Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα δύο Ακροδεκτών στο Πεδίο της Συχνότητας Φώτης Πλέσσας fplea@inf.uth.gr
Εισαγωγή (/2) Ένα κύκλωμα δύο ακροδεκτών διαθέτει μια θύρα, που είναι ταυτόχρονα είσοδος και έξοδος. Οι μεταβλητές του κυκλώματος δύο ακροδεκτών στο πεδίο της συχνότητας είναι τα διανύσματα της τάσης ακροδεκτών V και του ρεύματος ακροδεκτών Ι. Αν θεωρήσουμε το ένα διάνυσμα ως είσοδο, τότε το άλλο διάνυσμα θα είναι η έξοδος. Ένα κύκλωμα δύο ακροδεκτών χαρακτηρίζεται στο πεδίο του χρόνου από τη σχέση v-i της τάσης και του ρεύματος ακροδεκτών. Η σχέση v-i είναι, γενικά, ολοκληροδιαφορική σχέση. Όμως, στο πεδίο της συχνότητας η αντίστοιχη σχέση V-I είναι μια αλγεβρική μιγαδική συνάρτηση της γωνιακής συχνότητας ω και λέγεται συνάρτηση του κυκλώματος (network function). 2
Εισαγωγή (2/2) Γενικά, ως συνάρτηση του κυκλώματος ορίζεται ο λόγος του στρεφόμενου διανύσματος εξόδου προς το στρεφόμενο διάνυσμα εισόδου: Διάνυσμα εξόδου Συνάρτηση κυκλώματος = Διάνυσμα εισόδου Η συνάρτηση του κυκλώματος δεν έχει τον αντίστοιχό της (μετασχηματισμό) στο πεδίο του χρόνου. Άρα, η συνάρτηση του κυκλώματος υφίσταται μόνο στο πεδίο της συχνότητας. 3
Σύνθετη αντίσταση εισόδου (/2) Θεωρούμε το κύκλωμα δύο ακροδεκτών Κ, που αποτελείται από γραμμικά χρονικά αμετάβλητα στοιχεία R, L και C. Στο κύκλωμα αυτό δεν υπάρχουν ανεξάρτητες πηγές I T { 2Iσυν( ωt φ)} Ie I φ ω jφ Το διάνυσμα της τάσης ακροδεκτών είναι: V T { 2Vσυν( ωt θ )} Ve V θ ω jθ Έτσι για το Κ ορίζεται η σύνθετη ή μιγαδική αντίσταση εισόδου (input impedance): Z( jω) V I ή V j(θ φ ) V Z(jω ) e θ φ I I
Σύνθετη αντίσταση εισόδου (2/2) Η ορθογώνια έκφραση της σύνθετης αντίσταση εισόδου γράφεται με τη μορφή: Z(jω) R( ω) jx( ω) οπότε: V Z(jω) I R( ω) I jx( ω) I V jv p q Το διάνυσμα της τάσης V αποτελείται από δύο συνιστώσες, την Vp = R(ω)I που είναι ένα διάνυσμα συγγραμμικό προς το διάνυσμα του ρεύματος I και λέγεται συμφασική συνιστώσα (in phae component) της τάσης, και την συνιστώσα Vq = X(ω)I που είναι ένα διάνυσμα κάθετο προς το διάνυσμα του ρεύματος και λέγεται κάθετη συνιστώσα (in quadrature component) της τάσης.
Σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου (/2) Θεωρούμε το κύκλωμα δύο ακροδεκτών Κ, που αποτελείται από γραμμικά χρονικά αμετάβλητα στοιχεία R, L και C. Στο κύκλωμα αυτό δεν υπάρχουν ανεξάρτητες πηγές V T { 2Vσυν( ωt θ )} Ve V θ ω jθ Το διάνυσμα ρεύματος (έξοδος) ακροδεκτών είναι: I T { 2Iσυν( ωt φ)} Ie I φ ω jφ Έτσι για το Κ ορίζεται η σύνθετη ή μιγαδική αγωγιμότητα εισόδου (input admittance): Y( jω) I V ή I j( φ θ ) I Υ(jω ) e φ θ V V
Σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου (2/2) Η ορθογώνια έκφραση της σύνθετης αγωγιμότητας εισόδου γράφεται με τη μορφή: Y( j ) G( ) jb( ) οπότε: I Y(jω) V G( ω) V jb( ω) V I ji p q Το διάνυσμα του ρεύματος I αποτελείται από δύο συνιστώσες, την Ip = G(ω)V, ένα διάνυσμα συγγραμμικό προς το διάνυσμα της τάσης V που λέγεται συμφασική συνιστώσα του ρεύματος, και την Iq = B(ω)V είναι ένα διάνυσμα κάθετο προς το διάνυσμα της τάσης που λέγεται κάθετη συνιστώσα του ρεύματος.
Ισοδυναμία της σύνθετης αντίστασης και αγωγιμότητας εισόδου Αν η τάση V της ανεξάρτητης πηγής τάσης γίνει ίση με την τάση ακροδεκτών V του κυκλώματος, τότε θα είναι Ι = Ι. Στην περίπτωση αυτή ισχύει: Z(jω) Y(jω) οπότε: R( ω ) jx( ω ) G( ω ) jb( ω ) Όμως το πραγματικό (φανταστικό) μέρος της αντίστασης δεν ισούται με το αντίστροφο του πραγματικού (φανταστικού) μέρους της αγωγιμότητας Η σύνθετη αντίσταση και η σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου, όπως και κάθε άλλη συνάρτηση του κυκλώματος, επειδή είναι λόγοι στρεφόμενων διανυσμάτων, δεν έχουν αντίστροφο μετασχηματισμό στο πεδίο του χρόνου και συνεπώς είναι έννοιες μόνο του πεδίου της συχνότητας. Η σύνθετη αντίσταση και η σύνθετη αγωγιμότητα αναφέρονται σε μια μόνο γωνιακή συχνότητα ω. Αν οι ανεξάρτητες πηγές παρέχουν σήματα με περισσότερες από μια συχνότητες, τότε δεν ορίζονται η σύνθετη αντίσταση και αγωγιμότητα
Παράδειγμα Αν i (t)= 50 2ημ(34t +20 ) Α και v(t)= 220 2συν(34t +78 ) V να υπολογιστεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου και η σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου του κυκλώματος δυο ακροδεκτών. Επίσης, χρησιμοποιώντας την ορθογώνια έκφραση της σύνθετης αντίστασης εισόδου να γράψετε την τάση των ακροδεκτών συναρτήσει του ρεύματος
Σύνδεση σύνθετων αντιστάσεων εν σειρά Η ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση k σύνθετων αντιστάσεων, που συνδέονται εν σειρά, είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους σύνθετων αντιστάσεων: Z eq k i (jω) Z ( jω ) i
Παράδειγμα i (t ) 0 2συν( 34t 30 ) A Το κύκλωμα δύο ακροδεκτών αποτελείται από μιαν αντίσταση R = 5Ω, μια χωρητικότητα C = 00μF και μιαν αυτεπαγωγή L = 0mH, που συνδέονται εν σειρά. Ζητείται να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου, που «βλέπει» η πηγή, και στη συνέχεια να βρεθεί η τάση ακροδεκτών στο πεδίο του χρόνου.
Παράλληλη σύνδεση σύνθετων αγωγιμοτήτων. Η ισοδύναμη σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου k σύνθετων αγωγιμοτήτων, που συνδέονται παράλληλα μεταξύ τους, είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους σύνθετων αγωγιμοτήτων: Z eq k i (jω) Z ( jω ) i
Παράδειγμα Κύκλωμα RLC εν παραλλήλω αποτελείται από μια αγωγιμότητα G = 2,5 0-3 S, μια χωρητικότητα C = 40 μf και μιαν αυτεπαγωγή L = H, που συνδέονται παράλληλα μεταξύ τους. Το σήμα της πηγής τάσης είναι: v (t ) 0 2συν200t V Ζητείται να βρεθεί η σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου, που «βλέπει» η πηγή, και στη συνέχεια να βρεθεί το ρεύμα ακροδεκτών στο πεδίο του χρόνου.
Μικτή σύνδεση σύνθετων αντιστάσεων (/2) κλιμακωτό κύκλωμα (ladder circuit) Στην περίπτωση του κλιμακωτού κυκλώματος συνηθίζεται τα εν σειρά στοιχεία να εκφράζονται με τη σύνθετη αντίστασή τους, ενώ τα στοιχεία που τοποθετούνται εν παραλλήλω να εκφράζονται με τη σύνθετη αγωγιμότητά τους. Τότε: Z (jω) Z ( jω ) Υ 22 (jω) Y (jω) Y ( jω ) (jω) Z ( jω ) 22 2 22 3, Z22 (jω), Υ33 (jω), Z Y (jω ) Y ( jω ) Z (jω) 33 4 5
Μικτή σύνδεση σύνθετων αντιστάσεων (2/2) Τελικά: Z Z (jω ) ( jω ) Y 2 (jω) Z 3 (jω) Y 4 (jω) Z 5 (jω)
Παράδειγμα Το κλιμακωτό κύκλωμα του (β) είναι ο μετασχηματισμός του κυκλώματος (α) στο πεδίο της συχνότητας. Στο (β) τα στοιχεία που συνδέονται εν σειρά εκφράζονται με τη σύνθετη αντίστασή τους, ενώ τα στοιχεία που συνδέονται εν παραλλήλω εκφράζονται με τη σύνθετη αγωγιμότητά τους. Η γωνιακή συχνότητα της πηγής τάσης είναι 0 6 rad/. Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου.
Ισοδυναμία κλάδου με στοιχεία εν σειρά και εν παραλλήλω (/2) Για να είναι ισοδύναμοι οι δύο κλάδοι του σχήματος πρέπει να παρουσιάζουν τις ίδιες συναρτήσεις εισόδου, για παράδειγμα να έχουν ίσες σύνθετες αγωγιμότητες εισόδου, δηλ: Υ (jω) Υ p ( jω) με R Y (jω) j 2 2 2 2 Z(jω ) R jx R X R X X και Y p (jω) j R X p p
Ισοδυναμία κλάδου με στοιχεία εν σειρά και εν παραλλήλω (2/2) Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη προκύπτουν οι σχέσεις: p 2 2 2 2 R R R X X R R ( ) και p 2 2 2 2 X X R X R X X ( ) Ορίζοντας τον συντελεστή ποιότητας Q ως: Q X R έχουμε: 2 Rp R ( Q ) και X p X ( ) 2 Q Αν Q > 0 τότε: 2 R R Q και X p X p
Kαταμεριστής τάσης - Συνάρτηση μεταφοράς τάσης H πτώση τάσης στο i στοιχείο είναι: V i i(jω) Z V Z (jω) eq Αν η πτώση τάσης στο i στοιχείο θεωρηθεί ως έξοδος του κυκλώματος τότε ορίζεται η συνάρτηση μεταφοράς τάσης (voltage tranfer function) που είναι μια αλγεβρική μιγαδική συνάρτηση της γωνιακής συχνότητας ω και είναι: H V i V (jω) V i Z Z i eq (jω) (jω)
Παράδειγμα Θεωρούμε το κύκλωμα με στοιχεία RC εν σειρά του (α). Να βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς τάσης από την πηγή στον πυκνωτή και από την πηγή στην αντίσταση
Kαταμεριστής ρεύματος - Συνάρτηση μεταφοράς ρεύματος Το ρεύμα που διαρρέει το i στοιχείο είναι: I i i(jω) Y I Y (jω) eq Αν το ρεύμα που διαρρέει το i στοιχείο θεωρηθεί ως έξοδος του κυκλώματος τότε ορίζεται η συνάρτηση μεταφοράς ρεύματος (current tranfer function) που είναι μια αλγεβρική μιγαδική συνάρτηση της γωνιακής συχνότητας ω και είναι: Ii Yi(jω) HI (jω) i I Y (jω) eq
Παράδειγμα Θεωρούμε το κύκλωμα με στοιχεία RC συνδεδεμένα παράλληλα όπως στο σχήμα. Να βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς ρεύματος από την πηγή στον πυκνωτή και από την πηγή στην αντίσταση
Κλιμακωτά κυκλώματα Τα κλιμακωτά κυκλώματα είναι μια κυκλωματική τοπολογία που χρησιμοποιείται συχνά, κυρίως για τη δημιουργία ηλεκτρικών φίλτρων, στα τηλεπικοινωνιακά συστήματα και στα συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας. Η ανάπτυξη μιας απλής μεθόδου για την ανάλυσή τους είναι ιδιαίτερα χρήσιμη. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην αρχή της ομογένειας
Παράδειγμα (/3) Η τάση της πηγής είναι V = 0 0 V. Υποθέτουμε ότι η τάση V6 είναι γνωστή και για λόγους απλότητας θεωρούμε ότι V6 = 0 V. 6 Με βάση αυτήν την υπόθεση, έχουμε: 6, V I j 90 A 4 5 6 j 2 45 A 5 5 jx 5 j,, I I I, V 0 V I 0 A V5 V6 0 V R Ω 6 και V jx I j( j) ( j) 2 35 V 4 4 4
Παράδειγμα (2/3) 3 j V3 V4 V5 ( j) j 90 V 3 V I 80 A jx j επίσης, 3 V R I ( j) j 90 V άρα V V2 V3 j j j2 2 90 V 2 2 2 Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι οι τιμές, που υπολογίστηκαν με βάση την υπόθεση ότι V6 = 0 V, θα ήταν οι πραγματικές τιμές, αν η τάση της πηγής ήταν V = 2 90 V. Όμως, επειδή είναι V = 0 0 V, όλες οι τιμές των τάσεων και των ρευμάτων των κλάδων του κυκλώματος πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί τον συντελεστή κλίμακας: πραγματικη τιμη 0 0 συντελεστης κλιμακας 5 90. υπολογισθεισα τιμη 2 90
Παράδειγμα (3/3) Πολλαπλασιάζοντας τις υπολογισθείσες τιμές των τάσεων και των ρευμάτων των κλάδων επί τον συντελεστή κλίμακας προκύπτουν οι πραγματικές τιμές: I 5 0 A, I 5 90 A, I 5 2 45 A, I 5 90 A 2 3 4 6 V 5 0 V, V 5 0 V, V 5 2 45 V, V V 5 90 V και 2 3 4 5 6
Ερωτήσεις / Απορίες ;