ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ ΣΕ Υ ΑΤΟΡΕΥΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ ΣΕ Υ ΑΤΟΡΕΥΜΑΤΑ 7.1. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΦΕΡΤΩΝ ΥΛΩΝ 7.1.1 Εισαγωγή Η µεταφορά και εναπόθεση των φυσικών φερτών υλών δεν εξαρτάται µόνον από τα χαρακτηριστικά της ροής, αλλά και από τις ιδιότητες τους. Αυτές υποδιαιρούνται στις ιδιότητες των κόκκων µεµονωµένα και στις ιδιότητες των φερτών υλών θεωρουµένων σαν ενιαίο σύνολο. Κατά το παρελθόν, στο σύνολο σχεδόν των µελετών, χρησιµοποιήθηκε µέσο µέγεθος κόκκου ακόµη και για να περιγράψει τις φερτές ύλες σαν σύνολο. Η προσέγγιση αυτή δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα µόνο αν το σχήµα, η πυκνότητα, και η κατανοµή του µεγέθους των φυσικών κόκκων δεν παρουσιάζουν σηµαντικές διαφορές µεταξύ των διαφόρων συστηµάτων των ποταµών. Ιδιότητες όπως η ταχύτητα καθίζησης των κόκκων και η κροκίδωση των λεπτόκοκκων υλικών αποτελούν βασικές παραµέτρους µελέτης της κίνησης των φερτών υλών. Τα φερτά, που αποτελούνται από διάφορα οργανικά και µη υλικά καθώς και χηµικά µέσα, υποδιαιρούνται σε συνεκτικά και µη συνεκτικά αν και υπάρχει µεταξύ αυτών ευρεία µεταβατική ζώνη. Σε αλλουβιανά τµήµατα, για τις µη συνεκτικές ύλες, το µέγεθος των κόκκων και το ειδικό βάρος τους είναι οι κύριες παράµετροι µεταφοράς τους. Οι ύλες αυτές έχουν κοκκώδη µορφή και δεν αποτελούν συνεκτική µάζα. Εντούτοις, οι ιδιότητες του αλλουβιανού εδάφους µεταβάλλονται δραστικά, όταν αυξηθεί, συνήθως πάνω από 10%, η περιεκτικότητα του εδάφους σε ιλύ (Πίνακας 7.1). Στα συνεκτικά εδάφη οι ηλεκτροχηµικές επιδράσεις κυριαρχούν, ενώ το µέγεθος και βάρος των κόκκων ελάχιστο ενδιαφέρον παρουσιάζουν.

178 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Πίνακας 7.1 Ταξινόµηση των εδαφών ανάλογα µε το µέγεθος των κόκκων. Όνοµα κλάσης Μέγεθος σε mm Μέγεθος σε mm Πολύ λεπτή άργιλος -11 - -1 0,0005-0,0004 Λεπτή άργιλος -10 - -11 0,001-0,0005 Μέση άργιλος -9 - -10 0,00-0,001 Χονδρόκοκκη άργιλος -8 - -9 0,004-0,00 Πολύ λεπτή ιλύς -7 - -8 0,008-0,004 Λεπτή ιλύς -6 - -7 0,016-0,008 Μέση ιλύς -5 - -6 0,031-0,016 Χονδρόκοκκη ιλύς -4 - -5 0,06-0,031 Πολύ λεπτή άµµος -3 - -4 0,15-0,06 Λεπτή άµµος - - -3 0,50-0,15 Μέση άµµος -1 - - 0,50-0,5 Χονδρόκοκκη άµµος 0 - - 1 1-0,5 Πολύ χονδρόκοκκη άµµος - 0-1 Πολύ λεπτό χαλίκι - 4 - Λεπτό χαλίκι 3-8 - 4 Μέσο χαλίκι 4-3 16-8 Χονδρόκοκκο χαλίκι 5-4 3-16 Πολύ χονδρόκοκκο χαλίκι 6-5 64-3 Μικρός λίθος 7-6 18-64 Μεγάλος λίθος 8-7 56-18 Μικρός ογκόλιθος 9-8 51-56 Μέσος ογκόλιθος 10-9 104-51 Μεγάλος ογκόλιθος 11-10 048-104 Πολύ µεγάλος ογκόλιθος 1-11 4096-048 Στον πίνακα 7.1 διακρίνουµε 6 βασικές κατηγορίες υλικών, τους ογκόλιθους, τους λίθους, τα χαλίκια, την άµµο, την ιλύ και την άργιλο. Οι ογκόλιθοι ελάχιστο ενδιαφέρον παρουσιάζουν κατά τη µελέτη προβληµάτων µεταφοράς φερτών υλών. Η µέτρηση του µεγέθους ενός µόνο στοιχείου είναι απλή. Αντιθέτως, ο προσδιορισµός της κατανοµής του φορτίου πυθµένα υδατορεύµατος από ογκόλιθους είναι δύσκολος εξαιτίας της απαίτησης µεγάλου όγκου δείγµατος και µεγάλων µεγεθών στοιχείων. Οι λίθοι και τα χαλίκια είναι κατηγορίες που παίζουν σπουδαίο ρόλο στην εκτίµηση των τοπικών διαβρώσεων, της αντίστασης στη ροή και της στερεοπαροχής πυθµένα. Η µέτρησή τους µπορεί να γίνει µε κόσκινα ή µε φωτογραφικές µεθόδους. Η κατηγορία της άµµου είναι αρκετά ενδιαφέρουσα σε µελέτες πολλών φαινοµένων και το µέγεθός της προσδιορίζεται συνήθως µε κόσκινα. Η ιλύς και η άργιλος παίζουν σηµαντικότατο ρόλο στην

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 179 εκτίµηση της ολικής στερεοπαροχής υδατορεύµατος, και σε προβλήµατα όπως τα ρεύµατα πυκνότητας και η σταθεροποίηση καναλιών. Επειδή το µέγεθός τους είναι µικρότερο της πλευράς του ελάχιστου ανοίγµατος κόσκινου, για τη µέτρησή τους χρησιµοποιούνται µέθοδοι όπως η µικροσκοπική και η έµµεση που βασίζεται στη σχετική κίνηση µεταξύ των στοιχείων των φερτών και ενός αιωρούµενου ρευστού. 7.1. Ιδιότητες των φερτών υλών 7.1..1. Μέγεθος Οι πλέον κοινοί ορισµοί του µεγέθους κόκκου είναι: Η διάµετρος κόσκινου, που ορίζεται σαν το µήκος της πλευράς τετραγωνικού ανοίγµατος από το οποίο µόλις περνάει ο κόκκος. Η µικρότερη πλευρά ανοίγµατος είναι 1/ (-4) mm = 0,06mm, δηλαδή το όριο µεταξύ άµµου και ιλύος. Επιπλέον, το όριο αυτό αντιπροσωπεύει, συνήθως, τα πλέον λεπτόκοκκα υλικά που παρατηρούνται σε αισθητές ποσότητες στην κοίτη των περισσοτέρων ρευµάτων. Η διάµετρος καθιζήσεως, ορίζεται σαν η διάµετρος σφαίρας της ίδιας πυκνότητας και της ίδιας ταχύτητας καθιζήσεως στο ίδιο ρευστό και µε την ίδια θερµοκρασία όπως ο κόκκος του δείγµατος. Χρησιµοποιείται κυρίως για την περιγραφή του µεγέθους κόκκων αργίλου και ιλύος. Ονοµαστική διάµετρος, είναι η διάµετρος σφαίρας όγκου ίσου προς τον όγκο του κόκκου. Έχει µικρή αξία για τη µεταφορά φερτών υλών, αλλά είναι χρήσιµη κατά τη µελέτη της φύσης των εναποθέσεων. Τριαξονικές διαστάσεις a, b και c, όπου a ο µέγιστος, b ο ενδιάµεσος και c ο µικρότερος από τους τρεις κάθετους άξονες του κόκκου. Οι µέθοδοι µέτρησης του µεγέθους των κόκκων είναι οπτικές, φωτογραφικές, η µε τη χρήση κόσκινου, διαβήτη, και του φαινοµένου της καθίζησης. Γενικά, στη Μηχανική των ποταµών, το µέγεθος ενός µεµονωµένου κόκκου δεν είναι τόσης σπουδαιότητας όσο η κατανοµή του µεγέθους των κόκκων στον πυθµένα και στα πρανή υδατορεύµατος ή ταµιευτήρα νερού. Οι προηγούµενοι ορισµοί αποτελούν φυσικές ιδιότητες του µεγέθους των κόκκων. Τα φερτά υλικά όµως αποτελούνται από πολλά στοιχεία διαφορετικού µεγέθους, σχήµατος, ειδικού βάρους και ταχύτητας καθιζήσεως. Εποµένως, επιβάλλεται η στατιστική ανάλυση, µε επαρκή αριθµό δειγµάτων ικανοποιητικής έκτασης, ώστε να οριστούν πλήρως τα χαρακτηριστικά αντιπροσωπευτικού στοιχείου µίγµατος φερτών, όταν το µίγµα θεωρηθεί σαν ενιαία µονάδα.

180 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Η πορεία που ακολουθείται για τον προσδιορισµό της κατανοµής του µεγέθους, που βασίζεται στην υποδιαίρεση του µίγµατος σε κλάσεις ανάλογα µε το µέγεθος των κόκκων, είναι γνωστή σαν µηχανική ανάλυση. Τα αποτελέσµατα τέτοιων αναλύσεων παρουσιάζονται συνήθως µε αθροιστικές καµπύλες µεγέθουςσυχνότητας, όπου το εκατοστιαίο ποσοστό βάρους που είναι µεγαλύτερο ή µικρότερο δοθείσας διαµέτρου εκφράζεται στο διάγραµµα σαν συνάρτηση της διαµέτρου (Σχ. 7.1). Σχ. 7.1 Καµπύλη κατανοµής µεγέθους συχνότητας των κόκκων. Οι διάµετροι D 35, D 50, D 65 κλπ. (σχ. 7.1) δηλ. η διάµετρος D κόκκου που το 35%, 50%, 65% κλπ.(βάρος δείγµατος προς το ολικό βάρος)έχει διάµετρο µικρότερη από την αντίστοιχη του κόκκου (είναι πιο λεπτόκοκκο από τον υπό µελέτη κόκκο). Η γεωµετρική µέση διάµετρος D g D = D D (7.1.1) g 84,1 15,9 όπου D 84,1 (ή D 15,9 ) η διάµετρος που αντιστοιχεί στη διάµετρο κόσκινου από την οποία διέρχεται το 84,1% (ή 15,9%) των φερτών υλών αντίστοιχα.

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 181 Η γεωµετρική τυπική απόκλιση σ g : D84,1 σ g= (7.1.) D 15,9 Ο Συντελεστής κοκκοµετρικής διαβάθµισης G D84,1 D G = 0,5 + 50 (7.1.3) D50 D15,9 όπου η διάµετρος D 50 oρίζεται όπως και οι προηγούµενες διάµετροι. Μέση διάµετρος κόκκων D m D m n Ρi Di i= 1 = 100 (7.1.4) όπου Ρ i = η εκατοστιαία αναλογία βάρους κόκκων µέσης διαµέτρου D i. 7.1.. Σχήµα Το µέγεθος κόκκου δεν είναι επαρκές για να τον περιγράψει. Έχει γίνει πλέον φανερό ότι για τη µελέτη της µεταφοράς των φερτών υλών είναι απαραίτητη η γνώση του σχήµατος και της στρογγυλότητας των κόκκων. Το σχήµα χαρακτηρίζεται µε την παράµετρο της σφαιρικότητας του κόκκου S p που ορίζεται: c S = p ab (7.1.5) όπου S p = παράγων σχήµατος, και a, b, c = οι τριαξονικές διαστάσεις. Όπως θα δούµε στα επόµενα, η ταχύτητα καθίζησης των στοιχείων είναι συνάρτηση του S p και του αριθµού Reynold. Η στρογγυλότητα κόκκων ορίζεται σαν η σχέση της µέσης ακτίνας καµπυλότητας των ακµών του κόκκου προς την ακτίνα του µέγιστου κύκλου που περιγράφεται στον κόκκο ή σε προβολή του ή σε τοµή του. Η στρογγυλότητα του κόκκου είναι σηµαντική παράµετρος κατά τη µελέτη των αναπτυσσοµένων τριβών. 7.1..3 Ειδικό βάρος Σε διαταραγµένο και κινητό πυθµένα υδατορεύµατος, η λεπτή άµµος ακόµη και η ιλύς, στο πρωτότυπο, µπορεί να παρασταθεί µε πορώδες στερεό στοιχείο (Σχ. 7.), όπου ορίζονται οι ακόλουθοι όγκοι:

18 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών V g = φαινόµενος όγκος του στοιχείου V b = ο όγκος των πόρων που δεν επικοινωνούν µε την ατµόσφαιρα, οι οποίοι µπορεί να είναι κενοί ή να περιέχουν αέρα ή άλλο υλικό, και V y = ο όγκος των πόρων που επικοινωνούν µε την ατµόσφαιρα, οι οποίοι είναι πλήρεις µε νερό σε υδάτινο περιβάλλον. Με βάση τα προηγούµενα ορίζονται τα ακόλουθα είδη ειδικών βαρών. Ειδικό βάρος γ γ = A d / V d (7.1.6) όπου Α d, V d = το βάρος και ο όγκος της ύλης χωρίς πόρους, αντίστοιχα. Το γ των φερτών υλών ορίζεται συνήθως ως: Σχ. 7. Κενά σε πορώδες στερεό στοιχείο. γ = 650 680 kgr * /m 3 =,65,68 τόνοι/m 3 = 6000 6300 Ν/m 3 (7.1.7) Ξηρό ειδικό βάρος γ k απλού στοιχείου γ k = A k / V k (7.1.8) όπου Α k, V k = το βάρος και ο όγκος ξηρού στοιχείου χωρίς πόρους. Φαινόµενο ειδικό βάρος γ g γ g = A k / V g (7.1.9) όπου Α k µπορεί να διαφέρει από το Α k της σχέσης 7.1.8 όταν οι πόροι είναι

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 183 γεµάτοι µε νερό. Μέσο ειδικό βάρος γ 0 A k+η γ 0 = (7.1.10) V g όπου η = το βάρος του νερού µε το οποίο είναι γεµάτος ο όγκος V υ. Ορίζοντας τα µεγέθη n e Vy Vb + Vy =, και e= (7.1.11) V V g k είναι δυνατόν να γράψουµε 1 γ k=γ( e), γ0=γk (1 nα ) +γnα, γg=γ[1 e(1 nα)] (7.1.1) 1 n α όπου γ = το ειδικό βάρος του απεσταγµένου νερού. Στην περίπτωση που όλα τα κενά επικοινωνούν µε την ατµόσφαιρα, V b = 0, οι σχέσεις 7.1.1 τελικά παίρνουν τη µορφή των εξισώσεων 7.1.13: γ =γ γ =γ (1 n ) +γn, γ =γ (1 n ) (7.1.13) k, 0 α α g H δεύτερη των σχέσεων 7.1.13 αναφέρεται συχνά στη βιβλιογραφία. Για V b 0, o Sentürk έδωσε τις ακόλουθες σχέσεις προσδιορισµού των ειδικών βαρών γ k και γ 0, α γ k γαk = Α Α k 1 γ 0 Α = 3 [ γ y (V bot V V g g ) + A bot ] V g A 1 A = γ γ y 34 (7.1.14) όπου γ = το ειδικό βάρος απεσταγµένου νερού, V bot = ο όγκος δοχείου που χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό του ειδικού βάρους, Α bot = το βάρος του προηγούµενου δοχείου, Α 1 = Α - Α 1, Α 34 = Α 3 - Α 4 και Α Α 1 3 =Α =Α bot bot +γv +γ y bot V, bot γ k V g +γ 0 V, g Α Α 4 =Α γv =Α 1 bot +γ k y +γ V bot k V k, (7.1.15) Το ειδικό βάρος γ ο, που ορίζεται από τη δεύτερη των σχέσεων 7.1.14, µπορεί να χρησιµοποιείται στους τύπους µεταφοράς των φερτών υλών αντί του γ. Η διαφορά τιµής των γ ο και γ, σε ορισµένες περιπτώσεις είναι σηµαντική, όπως γίνεται φανερό και από το παράδειγµα.

184 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Παράδειγµα Στην περίπτωση συγκεκριµένης ελαφρόπετρας έχουµε τα ακόλουθα στοιχεία: Α 1 = 168,857gr, A = 170,4386gr, A 3 = 18,9348gr, A 4 = 18,004gr γ= 0,9967gr/cm 3, V bot = 100cm 3, A bot = 69,151gr A k = 4,001gr γ g = 1,185gr/cm 3 ειδικό βάρος αλµυρού νερού Λύση Το αλµυρό νερό χρησιµοποιείται σαν δεύτερο υγρό µε γ y = 1.185gr/cm 3. Από τα δεδοµένα αυτά προκύπτει: γ k = 1,6701ton./m 3, V g = 5,1631cm 3, και γ 0 = 1,3094ton/m 3, ενώ από την εξίσωση 7.1.6 έχουµε γ =,77ton/m 3, δηλ. σφάλµα 11%. Ανάλογο είναι και το σφάλµα κατά την µελέτη της έναρξης της κίνησης των κόκκων σε φυσικό υδατόρευµα. Το ειδικό βάρος του νερού, που κατά την κίνησή του περιέχει αιωρούµενα στερεά όπως λεπτή ιλύ ή άργιλο, υπολογίζεται ως ακολούθως. Αν γ m, V m είναι το ειδικό βάρος και ο όγκος, αντίστοιχα, του µίγµατος νερού και στερεών, τότε γ V =γv + γ V (7.1.16) m m w όπου γ, V w = το ειδικό βάρος και ο όγκος νερού, και γ, V = το ειδικό βάρος και ο όγκος των στερεών του µίγµατος. Επειδή V m =V w + V και η συγκέντρωση των αιωρουµένων στερεών C ορίζεται µε τη σχέση C γ V = (7.1.17) γ mvm τότε το ειδικό βάρος του µίγµατος προκύπτει γ γ γ m = (7.1.18) γ ( γ γ)c 7.1..4 Ταχύτητα καθίζησης w Η κύρια παράµετρος που χαρακτηρίζει την αλληλοεπίδραση µεταξύ της µεταφοράς των φερτών υλών και του πυθµένα, των πρανών ή των αιωρουµένων στερεών είναι η ταχύτητα καθίζησης (πτώσης) των στερεών στοιχείων w. Η w έχει σταθερή τιµή, όταν η ασκούµενη στον κόκκο, που καθιζάνει σε ήρεµο νερό, συρτική δύναµη F D εξισωθεί µε το βάρος W του βυθισµένου στο νερό κόκκου, δηλαδή: F D w 3 = W ή CDγA = k1d ( γ γ) (7.1.19) g

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 185 όπου C D = αδιάστατος συντελεστής συρτικής δύναµης, γ = ειδικό βάρος νερού, Α = επιφάνεια προβολής του κόκκου σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση πτώσης του και ισούται µε k D, D = η διάµετρος του κόκκου, γ = ειδικό βάρος κόκκου, και k 1, k = αδιάστατοι συντελεστές. Η σχέση 7.1.19 επιλυόµενη ως προς w γίνεται w k = k 1 ( S 1) C gd D (7.1.0) όπου S = το σχετικό ειδικό βάρος των κόκκων. Στην περίπτωση σφαιρικού κόκκου k 1 = π/6, k = π/4 και η σχέση 7.1.0 γίνεται 4( S 1) w = 3C gd D (7.1.1) Ο C D είναι συνάρτηση µόνο του αριθµού Reynold Re (Re = wd /ν, ν = κινηµατικό ιξώδες του νερού). Οι φυσικοί κόκκοι έχουν διάφορα σχήµατα µεταξύ σφαίρας και δίσκου. Το σχήµα τους πλησιάζει περισσότερο προς τη σφαίρα παρά το δίσκο. Για σφαιρικούς κόκκους µε Re < 0,5 (όπου C D = 4/Re) η εξίσωση 7.1.1 γίνεται w = 85,6(D ) (για Re < 0,5) και (7.1.1a) log 10 w = - 0,345(log 10 D ) + 0,9891(log 10 D ) + 1,1461 (για Re > 0,5) (7.1.1b) Στην εξίσωση 7.1.1a και στη δοθείσα από τους Wilon et al. (198) εξίσωση 7.1.1b η διάµετρος D εκφράζεται σε mm και η ταχύτητα καθίζησης w σε cm/ec. Στο σχήµα 7.3 η ταχύτητα w εκφράζεται σαν συνάρτηση της ονοµαστικής διαµέτρου φυσικά διαµορφουµένου χαλαζιακού κόκκου, του παράγοντος σχήµατός του S p, και της θερµοκρασίας του ρευστού. Για φυσικούς κόκκους µε διάµετρο 0.mm µέχρι 0mm η διάµετρος του κόσκινου αποτελεί το 90% της ονοµαστικής διαµέτρου του κόκκου. Η µέση ταχύτητα καθίζησης χαλαζιακής άµµου, σε νερό θερµοκρασίας 0 0 C, προσεγγίζεται ικανοποιητικά µε τις σχέσεις: w= 66,3D w= 13,45D 0.5 13,45 D για για D 0,15mm D 1,5mm, και (7.1.) όπου η ονοµαστική διάµετρος D εκφράζεται σε mm και η ταχύτητα w σε cm/ec.

186 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Σχ. 7.3 Ταχύτητα πτώσης φυσικών χαλαζιακών κόκκων. Για D µεταξύ 0.15mm και 1.5mm οι ταχύτητες w δίνονται από τον πίνακα 7.. Πίνακας 7.. w χαλαζιακής άµµου, σε νερό 0 0 C, για 0.15mm< D <1.5mm D (mm) 0,15 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1, 1,5 W(mm/) 14,8 1,1 36,1 50,0 64,0 76,4 88,6 99,0 110 11 137,3 166 Η ενεργός ταχύτητα καθίζησης µίγµατος φερτών υλών εκφράζεται µε τη σχέση Σpiw pi w= (7.1.3) Σp i όπου p i και w pi = βάρος και ταχύτητα πτώσης του κόκκου στην περιοχή i. Όταν υπάρχουν διάφορα στοιχεία διασκορπισµένα στη µάζα του ρευστού, η ταχύτητα πτώσης κόκκου διαφέρει από την αντίστοιχη του απλού κόκκου σε καθαρό νερό. Αν µε C v παρασταθεί η ογκοµετρική συγκέντρωση του ρευστού (C v = V /V m ) και µε w 0 η ταχύτητα καθίζησης απλού κόκκου σε καθαρό νερό, η ταχύτητα καθίζησης w c, στο ρευστό µε αιωρούµενα στοιχεία συγκέντρωσης C v, είναι: β w c = w 0(1 C v ) (7.1.4)

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 187 ο εκθέτης β είναι συνάρτηση του αριθµού Reynold Re = w c D /ν, και του παράγοντα σχήµατος. Η β µπορεί επίσης να εκφραστεί και σαν συνάρτηση του αδιάστατου µεγέθους του κόκκου D * µε τη σχέση: 3 ρ gd D = ( ) ρ ν 1 3 (7.1.5) όπου ρ/ρ = η σχετική διαφορά πυκνότητας στερεών και νερού, ρ = ρ - ρ, ρ = η πυκνότητα στερεών και ρ = η πυκνότητα νερού. Για κοινούς φυσικούς κόκκους, µε παράγοντα σχήµατος της τάξης του 0,7 (S p 07, ), β = 4,56 για D * <40, β = 7,478D * (-0,19) για 40<D * <8000, και β =,35 για D * >8000. Οι συγκεντρώσεις C και C v συνδέονται µε τη σχέση: 1 1 + ( 1 ) 1 C C S = (7.1.6) v 7.1..5 υναµικό ιξώδες µ. Η συγκέντρωση αιωρουµένων φερτών υλών επηρεάζει το δυναµικό ιξώδες του νερού. Αν µε µ παρασταθεί το δυναµικό ιξώδες του µίγµατος συγκέντρωσης C v και µε µ το δυναµικό ιξώδες του νερού, τότε: µ 3 3 = 1+ k1cv + k Cv+ k3cv +... µ (7.1.7) όπου k 1 5, για C v < % -3%. Σαν πρώτη προσέγγιση θεωρούµε k 1 = k = k 3. 7. ΕΝΑΡΞΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΚΟΚΚΩΝ Σηµαντικό παράγοντα της µελέτης µεταφοράς φερτών υλών, των διαβρώσεων και της κατασκευής σταθερών καναλιών αποτελούν οι αρχές που διέπουν την έναρξη της κίνησης των φερτών υλών. Εξαιτίας της στοχαστικής φύσης της κίνησης των υλών αυτών, είναι πολύ δύσκολο να οριστούν µε ακρίβεια οι συνθήκες ροής υδατορεύµατος κατά τις οποίες ένας κόκκος θα αρχίσει να κινείται. Παρά τις δυσκολίες που παρουσιάζονται σηµαντική πρόοδος, θεωρητικά και πειραµατικά, έχει γίνει προς την κατεύθυνση καθορισµού κάποιων κριτηρίων µε τα οποία να προσεγγίζεται το πρόβληµα. Τα κριτήρια αυτά βασίστηκαν στις

188 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών αναπτυσσόµενες στην περιοχή του πυθµένα διατµητικές τάσεις, στην ταχύτητα του υδατορεύµατος και σε άλλες παραµέτρους που χαρακτηρίζουν τη ροή καθώς και σε πιθανολογικές προσεγγίσεις. 7..1 Θεωρία του Shield O Shield (1936), πιστεύοντας πως ήταν πολύ δύσκολο να εκφράσει αναλυτικά τις δυνάµεις που ασκούνται σε έναν κόκκο, εφάρµοσε τη διαστατική ανάλυση κατά την οποία τις αδιαστατοποιηµένες διατµητικές Θ τάσεις συσχέτισε µε τον αριθµό Reynold Re (βασισµένο στην ταχύτητα τριβής u * και τη διάµετρο D των κόκκων). Οι παράµετροι Θ και Re ορίζονται από τις σχέσεις: τ τ τ/ ρ u Θ= = = = (7..1) D ( γ γ) D γ( γ / γ 1) D g( γ / γ 1) gd ( S 1) u Re= D ν (7..) τ = η αναπτυσσόµενη διατµητική τάση, g = η επιτάχυνση της βαρύτητας, D = η διάµετρος των κόκκων, S = γ /γ = ρ /ρ,65 = το σχετικό ειδικό βάρος των Σχ. 7.4 Νοµογράφηµα του Shield.

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 189 κόκκων, ν = το κινηµατικό ιξώδες του νερού, ρ και ρ f = ρ η πυκνότητα των κόκκων και του νερού. Η σχέση µεταξύ Θ και Re εκφράζεται µε το νοµογράφηµα του σχήµατος 7.4 όπου η τ αντικαταστάθηκε µε τη διατµητική τάση πυθµένα τ ο. Για συνθήκες που αντιστοιχούν σε σηµείο πάνω από την καµπύλη, ο κόκκος θα µετακινηθεί ενώ δεν θα υπάρξει καµία κίνηση (ευσταθές υδατόρευµα) όταν το σηµείο κείται κάτω από την καµπύλη. Οι τιµές του Θ που αντιστοιχούν στα σηµεία της καµπύλης ονοµάζονται κρίσιµες και συµβολίζονται µε Θ c. Ο Yang (1973) διατύπωσε την άποψη ότι το διάγραµµα του Shield δεν πρέπει να αποτελεί το µόνο επιθυµητό κριτήριο για έναρξη κίνησης των κόκκων υδατορεύµατος. 7.. Ανάλυση του White O White (1940) θεωρώντας αµελητέα τη δύναµη άνωσης και βυθισµένου βάρους του κόκκου και εξισώνοντας τη ροπή της συρτικής δύναµης ως προς το κέντρο περιστροφής του κόκκου µε την αντίστοιχη ροπή αντίστασης του κόκκου στην κίνηση κατέληξε στην ακόλουθη σχέση µε την οποία υπολογίζεται η ελάχιστη διατµητική τάση τ (κρίσιµη διατµητική τάση τ c σε kg/m ) που πρέπει να αναπτυχθεί στον πυθµένα για να κινηθεί ο κόκκος τ c = C 1 (γ γ)d (7..3) όπου D η διάµετρος κόκκου σε µέτρα. Για άµµο ισχύει, 1,6 < 10 4 C 1 < 3,88. 7..3 Μελέτη του ASCE To 1977 οµάδα εργασίας του Συλλόγου των Πολιτικών Μηχανικών ( American Society of Civil Engineer, ASCE) των ΗΠΑ, υπό τον V. A. Vanoni, µε αντικείµενο την κίνηση των φερτών υλών αφού συγκέντρωσε και επεξεργάστηκε τα στοιχεία διαφόρων ερευνητών επί της κρίσιµης ταχύτητας έναρξης της κίνησης των κόκκων κατέληξε στο διάγραµµα του σχήµατος 7.5 7..4 Kριτήριο των Mayer-Peter και Muller Οι Meyer-Peter και Muller (1948) καθόρισαν τη διάµετρο D (σε mm) του κόκκου, κατά την έναρξη της κίνησης, από τη σχέση: 1,74S h D = n 1/ 6 D 90 o 3 /

190 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Σχ. 7.5 Κρίσιµη ταχύτητα για την έναρξη κίνησης των κόκκων (ASCE). όπου S o = η κλίση του πυθµένα υδατορεύµατος, h = το βάθος (σε m), n = συντελεστής Manning, D 90 = διάµετρος των κόκκων µε το 90% λεπτότερα υλικά (σε mm). 7..5 Κριτήριο των Mavi και Lauhey Οι Mavi και Lauhey (1948) καθόρισαν τη διάµετρο D (σε mm) του κόκκου, κατά την έναρξη της κίνησης, από τη σχέση: D = 0,4V (7..5) όπου V = η µέση ταχύτητα. 7..6 Κριτήριο της διεύθυνσης έγγειων βελτιώσεων των ΗΠΑ (1977) Εκφράζοντας την κρίσιµη διατµητική τάση τ c µε τη γνωστή σχέση τ c = γr h S o (7..6) όπου γ = το ειδικό βάρος του νερού, R h = η υδραυλική ακτίνα που για µεγάλου πλάτους υδατορεύµατα είναι περίπου ίση προς το βάθος και S o = η κλίση του πυθµένα. Οι µονάδες της τ c εξαρτώνται από τις µονάδες των γ και R h. Η διάµετρος των κόκκων που αντιστοιχεί στην έναρξη της κίνησης τους όταν ασκείται η τ c προκύπτει από το νοµογράφηµα του σχήµατος (7.6).

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 191 Σχ. 7.6 Κρίσιµη διάµετρος συναρτήσει της κρίσιµης διατµητικής τάσης. Παράδειγµα Υδατόρευµα έχει τα ακόλουθα στοιχεία: παροχή Q = 1,6 m 3 /ec, πλάτος b = 1m, βάθος h = 1,5 m, ταχύτητα V = 1, m/ec, κλίση πυθµένα S ο = 0,00, διάµετρο κόκκων D 90 = 45mm, συντελεστή τραχύτητας Manning n = 0,04 και κινηµατικό ιξώδες νερού ν = 1*10-6 m /ec. Να προσδιοριστεί η διάµετρος του κόκκου D (σε mm) κατά την έναρξη της κίνησης του µε την εφαρµογή των εξισώσεων των Meyer-Peter και Muller, των Mavi και Lauhey, της διεύθυνσης έγγειων βελτιώσεων των ΗΠΑ και το διάγραµµα του Shield. Λύση α) Εξίσωση των Meyer-Peter και Muller:

19 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών d= S h 1/ 6 ( n / D ) 1,74 * 0,00 *1,5 0,003 = = 1/ 6 3 / (0,04 / 45 ) 0,000179 o = 3 / 90 16,74 mm β) Μέθοδος των Mavi και Layhey: d = 0,4V = 0,4*1, = 9,38 mm γ) Γραφείο έγγειων βελτιώσεων των ΗΠΑ: τ c = γr h S o, R h = 1*1,5/(1+*1,5) = 1,m άρα τ c = 1000*1,*0,00 =,4 kg/m Από το σχήµα 7.6 για τ c =.400 g/m και ευσταθές κανάλι προκύπτει: d = 34 mm δ) ιάγραµµα του Shield: τc γr S 1000*1,*0,00,4 1,45 τ h o * = = = = = γ γ)d ( γ γ)d (650 1000)d 1,65d d ( Υποθέτοντας ότι η ροή βρίσκεται στην πλήρως τραχεία περιοχή, όπου u * d / ν > 500, η τιµή της διατµητικής τάσης τ * είναι ίση µε 0,06. Εποµένως: 1,45 0,06 = ή d = 4, mm. d Έλεγχος: u* d τ d ρgr hso d d 0,040 = = = grhso = 9,81*1,*0,00 = 0,153*4.00 = 3713> 500 ν ρν ρ ν ν 6 1*10 7.3 ΦΥΣΙΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΠΥΘΜΕΝΑ ηµιουργία στρωµάτων προστασίας παρατηρούνται: α. Σε αλλουβιανά τµήµατα αγωγών, µε φερτά υλικά µεταβλητής διαµέτρου, σαν αποτέλεσµα: i) διάβρωσης του πυθµένα κατάντη φράγµατος ii) στένωσης του αγωγού iii) κατά τη διάρκεια τοµών της κλίσης ή του πυθµένα στην περιοχή της κοιλάδας β. Σε χαλικώδη πυθµένα ποταµών που περιέχει και λεπτόκοκκα υλικά. Το φυσικό στρώµα προστασίας σχηµατίζεται µε τη συνεχή επίδραση της ροής στο υλικό του πυθµένα και ειδικότερα κατά τη διάρκεια των πληµµυρών. Είναι φαινόµενο πολύ γνωστό σε χαλικώδεις πυθµένες υδατορευµάτων. Ειδικότερα, κατά την περίοδο των πληµµυρών, οι διατµητικές τάσεις πυθµένα υπερβαίνουν συχνά τις κρίσιµες διατµητικές τάσεις αντοχής του µίγµατος των υλικών του πυθµένα. Οι µεγαλύτεροι κόκκοι που δεν µετακινούνται, µε τις συνθήκες αυτές, παραµένουν στον πυθµένα σχηµατίζοντας ένα επιφανειακό στρώµα προστασίας (Σχ. 7.7) µε υλικά πολύ περισσότερο χονδρόκοκκα από τα αντίστοιχα του πυθµένα.

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 193 Σχ. 7.7 Σχηµατισµός στρώµατος προστασίας. (α) Αρχική κατάσταση (β) Στρώµα προστασίας Το στρώµα αυτό µπορεί να θεωρηθεί σαν µία επιφάνεια προστασίας του πυθµένα που ποτέ δεν κινείται. Το βάθος διάβρωσης h υπολογίζεται ως εξής (Borah 1989): h = z D b α (7.3.1) όπου z b = D α ( 1 η ) P p α (7.3.) το βάθος του ενεργού στρώµατος, D α = το ελάχιστο βάθος προστασίας, η p = το πορώδες των υλικών του πυθµένα και Ρ α = το κλάσµα όλων των υλικών προστασίας που εµφανίζονται στον πυθµένα. Το D α υπολογίζεται από τις σχέσεις: D α D α 167. hs 0. 67 = 68 ( u ν ) S 1 0. 68 014. hs ν = 7 S 1 u u D για 50 10 ν u D για 10< 50 500 ν (7.3.3) (7.3.4) hs D α = 17 S 1 για u D 50 > 500 ν (7.3.6) όπου h = το βάθος, S = κλίση της γραµµής ενέργειας, S gρ = u = ghs gρ,,

194 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών και ν = κινηµατικό ιξώδες του νερού. Το πορώδες η p µπορεί να προσδιοριστεί από την εµπειρική σχέση η p = 0. 45+ 0. 0864 0. 1 01 50 (. D ) (7.3.7) Η µέθοδος αυτή ελέγχθηκε µε δεδοµένα πεδίου των Karim και Kennedy (198) και έδωσε ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Μπορεί να εφαρµοστεί στον υπολογισµό του βάθους διαβρώσεως κατάντη υδραυλικών κατασκευών, σε νέα µη επενδυµένα κανάλια και κατά την επιλογή των υλικών προστασίας του πυθµένα αγωγών. Όταν το στρώµα προστασίας γίνεται ασταθές, κατά τη διάρκεια συνθηκών πληµµύρας, το στρώµα προστασίας καλείται κινητό. Τη συµπεριφορά των στρωµάτων αυτών µελέτησε ο Klaaen (1990). 7.4 ΕΥΣΤΑΘΕΣ Υ ΑΤΟΡΕΥΜΑ Κατά µήκος του υδατορεύµατος η διάµετρος των κόκκων δεν παραµένει σταθερή. Μία προσεγγιστική σχέση µεταβολής της διαµέτρου των κόκκων D µε την απόσταση x είναι η ακόλουθη: α x D = D e 1 0 (7.4.1) όπου D 0 = η διάµετρος των κόκκων στη θέση x = 0 και α 1 = συντελεστής που έχει διαστάσεις (µήκος) -1. Eνδεικτικές τιµές του α 1, για ορισµένους ποταµούς, περιέχονται στον επόµενο πίνακα. Πίνακας 7.3 Τιµές του εκθέτη α 1 Ποταµός α 1 (m -1 ) Ρήνος 3,6 Μούρ 6,0 Ρίο Γκράντε 3,6 Μισισιπής 0,9 Ανάλογη είναι και η σχέση που εκφράζει την κλίση S o του ποταµού, δηλ. α x S = S e (7.4.) o oo

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 195 όπου S oo η τιµή της κλίσης S o στη θέση x = 0. Οι εκθέτες α 1 και α προκύπτουν από µετρήσεις πεδίου. 7.4.1 Ευσταθής κλίση Αν το υδατόρευµα δεν είναι ευσταθές και δεν επαρκούν τα χονδρόκοκκα υλικά να αναπτύξουν φυσικό στρώµα προστασίας, η διάβρωση µπορεί να υπολογιστεί εφαρµόζοντας τη µέθοδο της ευσταθούς κλίσεως (υπηρεσία έγγειων βελτιώσεων των ΗΠΑ 1987). Το επόµενο σχήµα περιλαµβάνει την υπολογιστική διαδικασία που ακολουθείται. Σχ. 7.8 Προφίλ διαβρωµένου καναλιού µε τη µέθοδο των τριών κλίσεων Η µέθοδος βασίζεται στον όγκο του υλικού που θα µετακινηθεί. Η τελική κλίση ώστε να µην παρουσιάζεται κίνηση φερτών υλών καθορίζεται µε µία από τις ανάλογες εξισώσεις (π.χ. των Meyer-Peter και Muller). Αν στα κατάντη υπάρχει βράχος ή άλλη διατοµή ελέγχου, η οριακή κλίση θα ξεκινήσει από τη θέση αυτή και θα εκταθεί προς τα ανάντη. Αν στα κατάντη δεν υπάρχει διατοµή ελέγχου το βάθος διάβρωσης D g υπολογίζεται από τη σχέση: D g 1/ 1/ 64Ag S 64Ug S = = 39 39b (7.4.3) όπου A g = U g /b = ο όγκος U g του διαβρωµένου υλικού ανά µονάδα πλάτους b του διαβρωµένου καναλιού και S = S o S L = η διαφορά µεταξύ υπάρχουσας κλίσης

196 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών S o και κλίσης S L ευσταθούς καναλιού. Το µήκος διάβρωσης είναι: L g 13Dg = (7.4.4) 8 S Παράδειγµα Υδατόρευµα έχει τα ακόλουθα στοιχεία: παροχή Q = 1,6 m 3 /ec, πλάτος b = 10m, βάθος h = 0,35 m, κλίση πυθµένα S = 0,0015, διαµέτρους κόκκων D 90 = 0,96mm, D m = D 50 = 0,3mm, συντελεστή τραχύτητας Manning n = 0,03. Προκαταρκτικές µελέτες έδειξαν ότι,5*10 6 m 3 άµµου θα εναποτεθούν στον ταµιευτήρα φράγµατος κατά τη διάρκεια των 100 ετών που είναι και ο οικονοµικός χρόνος ζωής της κατασκευής. Έρευνες ενισχύουν την παραδοχή ότι ίση ποσότητα άµµου θα διαβρωθεί από το κατάντη του φράγµατος τµήµα του υδατορεύµατος. Να προσδιοριστεί η κλίση ισορροπίας, µε τη µέθοδο των τριών κλίσεων, στηριζόµενοι στα κριτήρια των Meyer-Peter και Muller, της υπηρεσίας των έγγειων βελτιώσεων των ΗΠΑ και του Shield. Λύση α) Meyer-Peter και Muller: 1/ 6 3 / 1/ D50(n / D90 ) 0,3* (0,03 / 0,96 S = = 1,74 * h 1,74 * 0,35 6 3 / ) L = 0,0006 S = 0,0015 0,0006 = 0,0014 A g = V g /b =,5*10 6 /10 = 0.833 m D g = (64*A g * S/39) 1/ = (64*0.833*0,0014/39) 1/ = 6,5m L g = (13D g )/(8 S) = (13*6,5)/(8*0,0014) = 8.518m L 1 = D g /( S) = 6,5/(*0,0014) =.61m L = (3D g )/(8 S) = (3*6,5)/(8*0,0014) = 1965m L 3 = (3D g )/(4 S) = (3*6,5)/(4*0,0014) = 3.930m A 1 = (3D g )/(8 S) = (3*6,5 )/(8*0,0014) = 1.777m A = (9D g )/(64 S) = (9*6,5 )/(64*0,0014) = 4.791m A 3 = (3D g )/(3 S) = (3*6,5 )/(3*0,0014) = 3.194m β) Υπηρεσία των έγγειων βελτιώσεων των ΗΠΑ Από το σχήµα 7.6 για D 50 = 0,3mm και καθαρό νερό προκύπτουν διατµητικές τάσεις από τ = 60 gr/m µέχρι τ = 160 gr/m. Eπιλέγεται η µέση τιµή των τ σαν η τελική τιµή του. Εποµένως: τ = (60 +160)/ = 110 = 0,11kgr/m. Επιπλέον R h = (10*0,35)/(10 + *0,35) = 0,348m = 0,35m = h, τότε: τ 0,11 S L = = 0,00031 γr 1000*0,35 = 4 h S = 0,0015 0,000314 = 0,001186

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 197 A g = V g /b =,5*10 6 /10 = 0.833 m D g = (64*A g * S/39) 1/ = (64*0.833*0,001184/39) 1/ = 6,36m L g = (13D g )/(8 S) = (13*6,36)/(8*0,001186) = 8.714m L 1 = D g /( S) = 6,36/(*0,001186) =.681m L = (3D g )/(8 S) = (3*6,36)/(8*0,001186) =.010m L 3 = (3D g )/(4 S) = (3*6,36)/(4*0,001186) = 4.0m A 1 = (3D g )/(8 S) = (3*6,36 )/(8*0,001186) = 1.790m A = (9D g )/(64 S) = (9*6,36 )/(64*0,001186) = 4.796m A 3 = (3D g )/(3 S) = (3*6,36 )/(3*0,001186) = 3.197m γ) ιάγραµµα Shield Θεωρούµε u D τ γhsl > 500 = 0,06 ν ( γ γ)d ( γ γ)d S * = 0,06D( γ = γh γ) 0,06* 0,00096*1650 = 1000*0,35 L = 0,0007 0,06 S = 0,0015 0,0007 = 0,0018 A g = V g /b =,5*10 6 /10 = 0.833 m D g = (64*A g * S/39) 1/ = (64*0.833*0,0018/39) 1/ = 6,48m L g = (13D g )/(8 S) = (13*6,48)/(8*0,0018) = 8.575m L 1 = D g /( S) = 6,48/(*0,0018) =.638m L = (3D g )/(8 S) = (3*6,48)/(8*0,0018) = 1979m L 3 = (3D g )/(4 S) = (3*6,48)/(4*0,0018) = 3.958m A 1 = (3D g )/(8 S) = (3*6,48 )/(8*0,0018) = 1.83m A = (9D g )/(64 S) = (9*6,48 )/(64*0,0018) = 4.809m A 3 = (3D g )/(3 S) = (3*6,5 )/(3*0,0014) = 3.05m Τα υπολογισµένα αποτελέσµατα από οποιαδήποτε µέθοδο µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την κατασκευή του προφίλ τριών κλίσεων ισορροπίας του πυθµένα. Οι επόµενοι υπολογισµοί βασίζονται στα δεδοµένα των Meyer-Peter και Muller. H αρχική στάθµη πυθµένα, στην αρχή του τµήµατος που µελετάται, είναι 30m. Οι στάθµες στα πέρατα των τµηµάτων L 1, µέχρι L 3 προκύπτουν ως εξής: S o = (30 Y 1 )/L 1 και Y 1 = 30 S o L 1 = 30 0,0015*.61 = 6,07m S o = (30 Y )/(L 1 + L ) και Y = 30 So(L 1 + L ) = 30 0,0015*(.61 + 1.965) = 3,1m S o = (30 Y 3 )/L g και Y 3 = 30 SoL g = 30 0,0015*8.518 = 17,m Οι στάθµες στις αρχές των τµηµάτων είναι: Υ 11 = 30 D g = 30 6,5 = 3,5m Y 1 = Y 1-0,5D g = 6,07 0,5*6,5 =,8m Y 31 = Y - 0,5D g = 3,1 0,5*6,5 = 1,5m Τελικά οι κλίσεις ισορροπίας των τριών τµηµάτων είναι: S 1 = S L = 0,0006 ότι

198 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών S = (Y 1 - Y 31 )/L = (,8-1,5)/1965 = 0,00067 S 3 = (Y 31 - Y 3 )/L 3 = (1,5-17,)/3930 = 0,00109 7.4. Ευσταθές ευθύγραµµο τραπεζοειδές κανάλι Τα περισσότερα από τα κριτήρια έναρξης της κίνησης φερτών υλών αναφέρονται στον πυθµένα ορθογώνιου ευθύγραµµου καναλιού. Τα πλείστα των καναλιών είναι τραπεζοειδή και εποµένως απαιτείται τροποποίηση των κριτηρίων πριν αυτά εφαρµοστούν στη µελέτη άλλων καναλιών ή ευσταθών τραπεζοειδών. Αν µε F w συµβολιστεί η διατµητική δύναµη που ασκείται στις παρειές του καναλιού και µε F b η αντίστοιχη στον πυθµένα, τότε: F w 1/ tan W co tan θ = θ ϕ 1 tan και F b = W tanφ (7.4.5) ϕ από τις οποίες προκύπτει: 1/ F w tan K co θ = = θ 1 F b tan (7.4.6) ϕ και προσεγγιστικά Κ = τ w /τ b (7.4.7) όπου W = το βυθισµένο βάρος των κόκκων, που για σφαιρικό κόκκο γίνεται W = (ρ ρ)gπd 3 /6, θ = η γωνία κλίσεως των πλευρών της τραπεζοειδούς διατοµής ως προς την οριζόντια διεύθυνση, τ w, τ b = οι διατµητικές τάσεις που ασκούνται στις παρειές και τον πυθµένα του καναλιού, αντίστοιχα και φ = η γωνία τριβής, που εκφράζεται συναρτήσει της διαµέτρου και του σχήµατος των κόκκων (σχ. 7.9). Για ευσταθή κανάλια η τιµή της τ b µπορεί να υπολογιστεί από το διάγραµµα του Shield (σχ. 7.4) ή από το διάγραµµα του σχήµατος 7.6. Ο Lane (1953) έδωσε καµπύλες ευσταθούς τραπεζοειδούς διατοµής ανάλογα µε τις κλίσεις των πλευρών(σχ. 7.10). Οι καµπύλες βασίζονται στη µέγιστη τάση που επιτρέπεται να ασκηθεί στις πλευρές της διατοµής ώστε να παραµείνει ευσταθής. Παράδειγµα Για παροχή Q = 0 m 3 /ec, κλίση πυθµένα S o = 0,0008, συντελεστή Manning n = 0,0 και διάµετρο D 50 = 0mm, να σχεδιαστεί ευθύγραµµο κανάλι τραπεζοειδούς διατοµής, χωρίς επένδυση, µε τη µέθοδο Lane των µέγιστων διατµητικών τάσεων.

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 199 Σχ. 7.9 Γωνία τριβής µη συνεκτικών υλών. Σχ. 7.10 Μέγιστες επιτρεπόµενες διατµητικές τάσεις σε κανάλι. Λύση D 50 = 0mm = 0,787in Από το σχήµα 7.9 η γωνία τριβής για ελαφρώς στρογγυλεµένα υλικά είναι φ = 33 ο.

00 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Οι παρειές του καναλιού πρέπει να έχουν κλίσεις µικρότερες από τις αντίστοιχες στη γωνία τριβής φ του υλικού της όχθης. Επιλέγεται κλίση των παρειών 1:1,8 (κατακόρυφη κατεύθυνση 1 και οριζόντια 1,8). Στην περίπτωση αυτή η γωνία κλίσεως είναι θ = εφ -1 (1/1,8) = 9 ο < 33 ο. Εξετάζεται τώρα κατά πόσον οι διατµητικές τάσεις που αναπτύσσονται στον πυθµένα ή τις παρειές αποτελούν τον παράγοντα ελέγχου της διατοµής. τ K = τ 1/ 1/ 1/ w θ 0,307 0,875 1 = = b ϕ 0,4 tan = coθ 1 tan tan = co9 1 tan 9 33 0,456 Θεωρούµε ότι ο λόγος πλάτους προς βάθος είναι µεγαλύτερος από 4. από το σχήµα 7.10 για 1,8:1 η µέγιστη επιτρεπόµενη συρτική δύναµη στην παρειά είναι και ο παράγων ελέγχου. Άρα: µέγιστη επιτρεπόµ. συρτική δύναµη = 0,775γhS o = 0,775*1000*h*0,0008 = 0,6h Από το σχήµα 7.6, για D 50 = 0mm η τιµή της τάσης τ b στον πυθµένα του καναλιού είναι kg/m. Η διατµητική τάση που ασκείται στα τοιχώµατα είναι: τ w = Kτ b = 0,456* = 0,91kg/m. Η τάση αυτή πρέπει να είναι ίση µε τη µέγιστη επιτρεπόµενη συρτική δύναµη, δηλ. 0,6h = 0,91 και το βάθος ροής προκύπτει h = 0,91/0,6 = 1,47m. Επειδή υποτέθηκε b/h = 4, τότε b = 4*1,47 = 5,88m. Από τα στοιχεία αυτά έχουµε: A = (b + 1,8h)h = (5,88 + 1,8*1,47)*1,47 = 1,53m P = b + (1 + 1,8 ) 0,5 h = b + 4,1h = 5,88 + 4,1*1,47 = 11,94m R h = A/P = 1,53/11,94 = 1,05m Έλεγχος: Υπολογίζεται η παροχή Q µε βάση τους προηγούµενους υπολογισµούς και συγκρίνεται µε τη δεδοµένη παροχή Q = 0m 3 /ec 1 / 3 1/ 1 / 3 1/ 3 Q= AV= A R h So = 1,53* *1,05 *0,0008 = 18,31m /ec n 0,0 H παροχή των 18,31m 3 /ec απέχει από την παροχή των 0m 3 /ec που δόθηκε. Θα πρέπει η εργασία να επαναληφθεί µε νέα τιµή της σχέσης πλάτους προς βάθος b/h. 7.5 ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΠΥΘΜΕΝΑ 7.5.1 Γενικά Με τον όρο µορφή πυθµένα ορίζεται το σχήµα που αποκτά ο πυθµένας όταν οι ανωµαλίες του είναι µεγαλύτερες από το µέγιστο µέγεθος κόκκου του πυθµένα. Στη βιβλιογραφία αναφέρονται και άλλοι όροι όπως: γεωµετρία πυθµένα, ανωµαλίες πυθµένα, αµµοκύµατα και σχήµα πυθµένα. Γενικά η µορφή του πυθµένα εξαρτάται και από την µετακίνηση των κόκκων του. Τα φερτά υλικά

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 01 µεταφέρονται σαν φορτίο: 1. Σε αιώρηση, όταν κινούνται σε κάποια απόσταση από την κοίτη.. Κοίτης, όταν κινούνται στην άµεση γειτονιά της κοίτης µε κύλιση αιώρηση ή µικρά άλµατα. Η φύση της κίνησης εξαρτάται από το µέγεθος των στερεών στοιχείων, το σχήµα τους και το ειδικό τους βάρος καθώς και από τις συνθήκες ροής όπως ταχύτητα και τυρβώδες. Κάτω από συνθήκες µεγάλων ταχυτήτων και τυρβώδους, όπως στα ορεινά υδατορεύµατα, ακόµη και µεγάλα χαλίκια κινούνται σε αιώρηση. Αντίθετα, σε µικρών ταχυτήτων υδατορεύµατα, όπως στις τάφρους στράγγισης, στερεά µεγέθους ιλύος είναι δυνατόν να αποτελούν φορτίο κοίτης. 3. ιαλυµένο, που συνίσταται από υλικά που µεταφέρονται µε µορφή διαλύµατος. Είναι γνωστό ότι οι µεταβολές στον πυθµένα καναλιών µε κινητό πυθµένα οφείλονται στην αλληλοεπίδραση µεταξύ της ροής, του ρευστού, των φερτών υλών και της γεωµετρίας του καναλιού. Τα κριτήρια της προηγούµενης παραγράφου καθορίζουν αν θα µετακινηθεί ή όχι ένας κόκκος. Οι Simon και Richardon (1966) µελέτησαν σε εργαστηριακό αγωγό την εξέλιξη της αρχικά επίπεδης χαλαρής κοίτης από άµµο. Τα στάδια που ακολουθεί η µορφή του πυθµένα περιγράφεται στις επόµενες παραγράφους: 7.5. Αµµοκυµάτια (σχ. 7.11) Ο αρχικά επίπεδος πυθµένας θα έχει αυτή τη µορφή όσο η αδιάστατη παράµετρος του Shield Θ παραµένει µικρότερη µιας ορισµένης τιµής έστω Θ c που αντιστοιχεί στην καµπύλη του Sheild. Μόλις η τιµή του Θ υπερβεί την τιµή Θ c αρχίζει η µετακίνηση των κόκκων σχηµατίζοντας κυµατοειδείς προεξοχές στον πυθµένα που καλούνται αµµοκυµάτια. Εξαιτίας των διαβρώσεων στην ανάντη παρειά και των εναποθέσεων στην κατάντη τα αµµοκυµάτια εµφανίζονται κινούµενα προς την κατεύθυνση της ροής µε µία ταχύτητα διάδοσης V w. Η ταχύτητα αυτή είναι πολύ µικρότερη της ταχύτητας του υδατορεύµατος. Τα χαρακτηριστικά της ροής πάνω από πυθµένα µε αµµοκυµάτια είναι: 1. D 50 < 0,6mm.. Επίπεδη ελεύθερη επιφάνεια. 3. Το φορτίο των φερτών υλών µετακινείται κυρίως σαν φορτίο κοίτης. Το αιωρούµενο φορτίο είναι πρακτικά ανύπαρκτο. 4. Η αντίσταση στη ροή είναι αντιστρόφως ανάλογη της ισχύος του υδατορεύµατος VγR h S (όπου V, γ = η ταχύτητα και το ειδικό βάρος του νερού, R h = η υδραυλική ακτίνα και S = κλίση του πυθµένα) ή του συντελεστή τριβής των Darcy-Weibach f που αντιστοιχεί στα αµµοκυµάτια (και όχι στην τραχύτητα του πυθµένα εξαιτίας των κόκκων). Ο συντελεστής αυτός καλείται f και θα οριστεί στην επόµενη παράγραφο.

0 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών 5. Η γεωµετρική µορφή τους είναι τριγωνική µε διάταξη εγκάρσια προς την κατεύθυνση της ροής. Σχ. 7.11 Μορφές πυθµένα. 7.5.3 Αµµοκύµατα (σχ. 7.11) Όταν οι διατµητικές τάσεις τ = γr h S ή η ισχύς του υδατορεύµατος αυξηθούν σε σχέση προς την αντίστοιχη των αµµοκυµατίων, σχηµατίζονται στον πυθµένα αµµοκύµατα µε τα ακόλουθα κύρια χαρακτηριστικά: 1. 0,6mm < D 50 < 15mm.. Στην ελεύθερη επιφάνεια σχηµατίζονται κύµατα µε διαφορά φάσεως 180 ο. 3. Υπάρχει αιωρούµενο φορτίο 4. Για D 50 > 0,6mm, η αντίσταση στη ροή είναι αντιστρόφως ανάλογη του f. 5. Στην ανάντη παρειά των αµµοκυµάτων πιθανόν να εµφανιστούν αµµοκυµάτια. Τα αµµοκύµατα διαδίδονται προς τα κατάντη όπως και τα αµµοκυµάτια. Tο ύψος f και το µήκος τους λ των αµµοκυµάτων δίνονται από τις σχέσεις: f h 0. 3 D = e T h 011 50 0. 5. 1 5 ( T) (7.5.1) λ = 7. 3h (7.5.) όπου D 50 = διάµετρος κόκκου (µε ποσοστό 50% του δείγµατος να διέρχεται από την αντίστοιχη διάµετρο του κόσκινου), e = η βάση των νεπερίων λογαρίθµων και

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 03 Τ = η παράµετρος της βαθµίδας µεταφοράς που ορίζεται από τη σχέση ( u ) ( u c) ( u ) c Τ = (7.5.3) όπου u = η κρίσιµη ταχύτητα τριβής πυθµένα για την έναρξη κίνησης των c κόκκων (προσδιορίζεται από την καµπύλη του διαγράµµατος του Shield) και = η ταχύτητα τριβής (που σχετίζεται µε τους κόκκους) και είναι u u = g C U (7.5.4) U = η µέση ταχύτητα του νερού και C = ο συντελεστής Chezy (που σχετίζεται µε τους κόκκους) και είναι 1R C = 18log h (7.5.5) 3D 90 όπου R h = η υδραυλική ακτίνα, D 90 = διάµετρος κόκκων, και µε log συµβολίζεται ο δεκαδικός λογάριθµος. Ο C έχει διαστάσεις (µήκος) 1/ /χρόνος. 7.5.4 Επίπεδη κοίτη (σχ. 7.11) Αν αυξηθούν ακόµη περισσότερο οι διατµητικές τάσεις τ η ισχύς του υδατορεύµατος, το ύψος των αµµοκυµάτων ελαττώνεται και τελικά τα αµµοκύµατα εξαφανίζονται οπότε ο πυθµένας παίρνει επίπεδη µορφή. 7.5.5 Αντιαµµοκύµατα (σχ. 7.11) Για ακόµη µεγαλύτερες τιµές των τάσεων τ ή της ισχύος του υδατορεύµατος σχηµατίζονται στον πυθµένα και την ελεύθερη επιφάνεια κυµατισµοί. Με τη συνεχή αύξηση των τάσεων, τα αµµοκύµατα συνεχώς αυξάνουν το ύψος τους µέχρις ότου η επιφάνειά τους γίνει ασταθής και στη συνέχεια παρατηρηθεί θραύση των αµµοκυµάτων. Καθώς τα αντιαµµοκύµατα αυξάνουν το ύψος τους φαίνονται να κινούνται προς τα ανάντη, τα κατάντη (ανάλογα µε την παρειά που διαβρώνεται ή στην οποία παρατηρούνται εναποθέσεις) να είναι στάσιµα. Τα χαρακτηριστικά των αντιαµµοκυµάτων είναι: 1. Οι κυµατισµοί ελεύθερης επιφάνειας και πυθµένα βρίσκονται σε φάση.

04 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών. Κατά τη θραύση των αντιαµµοκυµάτων, οπότε παρατηρείται έντονη τοπική διαταραχή ισχύει η σχέση: gl V = (7.5.6) π όπου V = η ταχύτητα του νερού, L = το µήκος των αντιαµµοκυµάτων και g = η επιτάχυνση της βαρύτητας. 3. Το µήκος L των αντιαµµοκυµάτων ορίζεται ως: L = πv /g. 4. Η τιµή του αριθµού Froude [V/(gh) 0,5 µε h = το βάθος ροής] για να παρατηρηθεί αντιαµµόκυµα µειώνεται όσο το βάθος ροής αυξάνεται ή το µέγεθος των κόκκων της άµµου µειώνεται. 5. Πριν παρατηρηθεί θραύση των αντιαµµοκυµάτων, η αντίσταση στη ροή είναι περίπου ίδια µε την αντίστοιχη του επίπεδου πυθµένα. Κατά τη θραύση η αντίσταση είναι πολύ µεγαλύτερη από την προηγούµενη επειδή µε τη θραύση διαχέεται σηµαντική ποσότητα ενέργειας. 7.5.6 Υδατοπτώσεις και λεκάνες (σχ. 7.11) Σε αγωγούς πολύ µεγάλης κλίσεως, οι ροές σε αµµώδεις πυθµένες γίνονται ροές δια µέσου υδατοπτώσεων και λεκανών. Σε αγωγό,4m πλάτους παρατηρήθηκε η ροή αυτή για κόκκους µε D 50 < 0,4mm. Ειδικότερα, δηµιουργήθηκε: α) υδατόπτωση µήκους 3m 9m στην οποία η ροή ταχύτατα επιταχύνονταν και στο πέρας της υδατόπτωσης σχηµατίστηκε υδραυλικό άλµα και β) λεκάνη µεγάλου µήκους (3m 9m) στην οποία ήταν πιο ήρεµη αλλά επιταχυνόµενη. Η υδατόπτωση και η λεκάνη παρουσίαζαν µία κίνηση προς τα ανάντη µε ταχύτητα της τάξης των 0,3m/ec 0,6m/ec. Σε ροές της µορφής αυτής είναι δυνατόν να δηµιουργηθεί µεταβλητή τραχύτητα σε σχέση µε το χώρο και χρόνο και συσχετίζεται µε τις διατµητικές τάσεις, την ενέργεια του υδατορεύµατος και τα χαρακτηριστικά των υλικών του πυθµένα. Όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή του λόγου πλάτος προς βάθος υδατορεύµατος τόσο µεγαλύτερη είναι η πιθανότητα χωρικής µεταβολής των διατµητικών τάσεων, της ενέργειας και των υλικών του πυθµένα. Εποµένως, η µεταβλητή τραχύτητα συσχετίζεται µε τη σχέση πλάτος προς βάθος. Για τιµή της σχέσης αυτής µεγαλύτερη από 0, σε εργαστηριακά κανάλια, παρατηρήθηκε µεταβλητή τραχύτητα. 7.5.7 Θεωρητική προσέγγιση Εξαιτίας της πολυπλοκότητας της πρόβλεψης της µορφής του πυθµένα µόνο προσεγγίσεις του προβλήµατος υπάρχουν µε διάφορο βαθµό αξιοπιστίας.

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 05 Πάντως τα µέχρι σήµερα µαθηµατικά οµοιώµατα που χρησιµοποιούνται βασίζονται στην παραδοχή της δυναµικής ροής. Εποµένως, για την περιγραφή της εξέλιξης του πυθµένα χρησιµοποιείται η εξίσωση συνέχειας των φερτών υλών καθώς και οι εξισώσεις κινήσεως και συνέχειας της ροής του νερού. Τα αµµοκυµάτια και αµµοκύµατα, όπως αναφέρθηκε, κινούνται προς τα κατάντη εξαιτίας της διάβρωσης στην ανάντη παρειά και της εναπόθεσης των φερτών στην κατάντη παρειά. Η εξίσωση συνέχειας εφαρµοζόµενη σε τυχόντα όγκο αναφοράς της ροής (σχ 7.1) τελικά δίνει: z q b q x y q 1 λ) + + + = 0 (7.5.7) t x y z ( z όπου λ = το πορώδες του αµµώδους πυθµένα, z b = η στάθµη του πυθµένα από το επίπεδο αναφοράς, q x, q y και q z = οι στερεοπαροχές όγκου ανά µονάδα µήκους ως προς τους άξονες x, y και z µε z τον κατακόρυφο άξονα. Αν οι παράµετροι q x, q y και q z εκφράζουν στερεοπαροχές βάρους θα πρέπει ο πρώτος όρος της εξίσωσης να πολλαπλασιαστεί µε το ειδικό βάρος των κόκκων γ. Σχ. 7.1 Κίνηση του πυθµένα προς τα κατάντη. H προηγούµενη εξίσωση για διδιάστατη ροή γίνεται: z q b q x y (1 λ) + + = 0 (7.5.8) t x y και για µονοδιάστατη ροή παραλείπεται ο τελευταίος όρος / y. q y

06 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών 7.6 ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΣΤΗ ΡΟΗ 7.6.1 Γενικά Η µελέτη της αντίστασης στη ροή σε ανοικτούς αγωγούς εξαρτάται από τα όρια. Στην περίπτωση κατά την οποία το όριο είναι σταθερό (δηλ σταθερή γεωµετρία του αγωγού και σταθερή απόλυτη τραχύτητα διατοµής) η συντελεστής τριβής µπορεί να θεωρηθεί σταθερός σε όλο το µήκος του αγωγού. Αυτό όµως δεν συµβαίνει όταν το όριο του αγωγού είναι κινητό όπως στα υδατορεύµατα µε χαλαρή κοίτη. Παρά τη σηµαντική ερευνητική προσπάθεια που έχει γίνει, η εύρεση µιας µεθοδολογίας γενικά αποδεκτής δεν έχει προς το παρόν, επιτευχθεί. Τα αποτελέσµατα, από την εφαρµογή διαφόρων µεθόδων στη µελέτη του ίδιου προβλήµατος, πιθανόν να αποκλίνουν κατά τάξεις µεγέθους. Αυτό οφείλεται κατά κύριο λόγο στο ότι η ροή µε κινητά όρια είναι αρκετά πολύπλοκη µε συνέπεια οι διάφορες προσεγγίσεις να βασίζονται αφενός στις απλοποιητικές παραδοχές που γίνονται κατά την κατάστρωση του προβλήµατος και αφετέρου στον περιορισµένο αριθµό δεδοµένων όχι µόνο πεδίου αλλά και εργαστηρίου. 7.6. Αντίσταση στη ροή µε σταθερό όριο. Για τον προσδιορισµό των απωλειών ενέργειας, σε αγωγό µε σταθερό όριο, οµοιόµορφης ροής χρησιµοποιούνται εµπειρικές και/ή ηµιεµπειρικές σχέσεις µεταξύ των οποίων οι ακόλουθες είναι σχεδόν οι πιο εύχρηστες. 7.6..1 Τύπος του Μanning ( nv) S= R = 4/ 3 h R h Α Ρ w (7.6.1) όπου S = η κλίση της γραµµής ενέργειας (ή του πυθµένα), V = η µέση ταχύτητα στην τυχούσα διατοµή εµβαδού Α, n = ο συντελεστής τριβής του Manning, R h = η υδραυλική ακτίνα και Ρ w = η βρεχόµενη περίµετρος. 7.6.. Τύπος του Chezy S= V C R h (7.6.) όπου C = ο συντελεστής τριβής του Chezy.

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 07 7.6..3 Τύπος των Darcy - Weibach S= f V 8gR h (7.6.3) όπου f = ο συντελεστής τριβής των Darcy - Weibach και g = η επιτάχυνση της βαρύτητας. Οι συντελεστές τριβής n και C δίνονται από πίνακες και ο συντελεστής f από το διάγραµµα του Moody. Η σχέση µεταξύ των τριών συντελεστών είναι: n 1/ 6 R = h = C f g R 1/ 6 8 h (7.6.4) Στη βιβλιογραφία, για τον προσδιορισµό του συντελεστή n χρησιµοποιείται και ο τύπος του Strickler n = 0 015K 1 /. 6 (7.6.5) όπου K = η απόλυτη τραχύτητα σε χιλιοστά. 7.6.3 Αντίσταση στη ροή υδατορεύµατος µε χαλαρή κοίτη Στην περίπτωση φυσικών υδατορευµάτων µε κινητό πυθµένα τα αµµοκύµατα και γενικότερα οι ανωµαλίες του πυθµένα προκαλούν πρόσθετη αντίσταση στη ροή µε τη µορφή αντίστασης σχήµατος. Εποµένως, οι απώλειες τριβών επηρεάζονται από τη µορφή του πυθµένα που εξαρτάται από τη µεταφορά των φερτών υλών. Οι επιδράσεις αυτές λαµβάνονται υπόψη στον συντελεστή τριβής ο οποίος ορίζεται σαν άθροισµα δύο όρων που ο ένας αντιπροσωπεύει τις επιδράσεις της τραχύτητας του πυθµένα εξαιτίας των κόκκων (φέρει ένα τόνο) και ο άλλος τις επιδράσεις εξαιτίας της µορφής του πυθµένα π.χ. αµµοκύµατα (φέρει δύο τόνους). Η ισχύς της γραµµικής επαλληλίας έχει αποδειχθεί πειραµατικά από τους Eintein και Bank (Παρθενιάδης 198). Στις εξισώσεις απωλειών της παραγράφου 7.6. οι συντελεστές τριβής εκφράζονται µε τις σχέσεις: α) στον τύπο του Manning n = n + n (7.6.6) β) στον τύπο του Chezy

08 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών 1 1 1 = + C C C (7.6.7) γ) στον τύπο των Darcy - Weibach f = f + f (7.6.8) Με βάση τα προηγούµενα οι ολικές διατµητικές τάσεις πυθµένα είναι: τ = τ + τ (7.6.9) ο ο ο Από τη σχέση τ = γr h S o και θεωρώντας ότι στην τ αντιστοιχεί η υδραυλική ο ακτίνα R h και στην τ ο η υδραυλική ακτίνα R, h τότε η ολική υδραυλική ακτίνα R h είναι: R = R + R (7.6.10) h h h Η ταχύτητα τριβής πυθµένα u ορίζεται µε τη σχέση: u u u gr S gr S = + = h o + h o (7.6.11) H παράµετρος Θ του Shield µε βάση τη σχέση 7.6.11γίνεται: Θ = Θ + Θ (7.6.1) Στη βιβλιογραφία αναφέρονται διάφορες σχέσεις µε τις οποίες υπολογίζονται οι όροι που οφείλονται στις επιδράσεις της τραχύτητας των κόκκων και της µορφής του πυθµένα. 7.6.3.1 Προσέγγιση Eintein O Eintein (1950) παρουσίασε δύο σχέσεις για να επιλύσει το πρόβληµα της αντίστασης στη ροή σε αγωγό µε κινητά όρια και διάφορες µορφές πυθµένα (π.χ. µε αµµοκύµατα). Η πρώτη σχέση εφαρµόζεται για τον υπολογισµό αντίστασης τριβής που οφείλεται στην τραχύτητα των κόκκων και είναι: V R hx = 5.75log 1,7 u * k (7.6.13)

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 09 όπου V = η µέση ταχύτητα ροής, k = ισοδύναµη τραχύτητα = D 65, x = συνάρτηση του k /δ και δ = το εύρος της στρωτής οριακής υποστοιβάδος που εκφράζεται µε τη σχέση: 11,6ν δ = (7.6.14) u * και ν = κινηµατικό ιξώδες του νερού. Το νοµογράφηµα του επόµενου σχήµατος δίνει τη σχέση µεταξύ x και k /δ. Εποµένως, µε το νοµογράφηµα αυτό, τις τιµές των V, D 65 και x και την εξίσωση 7.6.13 υπολογίζεται η υδραυλική ακτίνα R h. Σχ. 7.13 Παράγων διόρθωσης της λογαριθµικής κατανοµής της ταχύτητας. Η δεύτερη σχέση εφαρµόζεται για τον υπολογισµό αντίστασης τριβής που οφείλεται στην τραχύτητα εξαιτίας της µορφής του πυθµένα και είναι: V =φ( Ψ ) u * (7.6.15) όπου γ γ D 35 Ψ = (7.6.16) γ SoR h H συναρτησιακή σχέση των V/u * και Ψ που δίνεται στο σχήµα 7.14

10 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών προσδιορίστηκε από τους Eintein και Barbaroa (195) από µετρήσεις πεδίου. Οι εξισώσεις που διέπουν το φαινόµενο είναι: V R 1. = hx 5.75log 1,7 u * k (7.6.13). k = D 65 11,6ν 3. δ = (7.6.14) u * 4. x = x(k /δ) (νοµογράφηµα σχήµατος 7.7) V 5. =φ( Ψ ) (νοµογράφηµα σχήµατος 7.14) u * (7.6.15) γ γ D35 6. Ψ = γ S R (7.6.16) o h 7. u = gr h S o (7.6.11) 8. u = gr h S o (7.6.11) 9. R h = R h + R h 10. Q = VA 11. A = A(R h, b, γωνίες) Σχ. 7.14 Σχέση µεταξύ των V/u * και Ψ.

Κεφ. 7. Μεταφορά Φερτών Υλών σε Υδατορεύµατα 11 Οι 11 προηγούµενες εξισώσεις, περιλαµβάνουν 17 άγνωστα µεγέθη, δηλαδή την ταχύτητα V, τις ταχύτητες τριβής u * και u *, τις υδραυλικές ακτίνες R h, R h και R h, τις διαµέτρους των κόκκων D 35 και D 65, την απόλυτη τραχύτητα k, τις παραµέτρους Ψ, x, δ και τις γωνίες, την κλίση του πυθµένα ή της γραµµής ενέργειας S o, την παροχή Q, τη διατοµή Α και το πλάτος του υδατορεύµατος b. Το ειδικό βάρος γ των κόκκων και γ του νερού, η επιτάχυνση της βαρύτητας g και το κινηµατικό ιξώδες του νερού ν θεωρούνται γνωστά µεγέθη. Για να λυθεί το πρόβληµα πρέπει να είναι γνωστά τα 6 από τα 17 µεγέθη. Από µετρήσεις συνήθως προσδιορίζουµε τις γωνίες, το πλάτος b, την κλίση S o, τις διαµέτρους D 35, D 65 και την παροχή Q (από υδρολογικά στοιχεία) µε συνέπεια από την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων να προσδιοριστεί η υδραυλική ακτίνα R h και από εκεί το βάθος του υδατορεύµατος ή είναι γνωστή η R h (από τη γεωµετρία της διατοµής) και υπολογίζουµε την Q. Η διαδικασία επίλυσης του συστήµατος είναι: 1 η περίπτωση: Γνωστή η παροχή Q και προσδιορίζεται η υδραυλική ακτίνα R h (από την οποία προκύπτει το βάθος του υδατορεύµατος) 1. Υποθέτουµε µια τιµή του R h.. Υπολογίζουµε την V (εξ. 7.6.13). 3. Υπολογίζουµε το Ψ (εξ. 7.6.16) και προσδιορίζουµε τον λόγο V/u * (σχ.7.14). 4. Υπολογίζουµε τη u * και την αντίστοιχη R h. 5. Υπολογίζουµε την R h = R h + R h και την αντίστοιχη διατοµή του αγωγού Α. 6. Υπολογίζουµε την Q από την εξίσωση συνέχειας Q = VA. Την τιµή που προκύπτει ελέγχουµε µε τη δοθείσα παροχή. Αν οι τιµές συµφωνούν το πρόβληµα έχει λυθεί. Στην αντίθετη περίπτωση επαναλαµβάνεται η διαδικασία µε νέα τιµή του R h. η περίπτωση: Γνωστό το βάθος του υδατορεύµατος (από το οποίο προσδιορίζεται η υδραυλική ακτίνα R h και ζητείται ο υπολογισµός του Q. Τα πέντε πρώτα βήµατα ταυτίζονται µε τα αντίστοιχα της 1 ης περίπτωσης. Αφού υπολογίστηκε το R h συγκρίνεται µε την τιµή R h που αντιστοιχεί στο δοθέν βάθος ροής. Αν συµφωνούν, το πρόβληµα λύθηκε, άλλως επαναλαµβάνεται η διαδικασία µε νέα τιµή του R h. Παράδειγµα Με δεδοµένα: παροχή Q = 100m 3 /ec, διαµέτρους D 35 = 0,4mm και D 65 = 0,8mm, πλάτος υδατορεύµατος b = 15m, κλίση πυθµένα S o = 0,0006, κινηµατικό ιξώδες ν = 10-6 m /ec και σχετικό ειδικό βάρος κόκκων γ /γ =,65, να υπολογιστεί το βάθος του υδατορεύµατος h µε τη µέθοδο Eintein. Η διατοµή του είναι τραπεζοειδής µε κλίση παρειών 1: (1 µονάδα κατά την κατακόρυφο διεύθυνση και µονάδες κατά την οριζόντια).

1 Εισαγωγή στη Μηχανική των Ποταµών Λύση α) Υποθέτουµε µία τιµή του R h. β) Υπολογίζεται η ταχύτητα V. u * = (gr h S o ) 0,5 = 0,0767(R h ) 0,5 6 11,6ν 11,6*10 1,63*10 δ = = = 0,5 0, 5 u 0,076(R ) (R k = D 65 = 0,0008m k δ R h V= 5,75u * log 1,7 x 0,441log 15.338R h k = γ) Υπολογίζεται η παράµετρος Ψ. γ γ D35,65 1 0,0004 1,1 Ψ = = = γ S R 1 0,0006R R o h * h h ) 0,5 0,0008(R h ) 0,5 = = 4,91(R 4 h ) ( x) h h 1,63*10 Από το Ψ και το νοµογράφηµα του σχήµατος 7.8 προσδιορίζεται ο λόγος V/u *. δ) Από τον λόγο V/u * και την τιµή του V υπολογίζεται η υδραυλική ακτίνα R h, ( u *) ( u *) R ( ) h = = = 169,9 u * gs 9,81* 0,0006 o ε)υπολογίζονται η υδραυλική ακτίνα R h από τη σχέση R h = R h + R h. Στη συνέχεια υπολογίζεται το βάθος ροής και από αυτό το εµβαδόν της διατοµής. Οι σχέσεις που χρησιµοποιούνται είναι: Α = 0,5[b + b + (h)]h = (b + h)h = (15 + h)h A (b+ h)h (b+ h)h (15+ h)h R h = = = = P b+ *.4h b+ 4,48h 15+ 4,48h w στ) Υπολογίζουµε την παροχή Q = AV και τη συγκρίνουµε µε την παροχή που δόθηκε. Αν δεν συµφωνεί επαναλαµβάνεται η εργασία µε νέα τιµή της R h. Η όλη προσέγγιση πινακοποιείται στον επόµενο πίνακα: Πίνακας 7.4 Υπολογισµός του βάθους καναλιού. R h k /δ x V Ψ V/u * u * R h R h h A Q m - - m/ec - - m/ec m m m m m 3 /ec 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1,50 1,70 1,85 1,8 1,81 6,01 6,40 6,68 6,6 6,61 1,03 1,0 1,0 1,0 1,0 1,99 1,951 1,968 1,964 1,96 0,733 0,647 0,594 0,604 0,608 58 68 75 74 73 0,033 0,09 0,06 0,07 0,07 0,188 0,140 0,117 0,10 0,13 1,688 1,840 1,967 1,940 1,933,155,39,594,551,534 41,61 47,3 5,37 51,7 50,88 4 και 80,3 9,3 103,1 100,7 99,83