12. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ "ΑΣΤΑΘΟΥΣ" ΜΟΡΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

1. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ "ΑΣΤΑΘΟΥΣ" ΜΟΡΦΗΣ ΚΑΙ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 1.1 Μειωμένη αριθμητική ολοκλήρωση Σε προηγούμενο κεφάλαιο ασχοληθήκαμε με το θέμα της αριθμητικής ολοκλήρωσης. Θα πρέπει να τονιστεί πως η "τάξη" της αριθμητικής ολοκλήρωσης που θα χρησιμοποιηθεί στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων B D B d (1) N b d () N t dbq (3) Bq είναι πολύ σημαντική για την ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Σε κάθε εφαρμογή είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε την ελάχιστη τάξη ολοκλήρωσης ώστε να επιτευχθούν τα κατάλληλα ("ακριβή") αποτελέσματα. Στον πίνακα 1.1 παρουσιάζεται για επίπεδα στοιχεία η "πλήρης" ή αλλιώς "ακριβής" τάξη της αριθμητικής ολοκλήρωσης κατά Gauss. Η τάξη αυτή είναι πιο προφανής για «μη στρεβλά» (ορθογωνικά) στοιχεία ενώ για «στρεβλά» στοιχεία χρησιμοποιείται ουσιαστικά η ίδια τάξη με τα αντίστοιχα μη στρεβλά. Η δεύτερη στήλη του πίνακα αναφέρεται στη δυνατότητα για "μειωμένη" ολοκλήρωση των υπόψη στοιχείων. Η δυνατότητα αυτή, αν και δεν είναι προφανές γιατί πρέπει να υπάρχει, είναι ορισμένες φορές αναγκαία. Κάποιοι πρώτοι λόγοι που συνηγορούν σε αυτό είναι εύκολο να αναφερθούν. Η "μειωμένη" ολοκλήρωση συνεπάγεται μικρότερο υπολογιστικό κόστος στον υπολογισμό του μητρώου ακαμψίας Η "μειωμένη" ολοκλήρωση μπορεί να συντελέσει σε μια "ελλιπή" μεν εκτίμηση της ακαμψίας η υποεκτίμησης όμως αυτή θα βοηθήσει πιθανόν στην εξάλειψη του "σφάλματος" της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων η οποία (όπως την έχουμε περιγράψει) υπερεκτιμά την ακαμψία, άρα υποεκτιμά τις μετατοπίσεις. Ο υπολογισμός των τάσεων είναι πιο ακριβής στα σημεία "μειωμένης" ολοκλήρωσης Υπάρχουν όμως και κάποιοι άλλοι πιο επιτακτικοί λόγοι που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια. Ας δούμε όμως τι συμβαίνει, όταν ένα στοιχείο επίπεδης ελαστικότητας ολοκληρώνεται με μειωμένη τάξη ολοκλήρωσης κατά Gauss. Το 4 κομβικό στοιχείο, απαιτεί σχήμα ολοκλήρωσης για πλήρη ολοκλήρωση, ενώ το σχήμα 1 1 (δηλαδή 1 σημείο) ολοκλήρωσης αντιστοιχεί σε μειωμένη ολοκλήρωση. Ένας τρόπος για να εξετάσουμε την αποτελεσματικότητα της τάξης ολοκλήρωσης είναι η εξέταση των ιδιοτιμών του μητρώου ακαμψίας. Το 4-κομβικό στοιχείο έχει ένα 8 8 μητρώου ακαμψίας, συμμετρικό, άρα αναμένουμε 8 πραγματικές ιδιοτιμές. Οι αντίστοιχες ιδιομορφές αποτελούν σημαντική πληροφορία δεδομένου ότι κάθε παραμορφωσιακή κατάσταση του στοιχείου θα είναι γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών. Οι ιδιομορφές του μητρώου ακαμψίας (επακριβώς υπολογισμένου) του εν λόγω στοιχείου φαίνονται στο Σχήμα 1.1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 1 από 0

1 1 1 1 Πίνακας 1.1: Ακριβής και μειωμένη αριθμητική ολοκλήρωση σε επίπεδα στοιχεία. Αριθμός Ιδιοτιμή Χαρακτηρισμός Ιδιομορφής 1 0 μετακίνηση κατά x 0 μετακίνηση κατά y 3 0 στροφή στο επίπεδο 4 0.495 καμπτική 5 0.495 καμπτική 6 0.769 διατμητική 7 0.769 εφελκυστική 8 1.430 ομοιόμορφη διόγκωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα από 0

Σχήμα 1.1: Ιδιομορφές μητρώου ακαμψίας 4-κομβικού επίπεδου στοιχείου. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 3 από 0

Οι τρεις πρώτες ιδιομορφές αντιστοιχούν σε μηδενικές ιδιοτιμές διότι αναφέρονται σε κινήσεις στερεού σώματος στο επίπεδο (δύο μετακινήσεις κατά x, y και μία στροφή στο επίπεδο). Οι υπόλοιπες 5 αποτελούν παραμορφωσιακές καταστάσεις που συνεπάγονται ενέργεια παραμόρφωσης, άρα είναι μη μηδενικές ιδιοτιμές. Ας υποθέσουμε τώρα πως αντί για ακριβή ολοκλήρωση χρησιμοποιήσουμε μειωμένη ολοκλήρωση 1 1, δηλαδή ένα σημείο ολοκλήρωσης στο κέντρο του στοιχείου. Οι ιδιομορφές 4 και 5, αν και γενικά συνοδεύονται από ενέργεια παραμόρφωσης (απαιτούμενης ώστε το στοιχείο να υποβληθεί στην υπόψη αλλαγή σχήματος) η οποία είναι μη μηδενική, στη συγκεκριμένη περίπτωση (με ένα σημείο ολοκλήρωσης στο κέντρο του στοιχείου) η ενέργεια αυτή δε θα εμφανιστεί διότι στο κέντρο του στοιχείου και οι τρεις παραμορφώσεις x, y, xy είναι μηδέν! Επομένως, η "μειωμένη" ολοκλήρωση συνεπάγεται καταστάσεις παραμόρφωσης που αντιστοιχούν σε μηδενική ενέργεια παραμόρφωσης ενώ δεν είναι κινήσεις στέρεου σώματος, κάτι σαφώς λανθασμένο. Σε μία διακριτοποίηση πεπερασμένων στοιχείων, η εσωτερική ενέργεια παραμόρφωσης γράφεται (για το τυχαίο στοιχείο ) 1 1 1 U U K U d d U B DB U ε Dε (4) Αν η συγκεκριμένη ολοκλήρωση αντιστοιχεί μηδενικές παραμορφώσεις, όταν έχω μη μηδενικές μετατοπίσεις U (και μάλιστα όχι U κίνησης στέρεου σώματος), ε BU 0 (5) τότε και η αντίστοιχη ενέργεια είναι ίση με μηδέν. Δηλαδή με τη μειωμένη ολοκλήρωση δίνεται η δυνατότητα στο στοιχείο να παραμορφωθεί χωρίς να απαιτείται ενέργεια δηλαδή το στοιχείο έχει τη δυνατότητα να λάβει μία ανεξέλεγκτη παραμόρφωση. Οι παραμορφώσεις του τύπου αυτού, που δεν είναι κινήσεις στέρεου σώματος, αλλά αντιστοιχούν σε μηδενική ενέργεια παραμόρφωσης, λέγονται παραμορφώσεις "μορφής αστάθειας" (nstablty mods) ή «ασθενούς μορφής» ή "ψευδούς μορφής" (spurous mods) ή hourglass mods ή zro nrgy mods. Στην περίπτωση αυτή το μητρώο K παύει να είναι θετικά ορισμένο. Για να εξετάσουμε το φαινόμενο αυτό σε μεγαλύτερο βάθος, πρέπει να έχουμε υπόψη πως το αριθμητικώς ολοκληρωμένο μητρώο ακαμψίας είναι πλέον ένα άθροισμα (με κατάλληλους συντελεστές βαρύτητας) κάποιων μητρώων. Το κάθε ένα από τα μητρώα αυτά υπολογίζεται στο κάθε σημείο ολοκλήρωσης, και είναι της μορφής B DB J. Είναι εύκολο να χωρίσουμε το D σε μητρώα διάσταση του πίνακα) ώστε 1 1 D (ο δείκτης 3 3 κάτω δεξιά δείχνει την D D D (6) 1 33 Επομένως το μητρώο D γράφεται 1 1 1 J J D B D B B B 33 38 33 38 8338 83 38 (7) 1 Γενικά οι δείκτες 33, 38 κτλ στους πίνακες συμβολίζουν την διάσταση των αντιστοίχων πινάκων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 4 από 0

Τον πίνακα B μπορούμε να τον γράψουμε σε μορφή τετραγωνικού πίνακα 8 8, προσθέτοντας 5 γραμμές στο κάτω μέρος: ενώ ισχύει B B 0 38 58 (8) (9) B B B B Προφανώς ο B έχει 5 μηδενικές ιδιοτιμές, ενώ οι υπόλοιπες 3 ιδιοτιμές είναι μη μηδενικές 1 (δεν είναι τετριμμένη αυτή η απόδειξη, βασίζεται όμως στο ότι ο D 33 πίνακας είναι θετικά ορισμένος). Επομένως και ο B B θα έχει 3 μη μηδενικές (το πολύ) ιδιοτιμές. Αποδεικνύεται πως έχει ακριβώς 3 μη μηδενικά ιδιοδιανύσματα. Επομένως, σε κάθε σημείο ολοκλήρωσης έχουμε 3 μη μηδενικά ιδιοδιανύσματα. Χρησιμοποιώντας λοιπόν 1 σημείο ολοκλήρωσης το μητρώο ακαμψίας έχει 5 μηδενικά και 3 μη μηδενικά ιδιοδιανύσματα. Κανονικά θα έπρεπε να έχει 3 μηδενικά (κινήσεις στερεού σώματος) και 5 μη μηδενικά (που αντιστοιχούν στις παραμορφωσιακές καταστάσεις 4, 5, 6, 7, 8). Τα δύο παραπάνω μηδενικά ιδιοδιανύσματα που παρουσιάζονται είναι αυτά που αντιστοιχούν στα spurous mods και εξετάστηκαν ανωτέρω. Συγκεκριμένα, οι παραμορφωσιακές καταστάσεις 4 και 5 δεν υπολογίζονται σωστά και έτσι δημιουργούνται spurous mods. Αν χρησιμοποιήσω ολοκλήρωση, τότε το μητρώο ακαμψίας υπολογίζεται σε 4 σημεία. Σε κάθε σημείο έχω 3 ιδιοτιμές μη μηδενικές επομένως, μπορώ να θεωρήσω πως έχω 43 1 (το πολύ) μη μηδενικές ιδιοτιμές που υπερκαλύπτουν τις απαιτούμενες 5. Σαφώς ο ανωτέρω απλοποιητικός υπολογισμός δεν ισχύει δεδομένου ότι οι ιδιοτιμές δεν μπορεί να είναι πάνω από 8 το πλήθος (θυμηθείτε πως μιλάμε για πίνακα 8 8!) ενώ 3 από αυτές θα είναι σίγουρα μηδέν, ειδάλλως το υπόψη στοιχείο δεν μπορεί να ικανοποιεί τις συνθήκες της πληρότητας. Η ουσία όμως είναι πως με τον απλό αυτό συλλογισμό έχω μία σοβαρή ένδειξη (η οποία μάλιστα είναι και η πραγματικότητα) πως δεν έχω spurous mods με ολοκλήρωση. Μία βασική όμως ερώτηση παραμένει: είναι κακό να υπάρχουν αυτές οι spurous mods? Μήπως υπάρχουν αλλά δεν ενεργοποιούνται? Και αν ενεργοποιηθούν, πώς επηρεάζουν τη λύση? Σχήμα 1.: Spurous mods σε 4-κομβικό στοιχείο. Η απόδειξη παραλείπεται. Τονίζεται όμως πως αυτό είναι απόρροια του πίνακα D διάστασης 33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 5 από 0

Θυμηθείτε πως έως τώρα αναφερόμαστε σε 1 στοιχείο μονάχα. Γενικά, η επίλυση των προβλημάτων βασίζεται στη θεώρηση ενός πλήθους στοιχείων (δηλαδή τα στοιχεία ενός πλέγματος). Για να δημιουργηθεί spurous mod σε όλο το πλέγμα των πεπερασμένων στοιχείων, θα πρέπει να επιτρέπονται οι παραμορφώσεις της μορφής του σχήματος σε γειτονικά στοιχεία. Αυτό σημαίνει πως με κατάλληλες συνοριακές συνθήκες είναι δυνατό να αποφευχθεί (θεωρήστε πως στο σύνορο έχουμε συνήθως μετατοπίσεις u 0 ή v 0!). Μακριά όμως από το σύνορο είναι πιθανό να παρουσιαστούν αυτά τα φαινόμενα. Γενικά αυτά παρουσιάζονται με την εμφάνιση πολύ μεγάλων μετατοπίσεων (ίσως και 1 ή τάξης μεγέθους μεγαλύτερες από τις κανονικές). Προφανώς όταν εμφανιστούν spurous mods η λύση μας είναι πλέον μη αποδεκτή. Ας εξετάσουμε τώρα το στοιχείο επίπεδης ελαστικότητας με 8 κόμβους, το οποίο έχει ένα 16 16 μητρώο ακαμψίας. Αυτό έχει 16 ιδιοτιμές από τις οποίες οι 3 αντιστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος και οι υπόλοιπες 13 σε μορφές παραμόρφωσης. Θεωρώντας αριθμητική ολοκλήρωση, έχουμε έναν πίνακα 16 16 B B σε κάθε σημείο Gauss. Ο πίνακας αυτός έχει 3 μη μηδενικές ιδιοτιμές. Επομένως με ολοκλήρωση έχω 43 1 (το πολύ) μη μηδενικές ιδιοτιμές. Δηλαδή 1<13 και αναμένω τουλάχιστον 1 spurous mod. Αποδεικνύεται πως έχω πράγματι μία, η οποία φαίνεται στο σχήμα 1.3 (d). Πράγματι, στα σημεία Gauss με 1 1,, η παραμόρφωση που αντιστοιχεί στο πεδίο μετατοπίσεων: 3 3, 3 1 u (10), 1 3 v (11) στα σημεία ολοκλήρωσης έχει παραμορφώσεις x, y, xy ίσες με μηδέν. Γενικά όμως, η "αστάθεια πλέγματος" με βάση αυτή την spurous mod γενικά δεν εμφανίζεται διότι είναι δύσκολο να βρεθούν γειτονικά στοιχεία που να παραμορφωθούν με τρόπο, ώστε να φανεί αυτή η αστάθεια. Εν τούτοις το στοιχείο με 9 κόμβους έχει 18 ιδιοδιανύσματα, άρα απαιτούνται 15 μη μηδενικές ιδιοτιμές. Σε κάθε σημείο ολοκλήρωσης έχω έναν πίνακα μορφής B B με 3 μη μηδενικές ιδιοτιμές. Με ολοκλήρωση έχω 3 4 1 (το πολύ) μη μηδενικές ιδιοτιμές αριθμός που υπολείπεται του 15. Αναμένω λοιπόν 3 (τουλάχιστον) spurous mods. Αποδεικνύεται πως έχω ακριβώς 3 spurous mods, που φαίνονται στα σχήματα, 1.3 (b), (c), (d). Σχήμα 1.3: Spurous mods σε 8-κομβικό και 9-κομβικό στοιχείο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 6 από 0

Πίνακας 1.: Έλεγχος της εμφάνισης «ασταθούς πλέγματος». ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 7 από 0

Προφανώς με 3 3 ολοκλήρωση τα φαινόμενα αυτά εξαφανίζονται και τα στοιχεία με 8 και 9 κόμβους συμπεριφέρονται καλώς. Εκτός της ανωτέρω ανάλυσης που βασίζεται στις ιδιοτιμές του μητρώου ακαμψίας του μεμονωμένου στοιχείου, μπορεί να γίνει και μια άλλη (ισοδύναμη) θεώρηση, η οποία βασίζεται στο ότι με την αριθμητική ολοκλήρωση αντικαθιστούμε τα ολοκληρώματα με ένα γραμμικό συνδυασμό ανεξαρτήτων γραμμικών σχέσεων μεταξύ των επικόμβιων μετατοπίσεων u u. Οι γραμμικές αυτές σχέσεις παρέχουν τη μόνη πληροφορία πάνω στην οποία βασίζεται η "κατασκευή" του μητρώου ακαμψίας K. Αν ο αριθμός των αγνώστων μετατοπίσεων u (σε ένα πλέγμα) ξεπερνά τον αριθμό των ανεξαρτήτων γραμμικών σχέσεων που παρέχονται σε όλα τα σημεία ολοκλήρωσης, τότε το K γίνεται μη αντιστρέψιμο (sngular). Στην επίπεδη ελαστικότητα έχουμε 3 ανεξάρτητες σχέσεις (παραμόρφωσης) σε κάθε σημείο, άρα έχουμε συνολικά 3 NIPS NUMEL (NIPS= numbr of ntgraton ponts pr lmnt, NUMEL= numbr of lmnts) σε όλο το πλέγμα. Ο αριθμός των αγνώστων είναι NN-NC (NN= numbr of nods, NC=numbr of constrants) δηλαδή ο αριθμός β.ε. στο πλέγμα). Στην εικόνα του πίνακα 1. εξετάζονται ορισμένες χαρακτηριστικές περιπτώσεις. 1. Συνθήκες Περιορισμών Αρκετά προβλήματα της Μηχανικής (και όχι μόνον) έχουν την εξής διατύπωση: Βρείτε τις μετατοπίσεις u που ικανοποιούν τις εξής εξισώσεις ισορροπίας N N u K u F (1) καθώς και κάποιες επιπλέον εξισώσεις που ονομάζονται γραμμικοί περιορισμοί της μορφής C N1 M 1 MN όπου (συνήθως) ισχύει M u q (13) N. Γενικά, υπάρχουν ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθοδολογίες για την επίλυση του ανώτερου σύνθετου προβλήματος Μέθοδος πολλαπλασιαστών Lagrang (mthod of Lagrang multplrs) Μέθοδος ποινής (pnalty mthod) Και οι δύο μέθοδοι βασίζονται σε μία τροποποίηση της έκφρασης της δυναμικής ενέργειας, η οποία για το αρχικό πρόβλημα χωρίς τους περιορισμούς (13) είναι 1 K u u u F (14) 1..1 Μέθοδος Πολλαπλασιαστών Lagrang Θεωρώ την τροποποιημένη δυναμική ενέργεια που ορίζεται ως εξής: όπου 1 k C u u u F λ u q (15) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 8 από 0

1 M (16) και και είναι οι πολλαπλασιαστές Lagrang. Απαιτώντας u λ 0 0 (17) (18) έχουμε K C 0 u F λ (19) Cuq 0 (0) Σε μητρωϊκή μορφή, οι εξισώσεις (19) και (0) γράφονται: K C u NN C 0 λ q NM N1 F MN MM M 1 (1) Η επίλυση του ανωτέρου συστήματος (δηλαδή N M εξισώσεις με N M αγνώστους) δίνει τα u και λ. Το φυσικό νόημα των προκύπτει από τον όρο λ C u q () της έκφρασης του. Συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε πως το διάνυσμα Cu q εκφράζει κάποιες "μετατοπίσεις", και δεδομένου ότι ο όρος αυτός είναι όρος ενέργειας, θα πρέπει το λ να εκφράζει δύναμη. Επομένως τα είναι ουσιαστικά οι "εσωτερικές δυνάμεις" του συστήματος που απαιτούνται για να ενεργοποιηθούν οι εν λόγω περιορισμοί (13) (ή (0)). 1.. Μέθοδος ποινής (pnalty) Θεωρώ πάλι μία τροποποιημένη έκφραση της δυναμικής ενέργειας η τροποποιημένη ενέργεια. Θέτοντας s C uq (3) για τη μέθοδο αυτή είναι: 1 1 u Kuu F s as (4) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 9 από 0

Αν s 0 τότε ικανοποιούνται οι ανωτέρω συνθήκες περιορισμών και η ενέργεια γίνεται ίση με a είναι ένας διαγώνιος πίνακας με θετικά στοιχεία αυτή του κλασικού προβλήματος. Ο πίνακας a, τιμής πολύ μεγαλύτερης από τα k j. Ισχύει δηλαδή j απλότητας διαλέγουμε τον ίδιο μεγάλο αριθμό για όλα τα a dag a G1, (5) a k. Συνήθως για λόγους 1 είναι ο μοναδιαίος πίνακας και G είναι ο αριθμός ποινής με G kj στάσιμης τιμής 0 δίνει u όπου. Η απαίτηση Αν a 1 KC ac ac u F q. (6) G, που συνήθως ισχύει σε εφαρμογές και η συνθήκη περιορισμού είναι βασική συνοριακή συνθήκη), τότε C 0 010 0 (7) u j u (μια 0 j οπότε 0 0 0 C a C j 0 G 0 0 0 0 j (8) οπότε στο K προστίθεται ένα μεγάλο νούμερο στον αντίστοιχο διαγώνιο όρο. Επίσης, 0 0 C a Gu j 0 0 0 q (9) όπως άλλωστε περιγράψαμε και σε προηγούμενο κεφάλαιο για την επιβολή των βασικών συνοριακών συνθηκών στο διακριτοποιημένο πρόβλημα πεπερασμένων στοιχείων. Η μεθοδολογία όμως αυτή εμπεριέχει ένα σοβαρό κίνδυνο. Θεωρήστε q 0 (για ευκολία, και χωρίς να χάνεται η γενικότητα). Στην περίπτωση αυτή KC ac uf (30) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 10 από 0

a Αν k τότε η ανωτέρω σχέση προσεγγιστικά γράφεται j C a C u F (31) και για μεγάλες τιμές των αναμένονται τιμές μηδενικές για τα Πράγματι, θεωρήστε χάριν απλότητας πως, όπως έχουμε ήδη γράψει, a 1 u ( u 0 για G (3) a ). τότε C C 1 u F (33) G Αν θεωρήσω λοιπόν ότι G, αν ο πίνακας C C είναι αντιστρέψιμος, τότε η λύση μας είναι μηδέν (ή σχεδόν μηδέν) u 0. Θυμηθείτε όμως πως συνήθως M N οπότε ο πίνακας C έχει πολύ λιγότερες γραμμές από στήλες. Επομένως, ο C C θα έχει έναν σημαντικό αριθμό μηδενικών ιδιοτιμών (τουλάχιστον N M το πλήθος) και δεν είναι αντιστρέψιμος. Επομένως, το σύστημα επιδέχεται λύσεις u 0. Σημειώνεται πως αν ΟΛΟΙ οι β.ε. εμπλέκονται στις εξισώσεις περιορισμών M N C γίνεται N N και ενδέχεται να μην τότε ο πίνακας υπάρχουν μη μηδενικές ιδιοτιμές στο C C. Τότε είναι προφανές πως η λύση θα δώσει u 0. Επομένως, η λύση "κλειδώνει" (lockng), και το πρόβλημα λέγεται "υπερ - περιορισμένο" (ovrconstrand). 1.3 Περιοριστικές συνθήκες που προκύπτουν από φυσικά προβλήματα Στα προηγούμενα, εξετάσαμε περιορισμούς που παρουσιάζονται επιπλέον των βασικών εξισώσεων ισορροπίας: K u F (34) Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου κάποιο τμήμα του μητρώου K μπορεί να χαρακτηριστεί ως ένας πίνακας ποινής. Στις περιπτώσεις αυτές, αν δεν ληφθεί ιδιαίτερη μέριμνα, η λύση των διακριτοποιημένων εξισώσεων ισορροπίας μπορεί να είναι σημαντικά ανακριβής, λόγω του φαινόμενου lockng (κλείδωμα). Εξετάζουμε κατηγορίες τέτοιων προβλημάτων: Ασυμπίεστη ελαστικότητα 0.5 Στοιχεία δοκού τύπου Mndln moshnko 1.3.1 Ασυμπίεστη Ελαστικότητα Θεωρήστε επίπεδη παραμόρφωση ενός παραμορφώσιμου σώματος. Στην περίπτωση αυτή το μητρώο του ελαστικού υλικού είναι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 11 από 0

1 0 1 1 D 1 0 (35) 11 1 1 0 0 1 Σημειώνεται πως το μέτρο διάτμησης G αντιστοιχεί στον 3 διαγώνιο όρο και είναι G 1 (36) Αντί των σταθερών, μπορώ ισοδύναμα να θεωρήσω τις σταθερές G, όπου 31 (37) είναι το μέτρο "τρισδιάσταστης συμπίεσης" και συνδέει την "υδροστατική" τάση x y z p 3 με την "ογκομετρική" παραμόρφωση Τότε, θέτοντας vol x y z. και 4 0 3 3 D 4 G G 0 G 3 3 G 0 0 1 (38) 1 1 0 D 1 1 0 0 0 0 (39) εύκολα αποδεικνύεται πως DD D G Ε Ε (40) G G Με βάση τα παραπάνω, το μητρώο K (μητρώο ακαμψίας του κάθε στοιχείου) γίνεται: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 1 από 0

και K G B EG Bd B E Bd K G K (41) G K G K u F (4) Στην περίπτωση που 0.5 (ασυμπίεστο υλικό) έχουμε, η αλλιώς u 0. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας K παίζει τον ρόλο του "πίνακα ποινής" και η λύση "κλειδώνει". 1.3. Στοιχείο Δοκού κατά Mndln moshnko Η βασική διαφορά της θεωρίας δοκού κατά Mndln moshnko από την κλασική θεωρία της δοκού κατά Brnoull είναι η θεώρηση της διατμητικής παραμόρφωσης. Εδώ, δεν ισχύει πλέον η παραδοχή Brnoull (δηλαδή ότι επίπεδες διατομές κάθετες αρχικά στο άξονα της δοκού παραμένουν επίπεδες και κάθετες στον παραμορφωμένο ουδέτερο άξονα της δοκού). Εδώ η παραδοχή μας είναι πως επίπεδες διατομές κάθετες αρχικά στο άξονα της δοκού παραμένουν μεν επίπεδες αλλά όχι ανακγκαστικά κάθετες στον παραμορφωμένο ουδέτερο άξονα της δοκού. Επομένως, η διατμητική παραμόρφωση εισέρχεται στις κινηματικές σχέσεις ως εξής αξονική παραμόρφωση d y (43) dx στροφή διατομής dw (44) dx Η καμπτική ενέργεια της δοκού είναι: L 0 0 3 L bt d 1 1 Ub dx dx 1 dx (45) και η διατμητική ενέργεια είναι: L 1 1 dw Us dx Gbt dx dx 0 0 L (46) όπου είναι ο συντελεστής διόρθωσης λόγω ανομοιόμορφης κατανομής της διατμητικής τάσης (βλ. Αντοχή των Υλικών). Αποδεικνύεται πως για ορθογωνική διατομή 5 1. (47) 6 1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 13 από 0

Σχήμα 1.4: Κλασικό στοιχείο δοκού κατά Brnoull. Σχήμα 1.5: Στοιχείο δοκού κατά moshnko με διατμητική παραμόρφωση της διατομής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 14 από 0

Η συνολική δυναμική ενέργεια της δοκού είναι b s L 0 U U q x wdx. (48) Οι διαφορικές εξισώσεις ως προς του συναρτησιακού w, wx, x προκύπτουν από την απαίτηση στάσιμης τιμής, που εξασφαλίζεται θεωρώντας την μεταβολή ίση με το μηδέν. 0 (49) Οι τελικές εξισώσεις είναι οι ακόλουθες d dx dw G q 0 dx (50) d d dw G 0 dx dx dx (51) οι οποίες αποτελούν ένα σύστημα εξισώσεων ου βαθμού. Η επίλυση του προβλήματος της δοκού moshnko με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (Raylgh Rtz) βασίζεται στη διακριτοποίηση του w x και του x N 1 w x a x (5) x N 1 x (53) χρησιμοποιώντας κατάλληλες συναρτήσεις βάσης x. Αντικατάσταση των ανωτέρω εκφράσεων στην έκφραση της ενέργειας και απαίτηση για στάσιμη τιμή 0, δίνει τις εξισώσεις ισορροπίας της μορφής : Kb Ks με αγνώστους το διάνυσμα u uf (54) 1 a N 1 N u (55) b Στην εξίσωση (54) το K είναι το τμήμα του μητρώου ακαμψίας που προέρχεται από την καμπτική ενέργεια Παρατηρείστε πως U και b K s αυτό που προέρχεται από την διατμητική ενέργεια s U. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 15 από 0

U b 3 L bt d 1 dx 1 dx (56) 0 L 1 1 dw Us kgbtl dx L dx 0 (57) 3 Αν το πάχος του στοιχείου μειωθεί σημαντικά, τότε tl t και επομένως Us Ub. Αυτό σημαίνει πως μετά τη διακριτοποίηση οι όροι του μητρώου K b που προέρχεται από την U b θα είναι σημαντικά μικρότεροι των όρων του μητρώου K s που προέρχεται από την U s. Συμπεραίνουμε λοιπόν πως σε λεπτότοιχες δοκούς η συμπεριφορά εξαρτάται από τη διάτμηση και όχι από την κάμψη. Αυτό αντιβαίνει στη βασική θεωρία της δοκού, βάσει της οποίας η διάτμηση "εξαφανίζεται" όταν το πάχος μειώνεται. Η παραπάνω ασυνέπεια της αριθμητικής λύσης παρουσιάζεται στο κάτωθι παράδειγμα. Θεωρήστε τις ανωτέρω εκφράσεις (56) και (57) για την καμπτική και τη διατμητική ενέργεια της δοκού moshnko. Θεωρήστε επίσης τον πρόβολο του κάτωθι σχήματος: x=l P x x=0 L δ=w Σχήμα 1.6: Δοκός πρόβολος υπό κάμψη. Επίσης, θεωρήστε την παρακάτω διακριτοποίηση με συναρτήσεις "στέγης" x x w x w w L L 1 1 x x x 1 1 L L (58) (59) Λόγω πάκτωσης στο 0 x, w1 1 0. Εισάγοντας τις εν λόγω εκφράσεις x L w w x (60) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 16 από 0

x L x (61) στις εκφράσεις των U b, U s και ελαχιστοποιώντας, καταλήγουμε στις εκφράσεις του μητρώου w δίνεται από τη ακαμψίας της κατασκευής. Μετά από την απαλοιφή του αγνώστου, το σχέση: w t 1 0 L p L t GA 1 5 L (6) 1 η Περίπτωση Έστω δοκός πολύ μικρού μήκους (βραχύς πρόβολος). P γ δ 0 t L Σχήμα 1.7: Βραχύς πρόβολος υπό κάμψη. Από την Αντοχή των Υλικών G p A L 0 pl GA (63) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 17 από 0

Από τη σχέση (6) και τις σχέσεις (63) μπορώ να γράψω πως (για tl 1) οπότε t 1 0 L 1 (64) t 1 5 L w pl GA (65) η Περίπτωση Έστω δοκός μεγάλου μήκους L t. P x L δ 0 Σχήμα 1.8: Μακρύς πρόβολος υπό κάμψη. Από την Αντοχή των Υλικών p L 3 3 0 (66) Για 0.3, και για ορθογωνική διατομή 3 bt I, μπορώ να γράψω 1 0 3 p L pl L 1.538 3 bt GA t 3.6G 1 (67) Από τη σχέση (6), με tl 0 w 4 p L pl 3.33 (68) GA GA ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 18 από 0

0 Αν θεωρήσω Lt 10 (μία πολύ συνηθισμένη περίπτωση δοκού) τότε 46 w!! Δηλαδή η λύση των πεπερασμένων στοιχείων υποεκτιμά σε σημαντικό βαθμό την λύση της Αντοχής των Υλικών. Επιπλέον, η σχέση (68) δείχνει πως η αριθμητική λύση εξαρτάται σχεδόν αποκλειστικά από τη διάτμηση, κάτι που είναι και λάθος από φυσικής πλευράς, εφόσον γνωρίζουμε από τη θεωρία της δοκού ότι σε δοκούς με μικρό πάχος η διάτμηση παίζει δευτερεύοντα ρόλο. 1.3.3 Γενική αντιμετώπιση των ανωτέρω Στα δύο ανωτέρω προβλήματα (ασυμπίεστη ελαστικότητα και δοκός moshnko) η ενέργεια παραμόρφωσης του συστήματος μπορεί να γραφεί ως εξής: U F H d (69) όπου F, H είναι οι ποσότητες που εκφράζουν "αδιάστατη" ενέργεια ανά μονάδα όγκου, είναι μία κοινή σταθερά και a ένας αριθμός "ποινής", πολύ μεγαλύτερος του. Για ευκολία των υπολογισμών (χωρίς αυτό να είναι απαραίτητο) διαλέγουμε το έτσι ώστε το να είναι αδιάστατο. Τα ανωτέρω, μπορούν να εφαρμοστούν στα δύο υπόψη προβλήματα ως εξής: Ασυμπίεστη ελαστικότητα E F 41 ε EG ε (70) H E ε E ε (71) 1 (7) 1 31 (73) Δοκός Mndln moshnko E d F dx (74) H E L dw dx (75) 3 bt (76) 1 10 LG 5 L Et 1 t (77) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 19 από 0

Και στις δύο περιπτώσεις, τα προβλήματα ξεκινούν όταν 0.5 ή L t αντίστοιχα, οπότε και στις δύο περιπτώσεις, το παίρνει πολύ μεγάλες τιμές και η λύση «κλειδώνει». Στην περίπτωση αυτή, η συμπεριφορά του μητρώου K, το οποίο μπορεί να γραφεί και K K K (78) 1 Εξαρτάται από τη συμπεριφορά του μητρώου K το οποίο αποτελεί την αιτία για να "κλειδώνει" η λύση (lockng). Για την αποφυγή του φαινομένου αυτού, χρησιμοποιείται η μέθοδος της μειωμένης ολοκλήρωσης. Η μειωμένη τάξη ολοκλήρωσης μπορεί να αναφέρεται είτε σε όλο το K οπότε και λέγεται "ομοιόμορφα μειωμένη" ολοκλήρωση, είτε μόνον στο K, και τότε λέγεται "επιλεκτικώς μειωμένη ολοκλήρωση". Συγκεκριμένα, για στοιχεία 4 κόμβων συνήθως χρησιμοποιείται (για επιλεκτικώς μειωμένη ολοκλήρωση): ολοκλήρωση για το K 1 ολοκλήρωση για το K 1 1 Ενώ για ομοιόμορφα μειωμένη ολοκλήρωση χρησιμοποιείται 1 1 σχήμα ολοκλήρωσης για όλο το μητρώο K. Η χρήση μειωμένης ολοκλήρωσης για όλο το στοιχείο αντιμετωπίζει μεν το ανωτέρω πρόβλημα, αλλά μπορεί να εμφανίσει spurous mods! Ομοίως, για στοιχείο 8 ή 9 κόμβων συνήθως χρησιμοποιείται η εξής ολοκλήρωση (για επιλεκτικώς μειωμένη ολοκλήρωση): 3 3 ολοκλήρωση για το K 1 ολοκλήρωση για το K ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μειωμένη ολοκλήρωση και περιορισμοί σελίδα 0 από 0