Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί
Προβολικοί Μετασχηματισμοί Γενικός Ορισμός Μετασχηματισμός των σημείων ενός σημειακού χώρου διάστασης n σε σημεία σημειακού χώρου διάστασης m, με m<n. Στη Γραφική υπολογιστών Μετασχηματισμός των σημείων του τρισδιάστατου χώρου σε σημεία επί της 2Δ οθόνης.
Προβολικοί Μετασχηματισμοί Η προβολικοί μετασχηματισμοί ορίζονται μέσω των καμπυλών προβολής (rojectors). Οι καμπύλες προβολής εκκινούν από το κέντρο της προβολής, διέρχονται από κάθε σημείο του 3Δ αντικειμένου και τέμνονται με μία επιφάνεια προβολής σχηματίζοντας έτσι την 2Δ προβολή του αντικειμένου.
Προβολικοί Μετασχηματισμοί Στη γραφική υπολογιστών ασχολούμαστε με επίπεδους η επιφάνεια προβολής είναι επίπεδο γεωμετρικούς προβολικούς μετασχηματισμούς οι καμπύλες προβολής είναι ευθείες Μη γεωμετρικοί και μη επίπεδοι προβολικοί μετασχηματισμοί Μη γεωμετρικοί και μη επίπεδοι προβολικοί μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται κατά κόρον στην χαρτογραφία.
Προβολές Θα αναφερόμαστε στους επίπεδους γεωμετρικούς προβολικούς μετασχηματισμούς με τον όρο: προβολές. Δύο βασικές κατηγορίες : Προοπτική προβολή. Παράλληλη προβολή. A A Παράλληλη A A Κέντρο Προβολής B B B B Προοπτική Κέντρο Προβολής στο άπειρο
Ταξινόμηση των προβολών Προβολές Παράλληλη Προοπτική Ορθογραφική Πλάγια 1 σημείο φυγής Αξονομετρική Cabinet Cavalier 2 σημεία φυγής Ισομετρική 3 σημεία φυγής Όψεις
Ταξινόμηση των προβολών Προβολές Παράλληλη Προοπτική Ορθογραφική Πλάγια 1 σημείο φυγής Αξονομετρική Cabinet Cavalier 2 σημεία φυγής Ισομετρική 3 σημεία φυγής Όψεις
Παράλληλη προβολή Κέντρο της προβολής βρίσκεται στο άπειρο Η προβολή καθορίζεται πλήρως από την κατεύθυνση της προβολής (Direction Of Projection (DOP) ) η οποία είναι ίδια για όλα τα σημεία
Ταξινόμηση των προβολών Προβολές Παράλληλη Προοπτική Ορθογραφική Πλάγια 1 σημείο φυγής Αξονομετρική Cabinet Cavalier 2 σημεία φυγής Ισομετρική 3 σημεία φυγής Όψεις
Ορθογραφική προβολή Η κατεύθυνση προβολής είναι κάθετη στο επίπεδο προβολής Χρησιμοποιείται σε αρχιτεκτονικό και μηχανολογικό σχέδιο Ακρίβεια στις μετρήσεις Δεν παρέχει ρεαλιστική τρισδιάστατη άποψη Χρειάζονται πολλές απόψεις για να κατανοηθεί το τρισδιάστατο του αντικειμένου
Ορθογραφική προβολή Συνηθέστερες ορθογραφικές προβολές : Πρόσοψη, Πλάγια όψη, Κάτοψη. Διεύθυνση προβολής παράλληλη με κύριο άξονα. Επίπεδο προβολής κάθετο με τον ίδιο κύριο άξονα.
Αξονομετρική προβολή Το επίπεδο προβολής δεν είναι κάθετο σε κύριο άξονα Φαίνονται αρκετές όψεις του αντικειμένου σε μία προβολή Αποστάσεις μπορούν να μετρηθούν κατά μήκος των κύριων αξόνων (υπό κλίμακα) Παραλληλία ευθειών διατηρείται Μείωση των μηκών είναι ομοιόμορφη και ανεξάρτητη της απόστασης. Δίνει την αίσθηση του τρισδιάστατου, ωστόσο η έλλειψη προοπτικής δίνει μια περίεργη αίσθηση. Γωνίες δεν διατηρούνται
Ισομετρική προβολή Συνηθέστερη αξονομετρική προβολή Το κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο προβολής σχηματίζει την ίδια γωνία με κάθε άξονα δηλ. το κάθετο διάνυσμα έχει τη μορφή (d x,d y,d z ) Τ, με d x = d y = d z Μόνο 8 κατευθύνσεις που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη
Ισομετρική προβολή y y Normal 120º 120º Projection Plane z x z 120º Οι γωνίες μεταξύ των αξόνων είναι όλες 120 ο Όλοι οι άξονες έχουν την ίδια κλίμακα. x
Ταξινόμηση των προβολών Προβολές Παράλληλη Προοπτική Ορθογραφική Πλάγια 1 σημείο φυγής Αξονομετρική Cabinet Cavalier 2 σημεία φυγής Ισομετρική 3 σημεία φυγής Όψεις
Πλάγια προβολή Η κατεύθυνση προβολής δεν συμπίπτει με το κάθετο διάνυσμα του επιπέδου προβολής Συνήθως το επίπεδο εδο προβολής είναι κάθετο σε κάποιο οο κύριο άξονα Προβάλει με ακρίβεια την πλευρά του αντικειμένου η οποία είναι παράλληλη με το επίπεδο προβολής επιτρέποντας μετρήσεις μηκών και γωνιών Στις άλλες πλευρές μπορεί να γίνει μέτρηση μηκών αλλά όχι γωνιών. Συνηθέστερη η χρήση τους σε απεικονίσεις σε βιβλία: σχεδιάζεται εύκολα!
Πλάγια προβολή Normal Parallel to x axis y Projection Plane z x
Πλάγια προβολή Διεύθυνση προβολής μη κάθετη στο επίπεδο προβολής Cavalier: Γωνία μεταξύ γραμμών προβολής και επιπέδου 45 ο. Κλίμακα σε κανονικό μέγεθος. 1 1 1 Cavalier (DOP at 45 ο ) Cabinet: Γωνία μεταξύ γραμμών προβολής και επιπέδου arctan(2) = 63.4º. Κλίμακα κάθετων στο επίπεδο προβολής πλευρών 50% 1 0.5 Cabinet (DOP at 63.4 ο )
Αναπαράσταση πλάγιας προβολής x = x + L cos φ, y = y + L sin z z tan α =, L = L tan α φ x = x + z(cos φ / tan α ) y = y + z (sin φ / tan α )
Αναπαράσταση πλάγιας προβολής x 1 0 cos φ/tanα 0 x y 0 1 sin φ/tanα 0 y z = 0 0 0 0 z w 0 0 0 1 1
Ταξινόμηση των προβολών Προβολές Παράλληλη Προοπτική Ορθογραφική Πλάγια 1 σημείο φυγής Αξονομετρική Cabinet Cavalier 2 σημεία φυγής Ισομετρική 3 σημεία φυγής Όψεις
Προοπτική Προβολή Αντιστοιχεί 3Δ σημεία σε σημεία επί του επιπέδου προβολής μέσω των ευθειών προβολής (rojectors).
Προοπτική προβολή Οπτικό εφέ που επιτυγχάνεται αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως προοπτική σμίκρυνση (ersective foreshortening) Το μέγεθος της προβολής ενός αντικειμένου μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα με την απόσταση του από το κέντρο προβολής Ανάλογο με το ανθρώπινο μάτι / φωτογραφική μηχανή- Φαίνεται ρεαλιστικό! Όχι τόσο χρήσιμη για μετρήσεις Παράλληλες ευθείες δεν διατηρούν την παραλληλία τους. Γωνίες διατηρούνται μόνο σε πλευρές που είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής Μήκη δεν διατηρούνται
Προοπτική προβολή The first ever ainting (The Holy Trinity it with the Virgin, St. John and Two Donors. 1426-28 28. Fresco. Santa Maria Novella, Florence, Italy) done in ersective by Masaccio, in 1427.
Προοπτική προβολή Ευθείες οι οποίες είναι μεταξύ τους παράλληλες λ (με κατεύθυνση x,y,z Τ ) ενώ δεν είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής προβάλλονται σε ευθείες οι οποίες συγκλίνουν σε σημείο,, το λεγόμενο σημείο φυγής (για την κατεύθυνση x,y,z Τ ) - Το σημείο φυγής για την κατεύθυνση x,y,z Τ μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή του επ άπειρον σημείου αυτής της κατεύθυνσης- σε ομογενείς συντεταγμένες x,y,z,0 Τ
Προοπτική προβολή Ευθείες παράλληλες με κύριο άξονα συγκλίνουν σε κύριο σημείο φυγής Η προοπτική προβολή διακρίνεται ανάλογα με τον αριθμό των κύριων σημείων φυγής Αντιστοιχεί στο αριθμό των τομών του επιπέδου προβολής με τους κύριους άξονες y y x x z z z x Projection lane
Προοπτική προβολή Πόσα κύρια σημεία φυγής? α) 3 κύρια σημεία β) 2 κύρια σημεία γ) 1 κύριο σημείο φυγής φυγής φυγής
Ένα κύριο σημείο φυγής Το επίπεδο προβολής τέμνει μόνο έναν κύριο άξονα και είναι παράλληλο με τους άλλους δύο
Δύο κύρια σημεία φυγής y z x Projection lane Το επίπεδο προβολής τέμνει 2 κύριους άξονες και είναι παράλληλο στον τρίτο
Τρία κύρια σημεία φυγής Το επίπεδο προβολής τέμνει και τους τρείς κύριους άξονες z y x Projection lane
Προοπτική Προβολή απλούστερη περίπτωση Κέντρο προβολής στο σημείο αναφοράς, Επίπεδο προβολής z=d. y Επίπεδο Προβολής P(x,y,z) x P (x,y,d) d z
Προοπτική Προβολή απλούστερη περίπτωση y P(x,y,z) x P ( (x,y,d) x d z d x P(x,y,z) z z d y Από ομοιότητα τριγώνων x y x = d z d x d x x ; d = = y y y = = z zd z zd 1 1 y = y z P(x,y,z)
Αναπαράσταση προοπτικής προβολής Γραμμική αναπαράσταση με χρήση ομογενών συντεταγμένων? x = 1 x ' = x x zd 1 y ' = y y = y zd z ' = z 1 z = z zd w = zd w = 1 x???? x y???? y z =???? z w 1???? 1
Αναπαράσταση προοπτικής προβολής Γραμμική αναπαράσταση με χρήση ομογενών συντεταγμένων? x = 1 x ' = x x zd 1 y ' = y y = y zd z ' = z 1 z = z zd w = zd w = 1 x 1 0 0 0 x y 0 1 0 0 y z = 0 0 1 0 z w 0 0 1 d 0 1 1
Σύγκριση παράλληλης προοπτικής προβολής Προοπτική Προβολή Το μέγεθος του προβαλλομένου αντικειμένου είναι αντιστρόφως ανάλογο με την απόσταση του αντικειμένου από το επίπεδο προβολής (προοπτική σμίκρυνση) - φαίνεται ρεαλιστικό Μήκη και γωνίες (εν γένει) δεν διατηρούνται Παράλληλες ευθείες (εν γένει) δεν παραμένουν παράλληλες Παράλληλη Προβολή Καλή για μετρήσεις ακριβείας Παράλληλες ευθείες διατηρούν την παραλληλία τους Γωνίες (εν γένει) δεν διατηρούνται Μη ρεαλιστική αναπαράσταση των αντικειμένων