6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ

6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Είναι φυικό ότι ο δειγματικός υντελετής R, ως μια τατιτική υνάτηη, είναι μιά τυχαία μεταβλητή. Οπως είπαμε ήδη μποεί να χηιμοποιηθεί αν εκτιμήτια του. Για να μποέουμε να κάνουμε τατιτική υμπεαματολογία για το χειάζεται να ξέουμε την από κοινού κατανομή των Χ και Υ. Ιδιαίτεο ενδιαφέον παουιάζει η πείπτωη που το (Χ,Υ) ακολουθεί την διμεταβλητή κανονική κατανομή. 6.1 Η Διμεταβλητή Κανονική Κατανομή (The Bivariate Normal Distribution) Οιμός: Το άνυμα (Χ,Υ) ακολουθεί τη διμεταβλητή (ή διδιάτατη κανονική κατανομή) αν η από κοινού υνάτηη πυκνότητας πιθάνοτητας f(,) έχει τη μοφή 1 f, π 1-1 ep (1- -μ ) -μ -μ -μ + όπου μ, μ,, και είναι οι παάμετοι της κατανομής. Μποούν να αποδειχθούν οι παακάτω ιδιότητες της διμεταβλητής κανονικής. Αν (Χ,Υ) δ.μετ. Ν (μ, μ, Ι 1 ) Χ Ν (μ, ) Ι ) Υ Ν ( μ, ) μ, ) τότε I 3 ) Y (X=) N μ - μ, 1 - I 4 ) Χ (Υ=) N - μ, 1 -

Οι ιδιότητες αυτές είναι ημαντικές διότι, εάν θέουμε μ μ α και β από την Ι 3 θα έχουμε, Y (X=) N α +β, 1- δηλαδή η Υ ακολουθεί κανονική κατανομή που η μέη τιμή της είναι γαμμική υνάτηη του και η διαποά της είναι ανεξάτητη από το. Αυτό υνεπάγεται ότι αν έχουμε ένα διμεταβλητό τυχαίο δείγμα (Χ 1, Υ 1 ), (Χ, Υ ),...,(Χ n, Υ n ) από μιά διμεταβλητή κανονική κατανομή όλη η τατιτική υμπεαματολογία που έχουμε αναπτύξει για τη γαμμική παλινδόμηη με ταθεό και ελεγχόμενο Χ θα ιχύει και για την πείπτωη που το Χ είναι τυχαία μεταβλητή. Στο χήμα που ακολουθεί φαίνεται η γαφική παάταη μιας διμεταβλητής κανονικής κατανομής όπως και των αντιτοίχων πειθωίων κατανομών της. Η Διδιάτατη Κανονική Κατανομή Παάδειγμα: Ετω Χ και Υ τα βάη ενός αδελφού και μιάς αδελφής, αντίτοιχα, ε μιά οικογένεια. Ας υποθέουμε ότι το (Χ,Υ) ακολουθεί τη διμεταβλητή κανονική κατανομή με πααμέτους μ =69.5kgr *, μ =64.5kgr *, =.5kgr *, =.4kgr * και =0.6.

α) Να βεθεί η ευθεία γαμμικής παλινδόμηης του Υ επί του Χ. β) Να βεθεί η ευθεία γαμμικής παλινδόμηης του Χ πάνω το Υ. γ) Να βεθεί η δεμευμένη διαποά του Υ και Χ. δ) Να βεθεί η δεμευμένη κατανομή των βαών των αδελφών (γυναικών) που έχουν αδελφούς των οποίων το βάος είναι 68 kgr *. Λύη: α) Έχουμε ότι Ε(Υ) = α + β όπου α = μ μ 4.468 β = 0.576 Επομένως, η ευθεία γαμμικής παλινδόμηης του Υ είναι Ε(Υ ) = 4.468 + 0.576. β) Εδώ έχουμε Ε(Χ ) = α * + β * όπου * α = μ μ 9.1875 Επομένως β * = 0.65 γ) V(Y) = Ε(Χ) = 9.1875 + 0.65 (1 - ) = 3.686 V(X) = (1 - ) = 4.00 δ) Επειδή (Χ,Υ) διμ. κανονονική κατανομή θα έχουμε

Επομένως Y X = N μ - μ, 1 - Y X = 68 N63.64, 3.686 6. Συμπεαματολογία για το Οταν και το Χ και το Υ είναι τυχαίες μεταβλητές (όπως για παάδειγμα την πείπτωη που το (Χ,Υ) ακολουθεί τη διμεταβλητή κανονική κατανομή) δεν ημαίνει υποχεωτικά ότι μποούμε να θεωήουμε τη υγκεκιμένη τιμή της τυχαίας μεταβλητής αν "αιτία" για την αντίτοιχη τιμή της άλλης τυχαίας μεταβλητής. (Οταν οι δύο τυχαίες μεταβλητές έχουν κάποια γαμμική χέη). Με άλλα λόγια, όταν δύο τυχαίες μεταβλητές είναι γαμμικά υνδεδεμένες αυτό δεν υνεπάγεται μια χέη "αιτίας"-"αποτελέματος". Για παάδειγμα, αν Χ είναι το ύψος του πατέα ε μιά οικογένεια και Υ είναι το ύψος ενός γιού, δεν είναι παάλογο να μιλήουμε για χέη αιτίας - αποτελέματος (ψηλοί πατέες έχουν, υνήθως, ψηλούς γιούς). Οταν όμως Χ είναι το ύψος ενός αδελφού και το Υ το ύψος μιάς αδελφής ε μιά οικογένεια και υπάχει γαμμική χέη ανάμεα το Χ και το Υ δεν πέπει να θεωήουμε ότι μιά υγκεκιμένη τιμή του Χ είναι αιτία για μιά τιμή του Υ. Χ και Υ μποεί να έχουν κάποια υχέτιη αυτό όμως δεν ημαίνει ότι η μιά είναι αιτία της άλλης. Και οι δύο χετίζονται την παγματικότητα με κάποιο άλλο παάγοντα (τη υγκεκιμένη πείπτωη τους ίδιους γονείς). Στην πείπτωη που μιά χέη αιτίας - αποτελέματος δεν έχει έννοια χηιμοποιούμε το υντελετή υχέτιης αν μέτο του βαθμού γαμμικής εξάτηης των Χ και Υ (αντί να χηιμοποιήουμε τη γαμμική παλινδόμηη της μιάς την άλλη). Συγκεκιμένα, ξέουμε ήδη ότι αν Χ και Υ είναι ανεξάτητες τυχαίες μεταβλητές τότε είναι και αυχέτιτες (=0). Το αντίτοφο δεν υμβαίνει πάντα. Αν δηλαδή, =0 αυτό δεν ημαίνει υποχεωτικά ότι Χ και Υ είναι ανεξάτητες.

Παόλα αυτά αποδεικνύεται εύκολα ότι αν (Χ,Υ) ακολουθούν τη διμεταβλητή κανονική κατανομή τότε =0 Χ,Υ ανεξάτητες. (Μάλιτα, μποεί να αποδειχθεί ότι η διμεταβλητή κανονική κατανομή είναι η μόνη κατανομή που πληοί την ιδιότητα αυτή). Η ιδιότητα αυτή βοηθά τον έλεγχο της υπόθεης της ανεξατηίας δύο τυχαίων μεταβλητών όταν αυτές ακολουθούν τη διμεταβλητή κανονική κατανομή. Αντί δηλαδή να ελέγξουμε την υπόθεη της ανεξατηίας, μποούμε να ελέγξουμε την υπόθεη =0. 6.3 Έλεγχοι Υποθέεων για το = 0 Αν για διμεταβλητό κανονικό πληθυμό θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεη Η 0 : =0 (δηλαδή την υπόθεη ότι Χ και Υ είναι ανεξάτητες) χειαζόματε την κατανομή της εκτιμήτιας R του. Αποδεικνύεται ότι, κάτω από την μηδενική υπόθεη, η υνάτηη πυκνότητας πιθανότητας του R είναι f * * n 1 n R 1 - R * π n όπου n είναι το μέγεθος του δείγματος, n * =n- οι βαθμοί ελευθείας και Γ(α) είναι η υνάτηη γάμμα. Η υνάτηη f(r) είναι υμμετική γύω από το r=0. Το χήμα 9 που ακολουθεί δίνει τις γαφικές παατάεις της f(r) για n=1, και 3 (n * = 10, 0, 30).

Γαφικές παατάεις της f(r) για n = 1,, 3 Ο Πίνακας που ακολουθεί δίνει το 100(1-α) εκατοτιαίο ημείο r της κατανομής. n-,1-α/

Άνω κιτικές τιμές του r n- 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995 1 0.951 0.988 0.997 1.000 1.000 0.800 0.900 0.950 0.980 0.990 3 0.687 0.805 0.878 0.934 0.959 4 0.608 0.79 0.811 0.88 0.917 5 0.551 0.669 0.755 0.833 0.875 6 0.507 0.61 0.707 0.789 0.834 7 0.47 0.58 0.666 0.750 0.798 8 0.443 0.549 0.63 0.715 0.765 9 0.419 0.51 0.60 0.685 0.735 10 0.398 0.497 0.576 0.658 0.708 11 0.380 0.476 0.553 0.634 0.684 1 0.365 0.457 0.53 0.61 0.661 13 0.351 0.441 0.514 0.59 0.641 14 0.338 0.46 0.497 0.574 0.63 15 0.37 0.41 0.48 0.558 0.606 16 0.317 0.400 0.468 0.54 0.590 17 0.308 0.389 0.456 0.59 0.575 18 0.99 0.378 0.444 0.515 0.561 19 0.91 0.369 0.433 0.503 0.549 0 0.84 0.360 0.43 0.49 0.537 1 0.77 0.35 0.413 0.48 0.56 0.71 0.344 0.404 0.47 0.515 3 0.65 0.337 0.396 0.46 0.505 4 0.60 0.330 0.388 0.453 0.496 5 0.55 0.33 0.381 0.445 0.487 6 0.50 0.317 0.374 0.437 0.479 7 0.45 0.311 0.367 0.430 0.471 8 0.41 0.306 0.361 0.43 0.463 9 0.37 0.301 0.355 0.416 0.456 30 0.33 0.96 0.349 0.409 0.449 40 0.0 0.57 0.304 0.358 0.393 60 0.165 0.11 0.50 0.95 0.35 10 0.117 0.150 0.178 0.10 0.3

Ανάλογα με την εναλλακτική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α, έχουμε i) αν Η 1 : 0, αποίπτουμε την Η 0 αν R r n-, 1-α ii) αν Η 1 : 0, αποίπτουμε την Η 0 αν R - r n-, 1-α iii) αν Η 1 : 0, αποίπτουμε την Η 0 αν R r n-,1-α/ ή αν R - r n-,1-α/ Στην πείπτωη που οι πίνακες της τατιτικής υνάτηης R n-,1-α δεν είναι διαθέιμοι χηιμοποιούμε την ακόλουθη χέη της τυχαίας μεταβλητής R με την κατανομή t. Θεώημα: Αν (X 1, Y 1 ), (X, Y ),..., (X n, Y n ) είναι ένα τυχαίο δείγμα από τη διμεταβλητή κανονική κατανομή τότε T=R n- t n- 1- R Ο έλεγχος επομένως της τατιτικής υπόθεης Η 0 : = 0 γίνεται με τη υνήθη μέθοδο, ανάλογα με τη εναλλακτική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α με την χήη των πινάκων της κατανομής t. Σημείωη: Η χέη της κατανομής του R με την κατανομή t έχει μεγαλύτεη ημαία από την απλή χήη της μιας ως εναλλακτικής τατιτικής υνάτηης της άλλης τους ελέγχους υποθέεων που ποκύπτει από το ποηγούμενο θεώημα. Αυτό γιατί, από την ποηγούμενη χέη, αν εκφάουμε την Τ μέω των S, S και S θα έχουμε T= R n- 1- R = n- S S S - S YY XX XY

= S S = S S S SS S n- n - S ns Y = S S n- S n- S * Y = â S S * Y Η υνάτηη αυτή όμως υμπίπτει με τη τατιτική υνάτηη βˆ - β 0 T = * S Y S που χηιμοποιήαμε για τον έλεγχο υποθέεων για το β της γαμμικής παλινδόμηης για β 0 = 0, με Χ τυχαία μεταβλητή. Βλέπουμε δηλαδή, ότι ο έλεγχος της υπόθεης για μηδενική υχέτιη τη διμεταβλητή κανονική κατανομή (ή ιοδύναμα, ο έλεγχος ανεξατηίας) είναι ιοδύναμος με την υπόθεη H 0 : β=0 την γαμμική παλινδόμηη για ποκαθοιμένες τιμές του. Η χέη αυτή μας επιτέπει να ελέγχουμε υποθέεις για έλλειψη χέης γαμμικής παλινδόμηης (β=0) χωίς να ανηυχούμε για το κατά πόο η ανεξάτητη μεταβλητή είναι ελεγχόμενη ή τυχαία. 6.4 Διατήματα εμπιτούνης για 0 Αν (Χ 1, Υ 1 ), (Χ, Υ ),..., (Χ n, Υ n ) είναι ένα τυχαίο δείγμα από ένα πληθυμό που ακολουθεί τη διμεταβλητή κανονική κατανομή και 0 υπάχει δυνατότητα να κατακευάουμε διατήματα εμπιτούνης για το. Για το λόγο αυτό χηιμοποιούμε το R που

είναι μια ημειακή εκτιμήτια του. Επειδή η ακιβής κατανομή του R όταν 0 είναι εξαιετικά πολύπλοκη αναγκαζόματε να κατακευάουμε διατήματα εμπιτούνης κατά ποέγγιη χηιμοποιώντας ένα μεταχηματιμό που είναι γνωτός αν μεταχηματιμός του Fisher. Έτι, κατακευάζουμε αχικά διάτημα εμπιτούνης για μια υνάτηη του. Η υνάτηη αυτή (μεταχηματιμός του Fisher) είναι η 1 1 1 μ Z ln tanh 1 (Η επιλογή του μεταχηματιμού αυτού οφείλεται το γεγονός ότι, όπως θα δούμε τη υνέχεια, υπάχει αμεόληπτη εκτιμήτια του μ Ζ, με γνωτή κατανομή). Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή κατακευάζουμε πώτα ένα διάτημα εμπιτούνης για το μ Ζ, και μετά μεταχηματίζουμε το διάτημα αυτό ε ένα διάτημα εμπιτούνης για το. Μια αμεόληπτη ημειακή εκτιμήτια για το μ Ζ είναι, ποφανώς, η 1 Z ln 1 R 1 R tanh 1 R Μποεί να αποδειχθεί ότι, αυμπτωτικά, Ζ Ν,1 n - 3 (Στην πάξη, η ποέγγιη αυτή είναι καλή όταν n 5). Επομένως, αυμπτωτικά Z μ Ζ N0,1 1 n - 3 και αν ένα 100(1-a)% διάτημα εμπιτούνης για την παάμετο 1 1 μ Z ln 1 μποούμε να χηιμοποιήουμε το διάτημα που έχει ακαία ημεία τα 1 1 R ln Z1-α/ n - 3 1 R

Χηιμοποιώντας τον αντίτοφο του μεταχηματιμού του Fisher εφαμοζόμενο τα άκα του διατήματος αυτού παίνουμε τα άκα διατήματος εμπιτούνης για το. Για το μεταχηματιμό και τον αντίτοφο μεταχηματιμό υπάχουν πίνακες που διευκολύνουν τους υπολογιμούς. Οι πίνακες αυτοί δίνονται το παάτημα. Παάδειγμα: Ένα τυχαίο δείγμα 8 παατηήεων ( 1, 1 ), (, ),..., ( n, n ), n =8, από μια διμεταβλητή κατανομή έδωε υντελετή υχέτιης (δειγματικό) 0.46 (δηλαδή r = 0.46). Να κατακευαθεί ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για το υντελετή υχέτιης του πληθυμού (Χ,Υ). Λύη: Υποθέτουμε ότι (Χ,Υ) διμεταβλητή κανονική κατανομή. Θα κατακευάουμε πώτα ένα διάτημα εμπιτούνης για το 1 1 μ Z ln. 1 μ Ζ Έχουμε, Ζ 0.975 = 1.96. Το 95% διάτημα εμπιτούνης για το είναι το 1 1 0.46 ln 1.96 8-3 1 0.46 και χηιμοποιώντας τους πίνακες ή κάνοντας τις πάξεις, βίκουμε 0.4973 1.96/5 (0.1053, 0.8893). Χηιμοποιώντας τον αντίτοφο μεταχηματιμό του Fisher, ή τους πίνακες, βίκουμε ότι το αντίτοιχο διάτημα εμπιτούνης για το θα έχει άκα, κατά ποέγγιη, 0.105 και 0.711. Επομένως, ένα κατά ποέγγιη 95% διάτημα εμπιτούνης για το την πείπτωη αυτή είναι το (0.105, 0.711). Σημείωη: Εκτός από τον μεταχηματιμό του Fisher υπάχει και μία γαφική μέθοδος για τον καθοιμό διατημάτων εμπιτούνης για το όταν τα τυχαία δείγματα ποέχονται από μία διμεταβλητή κανονική κατανομή. Το πλεονέκτημα της γαφικής μεθόδου υνίταται το ότι με αυτήν δεν απαιτούνται αιθμητικού υπολογιμοί. Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι για κάθε επίπεδο ημαντικότητας α απαιτείται διαφοετικό γάφημα, ότι τα γαφήματα

μποούν να χηιμοποιηθούν μόνο ε δείγματα μικού μεγέθους, και ότι έχουν ακίβεια, το πολύ, δύο δεκαδικών ψηφίων. Πααδείγματα τέτοιων γαφικών πινάκων, για διαφοετικά α δίνονται το παάτημα. Παάδειγμα: Έτω ότι έχουμε ένα τυχαίο δείγμα 10 παατηήεων με δειγματικό υντελετή υχέτιης r = 0.4 από ένα πληθυμό που ακολουθεί διμεταβλητή κανονική κατανομή. Να κατακευαθεί ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για το. Λύη: Χηιμοποιώντας το γάφημα του παατήματος που αντιτοιχεί ε α= 0.95 και θεωώντας την κατακόυφη γαμμή που ενώνει τα ημεία 0.4 εντοπίζουμε τα ημεία τα οποία η γαμμή αυτή τέμνει τις δύο καμπύλες που αντιτοιχούν ε n=10. Οι οιζόντιες υντεταγμένες των δύο αυτών ημείων τομής είναι τα 95% άκα του ζητούμενου διατήματος εμπιτούνης. Στο παάδειγμα μας τα ημεία αυτά είναι, πείπου, το -0.30 και +0.78. 6.5 Έλεγχοι Υποθέεων για 0 Ο μεταχηματιμός του Fisher χηιμοποιείται και για ελέγχους υποθέεων για τιμές του 0. Στην πείπτωη αυτή χηιμοποιείται η τατιτική υνάτηη Z - μ Z Z = 1 n - 3 που όπως είδαμε αυμπτωτικά είναι Ν(0, 1).