (4.) (4.) και 4 5 6 9,889cos 78,5, 494cos 44,6 4, 549cos, 8 4, 65cos 6, 49 9,cos,, 7788cos 88, 4 v t t v t t v t t v t t v t t v t t (4.4) (β) Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και έντασης για κάθε πηγή τάσης του κυκλώματος προκύπτει από τη διαφορά των αρχικών φάσεων των διανυσμάτων εκφρασμένων σε πολική μορφή. Για
- 8 - την πηγή v S το ρεύμα καθυστερεί της τάσης κατά τη γωνία I V I V,,. Για S S την πηγή v S το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά τη γωνία I V I V, 8 9.8. Για S S την πηγή v S το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά τη γωνία I V I V 88, 4 9.59. Από S S τα παραπάνω, συνάγεται ότι η πηγή v S παρέχει στο κύκλωμα επαγωγικό ρεύμα, ενώ οι πηγές v S και v S παρέχουν στο κύκλωμα χωρητικό ρεύμα. Παράδειγμα 4. Να υπολογιστούν τα ρεύματα και οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος ΣΡ του Παραδείγματος. με τη μέθοδο των απλών βρόχων. Το κύκλωμα έχει επανασχεδιαστεί στο Σχήμα 4.(α). Τα στοιχεία του κυκλώματος είναι τα ίδια με αυτά του Παραδείγματος.: I S = 5 (A), I S = (A), E = (V), R = 6 (Ω), R = (Ω), R = 4 (Ω), R 4 = (Ω), R 5 = 5 (Ω). Λύση Όπως έχει ήδη αναφερθεί, για να είναι δυνατή η επίλυση κυκλώματος με τη μέθοδο των απλών βρόχων πρέπει να υπάρχουν στο κύκλωμα μόνο πηγές τάσης. Για το σκοπό αυτό μετατρέπουμε την πηγή ρεύματος I S μαζί με την παράλληλη αντίσταση R σε πηγή τάσης (εξ..9), με τιμή E IS R 56( V ) (4.5) Σε σειρά με την πηγή Ε συνδέεται και η αντίσταση R = 6 (Ω). Όμοια, μετατρέπουμε τον παράλληλο συνδυασμό της πηγής ρεύματος I S και της αντίστασης R σε πηγή τάσης, τιμής E I S R 4( V ) (4.6) με την αντίσταση R = 4 (Ω) συνδεδεμένη σε σειρά με την πηγή Ε. Στο Σχήμα 4.(β) παρουσιάζεται το ισοδύναμο κύκλωμα, το οποίο περιλαμβάνει τώρα μόνο πηγές τάσης. (α) Σχήμα 4.. (Συνεχίζεται).
- 9 - (β) (γ) (δ) Σχήμα 4.. (α) Αρχικό κύκλωμα Παραδείγματος 4.. (β) Ισοδύναμο κύκλωμα. (γ) Υπολογισμός διαφοράς δυναμικού μεταξύ των κόμβων (Β) και (Δ). (δ) Υπολογισμός διαφοράς δυναμικού μεταξύ των κόμβων (Α) και (Δ). Με εφαρμογή της μεθόδου των βρόχων στο ισοδύναμο κύκλωμα του Σχήματος 4.(β) και λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες του πίνακα των σύνθετων αντιστάσεων (παρ.4.), διατυπώνουμε απευθείας το σύστημα των ανεξάρτητων εξισώσεων του κυκλώματος υπό μορφή πινάκων R R R R j E E R R R R R j E 4 5 5 R 5 R5 j E (4.7) Από την επίλυση του συστήματος (4.7) προκύπτει: j R R R R E E j R R R R R E 4 5 5 j R 5 R5 E j j 6 4 4 4 8 j 4 4 5 5 4 5 5 5 5 5 και
- - j 6,97( A) j 6,84( A) j,84( A) Τα ρεύματα στους κλάδους (Σχήμα 4.β) υπολογίζονται από τα ρεύματα των απλών βρόχων. Είναι: I j 6,97( A),( ) I j j A I j,84( A) I j 6,84( A) 4 I 5 j j 4,( A) Οι τάσεις στους κλάδους του κυκλώματος του Σχήματος 4.(β) υπολογίζονται με εφαρμογή του νόμου του Ohm. Είναι: V I R 4,44( V ) 8,44( ) V I R V V I R,44( V ) V I R,4( V ) 4 4 4 V 5 I 5 R5,( V ) (4.8) (4.9) (4.) Από την εξ.(4.9), παρατηρούμε ότι το ρεύμα Ι έχει αρνητική τιμή και επομένως η πραγματική φορά του είναι αντίθετη από αυτή που αρχικά επιλέχτηκε στο κύκλωμα του Σχήματος 4.(β). Ακόμη, για την ολοκλήρωση της επίλυσης του κυκλώματος, πρέπει να υπολογιστούν τα ρεύματα μέσα από τις αντιστάσεις R και R στο κύκλωμα του Σχήματος 4.(α). Για τον υπολογισμό του ρεύματος μέσα από την αντίσταση R (Σχήμα 4.α) πρέπει να βρεθεί προηγουμένως η διαφορά δυναμικού μεταξύ των κόμβων (Β) και (Δ). Προς τούτο, εφαρμόζεται ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του επιμέρους κυκλώματος του Σχήματος 4.(γ), ο οποίος διαμορφώνεται από την τάση (διαφορά δυναμικού) V ΒΔ, την πηγή Ε και την αντίσταση R. Είναι: V E I R V E I R,4, 4( V ) (4.) και το ρεύμα μέσα από τη αντίσταση R I R V,44,( A ) R 4 (4.) Κατά τον ίδιο τρόπο, υπολογίζεται η ένταση του ρεύματος μέσα από την αντίσταση R του κυκλώματος του Σχήματος 4.(α). Υπολογίζεται προς τούτο η διαφορά δυναμικού μεταξύ των κόμβων (Α) και (Δ), εφαρμόζοντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του επιμέρους κυκλώματος του Σχήματος 4.(δ). Είναι: V V I R V V I R, 44 6,97 58, 6( V ) (4.)
- - και το ρεύμα μέσα από τη αντίσταση R I R V 58,5564 4,( A ) R 6 Τα αποτελέσματα των ρευμάτων και των τάσεων, που προέκυψαν από την επίλυση του κυκλώματος του Σχήματος 4.(α) με τη μέθοδο των απλών βρόχων, συμπίπτουν με τα αποτελέσματα που ευρέθησαν με εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff στο Παράδειγμα.. (4..) Η μέθοδος των κόμβων Η μέθοδος των κόμβων είναι συνέπεια της εφαρμογής του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff και εφαρμόζεται σε κυκλώματα ΣΡ και ΕΡ, τα οποία διεγείρονται από πραγματικέ πηγές ρεύματος της ιδίας συχνότητας. Βέβαια, εάν σε ένα κύκλωμα συνυπάρχουν τα δύο είδη πηγών, πρέπει οι πηγές τάσης να μετατραπούν σε ισοδύναμες πηγές ρεύματος σύμφωνα με τα εκτεθέντα στην παρ.(.4.), τα οποία ισχύουν και για πηγές ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας. Για την παρουσίαση της μεθόδου αναφερόμαστε στο παθητικό κύκλωμα ΕΡ του Σχήματος 4.4, το οποίο πρέπει προηγουμένως να έχει μετασχηματιστεί στο πεδίο της συχνότητας (παρ..5). Το κύκλωμα του Σχήματος 4.4 έχει N n = κόμβους (Α, Β και Γ) και επομένως (παρ..5.) απαιτούνται N n = - = γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις κόμβων. Και αυτό γιατί η εξίσωση του κόμβου (Γ) είναι περιττή, αφού ο κόμβος αυτός θεωρείται ως κόμβος αναφοράς. Εάν θεωρήσουμε ότι τα δυναμικά των κόμβων (Α) και (Β) ως προς τον κόμβο αναφοράς (Γ) είναι V και V αντίστοιχα, τότε είναι δυνατόν να εκφραστούν τα άγνωστα ρεύματα των κλάδων, επομένως και οι τάσεις των στοιχείων των κλάδων, συναρτήσει των τάσεων των κόμβων και των αγωγιμοτήτων των κλάδων. Από το κύκλωμα του Σχήματος 4.4 προκύπτει: (4.4) Σχήμα 4.4. Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας με τη μέθοδο των κόμβων. V VA, V VA V, V V I V Y, I V V Y, I V Y A A (4.5)
όπου Y, Y και - - Y είναι οι αγωγιμότητες των κλάδων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας. Με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους (Α) και (Β), προκύπτουν οι εξισώσεις IS I I (4.6) IS I I (4.7) Αντικαθιστώντας τα ρεύματα από την εξ.(4.5) στις εξς.(4.6) και (4.7) προκύπτει: Y Y V Y V IS Y V Y Y V I S και διατυπώνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις υπό μορφή πινάκων Y Y Y V I S Y Y Y V IS Η λύση του συστήματος (4.9) δίνει τις τάσεις των κόμβων του κυκλώματος του Σχήματος 4.4 στο πεδίο του χρόνου. Είναι: V Y Y Y I S V Y Y Y I S Με γνωστές τις τάσεις των κόμβων, υπολογίζονται τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος με εφαρμογή του νόμου του Ohm. Η εξ.(4.4), που προέκυψε από την παραπάνω ανάλυση, μπορεί να γενικευτεί για την περίπτωση κυκλώματος με N n = n κόμβους, οπότε η εξ.(4.9) παίρνει τη μορφή Y Y... Y n V I S Y Y... Y n V IS ή.................. Yn V IS Yn Yn... Ynn Vn ISn και από την εξ.(4.4), με αντιστροφή του πίνακα Y n, υπολογίζονται οι τάσεις των κόμβων του κυκλώματος V Y Y... Y n IS V Y Y... Y I.................. V Y Y... Y I n S ή V Y n IS n n n nn Sn (4.8) (4.9) (4.4) (4.4) (4.4) Τέλος, με εφαρμογή του νόμου του Ohm υπολογίζονται τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος.
- - Όπου στις εξς.(4.4) και (4.4): Y n είναι ο πίνακας των σύνθετων αγωγιμοτήτων των κόμβων τάξης (n n), V είναι το διάνυσμα των τάσεων των κόμβων (ως προς το κόμβο αναφοράς) διαστάσεως (n ) και I S είναι το διάνυσμα πηγών ρεύματος διαστάσεως(n ). Από την εξ.(4.9), παρατηρούμε ότι ο πίνακας των σύνθετων αγωγιμοτήτων των κόμβων παρουσιάζει τις εξής ιδιότητες:. Ο πίνακας των σύνθετων αγωγιμοτήτων είναι συμμετρικός.. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου Y ( i,,..., n) είναι το άθροισμα των σύνθετων αγωγιμοτήτων ii των κλάδων που συνδέονται στον κόμβο i.. Τα στοιχεία Y ( i, k,,..., n, n k ), τα οποία βρίσκονται εκατέρωθεν της κυρίας διαγωνίου, ik είναι το αρνητικό άθροισμα των σύνθετων αγωγιμοτήτων που συνδέονται στους κόμβους i και k. Το στοιχείο ISi ( i,,..., n ) του διανύσματος IS είναι το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών ρεύματος που συνδέονται με τον κόμβο i. Οι πηγές των οποίων το ρεύμα φθάνει στον κόμβο θεωρούνται θετικές, στην αντίθετη περίπτωση θεωρούνται αρνητικές. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες των πινάκων Y n και I S, είναι δυνατόν να διατυπωθεί απευθείας το σύστημα των ανεξάρτητων εξισώσεων (εξ.4.4) κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας, το οποίο διεγείρεται μόνο με πηγές ρεύματος, επιτρέποντας έτσι τη συστηματική επίλυσή του με τη μέθοδο των κόμβων. Παράδειγμα 4. Δίνεται το γραμμικό κύκλωμα ΕΡ του Σχήματος 4.5(α) στο πεδίο του χρόνου και ζητούνται να υπολογιστούν με τη μέθοδο των κόμβων τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου. Οι τιμές των στοιχείων του κυκλώματος είναι: i S = 5 sin(ωt) (A), i S = 8 sin(ωt + 6 ) (A), R =, (Ω), R =,8 (Ω), R = 8 (Ω), = (mh), = (mh), C = 8 (µf) και f = 5 (Hz). Λύση Υπολογίζουμε τις σύνθετες αγωγιμότητες των κλάδων και τα ρεύματα των πηγών του κυκλώματος του Σχήματος 4.5(α) στο πεδίο της συχνότητας. Είναι: I 5 ( A) S IS 86 ( A) R,, G,8( S) R,
R,8, G, 5( S) R,8-4 - R 8, G,5( S) R 8 Z 5,4( ), j j f j j B j,8( S) Z j,4 Z 5 6, 8( ), j j f j j B j,59( S) Z j 6,8 ZC j j j j,98( ), B 6,5( ) j S C f C 58 Z j,98 Υπολογίζουμε τα στοιχεία του πίνακα των σύνθετων αγωγιμοτήτων και στη συνέχεια υπολογίζουμε τις τάσεις στους κόμβους (), () και () ως προς τον κόμβο αναφοράς (4). Τα στοιχεία του πίνακα Y n διαμορφώνονται με βάση τις παρατηρήσεις στην παρ.(4.). Είναι: Y G G B,8,5 j, 8, 958 j,8( S) Y G,5( S) Y B j,8( S) Y G,5( S) Y G B BC,5 j,59 j, 5,5 j, 9( S) Y B j,8( S) Y B j,8( S) Y B j,59( S) Y G B B, 5 j, 8 j,59, 5 j, 477( S) C (α) Σχήμα 4.5. (Συνεχίζεται).
- 5 - (β) Σχήμα 4.5. Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ Παραδείγματος 4.. (α) Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου. (β) Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας. Y Y Y,958 j, 8,5 j, 8,5,5, 9,59 Y Y Y j j,8,59, 5, 477 Y Y Y j j j Y Y Y,99 j,8,44 j, 45,4 j, 48 Y Y Y, 44, 45 4,8,5, 5,84 j j j Y Y Y,4 j, 48, 5 j,84, 555 j, 6 Οι τάσεις των κόμβων υπολογίζονται από την εξ.(4.4) V Y Y Y I S V Y Y Y V Y Y Y I S V, 99 j, 8, 44 j, 45,4 j, 48 5 V, 44 j, 45 4,8 j, 5, 5 j,84 V,4 j, 48, 5 j,84,555 j, 6 4, j 69, 8 V 8, 7 j 7, 8,8 9, 6 V j,67 8,89 V j και με εφαρμογή του νόμου του Ohm υπολογίζονται τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας (4.4)
- 6 - V G I 98,89 j,85, 587, V V G,49,4 I4 j,955,4 I 5 V V B 8, 45 j 4,6 5,57 4, 78 (4.44) I,4 4,7 6 V B j 5,7, 7 C I 4,87 j, 9 7 4,9 4, 97 V V B I,4 4,86 8 j 5,7 8, 75 V G Για την επαλήθευση των τιμών των ρευμάτων στην εξ.(4.44) εφαρμόζουμε το νόμο των ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους () και () του κυκλώματος του Σχήματος 4.5(β). Στον κόμβο () πρέπει να ισχύει: I I I I 98,89 j,85, 49 j, 4 8, 45 j 4,6 49,8 j, 8 I S 4 5 S Στον κόμβο () πρέπει να ισχύει I I I I 8.45 j 4, 6 4,87 j,, 4 j4,86 9, 98 j 69, I S 5 7 8 S Τα ρεύματα των κλάδων στο πεδίο του χρόνου προκύπτουν με εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού, οπότε, σύμφωνα με την εξ.(4.44), θα είναι: I I4 I,58sin t 7,,95sin t 5,4 5,57sin t 4,78 5 I6 I 5,sin t 7, 7 7 4,9sin t 4,97 I8 5, 7sin t 8, 75 (4.45)
- 7 - (4.) Θεωρήματα κυκλωμάτων Στην παρ.(4.) παρουσιάστηκαν δύο βασικές μέθοδοι ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων, η μέθοδος των απλών βρόχων και η μέθοδος των κόμβων, οι οποίες επιτρέπουν τη συστηματική επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων ΣΡ και ΕΡ στο πεδίο της συχνότητας. Στην παρούσα παράγραφο θα εξεταστούν βασικά θεωρήματα ηλεκτρικών κυκλωμάτων, τα οποία επιτρέπουν τη μετατροπή κυκλωμάτων σε άλλα ισοδύναμά τους, απλουστεύοντας έτσι την ανάλυσή τους. Συγκεκριμένα, θα παρουσιαστούν το θεώρημα της επαλληλίας (superposition eorem or principle), το θεώρημα Thevenin και Norton και το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος (maximum power transfer eorem). Το θεώρημα ή αρχή της επαλληλίας χρησιμοποιείται όταν επιθυμούμε να δούμε τη δράση στο κύκλωμα κάθε διέγερσης (πηγή τάσης ή ρεύματος) ξεχωριστά ή όταν οι πηγές δεν έχουν όλες την ίδια συχνότητα. Τα θεωρήματα Thevenin και Norton χρησιμοποιούνται συνήθως όταν ενδιαφέρει να βρούμε το ρεύμα ή την τάση μόνο σε συγκεκριμένο κλάδο κυκλώματος, αντικαθιστώντας όλο το υπόλοιπο κύκλωμα με μια πραγματική πηγή τάσης ή ρεύματος αντίστοιχα. Τέλος, το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος εφαρμόζεται σε περιπτώσεις όπου κρίνεται απαραίτητη η βέλτιστη προσαρμογή μεταξύ φορτίου και πηγής, ώστε να προκύψει μέγιστη μεταφορά ισχύος από την πηγή προς το φορτίο. (4..) Η αρχή της επαλληλίας Η αρχή της επαλληλίας είναι μια γενική αρχή που ισχύει για όλα τα γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα, είτε αυτά είναι χρονικά αμετάβλητα είτε χρονικά μεταβαλλόμενα και είναι άμεση συνέπεια της γραμμικότητας των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Εάν όλες οι πηγές διέγερσης ενός ηλεκτρικού κυκλώματος έχουν την ίδια συχνότητα, η αρχή της επαλληλίας διατυπώνεται ως εξής: Σε ένα γραμμικό κύκλωμα που διεγείρεται από n ανεξάρτητες πηγές τάσης και ρεύματος της ίδιας συχνότητας, η τάση ή το ρεύμα ενός κλάδου ισούται με το άθροισμα των n επιμέρους τάσεων ή ρευμάτων που προκύπτουν, όταν κάθε πηγή ενεργήσει μόνη της στο κύκλωμα, είναι δε της ίδιας συχνότητας με την κοινή συχνότητα όλων των πηγών. Εάν οι πηγές διέγερσης ενός ηλεκτρικού κυκλώματος έχουν διαφορετικές συχνότητες, η αρχή της επαλληλίας διατυπώνεται ως εξής: Σε ένα γραμμικό κύκλωμα που διεγείρεται από n ανεξάρτητες πηγές τάσης και ρεύματος, οι οποίες δεν έχουν όλες την ίδια συχνότητα, η τάση ή το ρεύμα ενός κλάδου ισούται με το άθροισμα των n επιμέρους τάσεων ή ρευμάτων που προκύπτουν, όταν κάθε πηγή ενεργήσει μόνη της στο κύκλωμα, περιέχει δε όλες τις συχνότητες που υπάρχουν στο κύκλωμα. Για την επίλυση κυκλώματος με την αρχή της επαλληλίας θεωρούμε ότι κάθε φορά υπάρχει μόνο μία πηγή ενεργή στο κύκλωμα, ενώ οι υπόλοιπες νεκρώνονται. Νεκρές πηγές σημαίνει ότι οι πηγές τάσης βραχυκυκλώνονται και οι πηγές ρεύματος αντικαθίστανται από ανοιχτά κυκλώματα (ανοιχτοκυκλώνονται). Για κάθε μία πηγή ξεχωριστά επιλύεται το κύκλωμα που προκύπτει και υπολογίζονται τα ρεύματα των
- 8 - κλάδων του κυκλώματος. Το ρεύμα, τώρα, σε κάθε κλάδο του κυκλώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων, εάν πρόκειται για ΣΡ, ή το διανυσματικό άθροισμα των ρευμάτων στο πεδίο της συχνότητας, εάν πρόκειται για ΕΡ, που προκάλεσαν στο συγκεκριμένο κλάδο η κάθε μία πηγή ξεχωριστά. Παράδειγμα 4.4 Δίνεται το γραμμικό κύκλωμα του Σχήματος 4.6(α), το οποίο διεγείρεται από δύο πηγές τάσης. Ζητούνται να βρεθούν τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου, όταν οι δύο πηγές έχουν (α) διαφορετικές συχνότητες, v S = 5 (V) και v S = cos(8t) (V) και (β) ίδιες συχνότητες, v S = 5 cos(8t) (V) και v S = cos(8t) (V). Δίνονται επίσης: R = 8 (Ω), R = 4 (Ω), R = 8 (Ω), R 4 = 5 (Ω), = = (mh), C = 5 (µf). Λύση (α) Επειδή το κύκλωμα διεγείρεται από πηγές με διαφορετική συχνότητα, για την ανάλυσή του θα εφαρμοστεί η αρχή της επαλληλίας. Το κύκλωμα του Σχήματος 4.6(α) στο πεδίο του χρόνου μετασχηματίζεται στο πεδίο της συχνότητας και παρατίθεται στο Σχήμα 4.6(β). Υπολογίζονται πρώτα τα ρεύματα στους κλάδους που οφείλονται στη διέγερση της πηγής v S, θεωρώντας βραχυκυκλωμένη την πηγή v S και στη συνέχεια υπολογίζονται τα ρεύματα στους κλάδους που οφείλονται στην πηγή v S, θεωρώντας βραχυκυκλωμένη την πηγή v S. Διέγερση του κυκλώματος μόνο από την πηγή v S Η πηγή v S είναι ΣΡ και επομένως τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος θα είναι επίσης συνεχή ρεύματα. Γνωρίζουμε ότι στο ΣΡ το πηνίο συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα και ο πυκνωτής ως ανοιχτό κύκλωμα (παρ... και..4), οπότε το κύκλωμα του Σχήματος 4.6(β) μετασχηματίζεται στο κύκλωμα του Σχήματος 4.6(γ). Από την επίλυση του κυκλώματος του Σχήματος 4.6(γ) προκύπτουν τα ρεύματα στους κλάδους, που οφείλονται στη διέγερση της πηγής v S. Η ισοδύναμη αντίσταση των R, R και R είναι: R R R 48 8,67( ),, R R 4 8 και με εφαρμογή του νόμου του Ohm και του κανόνα του διαιρέτη ρεύματος (παρ..) υπολογίζουμε τα ρεύματα στους κλάδους. 5 I 4,69( A),67 ' V S R,, I I 4,69( A) ' ' I '
- 9 - (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχήμα 4.6. (α) Κύκλωμα (Παράδειγμα 4.4) στο πεδίο του χρόνου. (β) Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας. (γ), (δ) Διέγερση του κυκλώματος από τις πηγές v S και v S αντίστοιχα, για διαφορετικές συχνότητες. (ε), (στ) Διέγερση του κυκλώματος από τις πηγές v S και v S αντίστοιχα, για ίδιες συχνότητες. R 8 I I 4,69,( A) 48 ' ' 4 R R R 4 I I 4,69,56( A) 4 8 ' ' 5 R R I I,56( A) ' ' 6 5 Διέγερση του κυκλώματος μόνο από την πηγή v S Το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας, όταν διεγείρεται μόνο από την πηγή v S δίνεται στο Σχήμα 4.6(δ). Για τον υπολογισμό των ρευμάτων των κλάδων του κυκλώματος του Σχήματος 4.6(δ) εφαρμόζουμε τη μέθοδο των απλών βρόχων (παρ.4..). Οι σύνθετες αντιστάσεις των πηνίων και του πυκνωτή είναι:
- - Z Z j j j8 j6( ) ZC j j j,5( ) 6 C 85 Τα ρεύματα των απλών βρόχων j, j και j υπολογίζονται κατά τα γνωστά (εξ.4.9) R R Z R R Z R Z R Z R R R4 Z Z ZC j R R R Z R Z j VS j 8 4 j6 4 8 j6 j 4 48 j6 8 j6 j 8 j6 8 j6 885 j6 j6 j,5 j j6 4 8 j6 j 4 6 8 6 j j j 8 6 8 6 9,5 j j j j j j6 4 8 j6 j 4 j6 8 j6 j 8 j6 8 j6 9,5 j j, 9 j, 98, 67 j, 4, 649 j, 8, 67, 4, 9, 98, 649, 8 j j j j j,649 j, 8, 649 j, 8, 649 j, 8 j 7, 488 j,7,588,5777 j j j 7, 788 j, 97 Τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας που οφείλονται μόνο στη διέγερση της πηγής v S '' I j 7, 488 j,7 7, 4, '', 75,5 j I j j,9 8, 44 '' I 7,788, 97 j j 7,899, 46 '' I, 75,75 4 j j j '' 5, 45, I,75 4,875 5 j j j 5,9 55, '' I,588, 5777 6 j j,7 7,78 και στο πεδίο του χρόνου
7,4cos 8t, '' i t '',9cos 8t 8, 44 i t '' 7,89cos 8 9, 46 i t '' 4 t i t 5,cos 8t 45, '' i5 t 5,9cos 8t 55, '' 6 i t, 7cos 8 7, 78 t - - Τελικώς, τα πραγματικά ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος του Σχήματος 4.6(β) στο πεδίο του χρόνου, που οφείλονται στη συμβολή και των δύο πηγών v S και v S, προκύπτει από την άθροιση (υπέρθεση) των ρευμάτων των δύο πηγών στο πεδίο του χρόνου και είναι: t A t A t A A t A t A 4, 697, 4cos 8, i t I i t i t I i t i t I i t i t I i t t i t I i t i t I i t,56,7cos 8 7, 78 ' '' ' '' 4, 69,9cos 8 8, 44 ' '' 7,89cos 8 9, 46 ' '' 4 4 4, 5, cos 8 45, ' '' 5 5 5,56 5,9cos 8 55, ' '' 6 6 6 (β) Ακολουθείται η ίδια πορεία επίλυσης του κυκλώματος, όπως και στην περίπτωση (α). Η διαφορά εδώ είναι ότι το κύκλωμα διεγείρεται από δύο πηγές τάσης με την ίδια συχνότητα λειτουργίας. Διέγερση του κυκλώματος μόνο από την πηγή v S Το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας, όταν διεγείρεται μόνο από την πηγή v S φαίνεται στο Σχήμα 4.6(ε). Για την επίλυση του κυκλώματος εφαρμόζεται και εδώ η μέθοδος των απλών βρόχων. Είναι: R R Z R R Z j V S R R R Z R Z j 4 j R Z R Z R R R Z Z ZC j6 4 8 j6 j V S 4 j6 8 j6 j 8 6 8 6 9,5 j j j j j j6 4 8 j6 V S j 4 j6 8 j6 8 6 8 6 9,5 j j j j
- - j, 9 j, 98, 67 j, 4, 649 j, 8 V S j, 67 j,4, 9 j, 98, 649 j, 8, 649, 8, 649,8, 649, 8 j j j j j 4, 6495 j, 497 j, 87, 78 j j, 4 j,545 και τα ρεύματα στους κλάδους που οφείλονται στη διέγερση της πηγής v S ' I 4, 6495 j, 497 ', 46, I j ' I, 4 j,545 ' I,565,565 4 j ' I,56 j, 4687 5 ' I, 87, 78 6 j Επαναλαμβάνεται, τώρα, η ίδια διαδικασία υπολογισμού των ρευμάτων στους κλάδους του κυκλώματος του Σχήματος 4.6(στ) στο πεδίο της συχνότητας, θεωρώντας ότι υπάρχει στο κύκλωμα μόνο η πηγή v S. Είναι: R R Z R R Z j R R R Z R Z j VS 4 j R Z R Z R R R Z Z ZC j6 4 8 j6 j 4 j6 8 j6 j VS 8 6 8 6 9,5 j j j j j j6 4 8 j6 4 6 8 6 j j j VS 8 6 8 6 9, 5 j j j j j, 9 j, 98, 67 j, 4, 649 j, 8, 67, 4, 9, 98, 649, 8 j j j j, 649,8,649, 8, 649, 8 j j j j j 7,488 j,7 j,588, 5777 j j 7,788 j, 97 και τα ρεύματα στους κλάδους που οφείλονται στη διέγερση της πηγής v S
'' I j 7, 488 j,7 '',75,5 j I j j '' I 7,788, 97 j j '' I, 75, 75 4 j j '' j I, 75 4,875 5 j j j '' I,588,5777 6 j j - - Τα πραγματικά ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος του Σχήματος 4.6(β) στο πεδίο της συχνότητας, που οφείλονται στη συμβολή και των δύο πηγών τάσης είναι: ' '' I I I, 759 j,66 A, 48,9 ' '' I,78,96 I I j A,99 6,96 ' '' I 4, 546, 7568 I I j A 4, 6 7,54 ' '' I,875,875 4 I4 I4 j A, 5 ' '' I,5 4, 46 5 I5 I j 5 A 5,658,7 ' '' I 6 I6 I6 8, 78 j, 6495 A 8,86 55,67 και στο πεδίο του χρόνου:, cos 8t 48,9 i t i ti t i t i t i t i t i ti t i t i t i t t i t i ti t i t i t i t 8,86cos 8t 55, 67 ' '' ' '',99cos 8t 6,96 ' '' 4, 6cos 8t 7, 54 ' '' 4 4 4,cos 8 5, ' '' 5 5 5 5,65cos 8t 8,7 ' '' 6 6 6 (4..) Το θεώρημα Thevenin Το θεώρημα Thevenin, όπως και το θεώρημα Norton που θα εξεταστεί στην επόμενη παράγραφο, έχουν ευρεία εφαρμογή στην ανάλυση πολύπλοκων ηλεκτρικών κυκλωμάτων, όταν ενδιαφέρει η εύρεση του ρεύματος σε έναν από τους κλάδους του κυκλώματος. Σύμφωνα με το θεώρημα Thevenin, κάθε γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα, το οποίο εξετάζεται από δύο ανοικτούς ακροδέκτες, μπορεί να αντικατασταθεί από μια ανεξάρτητη πηγή τάσης V σε σειρά με μια σύνθετη αντίσταση Z.Εάν πρόκειται για κύκλωμα ΕΡ, τότε αυτό πρέπει να μετασχηματιστεί προηγουμένως στο πεδίο της συχνότητας. Προϋπόθεση για την εφαρμογή του θεωρήματος Thevenin σε γραμμικά κυκλώματα ΕΡ είναι οι πηγές του κυκλώματος να είναι της ίδιας συχνότητας. Σε περίπτωση που οι πηγές του κυκλώματος ΕΡ έχουν διαφορετική συχνότητα, τότε υπολογίζεται το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin για κάθε συχνότητα ξεχωριστά και το θεωρούμενο κύκλωμα αντιμετωπίζεται όπως στην περίπτωση εφαρμογής της αρχής της επαλληλίας.