Δ. ΔΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ, ΤΕΠΑΚ, ΠΟ 338 Γεωδαισία IV άθημα Εαρινού 6ου Εξαμήνου, Ακαδ. Έτος 011-1 ΤΕΠΑΚ, Τμ. Ποιτικών ηχ./τοπογράων ηχ. Και ηχ. Γεωπηροορικής Διδάσκων μαθήματος: Δημήτρης Δεηκαράογου Επισκ. Καθ., Αναπ. Καθ., ΣΑΤ, ΕΠ ddeli@mail.ntua.gr Περιεχόμενα σημερινού/αυριανού μαθήματος Σύνδεση με το προηγούμενο μάθημα και γεωμετρικά στοιχεία του εειψοειδούς εκ περιστροής Αζιμούθιο και μήκη τόξων στο εειψοειδές Γραμμές και σχήματα στο εειψοειδές Γεωδαισιακές γραμμές Γεωδαισιακά τρίγωνα, τετράπευρα, Εμβαδά Βασικές έννοιες για τα προβήματα γεωδαιτικής μεταοράς συντεταγμένων από σημείο σε σημείο Δ. ΔΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ, ΤΕΠΑΚ, ΠΟ 338 Γεωδαιτικές συντεταγμένες,, σχετίζονται με ένα πεπατυσμένο εειψοειδές εκ περιστροής Παράμετροι σχήματος εειψοειδούς: a, b ή a, e a, b = ημιάξονες της γενεσιουργού έειψης (περιστροή γύρω από τον άξονα b), a b e = εκκεντρότητα e = a ν = ακτίνα καμπυότητας της κάθετης στομεσημβρινόεπίπεδοτομήςστοp 0 (κάθετη προβοή του P στο εειψοειδές) ρ = ακτίνα καμπυότητας της μεσημβρινής έειψης ν = a 1 e sin a(1 e ) ρ = (1 e sin ) 3/ καμπύη 3 x 1 b O P 0 Γεωδαιτικές συντεταγμένες e r e r 3 P a καμπύη e r καμπύη x ΕκΠ = Εειψοειδές Αναοράς (Εειψοειδές εκ περιστροής) Συντεταγμένες στο εειψοειδές αναοράς = γεωδαιτικό πάτος σαιρικό (γεωγραικό) πάτος = γεωδαιτικό μήκος = σαιρικό (γεωγραικό) μήκος = γεωμετρικό ύψος (κατά μήκος της καθέτου στο ΕκΠ QP o = ν QP = ν + ΟΤ=QP cos=(v+) cos x=ot cos=(v+) cos cos y=ot sin=(v+) cos sin QV = e ν VP = QP o QV + P o P= = ν -e ν + = ν(1- e ) + z=vp sin=[v(1-e )+] sin Γεωδαιτικές συντεταγμένες εσημβρινή έειψη a b e v z R P 0 O V Q v P T QV = e ν VP = QP o QV + P o P= = ν -e ν + = ν(1- e ) + z=vp sin=[v(1-e )+] sin Γεωδαιτικές συντεταγμένες γεωδαιτικό datum = σύστημα αναοράς + QP o = ν παράμέτροι εειψοειδούς a και b (έννοια QP = ν + ευρύτερη από το το σύστημα αναοράς) ΟΤ=QP cos=(v+) cos z P x=ot cos=(v+) cos cos P 0 y=ot sin=(v+) cos sin b x O ρ y
Σχέση καρτεσιανών και γεωδαιτικών συντεταγμένων Γεωδαιτικό αζιμούθιο ( ν + )cos cos ν cos cos cos cos x = = + ( ν + )cos sin ν cos sin cos sin = x0 + m e + [ ν (1 ) ]sin ν (1 e )sin sin x 0 = καρτεσιανές συντεταγμένες της προβοής P 0 του σημείου P πάνω στο εειψοειδές αναοράς m = μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο εειψοειδές αναοράς στο σημείο P 0 x = x0 + m Ημετατροπή (x,y,z) (,,) απαιτεί επίυση για, με διαδοχικές προσεγγίσεις x 0 P 0 m P Αζιμούθιο: είναι μία από τιςγωνίεςπου χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε τη θέση ενός αντικειμένου στον τρισδιάστατο χώρο: π.χ., στην επιάνεια της Γης ή στον ουρανό Χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό μιας θέσης στην αστρονομία, στην ποήγηση, στη γεωδαισία και σε άες εαρμογές Αστρονομικό αζιμούθιο Στην αστρονομία: η δίεδρηγωνίαπουσχηματίζεταιανάμεσα στο κάθετο επίπεδο και στο μεσημβρινό ενός τόπου Το αζιμούθιο (Αz) μαζί με τη ζενιθία απόσταση (ζ) ενός αστεριού αποτεούν τις οριζόντιες συντεταγμένες του Στη γεωδαισία: η δίεδρη γωνία που σχηματίζεται από το μεσημβρινό ενός τόπου και από το κατακόρυο επίπεδο που περνά από το σημείο αυτό sin tan A = cos1 tan sin1 cos A Αζιμούθιο στην ποήγηση π.χ. στην σαίρα: από το σημείο ( 1,=0) στο σημείο (,) Στην ποήγηση: το τόξο του ορίζοντα που μετριέται δεξιόστροά από 0 ο -360 ο και χρησιμεύει για τον αστρονομικό προσδιορισμό του στίγματος ενός κινούμενου αντικειμένου, οχήματος, σκάους, Γεωδαιτικό αζιμούθιο Στο εειψοειδές: η δίεδρη γωνία που σχηματίζεται από το μεσημβρινό ενός σημείου στο εειψοειδές, και από το κατακόρυο επίπεδο πουπερνάαπότοσημείο αυτό και ένα άο σημείο ενδιαέροντος (την προβοή της πευράς ΡΤ στην επιάνεια του εειψοειδούς) ετριέται δεξιόστροα από το γεωδαιτικό Βορρά, από 0 ο -360 ο ή 0 g -400 g ttp://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/inv_fwd/inverse.prl ηχανή υποογισμού αζιμουθίου (NGS, US National Geodetic Survey)
Άες ακτίνες καμπυότητας στο εειψοειδές Ακτίνα καμπυότητας κάθετης τομής σε αζιμούθιο Α? ρ καμπυότητα στοιχείου της μεσημβρινής τομής αζιμούθιου Α Εκτός από τη μεσημβρινή και την κύρια κάθετη τομή σε ένα σημείο στο εειψοειδές Οποιαδήποτε άη κάθετη τομή στο εειψοειδές, ονομάζεται κάθετη τομή σε τυχαίο αζιμούθιο Α πάνω στο εειψοειδές με ακτίνα καμπυότητας R Α 0 ρν R A = ν cos A + ρ sin A Τομή σε αζιμούθιο Α Κύρια κάθετη τομή εσημβρινή τομή καμπυότητα Gauss και η μέση καμπυότητα Θεώρημα Meusnier T είναι κανονικό σημείο (regular point) στην επιάνεια Φ εάν υπάρχει ένα μοναδικό εαπτόμενο επίπεδο t στο σημείο T S S είναι μη-κανονικό σημείο (singular point) στην επιάνεια Φ εάνυπάρχουνδύοήπερισσότερα εαπτόμενα επίπεδα ή κώνοι στο σημείο S H καμπυότητα Gauss και η μέση καμπυότητα δεν ορίζονται σε μη-κανονικά σημεία. S Κάθε επίπεδο που δεν περιέχει την κάθετο στο εειψοειδές είναι ένα πάγιο επίπεδο. Κάθε παράηος κύκος στο εειψοειδές είναι ειδική περίπτωση μιας τέτοιας τομής με ένα πάγιο επίπεδο Η ακτίνα καμπυότητας μιας πάγιας τομής του εειψοειδούς σε τυχόν σημείο προσδιορίζεται με βάση το περιώνυμο θεώρημα του (Jean Baptiste) Meusnier Θεώρημα Meusnier Σχετίζει την ακτίνα καμπυότητα r t μιας καμπύης K στο σημείο Τ μιας επιάνειας με την ακτίνα καμπυότητας R t της κύριας καθέτου τομής, όταν οι δύο καμπύες έχουν κοινή εαπτομένη t στο Τ. r= ν sinθ Στην περίπτωση του εειψοειδούς, η εν όγω καμπύη είναι ο παράηος κύκος σε γεωδαιτικό πάτος με ακτίνα r= ν cos Άες καμπυότητες στο εειψοειδές ε.π. ρ G : ακτίνα Gauss, η ακτίνα καμπυότητας της εγγύτατης σαίρας στο εειψοειδές στο σημείο Ρ 1 κ 1κ = ρg = ρν ρν κ m : μέση καμπυότητα, ο μέσος όρος των καμπυοτήτων της μ.τ. και της κ.κ.τ. στο εειψοειδές στο σημείο Ρ ρ m ρν ρm = ( ρ + v)
Άες καμπυότητες στο εειψοειδές ε.π. R G : η μέση τιμή των ακτίνων καμπυότητας R A, όταν αυτές υποογίζονται για όα τα αζιμούθια Α στο σημείο Ρ R G = (ρ ν) Επιάνεια και όγκος του εειψοειδούς R G = α ν = ( 1 e sin ) 1/ ν R G ρ Βέτιστη σαίρα για ένα εειψοειδές ε.π. Ο υποογισμός μιας βέτιστης σαίρας για όο το εειψοειδές θα πρέπει να γίνει με βάση κάποια κριτήρια Ανάογα, θα έχουμε, διάορες ακτίνες της γήινης σαίρας Σαίρα με ακτίνα τη μέση τιμή των (a,a,b) Σαίρα με επιάνεια ίση με την επιάνεια του εειψοειδούς Σαίρα με όγκο ίσο με τον όγκο του εειψοειδούς Σαίρα της οποίας το ¼ της περιέρειας είναι ίσο με το μήκος του τεταρτημόριου της γενεσιουργού έειψης ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. Ένα από τα σημαντικότερα προβήματα στο εειψοειδές: Ο υποογισμός του μήκους δs τόξου μεσημβρινού (μεσημβρινής έειψης), με χαρακτηριστική εαρμογή τον υποογισμό προβοικών συντεταγμένων συναρτήσει των εειψοειδών. δs Εάν το στοιχειώδες τόξο δs είναι μικρού μήκους (< 10km): μπορεί να θεωρηθεί ως τόξο κύκου με ακτίνα ρ m = ρ m ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. Στηγενικήπερίπτωση (> 10km): Β Β Β Α dm = Α = = ρ ρ = Β Α d 0 d 0 Α ήκη των μεσημβρινών τόξων από τον ισημερινό στα σημεία Α, Β Τα μήκη τόξων μεσημβρινού πάτους 1 ο αυξάνουν από τον ισημερινό προς τους πόους ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. Β Α = Β Α Το εειπτικό επικαμπύιο οοκήρωμα, συνήθως αναπτύσσεται σε σειρά ~0.03 mm
ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. Β Α = Β Α ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. Β Α = Β Α M ή περιαμβάνοντας και τους όρους τάξης e 10 ήκρατώντας μόνο τους όρους μέχρι τάξης e 6 ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. Β Α = Β Α Β Α = Β Α ηδιαδικασία Helmert χρησιμοποιεί ακόμα ιγότερους όρους ηδιαδικασία Helmert σε εναακτική μορή από τους Jordan, Eggert και Kneissl (1958) ήκη μεσημβρινών τόξων στο ε.ε.π. Υποογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων Β Α = Β Α ηδιαδικασία Helmert σε εναακτική μορή από τον Rapp (198) Ενδιαέρον παρουσιάζει και το αντίστροο πρόβημα, δηαδή όταν δίνεται το μήκος τόξου μεσημβρινού με αετηρία έναν γνωστό παράηο ( 1 = γνωστό) και ζητείται το πάτος στο οποίο αντιστοιχεί το γνωστό μήκος τόξου M. M 1 Η διαδικασία χρειάζεται για τον υποογισμό από συντεταγμένες (Ε, Ν) της ερκατορικής προβοής σε συντεταγμένες (, )
Υποογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων ια συνήθης διαδικασία χρησιμοποιεί σχέσεις που δεν απαιτούν επαναήψεις και που μπορούν να προκύψουν από τη γνωστή στα μαθηματικά μεθοδοογία της αντιστροής μια σειράς =90 ο ήκος ενός τετάρτου του μεσημβρινού Υποογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων Για τον υποογισμό της τιμής του που αντιστοιχεί σε μια τιμή του σ, η προηγούμενη αριθμοσειρά πρέπει να αναστραεί Το μέσο μήκος τόξου μεσημβρινού γεωδαιτικού πάτους 1 rad Η βοηθητική ποσότητα σ = G σε rad Υποογισμοί: από μήκη μεσημβρινών τόξων ήκη τόξων παραήων στο ε.ε.π. Αιώς, εναακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνήθης επαναηπτική διαδικασία Newton-Rampson Απούστερη διαδικασία r= ν cos L = r Δ, Δ = - 1 Ακτίνα Δ παράηου κύκου L n, n+1 διαδοχικές επαναηπτικές τιμές Τιμή εκκίνησης: 1 = M/a f( 1 ), f'( 1 ),, f( 1 ), f'( 1 ) 3 1,,3, αριθμός επανάηψης ετά από κάθε επανάηψη εέγχεται η διαορά στο (κατά απόυτη τιμή) μεταξύ της τρέχουσας και της προηγούμενης επανάηψης, η οποία αν ικανοποιεί το όριο σύγκισης που έχουμε θέσει, π.χ. να είναι μικρότερη από 0.00005, τότε έχει επιτευχθεί η σύγκιση και η ζητούμενη ύση. Για τον εηνικό χώρο τρεις επαναήψεις είναι συνήθως αρκετές. Παράδειγμα: εταβοή μήκους τόξων μεσημβρινού στα σημεία ±0.5 ο και παραήου μήκους 1 ο 0 15 30 45 60 75 90 Δ 1 110.574 km 110.649 km 110.85 km 111.13 km 111.41 km 111.618 km 111.694 km Δ 1 111.30 km 107.551 km 96.486 km 78.847 km 55.800 km 8.90 km 0.000 km Εμβαδόν τραπεζίου στο εειψοειδές Το εμβαδόν ενός στοιχειώδους τραπεζίου από τα τόξα δύο παραήων & δύο μεσημβρινών μπορεί να υποογιστεί ως επίπεδη παραηόγραμμη επιάνεια ds = Ε 1/ + δ + Εμβαδόν τραπεζίου στο εειψοειδές Το εμβαδόν ενός στοιχειώδους τραπεζίου απότατόξαδύο παραήων & δύο μεσημβρινών μπορεί να υποογιστεί ως επίπεδη παραηόγραμμη επιάνεια ds = G 1/ δ
Εμβαδόν τραπεζίου στο εειψοειδές Το εμβαδόν da ενός στοιχειώδους τραπεζίου από τα τμήματα τόξων δύο παραήων & δύο μεσημβρινών μπορεί να υποογιστεί ως επίπεδη παραηόγραμμη επιάνεια ds = Ε 1/ + δ + και το εμβαδόν ζώνης του εειψοειδούς μεταξύ δύο παραήων πάτους d + da = π ρν cos d = πb cos d (1 e sin ) ds = Ε 1/ + δ + ds = G 1/ δ ρ ν ds = G 1/ δ ρ ν και το εμβαδόν ζώνης του εειψοειδούς μεταξύ δύο παραήων πάτους d + da = π ρν cos d = πb cos d (1 e sin ) και το εμβαδόν ζώνης του εειψοειδούς μεταξύ δύο παραήων πάτους d και τέος, το εμβαδόν τραπεζίου μεταξύ δύο παραήων κατά d και δύο μεσημβρινών κατά d Α ζώνης (d) d / π και αναπτύσσοντας τους όρους των δυνάμεων του sin σε αριθμοσειρές. Εργαεία υποογισμού στο Διαδίκτυο ttp://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.tml Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points (ισχύει για υποογισμούς στη σαίρα, δη. μικρές αποστάσεις μεταξύ σημείων) ttp://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong-vincenty-direct.tml ttp://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong-vincenty.tml Vincenty's Direct formula and Inverse formula Για το ευθύ και το αντίστροο πρόβημα γεωδαιτικής μεταοράς ttp://geograpiclib.sourceforge.net/cgi-bin/geod Online geodesic calculations using te Geod utility. Χρησιμοποιεί μόνο το εειψοειδές WGS84, και για σημεία με μεταξύ τους απόσταση μέχρι 15 ναυτικά μίια (περίπου 4 km) ttp://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/inv_fwd/forward.prl ttp://www.ngs.noaa.gov/cgi-bin/inv_fwd/inverse.prl Το ευθύ και το αντίστροο πρόβημα γεωδαιτικής μεταοράς Γραμμές και σχήματα στο εειψοειδές Αναγκαιότητα Οι μετρήσεις μας (μήκη, γωνίες) γίνονται πάνω στη γήινη επιάνεια προκειμένου να ορισθούν γεωμετρικά σχήματα ενδιαέροντος (τρίγωνα, τετράπευρα, πούπευρα, οδεύσεις, ) Πρέπει να αναχθούν κατάηα στο εειψοειδές προκειμένου να γίνονται σε αυτό οι αναγκαίοι γεωδαιτικοί υποογισμοί. Συνεπώς απαιτείται να προσδιορίζονται οι εειψοειδείς γραμμές που θα σχηματίζουν τα αντίστοιχα σχήματα στην επιάνεια του εειψοειδούς
Γραμμές και σχήματα στο εειψοειδές Γεωδαισιακά ενδιαέρουσες γραμμές εταξύ δύο σημείων στο εειψοειδές διέρχονται άπειρες εειψοειδείς γραμμές Απαραίτητο να επιεχθούν εκείνες που είτε γιατί υοποιούνται έπειτα από αναγωγές των μετρήσεων που γίνονται στη γήινη επιάνεια Είτε γιατί έχουν χαρακτηριστικές και γεωδαιτικά χρήσιμες μαθηματικές ιδιότητες Κάθετη τομή στο εειψοειδές Γεωδαισιακή γραμμή Κάθετες τομές στο εειψοειδές και γεωδαισιακές γραμμές Τομές του εειψοειδούς από τα επίπεδα Ρ 1 Ρ 1 και το Ρ & Ρ Ρ και το Ρ 1 Η γεωδαισιακή γραμμή περιείσσεται συνεχώς στο εειψοειδές χωρίς να εάπτεται ποτέ στο ίδιο σημείο π.χ. οι γεωδαιτικοί θόοι Οι γεωδαισιακές γραμμές διασταυρώνονται για να σχηματίσουν τριγωνικά στοιχεία που έχουν τοπική ακαμψία διανομή των τάσεων σε όη τη δομή του κεύους. Δίκτυο γεωδαισιακών γραμμών σε γεωδαιτικό σαιρικό θόο Spacesip Eart: Walt Disney World Κάθετες τομές στο εειψοειδές ε.π. Ρ 1, Ρ στη γήινη επιάνεια Ρ 1 ', Ρ ' τα ίχνη τους στο ε.ε.π. Εάν 1 και 1 οι κάθετες Ρ 1 Ρ 1 ' και Ρ Ρ ' είναι ασύμβατες μεταξύ τους (δη. μη παράηες) Ρ 1 Ρ 1 ' και Ρ ' ορίζουν την 1η κάθετη τομή Ρ 1 'Ρ ' (τμήμα έειψης) Ρ Ρ ' και Ρ 1 ' ορίζουν την η κάθετη τομή Ρ 'Ρ 1 ' Αποδεικνύεται, με ικανοποιητική ακρίβεια, ότι το μήκος των δύο καθέτων τομών είναι ίδιο, και θ 1 =θ Κάθετες τομές στο εειψοειδές ε.π. Κάθετες τομές στο εειψοειδές ε.π. Γεωδαισιακή γραμμή S 1 : συνδέει αμιμονοσήμαντα τα Ρ 1, Ρ Γραμμή μικρότερου μήκους Παράδειγμα: έξι κάθετες τομές μεταξύ τριών σημείων Α, Β και Γ, ανά δύο αντίστροες ανά δύο σημεία, το ζητούμενο είναι να οδηγηθούμε σε μία και μόνο γραμμή ώστε τα να υπάρχει αμιμονοσήμαντη αντιστοιχία.
Οι γεωδαισιακές γραμμές είναι αέναες Σχέση του Clairaut Α max =90 o r min, max Α min = 70o r min, =- max =0 ο r min =a Οι γεωδαισιακές γραμμές ορίζονται είτε από το max, είτε από το Α ισημ Υοποίηση γεωδαισιακών γραμμών Θεοδόιχο πάνω στο εειψοειδές, κατακορυωμένο κατά την κάθετο στο εειψοειδές Αναστροή / περιστροή του τηεσκοπίου και σκοπεύοντας στο προηγούμενο σημείο Ορίζεται εγγύτατο επίπεδο που περιέχει την κάθετο στην επιάνεια (καθετότητα του πρωτεύοντος άξονα του οργάνου) Χάραξη μιας γεωδαισιακής γραμμής στο εειψοειδές Για τις εεύθερες ώρες σας δύο εξαιρετικά βιβία Βασιζόμενος στα κείμενα των Γάων χαρτογράων και ακοουθώντας τα ίχνη της Ισαμπέ Γκοντέν, ο Ρόμπερτ Γουίτακερ υαίνει μια συναρπαστική ιστορία γεμάτη περιπέτειες, μηχανορραίες και επιστημονικά επιτεύγματα με όντο τη «σπουδαιότερη επιστημονική αποστοή στον κόσμο τη μέτρηση του τόξου μεσημβρινού στο Περού και τον Ισημερινό». Αναερόμενο στις προσπάθειες των Γάων αστρονόμων Jean-Baptiste- Josep Delambre και Pierre-François- André Mécain να μετρήσουν το τόξο του μεσημβρινού από Δουνκέρκη στο Παρίσι και τη Βαρκεώνη