3. ΘΡΟΙΣΜ ΩΝΙΩΝ ΤΡΙΩΝΟΥ ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙ. Άθρισµα γωνιών τριγώνυ Σε πιδήπτε τρίγων τ άθρισµα των γωνιών τυ είναι ίσ µε 80. Ιδιότητες ισσκελύς τριγώνυ Η ευθεία της διαµέσυ πυ αντιστιχεί στη βάση είναι άξνας συµµετρίας τυ ισσκελύς τριγώνυ. Η διάµεσς πυ αντιστιχεί στη βάση είναι ύψς και διχτόµς. Οι πρσκείµενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. 3. Ιδιότητες ισπλεύρυ τριγώνυ Η ευθείες των διαµέσων τυ είναι άξνες συµµετρίας τυ ισπλεύρυ τριγώνυ. Κάθε διάµεσς είναι ύψς και διχτόµς. Όλες ι πλευρές είναι ίσες. Όλες ι γωνίες είναι ίσες. ΣΧΟΛΙ. Οξείες γωνίες ρθγωνίυ τριγώνυ Τ άθρισµα των ξειών γωνιών ενός ρθγωνίυ τριγώνυ είναι 90, δηλαδή είναι συµπληρωµατικές. Έτσι στ διπλανό ρθγώνι τρίγων ισχύει + ɵ = 80. Άθρισµα δύ γωνιών ενός τριγώνυ Τ άθρισµα δύ γωνιών ενός τριγώνυ ισύται µε την εξωτερική της τρίτης γωνίας. Στ διπλανό τρίγων ισχύει + = ɵ
3. ωνίες ισπλεύρυ τριγώνυ : Στ ισόπλευρ τρίγων κάθε γωνία είναι 60 ΣΚΗΣΕΙΣ. Σε ένα τρίγων είναι = 40 και = 3 ɵ. Να υπλγιστύν ι γωνίες και ɵ. Έστω τ διπλανό τρίγων µε = 40. ν ɵ = τότε = 3. λλά + + ɵ = 80 άρα Συνεπώς ɵ = 35 και =3 35 = 05 40 + + 3 = 80 o 40 + 4 = 80 o 4 = 80 40 4 = 40 = 35 o 40 0 3. Σε ένα ισσκελές τρίγων µε βάση ισχύει =. Να υπλγιστύν ι γωνίες τυ τριγώνυ. Έστω =. Τότε ɵ = = και =. Η ισότητα + + ɵ = 80 γίνεται + + = 80 o 4 = 80 o = 45 o Συνεπώς = ɵ = 45 και = 90
3 3. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω πρτάσεις α) Σε κάθε ισσκελές τρίγων η διάµεσς πυ αντιστιχεί στην βάση είναι και β) Κάθε γωνία ισπλεύρυ τριγώνυ είναι ίση µε. γ) Στ ισόπλευρ τρίγων κάθε είναι διχτόµς και ύψς δ) Τ άθρισµα δύ γωνιών ενός τριγώνυ είναι µικρότερ από. ε) Σε ένα ρθγώνι τρίγων ι ξείες γωνίες είναι. α) Σε κάθε ισσκελές τρίγων η διάµεσς πυ αντιστιχεί στην βάση είναι διχτόµς και ύψς. β) Κάθε γωνία ισπλεύρυ τριγώνυ είναι ίση µε 60. γ) Στ ισόπλευρ τρίγων κάθε διάµεσς είναι διχτόµς και ύψς δ) Τ άθρισµα δύ γωνιών ενός τριγώνυ είναι µικρότερ από 80 ε ) Σε ένα ρθγώνι τρίγων ι ξείες γωνίες είναι συµπληρωµατικές 4. Στ διπλανό σχήµα να υπλγίσετε τη γωνία ω. ɵ = 60 ως παραπληρωµατική της γωνίας των 0 Τότε στ τρίγων είναι + 50 + 60 = 80 Άρα = 70 Επµένως ω = 0 ως παραπληρωµατική της ω 50 0 5. ν = και η είναι διχτόµς να υπλγίσετε τη γωνία τυ διπλανύ σχήµατς. Επειδή η είναι διχτόµς, θα είναι ɵ = 0. Επµένως ɵ = 70 ως παραπληρωµατική της ɵ. Επειδή τ τρίγων είναι ισσκελές µε =, έχυµε = ɵ = 70 Τότε στ τρίγων είναι + 70 + 70 = 80 άρα = 40 = ɵ 55
4 6. Να σχεδιάσετε ένα πεντάγων και να έρετε τις διαγώνιες από µία κρυή σε όλες τις υπόλιπες κρυές. Να υπλγίσετε τ άθρισµα των γωνιών τυ πενταγώνυ. Έστω τ πεντάγων Ε τυ διπλανύ σχήµατς Στ τρίγων Ε έχυµε : + Ε ɵ + = 80 µίως στ 3 + ɵ + = 80 στ + ɵ + = 80 Πρσθέτντας κατά µέλη τις ισότητες αυτές βρίσκυµε ότι + 3 + + Ε ɵ + ɵ + ɵ + + + = 540 + Ε ɵ + ɵ + + = 540 3 Ε 7. Σε ένα ρθγώνι τρίγων µία γωνία τυ είναι ίση µε τα 3 µιας άλλης γωνίας τυ. Να υπλγιστύν ι γωνίες τυ τριγώνυ (να διακρίνετε δύ περιπτώσεις ) Έστω = 90 Είναι ανερό ότι µόν κάπια από τις ξείες γωνίες τυ τριγώνυ µπρεί να είναι ίση µε τα 3 κάπιας άλλης η περίπτωση = 3 = 3 90 = 60 Τότε ɵ = 30 η περίπτωση = 3 ɵ λλά + ɵ = 90 άρα 3 ɵ + ɵ = 90 άρα 5 3 ɵ = 90 ɵ = 90 : 5 3 = 90 3 5 = 54 Τότε = 3 54 = 36
5 8. Στ διπλανό σχήµα τ τρίγων είναι ισσκελές µε = και η //. Να δικαιλγήσετε τ ότι η είναι διχτόµς της γωνίας y. Επειδή // είναι ω= ɵ () ως εντός εναλλάξ και ɵ = () ως εντός εκτός Όµως τ τρίγων είναι ισσκελές µε =, άρα = ɵ Τότε, από τις () και () θα είναι και ω = ɵ, άρα η y ω είναι διχτόµς της γωνίας y 9. Στ διπλανό σχήµα είναι ε // δ και ι Κ και Κ είναι διχτόµι των γωνιών και. ν δ = 0, να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ Κ. Κ ε δ νωρίζυµε ότι δ + ε = 80 ως εντός και επί τα αυτά 0 + ε = 80 = ε = 60 δ = 60 και ε = = 30 λόγω των διχτόµων. Μετά από αυτά στ τρίγων Κ έχυµε Κ = 80 = =80 30 60 = = 90 0 Να υπλγίσετε τις γωνίες ω, ɵ και ɵ στ διπλανό σχήµα αν γνωρίζετε ότι η είναι διχτόµς της γωνίας. ύ η είναι διχτόµς, θα είναι = 35 Στ τρίγων είναι + + ω= 80 60 + 35 + ω= 80 ω= 85 60 ω 35 ɵ = 95 ως παραπληρωµατική της ω Στ τρίγων είναι + + ɵ = 80 60 + 70 + ɵ = 80 ɵ = 50
6. Στ διπλανό σχήµα είναι ε // δ να υπλγίσετε τις γωνίες των τριγώνων και Ε = 40 ως εντός εναλλάξ ɵ Ε = 38 για τν ίδι λόγ Ε 38 40 στ τρίγων είναι + 38 + = 80 άρα 40 + 38 + = 80 επµένως = 0 τότε και Ε = 0 ως κατακρυήν δ ε. Να υπλγίσετε τις γωνίες τυ τριγώνυ τυ διπλανύ σχήµατς. Είναι ɵ = 60 ως παραπληρωµατική της γωνίας των 0 Στ τρίγων έχυµε 5 + + 60 o = 80 6 = 0 = 0 o ηλαδή = 0 και = 00 5 0 o 3. Στ διπλανό σχήµα είναι ε // δ. Να υπλγίσετε τις γωνίες των τριγώνων και Ε. Ε = 70 ως παραπληρωµατική της γωνίας των 0 Ε ɵ = 50 ως παραπληρωµατική τη γωνίας των 30 Στ τρίγων Ε έχυµε + Ε + Ε ɵ = 80 + 70 + 50 = 80 = 60 = Ε =70 ως εντός εκτός και επί τα αυτά ɵ = ɵ Ε = 50 για τν ίδι λόγ A B δ 0 Ε 30 ε